Esercizio di minimi quadrati lineari: l'anello di livellazione Una rete di livellazione si compone di 4 punti. H1 = 1000m è nota. H 2 , H 3 , H 4 devono essere stimate. Sono disponibili 5 osservazioni di dislivello ΔH12 0 = 50.005m ΔH 23 0 = 100.005m ΔH 31 0 = −150.005m ΔH 24 0 = 200.005m ΔH 43 0 = −100.010m Le deviazioni standard delle osservazioni sono uguali a σ = 5mm . Si disegni innanzitutto il grafo di rete. Si controllino e si riportino quindi gli errori di chiusura dei due anelli chiusi di cui si compone la rete. Si compensi quindi la rete mediante i Minimi Quadrati, riportando su foglio tutti i risultati intermedi: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. errori di chiusura vettore delle osservazioni, vettore delle incognite, matrice dei cofattori delle osservazioni, matrice disegno e termine noto, matrice normale, sua inversa, termine noto normale, stima delle quote, stima delle osservabili, stima degli scarti, stima della varianza a posteriori. Si effettui il test sul modello globale (significatività al 5%), ricorrendo alla tabella del chi-‐quadro: se ne riporti il risultato. Nel caso questo sia positivo si calcoli e si scriva quindi la matrice di covarianza delle stime dei parametri incogniti, si ricavino infine le deviazioni standard dei parametri stimati. Nel caso il test del chi quadro sia fallito si identifichi l'errore grossolano. Si anticipa che in questo caso specifico tale errore può essere solo nei conti svolti e non nei dati forniti! Errori di chiusura ΔH12 + ΔH 23 + ΔH 31 = 5mm 0 0 0 ΔH 24 + ΔH 43 − ΔH 23 = −10mm 0 0 0 (risultati accettabili) Vettore delle osservazioni 50.005 m 100.005 m -150.005 m 200.005 m -100.010 m Vettore delle incognite H2 H3 H4 Matrice disegno 1 0 0 -1 1 0 0 -1 0 -1 0 1 0 Termine noto 1 -1 -1000 m 0m 1000 m 0m 0m Posto σ 02 = 25mm2 = 25 × 10−6 m2 , la matrice dei cofattori è la matrice identità Matrice normale 3.000000 -1.000000 -1.000000 -1.000000 3.000000 -1.000000 -1.000000 -1.000000 Inversa della matrice normale 2.000000 0.625000 0.375000 0.500000 0.375000 0.625000 0.500000 0.500000 0.500000 Termine noto normale 1.000000 749.995000 1150.000000 300.015000 Stime finali dei parametri incogniti 1050.004375 1150.005625 1250.012500 Stime delle osservazioni 50.0044 100.0013 -150.0056 200.0081 -100.0069 Residui delle osservazioni 0.000625 0.003750 0.000625 -0.003125 -0.003125 Chi quadro sperimentale: 1.38, Chi quadro limite per significatività 5%: 5.99 Test passato Covarianza delle stime dei parametri 1.07422E-05 6.44531E-06 8.59375E-06 6.44531E-06 1.07422E-05 8.59375E-06 8.59375E-06 8.59375E-06 Stime e relative deviazioni standard 1.71875E-05 H2 1050.004 m 0.003 m H3 1150.006 m 0.003 m H4 1250.013 m 0.004 m
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