Doppi bipoli rumorosi

Sistemi di Telecomunicazione
Caratterizzazione di doppi bipoli rumorosi
Universita’ Politecnica delle Marche
A.A. 2014-2015
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Temperatura equivalente di rumore di una sorgente
I
Una generica sorgente avente una certa resistenza interna R generera’ una
certa quantita’ di rumore di tipo termico
I
Dal punto di vista sistemistico si puo’ definire una temperatura
Pdisp.suB
equivalente di rumore Teq come: Teq =
KB
Piu’ precisamente, se si ha dipendenza dalla frequenza:
I
Teq (f ) =
I
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2Gd (f )
K
(1)
Notiamo che:
I T
eq e’ la temperatura fisica della resistenza SE la sorgente e’
costituita da sole resistenze adattate
I In generale, per una sorgente generica puo’ NON essere la
temperatura ambiente (spesso e’ superiore se la sorgente contiene
dispositivi attivi, ma puo’ essere inferiore nel caso in cui la sorgente
sia un’antenna)
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Doppi bipoli rumorosi
I
I
I
I
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Consideriamo ora i doppi bipoli lineari; in questa categoria rientrano
amplificatori e attenuatori
Un doppio bipolo si caratterizza con i seguenti parametri:
I Guadagno di potenza disponibile, ovvero il guadagno di potenza del
Gout (f )
segnale supponendo di avere tutto adattato: Ad (f ) =
Gin (f )
I Rumore
Nel caso dei doppi bipoli, la condizione di adattamento si realizza quando
la resistenza di ingresso del doppio bipolo e’ uguale alla resistenza della
sorgente E la resistenza di uscita del doppio bipolo e’ uguale alla
resistenza di carico
Per la definizione di guadagno disponibile non si considera l’effetto del
rumore
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Cifra di rumore di un doppio bipolo - I
I
I
Per quantificare il rumore introdotto da un doppio bipolo, si confrontano
le potenze di rumore all’uscita del doppio bipolo ideale (che non introduce
rumore e da’ solo un guadagno Ad ) e il doppio bipolo reale (che introduce
rumore)
Si definisce la cifra di rumore:
reale
Gout
(f )
F (f ) = ideale
=
Gout (f )
I
I
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KT0
Ad (f ) + Ginterna (f )
2
KT0
Ad (f )
2
(2)
La cifra di rumore deve essere definita con il sistema adattato e con la
resistenza di ingresso a T0 = 290 K
Spesso si suppone che la cifra di rumore sia indipendente dalla frequenza e
si indica solo con F
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Cifra di rumore di un doppio bipolo - II
I
F (f ) essendo un rapporto di potenze e’ un numero puro (adimensionale)
I
reale
Gout
(f ) e’ la somma della densita’ spettrale di rumore introdotta dal
doppio bipolo (Ginterna (f )) e della densita’ spettrale di rumore in uscita,
KT0
dovuta alla resistenza R che alimenta il doppio bipolo (
Ad (f )).
2
Possiamo sommare i due termini perche’ i contributi di rumore sono
statisticamente indipendenti
I
Essendo Ginterna (f ) ≥ 0, F (f ) > 1
I
Un doppio bipolo e’ tanto migliore dal punto di vista del rumore quanto
piu’ la sua cifra di rumore si avvicina a 1
K
reale
Dalla definizione di F (f ) otteniamo che: Gout
(f ) = Ad (f ) T0 F (f )
2
I
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Temperatura equivalente di rumore di un doppio bipolo
I
I
Un’altra definizione per quantificare il rumore introdotto dai doppi bipoli
fa riferimento alla temperatura equivalente di rumore:
K
reale
Gout
(f ) = Ad (f ) (T0 + Teq (f ))
2
Teq (f ) e’ detta temperatura equivalente di rumore e si misura in K . E’
pari all’aumento ideale di temperatura che si deve dare al resistore
rumoroso in ingresso per avere la corretta quantita’ di rumore in uscita,
quando si consideri il doppio bipolo ideale
I
Usando la temperatura equivalente, tutte le sorgenti di rumore vengono
trasferite all’ingresso del sistema
I
Si suppone spesso che Teq (f ) sia indipendente da f ; la si indica in tal caso
con Teq che e’ > 0 K
I
Usando le espressioni fin qui trovate riusciamo a determinare una formula
K
reale
di conversione tra F e Teq : Gout
(f ) = Ad (f ) T0 F
2
K
reale
Gout
(f ) = Ad (f ) (T0 + Teq ) da cui: T0 + Teq = T0 F
2
Teq
Quindi le formule di conversione tra F e Teq sono: F = 1 +
,
T0
Teq = T0 (F − 1)
I
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Interpretazione fisica della cifra di rumore
I
I
I
I
I
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Supponiamo di avere un doppio bipolo con all’ingresso anche una potenza
utile PS su una banda B
Il rapporto segnale-rumore in ingresso al doppio bipolo e’ dato da:
PS
(3)
SNRin =
KTB
Il rapporto segnale-rumore in uscita e’ dato da:
PS Ad
PS
SNRout =
=
(4)
KTBAd F
KTBF
SNRin
Ne risulta che: F =
SNRout
Quindi la cifra di rumore e’ il rapporto tra il rapporto segnale-rumore
in ingresso e in uscita dal doppio bipolo. Poiche’ F > 1, il rapporto
segnale-rumore in ingresso e’ sempre maggiore del rapporto
segnale-rumore in uscita
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Cascate di doppi bipoli - I
I
Una cascata di doppi bipoli alimentati da un resistore rumoroso e’ un
ottimo modello di un ricevitore per telecomunicazioni, o di un sistema di
trasmissione via cavo
I
Calcoliamo la cifra di rumore e temperatura equivalente dei due stadi
mostrati in figura, supponendo che tutto sia indipendente dalla frequenza.
Per fare cio’, calcoliamo le densita’ spettrali di potenza di rumore nelle
varie sezioni della cascata di doppi bipoli
I
Indicando con Teq la temperatura equivalente del primo doppio bipolo, si
trova che la densita’ spettrale di rumore alla sua uscita vale:
K
(1)
(1)
Gout (f ) = Ad1 (T0 + Teq )
2
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(1)
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Cascate di doppi bipoli - II
I
I
I
I
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Dal punto di vista del secondo bipolo, e’ come se questo fosse alimentato
(1)
da un resistore rumoroso a temperatura Ad1 (T0 + Teq ). Pertanto, la
densita’ spettrale di rumore all’uscita del secondo stadio vale:
(2)
Teq
K
K
(2)
(1)
(2)
(1)
Gout (f ) = Ad2 [Ad1 (T0 + Teq ) + Teq ] = Ad1 Ad2 [(T0 + Teq +
)]
2
2
Ad1
Confrontando quella trovata con l’espressione classica della densita’
spettrale di potenza all’uscita di un generico doppio bipolo si ottiene:
(2)
Teq
(1)
TOT
e Ad,TOT = Ad1 · Ad2
Teq
= Teq +
Ad1
Procedendo in modo analogo, per N bipoli rumorosi in cascata si trova:
(2)
(3)
(N)
Teq
Teq
Teq
(1)
TOT
Teq
= Teq +
+
+ ... +
Ad1
Ad1 · Ad2
Ad1 · Ad2 ...Ad(N−1)
Ad,TOT = Ad1 · Ad2 ...AdN
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Cascate di doppi bipoli - III
I
La temperatura equivalente di rumore dello stadio i-esimo e’ divisa per i
guadagni degli stadi precedenti
I
In presenza di guadagni positivi (in dB), risultano dunque maggiormente
critici per il rumore i primi stadi. Per avere una temperatura equivalente
di rumore bassa in un ricevitore per telecomunicazioni, i primi stadi
devono essere progettati con estrema cura, per avere bassa cifra di
rumore magari a scapito del guadagno
I
Gli ultimi stadi invece sono progettati per avere alte amplificazioni anche
se questo porta ad avere alte cifre di rumore
I
In generale e’ sempre meglio prima amplificare e poi attenuare, non
viceversa
I
In modo analogo si trova una relazione per la cifra di rumore (legge di
F3 − 1
FN − 1
F2 − 1
+
+ ... +
Friis): FTOT = F1 +
Ad1
Ad1 Ad2
Ad1 Ad2 ...Ad(N−1)
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Esempio 1: calcolo della cifra di rumore di un attenuatore
I Consideriamo un attenuatore passivo con attenuazione L (costituito tipicamente
I
I
I
I
da una linea di trasmissione tipo cavo coassiale), alimentato da una resistenza
1
rumorosa. Il guadagno disponibile e’ dato da: Ad = . Supponiamo che il
L
sistema sia adattato e lavori a temperatura T0
Se tutto e’ adattato, dall’uscita vedo un sistema completamente passivo alla
temperatura T0 , di conseguenza la densita’ spettrale dovra’ essere la stessa che
K
si ha all’uscita di una resistenza alla stessa temperatura, cioe’: Gout (f ) = T0
2
Dalla definizione di temperatura equivalente di rumore, abbiamo:
K
K (T0 + Teq )
Gout (f ) = Ad (T0 + Teq ) =
2
2
L
T0 + Teq
Uguagliando le due espressioni si trova: T0 =
, ovvero Teq = T0 (L − 1)
L
Sfruttando la relazione che lega cifra di rumore e temperatura equivalente di
T
T (L−1)
rumore, troviamo che: F = 1 + Teq = 1 + 0 T
=L
0
0
I Quindi la cifra di rumore di un attenuatore e’ pari alla sua attenuazione
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Esempio 2: cifra di rumore in sistemi singola tratta
I In un sistema di TLC, per coprire lunghe distanze si spezza spesso un
collegamento in varie tratte. Una tratta e’ definita come segue:
I
I
e’ la cascata di un cavo seguito da un amplificatore che ne compensa
esattamente le perdite. L’amplificatore ha guadagno A e cifra di
rumore Fa ; il cavo ha attenuazione L = A e cifra di rumore L
il guadagno di potenza di una tratta e’ dunque unitario per
definizione
I Possiamo calcolare la cifra di rumore di una tratta:
Ftratta = F1 +
F2 −1
A1
=L+
Fa −1
1/L
= Fa L
I Tale espressione, in dB diventa: Ftratta,dB = Fa,dB + αdB/km + Dkm , ricordando
che L = α · D ovvero LdB = αdB/km + Dkm
I Quindi la cifra di rumore di una tratta, in dB, e’ linearmente proporzionale alla
lunghezza del cavo; in unita’ lineari cio’ vuol dire che essa cresce
esponenzialmente con la lunghezza del cavo
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Esempio 3: cifra di rumore in sistemi multitratta
I Solitamente nella pratica i collegamenti a lunga distanza sono divisi in
sotto-tratte di lunghezza piu’ piccola.
I Consideriamo la cascata di N tratte identiche. Ogni tratta viene considerata
come un doppio bipolo con guadagno unitario e cifra di rumore Fa L. Con queste
ipotesi, possiamo applicare la legge di Friis per trovare la cifra di rumore
complessiva di una cascata di N tratte: F (N) =
Fa L + (Fa L − 1) + ... + (Fa L − 1) = Fa L + (N − 1)(Fa L − 1) = NLFa − (N − 1)
{z
}
|
(N−1)termini
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