Test dei punti di svolta/2

Componente erratica!
Le MM isolano la componente ciclica Ct della serie già detrendizzata e
destagionalizata. Ne consegue che i rapporti
(! C u $ +
et = 100 *# t t & '1)" C t % ,
Dovrebbero avere natura essenzialmente erratica. Cioè
Test dei punti di svolta!
Si conta il numero di svolte: picchi e valli.!
Una svolta richiede 3 punti consecutivi: et-1, et, et+1 . In una serie di n
punti esistono n-2 terne consecutive (esclusi il primo e l"ultimo)!
Se la serie fosse casuale allora i 3!=6 possibili ordinamenti sarebbero
equipresenti. Tra questi solo quattro contengono un punto di svolta!
A partire dalla variabile indicatore !
Turning points test!
Sono simmetrici intorno allo zero
Sono fra di loro incorrelati
"1 se et!1 <e t > et+1 oppure et!1 > e t < et+1
It = #
$0 altrimenti
Queste condizioni possono
essere sottoposte a verifica!
n"2
Sono privi di strutture riconoscibili
Il numero dei punti di svolta è!
P = # It
t= 2
Se non è così allora negli errori et è presente una componente sistematica che
non è stata individuata dall’approccio classico.!
In caso di valori coincidenti il valore si considera unico e non ripetuto
riducendo conseguentemente n!
!
Test dei punti di svolta/2!
La statistica P ha valore atteso e varianza note!
n(2
n(2
"4% 2
E ( P ) = ) E ( It ) = )$ ' = ( n ( 2);
# & 3
t= 2
t= 2 6
16n ( 29
Var( P ) =
90
All"aumentare del numero dei termini, ferma restando la casualità, la
distribuzione di P tende alla gaussiana.!
!
Quindi possiamo testare l"ipotesi di residui senza struttura con la
statistica !
2
P " ( n " 2)
3
16n " 29
90
Se il valor p è inferiore a 0.01, si rifiuta l"ipotesi di erraticità!
!
Esempio -Commercio al dettaglio!
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
et
0.9966
0.9982
0.9737
1.0037
1.0234
0.9878
1.0006
0.9996
1.0023
1.0012
1.0040
0.9870
1.0030
1.0133
0.9935
0.9944
1.0040
0.9888
1.0196
0.9953
0.9999
0.9881
1.0092
0.9933
1.0022
0.9870
1.0292
1.0010
0.9738
1.0231
0.9797
1.0068
0.9995
1.0098
0.9785
1.0061
Grafico degli et!
It
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
29
et
1.04
1.03
1.02
1.01
et
1.00
0.99
0.98
0.97
0
5
$ 29 ! 2 ( 36 ! 2 ) %
"
#
3
( 16& 36 ! 29 )
90
10
15
20
25
30
35
40
Il valor p è 0.0051. C’è un forte
= 2.5689 sospetto di NON casualità!
Test dei ranghi!
Test dei ranghi/2!
Il confronto può essere esteso a tutte le coppie di errori consecutivi.!
La q è legata al famoso ! di Kendall per
la correlazione tra ranghi !
!=
4q
"1
n( n "1)
Bisogna contare il numero q di volte in cui si ha ej>ei per j>i.!
! varia tra -1 e 1 ed ha valore atteso nullo in una serie erratica. !
Si considerano n(n-1)/2 coppie. Il valore atteso in una serie del tutto
erratica è!
E( q) =
La deviazione standard del ! è!
n( n !1)
4
n ( n + 1)(2n + 5)
72
" (# ) =
Il rapporto tra ! ed il suo scarto quadratico medio può essere usato
per sottoporre a verifica l"ipotesi di erraticità!
!
318
4
"1
36x35
= 0.00026
36x37x77
72
Valori di q molto superiori alla media fanno pensare ad un trend
crescente, non del tutto rimosso dalla serie. !
Se invece q è molto minore della media il trend residuo deve essere
ritenuto decrescente. !
Commercio al dettaglio.!
Il valore del ! di Kendall è molto prossimo allo
zero per cui, almeno sotto questo aspetto della
casualità, è da ritenersi priva di struttura!
!
Test dei segni!
Test dei segni/2!
I segni degli errori si susseguono nel tempo in maniera casuale?!
Una coppia di segni successivi concordi: (+,+) oppure (-,-) è una
permanenza ed una di segni discordi (+,-) (-,+) è una variazione!
Ad esempio, la successione!
!
! + ! +
! + +
! ! + +
+ ! ! +
! ! + +
+ + !
! + +
Se la serie fosse casuale la tabella dovrebbe mostrare indipendenza!
Segni
+
+
7
Segni
+
!
Totale
+
7.28 5.72
13
!
6.72 5.28
12
Totale 14
11
25
Totale
13
!
6
!
7 5
Totale 14 11
12
25
A questo fine si può adoperare il test del chi-quadrato!
Valor p=0.8213!
Ha 25 coppie adiacenti di segni a partire da (-,-) e a finire con (+,+)!
Segni + ! Totale
+
7 6
13
!
7 5
12
Totale 14 11
25
! c2 =
2
(7 " 7.28)
7.28
+
( 6" 5.72)
5.72
2
+
( 7" 6.72)
6.72
2
2
+
(5 " 5.28)
5.28
= 0.051
Le permanenze sono 12 e riportate
sulla diagonale .!
Le divergenze sono 13 e riportate
fuori diagonale !
Se fosse vera l"ipotesi di casualità, un valore di chi2 pari a 0.051 o
minore, lo si potrebbe osservare l"82% delle volte (circa 8 su 10)
cioè non è troppo raro e quindi si accetta l"ipotesi che i residui
siano casuali.!
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
et
-0.3400
-0.1784
-2.6325
0.3735
2.3406
-1.2167
0.0561
-0.0428
0.2343
0.1159
0.4016
-1.2977
0.2987
1.3346
-0.6549
-0.5628
0.3998
-1.1187
1.9568
-0.4661
-0.0104
-1.1868
0.9232
-0.6652
0.2222
-1.2964
2.9236
0.1017
-2.6192
2.3051
-2.0309
0.6815
-0.0458
0.9819
-2.1495
0.6148
--
++
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
+0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
5
-+
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
12
Correlazione seriale !
Esempio :!
Commercio al dettaglio!
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
12
Segni
+
!
+
5 12
!
12 5
Totale 17 17
Significa che le osservazioni collocate in periodi distanziati di un
ritardo fisso hanno un certo grado di dipendenza lineare.!
Totale
La correlazione seriale è misurata dalle autocovarianze e dalle
autocorrelazioni di lag k (cioè spaziate di k periodi)!
17
17
34
! k = Cov( yt ,yt "k ) = E[( yt " µ)( yt"k " µ)], k = 0,1, 2,…
! c2 = 5.765 " p # value = 0.0163
E" evidente che!
La casualità dei coefficienti di ciclicità è posta
seriamente in discussione da questo test!
La formula presuppone la STAZIONARIETA" cioè che la media E(yt)=µ
sia costante nel tempo e che le autocovarianze dipendano solo dal lag
k, ma non dal tempo t a cui siano riferite.!
Condizione di stazionarietà !
Autocorrelazioni !
Una serie è stazionaria se !
1)#Non ha ciclo- trend oppure se questo è stato rimosso, cioè la retta
parallela all"asse delle ascisse intorno a cui ruota la serie, rimane la
stessa nel tempo.!
L"autocorrelazione teorica di lag k è data da!
2)#Le fluttuazioni intorno ad essa hanno la stessa variabilità in periodi
diversi.!
Yt
! k = ! "k
!k =
Cov( yt ,yt "k )
[Var ( yt )Var( yt"k )]
=
N.B.
!0 = "2
#k
#
= k , k = 0,1,2,…,
# 0# 0 # 0
Non stazionaria
Stazionaria
118.0
116.0
114.0
112.0
110.0
108.0
106.0
104.0
102.0
100.0
98.0
118.0
116.0
Yt
114.0
L"insieme delle autocorrelazioni considerate come funzioni del lag k
è noto come !
112.0
110.0
CORRELOGRAMMA oppure FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE!
108.0
106.0
104.0
102.0
0
5
10
15
20
25
30
0
10
20
30
Questo tipo di serie sono stazionarie “in media e varianza”. !
I residui dell"approccio classico dovrebbero oscillare così intorno alla
media zero.!
Data la simmetria della covarianza, si ha
!k = ! " k , k = 1,2,…, !0 = 1
Caclolo delle autocorrelazioni !
L"equivalente empirico delle autocorrelazioni è!
n
"
t= k+1
rk =
( yt ! µ y )( yt! k ! µ y )
n
n
"
n
(
t=1
" yt ! µ y
=
)2
t= k+1
Ricostruzione della serie storica !
Dove µy è la media
campionaria della
serie storica Y.!
( yt ! µ y )( yt! k ! µ y )
n
2
" ( yt ! µ y )
t=1
per
Si moltiplica il trend per i coefficienti di
stagionalità e di ciclicità!
Rt = Tˆt Cˆ t Sˆ t
k = 1,2,…,
n
Nell"ipotesi che "k=0 per ogni k>Q la varianza di rk è!
Var( rk ) !
Q
1 $&
'
1+ 2 # " k2
n%
k=! (
Il Trend assorbe il movimento di lungo periodo, non ripetitivo,
continuo e senza sbalzi, almeno nell"arco di tempo considerato.!
orientativamente!
Q=10+[$n]
!
Se l"approccio seguito nella scomposizione è stato rigoroso ed
efficace , allora le autocorrelazioni NON dovrebbero essere troppo
diverse da zero.!
La stagionalità rappresenta i movimenti legati a ricorrenze infrannuali sistematiche ancorché irregolari che si esauriscono nell"anno.!
Esempio !
Gaussianità !
Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac Airport
Molta della teoria inferenziale delle
serie storiche poggia sull'ipotesi
che i residui siano gaussiani.
0.00
Ci si aspetta in pratica che se si
costruisse l'istogramma dei residui
esso assumerebbe la tipica forma
campanulare delle distribuzioni
gaussiane.
-0.10
500
Residuals
0.10
Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac Airport
2000
2005
0.4
0.2
PACF
-0.2
-0.4
5
1995
2000
2005
0.0
0.4
0.2
0.0
-0.4
-0.2
ACF
400
300
Passengers
1995
Passengers
Estimates
10
I coefficienti ciclicità esprimono oscillazioni periodiche pluriennali
dovute a cause congiunturali. !
15
Lag
20
25
5
10
15
20
Lag
Inadeguatezza nella determinazione del ciclo-trend e, in misura minore,
nella stagionalità
25
Nelle applicazioni della vita reale la
gaussianità è rara come l'unicorno
e quindi le indicazioni che la
presuppongono debbono sempre
essere valutate con sano
scetticismo!
Esempio!
UK gas consumption
1200
Verifica !
1000
Consideriamo due indicazioni della gaussianità dei residui
600
UK gas consumption
1960
1965
1970
1975
1980
1985
0.2
U.S. dollars
Estimates
Per residui gaussiani dovrebbero entrambi tendere a zero
!
Approccio classico e residui!
La serie ricostruita non ha componente erratica o almeno non la include
esplicitamente.!
Una stima approssimata degli errori si ottiene dalle differenze!
eˆt =
Rt
Tˆ Cˆ Sˆ
"1 = t t t "1
Yt
Yt
Il successo del metodo di scomposizione si può misurare con il valorp con cui NON si rifiuta l"ipotesi di erraticità e, in misura minore,
l"ipotesi di!
gaussianità nei vari test proposti.!
Rispetto alla erraticità occorre considerare che, tanto i coefficienti di
stagionalità quanto quelli di ciclicità, provengono da medie mobili che
potrebbero aver indotto un effetto Slustky-Yule.!
La presenza di strutture nei residui quindi non è necessariamente
dovuta a scelte sbagliate nella estrazione delle varie componenti.!
E’ rimasta qualche componente
inespressa.
0.0
0.1
Quoziente logaritmico di variabilità
#" &
Log% e ( + 1
$ IQe '
0.3
200
0.4
0.5
400
U.S. dollars
800
Bowman_Shenton (1975)
-4
-2
0
e
2
Esempio!
Esempio!
Le diagnostiche in questo caso
evidenziano un esito inadeguato.!
Le revisioni possono riguardare il
Trend, la Stagionalità ed il Ciclo.!
Arrivare ad un buon risultato può
richiedere diversi passaggi.!
La ricostruzione è accettabile, ma è avvenuta conoscendo già quello
che era successo. Le previsioni sono un’altra cosa.!
L"approccio classico sembra ignorare
informazioni significative sia rispetto al
ciclo-trend che rispetto alla stagionalità!
Previsioni nell"approccio classico !
La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazione
temporale delle formule!
Yˆt +k = Tt +k Ct +k St +k ; k = 1,2,...,
Allungare il trend è semplice: si valuta il modello analitico per le nuove
ascisse. Se non si allunga troppo il risultato è in genere attendibile!
! La stagionalità fissa o variabile si estende replicando i coefficienti puri
dell"ultimo anno. !
St+k = St+k"12 ; k = 1,2,...,
Anche la ciclicità si estende ipotizzando gli effetti del nuovo anno
simili a quelli del vecchio.!
!
La previsione con l’approccio classico, nella versione da noi descritta, non può
prevedere l’intervento di eventi che modificano sostanzialmente il
comportamento della serie.!
Questi possono accadere anche nel brevissimo periodo!
Misure di adattamento!
La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazione
temporale delle formule!
#
$ (Yˆ
Root Mean Squared Prediction Error!
t +k
RMSE =
" Yt +k ) /Yt +k
2
k=1
#
#
$ (Yˆ
t +k
Mean Absolute Prediction Error!!
#
I cambiamenti bruschi possono essere inclusi nel processo se sono
già avvenuti in passato.!
L’approccio classico non è esatto, ma può essere utile!
Yˆt +k " Yt +k!
$(
Theil' s U =
)
k=1
#
$ (Yˆ )
t +k
k=1
2
+
MAPE =
#
Il calcolo si basa sull"idea del !
“leaving-one-year out”: un anno
è accantonato per valutare
l"accuratezza della previsione.!
2
(Yt +k )
" Yt +k ) /Yt +k
k=1
2
L"indice TU varia tra zero ed uno!
http://camcomrer-test.redturtle.it/studi-ricerche/banchedati/bd/lavoro/amsocial/cig/cigordin/Cig_mensile.xls/view!
ESEMPIO!
Le funzioni periodiche!
Una funzione si dice periodica se i suoi valori si ripetono esattamente a
intervalli regolari.!
f ( t ) = f (t + kr)
" t, k = 0,±1,±2,…
Il minimo tra gli “r” che soddisfa tale condizione è il periodo della
funzione e questa è detta funzione periodica di periodo “r”!
!
Le funzioni periodiche più comuni sono il seno e coseno trigonometrici.!
asen ( wt ), bsen ( wt )
con periodo:!
!
r=
2"
w
a e b sono dei coefficienti
Questa impostazione dell"approccio classico renderà più esplicite le
!
componenti periodiche quali la ciclicità e la stagionalità.!
!
Ripasso !
Il seno di un angolo x (in gradi o radianti) è
definito a partire dalla circonferenza
goniometrica, ovvero dalla circonferenza
di raggio unitario nel piano cartesiano.!
Presa la semiretta uscente dall'origine che
forma un angolo x con l'asse delle ascisse,
il seno dell'angolo è il valore della
coordinata y del punto di intersezione tra
la semiretta e la circonferenza (in figura, è
la lunghezza del segmento DC).!
Ripasso/2 !
Si definisce il coseno considerando una
circonferenza di raggio unitario ed una
semiretta uscente dall'origine che forma
un angolo x con l'asse delle ascisse.!
Il coseno dell'angolo x è definito come il
valore della coordinata x del punto di
intersezione tra la semiretta e la
circonferenza (lunghezza del segmento
OC).!
Per angoli tra 0 e " / 2, il coseno
di un angolo è il seno dell'angolo
complementare, cioè!
Funzioni seno e coseno!
Seno e coseno/2!
La prima questione da affrontare è come si comporta la funzione
sen(ax) , dove a è un numero reale positivo fissato a piacere. !
Se le funzioni seno e coseno hanno periodo “r” allora saranno anche
periodiche con periodo “2r”, “3r”, …!
Considerare “ax” come argomento del seno corrisponde a cambiare la
scala delle ascisse cioè il grafico di sen(ax) è quello di sen(x) ``dilatato''
o “contratto” secondo che “a” sia minore o maggiore di uno in valore
assoluto!
Quando si parla di periodo si sottintende che si considera il periodo
minimo, definito come il più piccolo p tale che f(x+r) = f(x) per ogni x!
1.5
Piú in generale sen(kx) e cos(kx) , con k intero, hanno come
periodo minimo r=2k/%.!
1.5
1
sen(x) nell"intervallo (0,4%)
ha due picchi e due valli .!
cos(x) nell"intervallo (0,4%)
ha tre picchi e due valli.!
0.5
1
0.5
sen(4x) ha 8 picchi e 8 valli!
Sen(x)
Sen(4x)
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Sen(2x/!)
cos(4x) ha 9 picchi e 8 valli!
Cos(x)
Cos(4x)
0
sen(2x/#) sale e scende
una sola volta!
cos(2x/#) sale una volta e
scende due volte!
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
Cos(2x/!)
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
Metodologia BV4!
Studiamo una versione semplificata del metodo sviluppato dall"ufficio
centrale di statistica tedesco!
Si tratta di uno schema ADDITIVO!
yt = Tt + Ct + St + ut
Trend-Ciclo = Un polinomio in t (di solito la cubica)!
Stagionalità = Somma di armoniche normalizzate!
E" caratteristica l"ibridazione dei polinomi e delle armoniche di solito usate in
contesti diversi (ad esempio in fisica).!
Scomposizione in serie di Fourier!
Questo approccio alle serie storiche venne avviato nei primi anni del
secolo scorso, ma ebbe sviluppo limitato a causa delle difficoltà di
calcolo di quel tempo.!
L"idea guida è che una funzione PERIODICA del tempo si possa
esprimere come una somma di termini trigonometrici (armoniche).!
m
) "i%
,
yt = / ai sen+ 2!$ ' t + ( i .
* # c&
i =1
#c periodicità massima
%2!i
%
c frequenza dell' armonica
$a ampiezza dell' armonica
%"i fase della armonica
% i
&m numero di armoniche considerate
m è da scegliere!
Scomposizione in serie di Fourier/2!
Scomposizione in serie di Fourier/3!
Ogni armonica è un"onda
sinusoidale che completa il suo
ciclo in “c/i” periodi.!
Le alte frequenze esprimono
variazioni di breve periodo
(stagionalità, settimane, giorni).!
L"ampiezza è lo scarto massimo (costante) di oscillazione rispetto all"asse!
La fase è l"ascissa del primo punto di massimo.!
Il periodo esprime la durata dell"oscillazione (curva tra due picchi)!
Le basse frequenze componenti
cicliche con cadenze sempre
minori (man mano che si riduce
la frequenza.!
La frequenza (reciproco del periodo) si interpreta come il numero di
oscillazioni nell"unità di tempo. !
ALTA FREQUENZA=MOLTE OSCILLAZIONI!
Stagionalità e funzioni trigonometriche!
Stagionalità e funzioni trigonometriche/2!
La componente stagionale può essere espressa da una combinazione
lineare di “armoniche”:!
La durata più breve in cui si può parlare di “ciclo” è 2 (da un dato a quello
successivo). Il massimo numero di armoniche stagionali è dato da!
m
St = ! ai sen( fi t + " i )
“i” è l’indice della armonica!
i =1
Il coefficiente di stagionalità è
St = coefficiente di stagionalità
la somma delle armoniche.!
s = stagionalità (mesi ! s = 12)
2"i
fi =
frequenza della armonica
s
# i = fase della armonica
s = numero di periodi in cui si completa la stagionalità
i
m = numero massimo di armoniche in St
Questo è una tecnica di stagionalità variabile dato che il coefficiente varia
per l"anno e per il periodo!
"s
$ se s è pari
m = # 2s ! 1
$
; se s è dispari
% 2
Infatti, in caso di “s” pari, la m-esima armonica completerebbe il suo ciclo !
in un numero di periodi uguale a:!
s s
= =2
m s
2
D"altra parte non è necessario usare tutte le armoniche dato che le prime!
due o tre sono già in grado di esprimere complesse strutture ondulatorie.!
Le ultime armoniche sono poco oscillatorie e quindi poco utili.!
Stagionalità e funzioni trigonometriche/3!
Esempio di armonica!
Metodologia BV.4!
Se il trend è una polinomiale in “t”, il modello con stagionalità armonica è:!
a1 = 0; !1 = 0; a2 = "0.7; # 2 = 0.6944$ (125°)
k
m
y t = " 0 + # " i t k + # ai sen( f i t + $ i ) + ut
i=1
Stagionalità
1ª arm+2ª arm
j=1
il modello non è lineare a causa della presenza dei parametri # come!
argomento del seno. Tuttavia, tenuto conto che:!
!
1ª armonica
sen( x + y ) = sen( x ) *cos( y ) + sen( y ) *cos( x )
La relazione può essere linearizzata:!
k
m
y t = " 0 + # " i t + # a j [$ j1sen( f j t ) * cos(% j ) + $ j 2 cos( f j t ) * sen(% j )] + ut
!
k
2ª armonica
i=1
j=1
k
m
Gli angoli sono misurati in radianti!
i=1
Ancora sulla BV.4!
!
Dato che la stagionalità deve compensarsi nell"arco dell"anno si pone il
m
vincolo!
#" sen( f t ) + "
1i
i
2i
cos( f i t ) = 0 $
i=1
m&1
&# ["1i sen ( f i t ) + "2i cos( f i t )] & "1m sen ( f m t )
% 2m =
i=1
cos( f m t )
[
]
= " 0 + # " i t + # & j1sen( f j t ) + & j 2 cos( f j t ) + ut
k
j=1
Esempio!
Scelta del trend e delle armoniche con la stepwise regression (si
delega al computer la selezione del numero di armoniche da usare)!
Che può essere soddisfatto
ignorando l"armonica mesima o una delle sue
componenti oppure
togliendo l"intercetta dal
trend-ciclo!
30
!
25
Vendite mensile di auto nel Quebec-Canada!
20
15
10
5
0
"! %
fi = i $ ' , i = 1,2,…, 6
# 6&
Vendite mensile di auto nel!
Quebec-Canada!
Operatività!
Operatività/2!
I sottoperiodi si sovrappongono, almeno in parte.!
È difficile che uno stesso modello rimanga valido per tutto l"arco
temporale. Una validità per un periodo più ristretto sembra una
strategia più realistica.!
Ne consegue che per uno stesso periodo disponiamo di più stime!
La serie storica è quindi divisa in più sottoperiodi di numerosità
simile h, ma comunque superiore al numero di parametri da stimare !
Inizio
h > (k+1+s)!
h di solito è 4 o 3!
Se h=19 ed n= 34 allora le finestre di stima sarebbero!
i periodi indicati in colonna.!
Per ciascun sottoperiodo si devono stimare i parametri!
della cubica e delle armoniche. Per comodità i termini da
usare si scelgono con la stepwise regression.!
Invece di una media mobile abbiamo un modello mobile
che potrebbe essere diverso da periodo a periodo.!
Fine
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Applicazione alle vendite auto!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Periodi di riferimento delle stime
5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11 12 13
7 8 9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13 14 15
9 10 11 12 13 14 15 16
10 11 12 13 14 15 16 17
11 12 13 14 15 16 17 18
12 13 14 15 16 17 18 19
13 14 15 16 17 18 19 20
14 15 16 17 18 19 20 21
15 16 17 18 19 20 21 22
16 17 18 19 20 21 22 23
17 18 19 20 21 22 23 24
18 19 20 21 22 23 24 25
19 20 21 22 23 24 25 26
20 21 22 23 24 25 26 27
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
)
(
'
)&
%
20
&
'
)
%
$
(
(
&
%
#
'
$
#
15
)
'
%
(&
$
#
)
&
'
%
(
$
#
#
$
!
"
"
!
(
)&
'
%
$
#
!
"
)
)
)
'
%
&
(
$
#
"
!
"
!
"
!
"
!
'
&
(
%
#
$
!
"
5
)
(
'
&
%
(&
'
%
$
#
"
!
!
1960
"
1961
#
1962
$
1963
%
1964
'
)&
(
$
&
&
1965
%
"
#
'
)
(
$
%
#
'
1966
(
1967
)
1968
!
$
"
!
#
"
!
Dicembre
Novembre
Ottobre
settembre
Agosto
Luglio
Giugno
Maggio
Aprile
Marzo
Febbraio
Gennaio
0
La stagionalità è presente ed in forma costante. C"è anche il trend.!
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Ad esempio per il periodo 10 otteniamo il dato interpolato in 10
diverse situazioni (fino ad un massimo di 16). !
La sintesi dei valori stimati può farsi con la media, la mediana o altro.!
Trend cubico. Finestra=31. Metodo: weighted stepwise regression !
25
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Applicazione alle vendite auto/2!
30
10
Inizio Fine
1
19
2
20
3
21
4
22
5
23
6
24
7
25
8
26
9
27
10
28
11
29
12
30
13
31
14
32
15
33
16
34
Cambio Euro/Dollaro Can.!
http://uif.bancaditalia.it/UICFEWebroot/cambiSSMForm.jsp?lingua=it!

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