Esempio materiale – Minitab Essentials I

Generalità
Panoramica dei piani sperimentali
8
Introduzione ai Piani Fattoriali
Contenuti
2
Introduzione ai Piani Fattoriali
Obiettivi
•
•
•
•
•
Creare un piano fattoriale ed apprendere i principi e le proprietà dei piani sperimentali.
Calcolare ed interpretare gli effetti principali e le interazioni.
Analizzare un piano fattoriale completo, generare diagrammi, e interpretare i risultati.
Controllare le ipotesi del modello mediante grafici dei residui.
Identificare le regolazioni di fattori ottimali usando grafici e ottimizzazioni di risposta.
In questo capitolo
Esempi ed Esercizi
Scopo
Pagina
Piani Fattoriali Completi
Esempio 1: Migliorare l’adesione della vernice
Introduzione ai Piani Fattoriali
Analizzare un piano fattoriale completo, calcolare e
visualizzare gli effetti e le interazioni principali e controllare
le assunzioni del modello.
13
11
Contenuti
Esempi ed Esercizi
Scopo
Pagina
Ottimizzatore di Risposta
Esempio 2: Ottimizzare l’adesione della vernice
Determinare le regolazioni ottimali dei fattori usando risposte
di ottimizzazione.
45
Esercizio A: Cottura di una Torta
Analizzare un piano fattoriale completo.
52
Introduzione ai Piani Fattoriali
12
Piani Fattoriali Completi
Piani Fattoriali Completi
Esempio 1: Migliorare l’adesione della vernice
Problema
Dati
Un fabbricante utilizza iniettori per migliorare l'adesione della
vernice sull'automobile. Il processo di miglioramento prevede
l'uso di iniettori ed il livello di pressione dello spruzzo per
massimizzare l'adesione.
Primer.MPJ
Variabile
Descrizione
Pressure
Pressione di spruzzo alimentato dall'iniettore (310,
380 kPa)
PrimType
Tipo di iniettore (Uno, Two)
Adhesion
Forza richiesta per rimuovere la vernice dalla base
di metallo
Raccolta dati
Si decide di condurre un piano fattoriale completo che testi
due livelli di pressione su ogni iniettore. Ogni combinazione
di tipo di iniettore e pressione di spruzzo è replicata quattro
volte. Gli operatori usano l'iniettore su una superficie di
alluminio utilizzando una pressione di spruzzo prestabilita.
Dopo la verniciatura di ogni campione applicano una vernice
finale e misurano la forza di adesione.
Minitab inserisce, tra le variabili del piano, anche le seguenti
colonne: StdOrder, RunOrder, PtType, e Blocks.
Strumenti
•
•
•
•
Create Factorial Design
Descriptive Statistics
Analyze Factorial Design
Factorial Plots
Introduzione ai Piani Fattoriali
13
Piani Fattoriali Completi
Piani fattoriali
Cosa sono i piani fattoriali
Perché usare i piani fattoriali completi
I piani fattoriali permettono lo studio simultaneo dei molti
effetti dei fattori su un processo. Variare i livelli dei fattori
contemporaneamente piuttosto che uno per volta:
Usare i piani fattoriali completi per rispondere a domande quali:
•
•
È efficiente in termini di tempi e costi
Permette uno studio delle interazioni tra fattori
•
Quali sono le variabili che influenzano maggiormente la
risposta?
•
Quale regolazione di fattori ottimizzerà meglio la risposta?
Per esempio,
Quando usare i piani fattoriali
•
Che impatto hanno su uno strumento per tagliare il metallo la
velocità di taglio, la durezza del metallo e l'angolo di taglio?
•
Quanto dolcificante, porzione di sciroppo nell'acqua, livello di
gassosità e temperatura ottimizzano il gusto di una nuova
bibita?
Usare i piani fattoriali per:
•
Stimare efficientemente gli effetti di ciascun fattore sulla
risposta
•
Stimare efficientemente gli effetti delle interazioni tra due
o più fattori sulla risposta
•
Fare una prova per la curvatura nella risposta includendo
i punti centrali nel piano
Introduzione ai Piani Fattoriali
14
Piani Fattoriali Completi
Piani fattoriali completi
Quando usare i piani fattoriali completi
Quando usare i piani fattoriali completi
In un esperimento fattoriale completo le risposte sono
misurate per tutte le combinazioni per tutti i livelli dei fattori.
Le combinazioni dei livelli dei fattori rappresentano le
condizioni in cui vengono misurate le risposte. Ogni
condizione è una prova e la misurazione della risposta è una
osservazione. L'intera serie di prove è il piano.
Minitab prevede due tipi di piani fattoriali completi:
I diagrammi seguenti mostrano piani a due e tre fattori. I punti
rappresentano un'unica combinazione dei livelli dei fattori.
Per esempio, nel piano a due fattori, il punto dell'angolo basso
di sinistra rappresenta le prove sperimentali quando il Fattore
A è una regolazione del suo livello basso e quando anche il
Fattore B è una regolazione del suo livello basso.
Due fattori
Tre fattori
•
Usare un piano a due livelli (2k) quando ogni fattore
sperimentale ha solo due livelli.
•
Usare un piano fattoriale completo generale quando ogni
fattore sperimentale ha più di due livelli. Per esempio, il Fattore
A può avere due livelli, il Fattore B può avere tre livelli e il
Fattore C può avere cinque livelli.
Perché usare i piani fattoriali completi
Usare i piani fattoriali completi per rispondere a domande quali:
•
Quali sono le variabili che influenzano maggiormente la
risposta?
•
Sono le interazioni tra due o più fattori che influenzano la
risposta?
•
Quale regolazione di fattori ottimizzerà meglio la risposta?
Per esempio,
A
A
C
B
Due livelli per il Fattore A
Tre livelli per il Fattore B
Introduzione ai Piani Fattoriali
B
Due livelli per ogni
fattore
•
Che impatto hanno il tipo di vetro e fosforo sulla luminosità
del televisore?
•
In che modo l'interazione della temperatura e dello zucchero
influenzano la dolcezza del cioccolato?
•
Che forma di ugello in un utensile da taglio a getto d'acqua
deve essere utilizzato per minimizzare il tempo necessario per
tagliare un foglio standard di metallo?
15
Piani Fattoriali Completi
Piani fattoriali completi
Creare un piano fattoriale
Creare un piano fattoriale
Con 2 soli fattori, l'opzione design permette solo un piano
fattoriale completo, che richiede 4 prove, 1 per ogni
combinazione di trattamento. Replicare questo piano 4 volte
vuol dire ottenere 16 prove.
1. Scegliere Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design.
Livelli dei fattori
Per default, Minitab nomina i fattori in ordine alfabetico come
segue: low = –1, high = +1. Nella Factors è possibile
specificare i nomi dei fattori e le impostazioni.
2. Cliccare Designs.
3. Da Number of replicates for corner points scegliere 4, quindi
cliccare OK.
4. Cliccare Factors.
5. Completare la finestra di dialogo come mostrato sotto.
Se si usano valori attuali per i livelli alti e bassi, Minitab pone
i coefficienti del modello in unità non codificate e in grafici
appropriati.
6. Cliccare OK in ogni finestra di dialogo.
Introduzione ai Piani Fattoriali
16
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Ogni colonna nel piano è identificata da un nome proprio.
Il foglio di lavoro contiene una colonna per ogni fattore e
colonne contenenti informazioni sul piano che Minitab richiede
per condurre l'analisi. Mentre si può cambiare il valore entro
la colonna, non si possono spostare le colonne senza
compromettere il piano.
Se si compromette il piano, bisogna andare in Define Custom
Factorial Design e ridefinire le colonne.
Cambiare l'ordine di visualizzazione
Si può visualizzare il piano sia per ordine delle prove che per
ordine normale. L'ordine delle prove è casuale, bisogna usare
quest’ordine quando si conduce l'esperimento. La
visualizzazione in ordine normale fa comprendere più
facilmente il piano generato.
Visualizzare i livelli dei fattori
Visualizzare i livelli dei fattori come valori reali o in unità
codificate. Quando viene visualizzato in unità di codifica, i
valori vengono codificati come livello basso e alto (-1, 1).
Nota Minitab utilizza un generatore di numeri casuali per determinare l'ordine
di esecuzione. Anche se l'ordine di esecuzione non corrisponderà all'ordine di
esecuzione mostrato qui, l'ordine standard corrisponderà.
Fase successiva
Usare Display Design per visualizzare il piano nell'ordine
(standard) di Yates e in unità codificate.
Introduzione ai Piani Fattoriali
17
Piani Fattoriali Completi
Verifica dell’ortogonalità
Per valutare l’ortogonalità di un piano, cambiare il foglio di
lavoro in un’unità codificata. Può essere più semplice
comprendere il piano con una visualizzazione in ordine
standard.
Visualizzazione del piano
1. Scegliere Stat > DOE > Display Design.
2. Completare la finestra di dialogo come illustrato di seguito.
Vantaggi di un piano ortogonale
•
I termini del modello sono stimati indipendentemente
(effetti e interazioni).
•
L`analisi è più semplice perché gli effetti sono indipendenti.
Quando si riduce un modello si possono rimuovere
contemporaneamente tutti i termini non significativi.
Minitab e i piani ortogonali
Usando Create Factorial Design, Minitab crea, per default,
un piano ortogonale. Quando un piano contiene unità non
codificate può non essere più ortogonale. Per questa ragione
Minitab usa sempre unità codificate per fare un’analisi.
3. Cliccare OK.
Introduzione ai Piani Fattoriali
18
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Ortogonalità
Quando i fattori di un piano sono ortogonali si possono
stimare gli effetti di ciascun fattore indipendentemente.
Se due colonne sono ortogonali una rispetto all'altra esistono
le seguenti condizioni:
•
•
La somma di ogni colonna è zero.
La correlazione tra le due colonne è zero.
Ordine standard
L'ordine standard per i sei fattori Pressure e PrimType, è
indicato nel foglio di lavoro sulla destra. La colonna Pressure
alterna –1 e +1; la colonna PrimType alterna due –1s e due
+1.
Repliche
Replicare un esperimento vuol dire che ogni combinazione
di fattore ha più di una prova. Questo esempio include quattro
repliche. Le prime quattro righe rappresentano una singola
replica dell`esperimento, con un trattamento per riga. Questo
modello è ripetuto tre volte per un totale di quattro repliche.
Introduzione ai Piani Fattoriali
19
Piani Fattoriali Completi
Aggiungere dati di risposta
La variabile di risposta è la forza d'adesione della vernice con
l'iniettore. Si aggiunge la misurazione (risposta) al foglio di
lavoro digitando i dati in una nuova colonna.
Finestra dei Dati
Prima di inserire i dati come mostrato a destra assicurarsi che
il piano sia disposto in ordine standard. Questo assicura che
in Adhesion i dati siano inseriti nelle righe appropriate.
2. Nominare la colonna C7 Adhesion.
Introduzione ai Piani Fattoriali
1. Premere [Ctrl]+[D] per muoversi nella finestra Data.
3. Digitare i seguenti valori nelle righe 1–16 di Adhesion (C7):
4,52 4,55 5,05 4,88 4,48 4,37 4,89 4,75 4,29 4,43 5,14 4,91 4,60
4,25 4,95 4,71
20
Piani Fattoriali Completi
Visualizzare il piano
Visualizzare le unità codificate e non codificate
Visualizzazione del Piano
Display Design mostra i dati in unità codificate o non
codificate e in ordine standard o in ordine di esecuzione delle
prove.
1. Scegliere Stat > DOE > Display Design.
Minitab analizza sempre i dati in unità codificate senza badare
alla disposizione del piano.
2. Sotto Units for factors scegliere Uncoded units.
3. Cliccare OK.
Fase successiva
Visualizza una tabella riassuntiva per indagare sull'adesione
media per ogni combinazione di trattamento.
Introduzione ai Piani Fattoriali
21
Piani Fattoriali Completi
Definire gli effetti dei fattori
Prima di interpretare i risultati dell'analisi bisogna capire gli
effetti dei fattori.
Creare una tabella riassuntiva che contenga l'adesione media
per ogni combinazione di pressione e tipo d'iniettore, cosi
come l’adesione media complessiva per ogni livello di
pressione e per tipo di iniettore.
Introduzione ai Piani Fattoriali
Statistiche Descrittive
1. Se non si inseriscono i dati di risposta, aprire il file Primer.MPJ.
2. Scegliere Stat > Tables > Descriptive Statistics.
3. Completare la finestra di dialogo come mostrato sotto.
22
Piani Fattoriali Completi
Definire gli effetti dei fattori
Si possono usare la forza di adesione media per calcolare gli
effetti principali per ogni fattore.
Statistiche descrittive
4. Cliccare Associated Variables. In Associated
variablesResponses, digitare Adhesion.
5. In Display, cliccare Means.
6. Cliccare OK in ogni finestra di dialogo.
Introduzione ai Piani Fattoriali
23
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Effetti Principali
Utilizzare la tabella delle medie per capire l'effetto dei fattori.
Un effetto è la differenza tra la risposta media tra il livello alto
(+1) e quello basso (-1) di un fattore.
Tabulated statistics: Pressure, PrimType
Rows: Pressure
One
Columns: PrimType
Two
All
Gli effetti medi sono calcolati utilizzando le medie di tutte le
colonne e di tutte le righe.
310
4.473 5.007 4.740
4
4
8
•
380
4.400 4.813 4.606
4
4
8
All
4.436 4.910 4.673
8
8
16
L'effetto principale per Pressure è la risposta media a
Pressure 380 meno la risposta media a Pressure 310:
4,606 – 4,740 = –0,134
In media, l'adesione è di 0,13 più bassa con la pressione
più elevata.
•
Cell Contents: Adhesion : Mean
Count
L'effetto principale per il tipo di primer è la risposta media
del tipo di primer Two meno la risposta media del tipo di
primer Uno:
4,910 – 4,436 = 0,474
In media, l'adesione è 0,47 più grande con il tipo di
primer Two.
Introduzione ai Piani Fattoriali
24
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Interazione effetti
Gli effetti dell'interazione sono calcolati utilizzando le medie
all'interno di ogni trattamento. In questo caso, gli effetti
dell'interazione sono calcolati utilizzando queste medie:
•
•
•
•
4,47 per 310 e Uno
5,01 per 310 e Two
Tabulated statistics: Pressure, PrimType
Rows: Pressure
One
L'effetto di interazione tra la pressione e il tipo di iniettore è:
Two
All
310
4.473 5.007 4.740
4
4
8
380
4.400 4.813 4.606
4
4
8
All
4.436 4.910 4.673
8
8
16
4,40 per 380 e Uno
4,81 per 380 e Two
Columns: PrimType
Cell Contents: Adhesion : Mean
Count
(310:Uno + 380:Two)/2 – (310:Two + 380:Uno)/2
= (4,473 + 4,813)/2 – (5,007 + 4,400)/2
= –0,061
Fase successiva
Analizzare i dati sperimentali utilizzando queste due fasi:
1. Adattare più modelli per trovare quello adeguato ai dati.
2. Usare i grafici fattoriali per visualizzare gli effetti principali
e le interazioni e per trovare la migliori regolazioni dei
fattori.
Introduzione ai Piani Fattoriali
25
Piani Fattoriali Completi
Adattare il modello
Se si inserisce più di una risposta, Minitab esegue un'analisi
separata per ciascun modello.
Analizzare un Piano Fattoriale
Dopo aver selezionato la risposta, cliccare Terms per
selezionare il modello.
2. Completare la finestra di dialogo come mostrato sotto.
Introduzione ai Piani Fattoriali
1. Scegliere Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design.
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Piani Fattoriali Completi
Adattare il modello
Per default, Minitab include il massimo numero di termini
possibili nel modello. Questi termini sono mostrati in Selected
Terms. È possibile analizzare il modello scelto da Minitab o
specificare un modello diverso.
Selezionare i Termini
Analizzare un Piano Fattoriale
3. Cliccare Terms.
4. Verificare che la finestra di dialogo appaia come quella mostrata
sotto.
Ci sono due modi per selezionare i termini modello:
•
Spostare i termini desiderati da Available Terms a
Selected Terms utilizzando le frecce o il doppio click su
ogni termine.
•
Specificare i termini del secondo l'ordine. Per esempio,
includere i termini attraverso l'ordine 3 per inserire gli
effetti principali, le interazioni a due vie e le interazioni a
tre vie nel modello.
5. Cliccare OK.
Introduzione ai Piani Fattoriali
27
Piani Fattoriali Completi
Adattare il modello
Per determinare se i termini inseriti nel modello abbiano degli
effetti significativi usare:
•
I p-values generati nella tabella degli effetti nella finestra
di Session
•
Grafico di Pareto degli effetti
Analizzare un Piano Fattoriale
6. Cliccare Graphs.
7. Verificare che la finestra di dialogo sia come quella illustrata
di seguito.
Alfa (α)
k
In un piano 2 , α è il rischio di concludere erroneamente che
un fattore abbia un affetto significativo.
Bisogna scegliere un livello α appropriato per gli obiettivi
dell'esperimento. Quando si prendono le decisioni finali del
processo da un DOE fattoriale, un livello basso di α può essere
appropriato (per esempio, 0,05). I piani fattoriali possono
mostrare diversi fattori e aiutare a identificare quelli importanti
per un ulteriore esperimento. Nelle applicazioni di screening
si possono scegliere dei livelli α più alti (per esempio, 0,10).
8. Cliccare OK in ogni finestra di dialogo.
Introduzione ai Piani Fattoriali
28
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Una carta di Pareto degli effetti mostra quali termini
contribuiscono alla variabilità nella risposta. Qui, il diagramma
mostra quali fattori influenzano significativamente l'adesione
e la relativa dimensione di ogni effetto.
Questo grafico mostra quanto segue:
•
I termini vengono rappresentati dall'alto verso il basso in
ordine decrescente di importanza.
•
La linea di riferimento al livello di significatività α = 0,05;
ogni barra che si estende oltre questa linea è un termine
significativo.
La carta di Pareto mostra che sia la pressione sia l'iniettore
hanno un impatto significativo sull'adesione della vernice.
L'interazione (AB) non è significativa.
Mentre la carta di Pareto mostra una chiara visualizzazione
della grandezza di un effetto, non fornisce informazioni circa
la direzione dell'effetto.
Introduzione ai Piani Fattoriali
29
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Gli effetti precedentemente calcolati usando la tabella delle
medie sono messi nella tabella degli effetti e dei coefficienti
stimati. Gli effetti sono:
•
•
•
–0,1337 per la pressione
0,4738 per tipo di inettore (primer type)
–0,0612 per l'interazione pressione-tipo di iniettore
Usare i p-values nella tabella degli effetti stimati e dei
coefficienti per determinare quali termini sono statisticamente
significativi al livello α = 0,05:
•
Pressure e tipo di iniettore sono significativi (P-Value =
0,041 e P-Value = 0,000).
•
L'effetto dell'interazione non è significativa (P-Value =
0,315).
Fase successiva
Escludere il termine di interazione e riesaminare il modello.
Introduzione ai Piani Fattoriali
Factorial Fit: Adhesion versus Pressure, PrimType
Analysis of Variance
Source
DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value
Model
3 0.98432 0.32811
24.06
0.000
Linear
2 0.96931 0.48466
35.54
0.000
Pressure
1 0.07156 0.07156
5.25
0.041
PrimType
1 0.89776 0.89776
65.84
0.000
2-Way Interactions
1 0.01501 0.01501
1.10
0.315
Pressure*PrimType 1 0.01501 0.01501
1.10
0.315
Error
12 0.16362 0.01364
Total
15 1.14794
Model Summary
S
R-sq R-sq(adj) R-sq(pred)
0.116771 85.75%
82.18%
74.66%
Coded Coefficients
Term
Effect
Coef SE Coef T-Value P-Value VIF
Constant
4.6731 0.0292 160.08
0.000
Pressure
-0.1337 -0.0669 0.0292
-2.29
0.041 1.00
PrimType
0.4738 0.2369 0.0292
8.11
0.000 1.00
Pressure*PrimType -0.0612 -0.0306 0.0292
-1.05
0.315 1.00
30
Piani Fattoriali Completi
Riduzione del modello
Analizzare un Piano Fattoriale
Per escludere il termine di interazione dal modello applicare
uno dei seguenti metodi:
•
Da Include terms in the model up through order,
scegliere 1.
•
•
Visualizzare AB nella casella Selected Terms e cliccare
1. Scegliere Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design
o premere Ctrl+E.
2. Cliccare Terms.
.
Cliccare due volte il termine AB nella casella Selected
Terms.
3. Completare la finestra di dialogo come mostrato sotto.
Minitab utilizza i termini restanti (A e B) per spiegare la
variabilità nell'adesione della vernice.
Il modello ridotto rimane gerarchico in Minitab. In un modello
gerarchico, se è inclusa una interazione, tutti i gli effetti
principali che compromettono l'interazione sono compresi
nel modello.
4. Cliccare OK.
Introduzione ai Piani Fattoriali
31
Piani Fattoriali Completi
Verificare le assunzioni del modello
Per confermare che l'analisi è valida, verificare tutte le ipotesi
circa il termine di errore del modello. Utilizzare grafici dei
residui per verificare che gli errori hanno le seguenti
caratteristiche:
•
•
•
Analizzare un Piano Fattoriale
5. Cliccare Graphs.
6. Completare la finestra di dialogo come illustrato di seguito.
Errori normalmente distribuiti.
Varianza costante per tutti i valori stimati
Randomizzazione rispetto alla variabile tempo
Nota Nel DOE, spesso si inizia con un modello completo e si eliminano,
successivamente, i termini che non sono significativi. Se si rimuovono
pochi termini rispetto al modello completo i residui possono essere
altamente strutturati, rendendo così difficile utilizzarli per verificare le
ipotesi del modello.
7. Cliccare OK in ogni finestra di dialogo.
Introduzione ai Piani Fattoriali
32
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Grafico di probabilità normale
I punti del grafico di probabilità normale dovrebbero seguire
approssimativamente una linea retta. Utilizzare questo grafico
per verificare che i residui non si discostano sostanzialmente
da una distribuzione normale.
Questo andamento...
Indica...
Non una riga retta
I residui non seguono una
distribuzione normale
Curvature (i residui seguono Code più o meno accentuate
una distribuzione asimmetrica) nella distribuzione
Punti lontano dalla linea
Esistenza di valori anomali
Cambiamento della pendenza Può mancare una variabile nel
modello
Per i dati di adesione della vernice, il grafico di probabilità
normale mostra che i residui seguono generalmente una linea
retta. Si assuma che i residui seguono una distribuzione
normale.
Si può anche usare il grafico di probabilità normale per
identificare i punti anomali, che sono i punti situati lontano
dalla maggior parte degli altri punti del diagramma. In questo
esempio il grafico non indica punti anomali.
Introduzione ai Piani Fattoriali
33
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Residuals versus fits
Usare il grafico dei residuals versus fits per verificare che i
residui siano disposti casualmente attorno allo zero.
Questo andamento...
Indica...
Curvilineo
Un termine quadratico può
mancare dal modello
Residui disposti a ventaglio o Varianza non costante dei
sparsi irregolarmente sui valori residui
fittati
Punti situati lontani dallo zero Esistenza di valori anomali
e dagli altri punti
Per i dati di adesione della vernice, il confronto dei residui con
i valori fittati, indica una varianza costante dei residui. Il grafico
non indica punti anomali.
Introduzione ai Piani Fattoriali
34
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Residuals versus order
Il grafico dei residuals versus order mostra i residui in ordine
di raccolta dei dati (i dati sono stati inseriti nello stesso ordine
in cui sono stati raccolti). Se i risultati sono influenzati
dall'ordine di raccolta dei dati, i residui vicini possono essere
correlati e quindi non indipendenti.
Questo andamento...
Indica...
I residui non sono
I residui non sono
casualmente disposti attorno indipendenti rispetto al
allo zero
tempo di esecuzione delle
prove sperimentali
I residui sono disposti
I residui sono indipendenti
casualmente attorno allo zero
Punti lontano dallo zero
Esistenza di valori anomali
I residui sono disposti casualmente attorno allo zero
Introduzione ai Piani Fattoriali
35
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Nella tabella degli effetti stimati, i p-values bassi (0,040 e 0,00)
per entrambi i fattori indicano che la pressione dello spruzzo
e il tipo di iniettore hanno un impatto significativo
sull'adesione della vernice.
Notare che:
•
L'effetto della pressione è negativo (–0,1337), perché
l'adesione della vernice è più alta, in media, ad un livello
di una pressione più basso.
•
L'effetto dei tipo di inettore è positivo (0,4738), perchè il
primer type Two ha una media di adesione più elevata
rispetto al primer type One.
Introduzione ai Piani Fattoriali
Factorial Fit: Adhesion versus Pressure, PrimType
Coded Coefficients
Term
Effect
Coef SE Coef T-Value P-Value VIF
Constant
4.6731 0.0293 159.46
0.000
Pressure -0.1337 -0.0669 0.0293
-2.28
0.040 1.00
PrimType 0.4738 0.2369 0.0293
8.08
0.000 1.00
36
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
S
Analysis of Variance
S è una stima della deviazione standard dell'errore nel
modello. S è la radice quadrata dell'errore residuo Adj MS,
spesso chiamato MSE.
2
2
R e predicted R
2
R è la proporzione della variabilità nella risposta spiegata
dall'equazione di regressione. Così, l'84,4% della variazione
del fattore Adhesion può essere spiegato in relazione alla
pressione e al tipo di iniettore.
R2 corretto è sensibile al numero di termini nel modello ed è
utile per comparare modelli con numero di termini diversi.
Source
Model
Linear
Pressure
PrimType
Error
Lack-of-Fit
Pure Error
Total
DF
2
2
1
1
13
1
12
15
Adj SS
0.96931
0.96931
0.07156
0.89776
0.17863
0.01501
0.16362
1.14794
Adj MS F-Value P-Value
0.48466
35.27
0.000
0.48466
35.27
0.000
0.07156
5.21
0.040
0.89776
65.33
0.000
0.01374
0.01501
1.10
0.315
0.01364
Model Summary
S
R-sq R-sq(adj) R-sq(pred)
0.117221 84.44%
82.05%
76.43%
Il valore di R2 Predicted [R-Sq(pred)] riflette come il modello
sarà capace di prevedere dati futuri.
bontà di adattamento
La tabella dell'ANOVA comprende un test per la di mancanza
di adattamento. L'ipotesi nulla è che questo modello si adatta
ai dati di risposta.
Il p-value (0,315) è maggiore di 0,05, indica che non si deve
rifiutare l'ipotesi nulla. In generale, rifiutare l'ipotesi nulla indica
che sono stati omessi termini importanti dal modello.
Introduzione ai Piani Fattoriali
37
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Equazione predittiva
Regression Equation in Uncoded Units
Il modello nelle unità (reali) non codificate è:
Adhesion = 5.332 - 0.001911 Pressure + 0.2369 PrimType
Adhesion = 5,332 – 0,001911 * Pressure + 0,2369 *
PrimType
Notare che per i fattori testuali, il coefficiente in unità non
codificate è lo stesso che per unità codificate. In questo
esempio, Primer type One è codificato come –1 e primer type
Two è codisifato come +1.
Fits and Diagnostics for Unusual Observations
Obs Adhesion
Fit
Resid Std Resid
9
4.2900 4.5031 -0.2131
-2.02 R
R Large residual
Osservazioni inusuali
La tabella delle osservazioni inusuali indica che l'osservazione
9 è un punto anomalo, perché il suo residuo è più di 2
deviazioni standard dalla media di 0. I punti anomali spesso
capitano per caso, ma bisognerebbe controllarne la causa.
Fase successiva
Usare i grafici fattoriali per trovare le regolazioni di fattori che
ottimizzano la risposta.
Introduzione ai Piani Fattoriali
38
Piani Fattoriali Completi
Visualizzare la migliore combinazione
Dopo aver scelto il modello appropriato per i dati, usare i
grafici fattoriali per visualizzare i risultati.
Grafico dei fattori
1. Scegliere Stat > DOE > Factorial > Factorial Plots.
2. Completare la finestra di dialogo come mostrato sotto.
3. Cliccare OK.
Introduzione ai Piani Fattoriali
39
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Il grafico degli effetti principali indica che:
•
•
Una pressione bassa consente un'adesione forte.
L'iniettore di tipo Two consente un'adesione più forte
rispetto al tipo Uno.
Si dovrebbe confermare che gli effetti sul grafico sono
statisticamente significativi. In questo esempio, la tabella degli
effetti stimati e dei coefficienti indicano che la pressione e il
tipo di iniettore sono significativi.
Introduzione ai Piani Fattoriali
40
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Il grafico dell'interazione mostra che, senza badare al tipo di
iniettore, la pressione più bassa consente l'adesione più forte.
L'effetto di interazione tra la pressione e il tipo di iniettore è:
Le linee parallele suggeriscono che non c'è interazione tra il
tipo di iniettore e la pressione. Ancora più importante, il
p-value nell'analisi statistica (vedi pag. 30) indica che questa
interazione non è significativa.
Nota Il grafico dell'interazione è grigio perché questo termine non è
nel modello, come indicato dalla nota.
Introduzione ai Piani Fattoriali
41
Piani Fattoriali Completi
Visualizzare la migliore combinazione
Il grafico a cubo rappresenta il valore effettivo della risposta
per ciascuna combinazione di trattamento.
Grafico a cubo
1. Scegliere Stat > DOE > Factorial > Cube Plot.
2. Verificare che la finestra di dialogo sia come quella illustrata
di seguito.
3. Cliccare OK.
Introduzione ai Piani Fattoriali
42
Piani Fattoriali Completi
Interpretazione dei risultati
Siccome il piano ha solo due fattori, il grafico a cubo è un
quadrato. Dal grafico è possibile notare l'effetto congiunto
dei livelli delle regolazioni per entrambi i fattoril. Il miglior
valore dell'adesione (4,97688) si ottiene quando l'iniettore è
di tipo Two e viene utilizzato con bassa pressione.
Introduzione ai Piani Fattoriali
43
Piani Fattoriali Completi
Considerazioni finali
Riassunto e considerazioni
Considerazioni aggiuntive
L’esperimento indica che l’adesione è massimizzata quando
l’iniettore di tipo Two viene utilizzato a bassa pressione.
Il team della qualità deve considerare il costo di ogni tipo di
iniettore in rapporto ai risultati statistici per assicurare che il costo
di una migliore adesione della vernice sia giustificato. Si può
scegliere di utilizzare una regolazione di fattori inferiori a quelli
ottimali se il miglioramento non è tale da giustificare un sostanziale
aumento dei costi di produzione.
Per...
Usare...
Identificare i termini importanti Grafico di Pareto, grafico di
nel modello
probabilità normale degli
effetti o p-values nella
finestra Sessione
Ottenere informazioni riguardo La tabella dei coefficienti e
i termini costanti e fissi
degli effetti
Considerare l'effetto di
rimuovere
contemporaneamente due o
più termini
Test per la bontà di
adattamento
Valutare la normalità,
indipendenza e uguale
varianza dei residui
Grafici dei residui
Visualizzare gli effetti principali Grafici degli effetti principali
e le interazioni
e delle interazioni
Mostrare i risultati medi per
tutte le combinazioni di
trattamenti
Introduzione ai Piani Fattoriali
Grafico a cubo
44
Ottimizzatore di Risposta
Ottimizzatore di Risposta
Esempio 2: Ottimizzare l’adesione della vernice
Problema
Dati
Il team della qualità vuole confermare la migliore regolazione
per la pressione dello spruzzo e il tipo di iniettore usando i
metodi grafici dell'esempio precedente. Per fare ciò si usa
l'ottimizzatore di risposta.
PrimerComplete.MPJ
Variabile
Descrizione
Pressure
Pressione di spruzzo alimentato dall'iniettore
(310; 380 kPa)
PrimType
Tipo di iniettore (One, Two)
Adhesion
Forza richiesta per rimuovere la vernice dalla base
di metallo
Raccolta dati
Il team della qualità decide di condurre un esperimento
fattoriale completo che testi due livelli di pressione dello
spruzzo su ogni tipo di iniettore. Ogni combinazione di tipo
di iniettore e pressione di spruzzo è replicata quattro volte.
Gli operatori utilizzano l'iniettore su una superficie di alluminio
usando una pressione stabilita dello spruzzo. Dopo la
verniciatura di ogni campione applicano una vernice finale e
misurano la forza di adesione.
Minitab inserisce, tra le variabili del piano, anche le seguenti
colonne: StdOrder, RunOrder, PtType, e Blocks.
Strumenti
•
Response Optimizer
Introduzione ai Piani Fattoriali
45
Ottimizzatore di Risposta
Ottimizzatore di risposta
Che cos’è l’ottimizzatore di risposta
Quando usare l’ottimizzatore di risposta
Molti piani sperimentali comprendono una regolazione di
fattori ottimali determinanti che producono il valore migliore
per la risposta interessata. L'ottimizzatore di risposta usa un
approccio numerico basato sulla prova del modello più recente
per determinare una soluzione basata su criteri di
desiderabilità. Una risposta può essere minimizzata,
massimizzata o scelta per raggiiungere un valore target.
Usare l'ottimizzazione di risposte multiple per identificare la
combinazione delle regolazioni delle variabili in entrata che
congiuntamente ottimizzano una singola risposta o un set di
risposte. L'ottimizzazione congiunta deve soddisfare i requisiti per
tutte le risposte nel set.
La desiderabilità ha un'estensione da 0 a 1. Uno rappresenta
il caso ideale, zero indica che una o più risposte sono fuori
dai limiti accettabili. Siccome la risposta si sposta dal target
verso i confini più alti o più bassi (dipendendo dall'obiettivo),
la desiderabilità decresce.
Nota Sebbene l'ottimizzazione numerica assieme alle analisi dei grafici
possano dare informazioni importanti, non sono la sostituzione di un esperto
in materia. Bisogna assicurarsi di utilizzare informazioni rilevanti di conoscenza,
principi teorici e conoscenza acquisita attraverso l'osservazione o esperimenti
precedenti quando si applicano questi metodi.
Perchè usare l’ottimizzatore di risposta
Utilizzare l'ottimizzatore di risposta per confermare i risultati dei
grafici o per determinare la regolazione ottimale di fattori basata
sul modello provato.
Introduzione ai Piani Fattoriali
46
Ottimizzatore di Risposta
Ottimizzare la risposta
Usando l’adattamento del modello dell'esempio precedente
applicare l'ottimizzatore di risposta per determinare la
regolazione migliore per il tipo di iniettore e pressione di
spruzzo. Ricordare che il modello finale contiene solo gli effetti
principali per la pressione e il tipo di iniettore.
Ottimizzatore di Risposta
In questo esempio il fine è di massimizzare la forza di
adesione.
3. Completare la finestra di dialogo come mostrato sotto.
Introduzione ai Piani Fattoriali
1. Aprire PrimerComplete.MPJ.
2. Scegliere Stat > DOE > Factorial > Response Optimizer.
47
Ottimizzatore di Risposta
Ottimizzare la risposta
Obiettivo
Ottimizzatore di Risposta
Quando si utilizza l'ottimizzatore di risposta, non è necessario
specificare alcun valore sotto Setup. Tuttavia, se certi valori
sono desiderati o ci sono più risposte, i numeri possono essere
inseriti per il minore, il target e/o il superiore per raffinare
l'ottimizzazione.
4. Cliccare Setup.
5. Completare la finestra di dialogo come mostrato sotto.
L'adesione target è di 5 unità e il valore d'adesione più basso
accettabile è di 4,8 unità. Siccome la risposta si sposta dal
target verso i confini più alti o più bassi (dipendendo
dall'obiettivo), la desiderabilità decresce.
Notare che quando l'obiettivo viene cambiato per
massimizzare, soltanto i valori più bassi e target sono richiesti,
i più alti non lo sono.
Peso
Nell'approccio all'ottimizzazione di Minitab, ogni valore di
risposta viene trasformato con una funzione specifica di
desiderabilità. Il peso definisce la forma della funzione di
desiderabilità per ogni risposta. È possibile selezionare un
peso tra 0,1 e 10 per sottolineare o meno l'importanza di
raggiungere il valore obiettivo:
•
•
Un peso < 1 assegna una minore enfasi al target
•
Un peso > 1 assegna maggiore importanza al target
6. Cliccare OK in ogni finestra di dialogo.
Un peso pari a 1 assegna pari importanza al target e agli
estremi
Introduzione ai Piani Fattoriali
48
Ottimizzatore di Risposta
Interpretazione dei risultati
Desiderabilità
Minitab ottimizza la desiderabilità complessiva dell'adesione
(D = 0,8844).Poichè, in questo caso, abbiamo una sola risposta,
la desiderabilità totale coincide con la desiderabilità
individuale.
Le impostazioni necessarie per raggiungere il valore massimo
previsto di Adhesion (4,9769) sono:
Pressure = 310
PrimType = Two
Se si sposta la linea rossa sul grafico usando il mouse, si può
vedere come la modifica di tali impostazioni influisce la
risposta prevista.
Nota Anche se Minitab utilizza questo modello per trovare la migliore
risposta prevista, questo risultato può non essere il più pratico e
conveniente. È necessario utilizzare l'ottimizzatore di risposta per vedere
se altre impostazioni dei fattori possono portare a risultati più desiderabili.
Introduzione ai Piani Fattoriali
49

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