Esercizi sulla Cinematica

Università degli Studi di Ferrara Corso di laurea in Fisica Fisica Generale I, A.A. 201415
Esercizi sulla Cinematica
17/10/2014
Problema 1. Un automobilista, quando si trova a una distanza
da un semaforo,
vede accendersi la luce rossa. Si sa che il rosso ed il verde restano accesi alternativamente per
un tempo T =30 s ciascuno (si consideri il giallo come un avvertimento abbinato al verde).
L'autista vuole coprire la distanza d in meno di due minuti, procedendo con velocità
costante, e naturalmente passare il semaforo col verde. Quali valori può avere il modulo della
velocità? Problema 2. Un treno si muove con accelerazione tangenziale a costante per un tratto lungo
L. All'inizio la velocità ha modulo v : quanto vale il suo modulo v alla fine? E quanto
impiega il treno a percorrere il tratto lungo L ?
Primo caso: a =5 cm/s L=4 km , v =72 km /h ; a =−7 cm/s L=2 km , v =108 km/ h.
d =450 m
t
0
2,
t
2,
0
t
0
Problema 3. Un automobilista sta viaggiando in rettilineo con una velocità di modulo
quando vede diventare rosso un semaforo distante d =250 m ; comincia
immediatamente a frenare in modo che l'accelerazione risulti costante per i primi 50 m , poi
smette di frenare e prosegue con velocità costante per i successivi 200 m arrivando al
semaforo proprio quando si accende il verde. Sapendo che il rosso rimane acceso per un tempo
T =30 s , calcolare l'accelerazione dell'automobile durante la frenata, la durata della frenata
e la velocità con cui l'automobile arriva al semaforo. Problema 4. Un ciclista procede con velocità costante, di modulo v , e, in un certo istante, vede
davanti a sè, a una distanza l , un motociclista che parte da fermo e si muove nello stesso
verso con un'accelerazione costante tale che il ciclista non lo possa mai raggiungere. Trovare
quali valori può avere il modulo a dell'accelerazione. Esprimere inoltre, in funzione di a , il
v 0=54 km /h ,
Docente: Cristiano Guidorzi 1
Assistente esrecizi: Riccardo Fabbri
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valore minimo della distanza
e l=60 m.
Problema 5. Un punto
d
fra ciclista e motociclista durante il moto. Sia
v=40 km /s
si muove su un piano in cui sono fissati due assi cartesiani
ortogonali x e y. Nell'istante iniziale P si trova nell'origine ed ha una velocità nota ⃗v
(che forma un angolo θ con l'asse x ). Durante il moto l'accelerazione di P è costante e
parallela all'asse y. Determinare la forma della traiettoria di P. Determinare inoltre
l'accelerazione in corrispondenza della quale la traiettoria passa per il punto B di coordinate
assegnate ( x ≠0, y ) e calcolare il tempo che P impiega per andare alla posizione iniziale
alla posizione B.
B
P
B
Problema 6. Un sasso
praticamente puntiforme, viene lanciato da una data posizione con
una velocità iniziale di modulo v e inclinazione θ rispetto all'orizzontale. Il moto di P
con buona approssimazione avviene con accelerazione costante, verticale discendente di
modulo g e la traiettoria in generale è parabolica. Scegliendo una terna cartesiana
ortogonale con l'origine nella posizione iniziale P , l'asse x orizzontale e nel piano del
moto, l'asse z verticale ascendente, la parabola è rappresentata dall'equazione P,
z=−x 2
g
2v 2 cos 2 θ
+ x⋅tgθ .
Fissato v , per quali valori di θ il sasso colpisce il bersaglio praticamente puntiforme B
di coordinate ( x , 0, z )? In corrispondenza di questi valori di θ , quali sono le coordinate
della posizione in cui P raggiunge la quota massima? Si supponga v=20 m/ s , g=9.8 m /s , x =30 m e z =7 m.
B
B
2
B
Docente: Cristiano Guidorzi 2
B
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Problema 7. Un punto si muove lungo un'ellisse con la velocità di modulo v costante.
Ponendo il polo O in un fuoco e l'asse polare passante per l'altro fuoco, l'equazione
dell'ellisse in coordinate polari risulta:
P
con
p
ed
ϵ
r=
p
1−ϵ cosθ
costanti. Esprimere la velocità areolare
1
⃗
A= ⃗
OP∧ ⃗v
2
in funzione di
θ.
Soluzioni
Problema 1. Si consideri l'automobile come un punto che si muove di moto uniforme kugo la
sua traiettorai, e si scelga come istante iniziale t=0 quello in cui la distanza fra l'automobile
ed il semaforo è d , come origine s=0 la posizione in cui si trova l'auto nell'istante iniziale
e come verso positivo quello in procede il moto. Indicando con v il modulo incognito della
velocità, l'equazione oraria risulta s (t)=v⋅t. La posizione del semaforo è data da s=d ; si
sa inoltre che l'automobile passa il semaforo con il verde, perciò l'istante t in cui passa deve
cadere nella seconda metà del primo o del secondo minuto a partire dall'istante iniziale:
T <t < 2T oppure 3T<t <4T. Corrispondentemente il valore di v , cioè v=d /t , deve
essere compreso in uno dei due intervalli 1
1
1
1
d
d
<v< ,
2T
T
d
d
<v < .
4T
3T
Introducendo i valori numerici, si ha:
27 km /h< v<54 km /h ,
13.5 km/ h<v<18 km /h ,
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Problema 2. Considerndo il treno come un punto materiale, si ha un moto uniformemente
accelerato. Scegliendo l'istante in cui il treno inizia a percorrere il tratto considerato come
istante iniziale (t = 0), la posizione come origine sulla traiettoria (s=0) e il verso del moto
come verso positivo, 'l'equazione oraria è
s (t)= 1 a t + v t
2
2
t
0
e la componente (tangenziale della velocità) in un istante generico Nell'istante finale tf
risulta perciò
Per trovare v bisogna prima ricavare
s˙ (t)=a t t+v 0 .
v=∣a t t+ v 0∣.
che corrisponde ad una distanza percorsa
tf ,
L,
cioè
1
L= at t 2f + v 0 t f .
2
Risolvendo questa equazione di secondo grado, esscartando la soluzione negativa, si ottiene v +2a L−v
t = √
2
0
f
Sostituendo nell'espressione di v
at
0
.
e semplificando si trova:
Introducendo i valori numerici:
primo caso: secondo caso: t
√
v= v 20 + 2a t L .
v=28.3 m/s=101.8 km /h , t f =165.7 s ;
v=24.9 m/s=89.6 km/ h , t f =72.9 s.
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Problema 3. Si consideri l'automobile come un punto che si muove su una traiettoria
rettilinea conla legge oraria del moto uniformemente accelerato per i primi 50m, r con la legge
oraria del moto uniforme per i successivi 200m. Studiamo separatamente queste due fasi del
moto. Per la prima, scegliendo l'istante iniziale e l'origine in corrispondenza dell'inizio della
frenata ed il verso positivo concorde con quello della velocità, si può scrivere :
s (t)=− 1 a t + v t , s˙ (t)=−a t+ v ,
2
2
essendo
ha: 0
0
il modulo dell'accelerazione incognita. Nell'istante
1
s =− a t +v t , v=−a t +v ,
a
1
2
2
1
1
0 1
t1
in cui cessa la frenata si
0
dove s =50 m e v è il modulo della velocità incognita che rimane costante nella seconda
fase del moto (fino al semaforo). In questa seconda fase si può scegliere l'istante iniziale e
l'origine coincidenti con l'istante finale e con la posizione finale della prima fase, per cui
risulta s (t)=v t , e, nell'istante in cui l'auto arriva al semaforo, s =v t , o anche
s =v (T −t ) , essendo s =200 m la lunghezza del secondo tratto di strada percorso e
t =( T −t ) il tempo impiegato a percorrerlo. Risolvendo il sistema delle tre equazioni con
s =v (T −t ) , si ottiene una equazione di secondo grado in t :
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
v 0 t 21−(2s1 + s2 + v 0 T ) t 1 +2s 1 T =0.
Introducendo i valori numerici le due soluzioni risultano: 45.6 s e 4.38 s; accettiamo solo la
seconda, dovendo essere t <T . Dall'equazione su s e v si ricava allora
1
a=
2v 0
t1
−
2s1
t 21
=1.64 m /s 2 ,
1
e v=
2s 1
t1
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−v 0=7.81 m/s=28.1 km/h.
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Problema 4. Consideriamo il motociclista ed il ciclista come due punti che si muovono sulla
stessa traiettoria rettilinea, il primo con moto uniformemente accelerato ed il secondo con moto
uniforme. Scegliendo come istante iniziale quello in cui parte il motociclista (con velocità
iniziale nulla), come origine la posizione iniziale del ciclista e come verso positivo quello del
moto, le due equazioni orarie sono:
1
s 1 (t)= a t 2 + l ,
2
e s 2 (t )=v t .
La lunghezza s (t) del tratto di strada compreso fra l'origine e la posizione del motociclista
è richiesta essere sempre, ad ogni istante, maggiore di quella s (t ) relativa al ciclista nello
stesso istante:
1 a t +l> vt.
1
2
2
2
Questa disuguaglianza è soddisfatta per t=0; per t>0 essa equivale alla seguente:
1 a t +l> vt.
2
2
Affinché la costante a sia sempre maggiore della funzione del tempo al secondo membro,
occorre e basta che a sia maggiore del valore massimo di tale funzione. La funzione
f (t)= 2v − 2l
t
l
l
t= , positiva per t= , e tende a zero per t →∞ .
v
v
l
v2
La sua derivata si annulla nell'istante t> , quando la funzione vale f (t1 )= , e questo è
v
2l
è negativa per l
0<t< ,
v
t2
nulla per il massimo valore della funzione (verificabile esaminando il segno della derivata seconda).
In conclusione il modulo a dell'accelerazione del motociclista deve superare un determinato
valore: a > v (numericamente: a >1.03 m/ s ).
2
2
2l
Docente: Cristiano Guidorzi 6
Assistente esrecizi: Riccardo Fabbri
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Problema 5. L'accelerazione di un punto che si muove nel piano xy può essere scritta
come ⃗a = x¨ ̂i + y¨ ̂j . Essendo l'accelerazione di P parallela all'asse y, la sua componente secondo
l'asse x è nulla: x¨ =0 ; essendo inoltre l'accelerazione di P costante, è costante anche la sua
componente secondo l'asse y: y¨ =k. Integrando queste due equazioni differenziali rispetto al
tempo si ottiene: x˙ =cost1 , y˙ =kt +cost2. Le due costanti di integrazione si determinano
ricordando che x˙ e y˙ sono le componenti cartesiane della velocità e quindi sono note
nell'istante iniziale:
x˙ =v cos θ , y˙ =kt+ v sin θ .
Integrando ancora, e ricordando che nell'istante iniziale P si trova nell'origine e quindi x e y
risultano nulle, si ha:
x˙ =v cosθ , y˙ =kt+v sin θ .
La proiezione di P sull'asse x si muove di moto uniforme, quella sull'asse y di moto
uniformemente accelerato. Esprimere le coordinate in funzione del tempo significa assegnare la
posizione di P in ogni istante, cioè dare la traiettoria in forma parametrica. Per avere
l'equazione cartesiana della traiettoria basta eliminare il parametro t e si ottiene, nell'ipotesi
che l'angolo θ non sia retto (per θ= π /2 è cosθ=0, x (t )=0 ∀ t impossibile per ipotesi):
⃗a
y=x 2
k
2v2 cos 2 θ
+ x tg θ .
Scartando il caso k =0 per cui il moto non risulterebbe uniformemente accelerato, come
invece ricavato in precedenza, risulta una parabola con asse parallelo all'asse y. La traiettoria
deve passare per il punto B assegnato, per cui:
k=
2v2 cos2 θ
(y B / x B + x B tgθ).
xB
L'istante t in cui P si trova nella posizione B si ricava usando la traiettoria in forma
parametrica: x =v cosθ⋅t .
B
B
B
Docente: Cristiano Guidorzi 7
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Problema 6. Se il punto P nel suo moto arriva a colpire B, vuol dire che le coordinate di B
soddisfano l'equazione della parabola: z B=−x 2B
g
2
2v cos 2 θ
In questa equazione l'unica incognita è
da cui: 1
2
cos θ
θ:
+ x B⋅tg θ .
per ricavarla ricordiamo che =1+tg 2 θ ;
g x 2B 2
gx 2B
⋅tg θ−x B tgθ+( z B + 2 )=0 .
2v 2
2v
Le due soluzioni sono θ1=61o 17 ' , θ2 =41o 51 ' ;
1
2
cos θ
=1+tg 2 θ ;
si hanno cioè due velocità
di ugual modulo ma diversa inclinazione, e quindi due diverse parabole con cui si può colpire il
bersaglio B. Per queste due parabole le coordinate della quota massima si ottengono
considerando che in quel punto deve essere dz ( x)/ dx=0, cioè
z B=−x 2B
g
2v 2 cos 2 θ
Le corrispondenti ascisse risultano pertanto essere
z =15.7 m e z =9.1 m.
1
+ x B⋅tg θ .
x 1=17.2 m
e
x 2=20.3 m ,
mentre le quote
2
Problema 7. Indicando con
r̂
il versore radiale e con
θ̂
quello trasverso risulta per la
velocità areolare
1
1
̂ 1 r 2 θ(
̂
⃗
˙ r̂ ∧θ).
A= ⃗
OP∧ ⃗v = (r r̂ )∧( r˙ r̂ + r θ˙ θ)=
2
2
2
Docente: Cristiano Guidorzi 8
Assistente esrecizi: Riccardo Fabbri
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Usando l'equazione dell'ellisse e definendo ⃗
A=
k̂ =̂r ∧θ̂
p2 θ˙
2(1−ϵcos θ)2
si ottiene k˙
ovvero, la velocità areolare nei moti piani ha sempre direzione costante. Per far sì che ⃗A sia espressa in funzione della sola θ calcoliamo modulo della velocità v è costante per ipotesi, si può scrivere r˙ +r
ancora l'equazione dell'ellisse
2
r˙ =
e sostituendo le espressioni di [
Ricordando che il
θ˙ =v , e utilizzando
˙
θ.
2
2
2
dr ˙
p ϵsinθ ˙
θ=−
θ,
dθ
(1−ϵ cosθ)2
e r
nella espressione del modulo r˙
p 2 ϵ2 sin2 θ
4
(1−ϵ cos θ)
+
p2
2
( 1−ϵ cosθ)
v
si ottiene:
] θ˙ 2=v2 .
Con alcune semplificazioni, segue:
˙
θ=±
v (1−ϵcosθ)2
√
2
p 1+ ϵ −2 ϵ cosθ
.
L'ambiguità del segno corrisponde all'ambiguità nel senso di percorrenza dell'ellisse:
supponendo che il punto P si muova nel senso in cui θ cresce, vale il segno positivo.
La velocità risulta allora espressa in funzione di θ nel modo seguente:
⃗
A =±
vp
2 √ 1+ϵ −2 ϵcosθ
2
Docente: Cristiano Guidorzi 9
̂
k.
Assistente esrecizi: Riccardo Fabbri

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