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Simulazione Sperimentale 2013/14
ANNO SCOLASTICO 2013/14
SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL’ESAME DI STATO
INDIRIZZO: SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Il candidato risolva uno dei problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.
Problema 1
Si consideri una circonferenza con A e B estremi di una corda di lunghezza 1 e AC diametro.
a) Posto BC = x , si esprima in funzione di x il rapporto fra l’area del triangolo ABC e quella del
quadrato costruito sul diametro, provando che è dato da:
x
.
f ( x) =
2(1 + x 2 )
Indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema geometrico, si studi la funzione
f (x ) , si rappresenti il suo grafico γ e si dimostri che i punti di flesso sono allineati.
b) Si scriva l’espressione del valor medio di f (x) nel generico intervallo [0; h ] , con h > 0 ; se ne
determini poi il limite al tendere di h a + ∞ .
c) Considerato il fascio di rette di equazione y = mx , si stabilisca per quali valori di m esse intersecano γ anche in punti Q diversi dall’origine; si calcoli quindi l’area Σ della regione di piano
del primo quadrante sottesa al grafico di γ fra i punti O e Q.
d) Detta p la parabola passante per l’origine e con vertice nel punto di massimo assoluto della funzione f (x ) , si determini m in modo che l’area Σ sia uguale a quella del segmento parabolico
formato da p con l’asse delle ascisse.
e) Sia L la regione di piano delimitata da γ e dall’asse delle ascisse con 0 ≤ x ≤ xF , essendo x F
l’ascissa del punto di flesso di γ che si trova nel primo quadrante. Si calcoli il volume del solido
che ha per base L e le cui sezioni ottenute con piani perpendicolari all’asse delle ascisse sono
rettangoli di altezza x, dove x è l’ascissa del piano di sezione.
Problema 2
Sia data la funzione f ( x) = ln(1 − kx) + kx 2 , dove k è un numero reale diverso da 0.
a) Si determini per quale valore di k la funzione ha un punto di flesso a tangente orizzontale.
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b) Verificato che tale valore è , si studi la funzione f (x) corrispondente rappresentando il suo
2
grafico γ.
c) Si scriva l’equazione della parabola p, con l’asse parallelo all’asse y, che interseca l’asse y in
(0;−1) e che nel punto di ascissa 2 ha per tangente la retta di equazione 2 x + y − 1 = 0 . Si calcoli
poi l’area della regione R di piano delimitata da γ e da p nell’intervallo [0;1].
d) Si determini il volume del solido che si ottiene facendo ruotare l’arco di parabola compreso tra
x = 0 e x = 2 di un giro completo intorno all’asse y.
e) Si disegni la curva simmetrica di γ rispetto alla retta x = 1 e si scriva la sua equazione.
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Questionario
1. Data la funzione:
⎧ 1x
⎪
f ( x) = ⎨e se x < 0 ,
⎪⎩0 se x = 0
si studi la continuità di f ʹ′(x) .
2. Angela vuole farsi una collana composta da perle di plastica colorate: 6 rosse, 10 arancioni e 8
gialle da chiudere con un fermaglio. Quante sono le possibili sequenze differenti? Qual è invece
il numero delle sequenze nel caso in cui Angela voglia mettere agli estremi perle di colore arancione? Quale sarà poi tale numero se Angela pensa a composizioni con estremi di colore uguale?
3. Si determinino quali condizioni devono soddisfare i due parametri reali a e b, con a > 0 , affin⎡ a ⎤
ché la seguente funzione verifichi le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo ⎢ ; b ⎥ , ana⎣ 2 ⎦
lizzando separatamente i casi b ≤ a e b > a :
⎧ x
⎪⎪ x − 2a se x ≤ a
.
f (x ) = ⎨
⎪− x
se x > a
⎩⎪ a
4. Si determini un’approssimazione di ln 2 con tre cifre decimali e un errore inferiore al centesimo, utilizzando un metodo di integrazione numerica a scelta applicato a un opportuno integrale
definito.
5. Si determini il dominio della funzione:
y=
ln( x − 2)
.
ln x − 2
6. La seguente figura rappresenta il grafico di una funzione f e le sue tangenti nei punti O(0; 0) ,
M (3; − 2) , F (6; − 1) . La funzione è continua e derivabile almeno due volte in R e ha due flessi
in O e F. Si disegni un grafico probabile della derivata prima dando adeguata giustificazione,
indicando in particolare le coordinate dei suoi punti di massimo e minimo relativi.
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7. Senza fare uso del teorema di De L’Hospital, si calcoli:
sen x
.
lim π
x→π e − e x
8. Una sfera di raggio 1 è secata da due piani paralleli tra di loro e distanti 1. Si individui la posizione reciproca dei due piani affinché la somma delle aree delle sezioni così individuate sia
massima.
9. Una scatola contiene palline bianche e palline nere per un totale di 100 palline. Sapendo che
estraendone due la probabilità che siano dello stesso colore è uguale alla probabilità che siano di
colore diverso, si determini il numero di palline di ciascun colore.
10. Si determini il valore del parametro k affinché l’equazione
coincidenti.
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x + kx
= k ammetta due soluzioni
ex
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