Simulazione Ordinamento 2013/14 ANNO SCOLASTICO 2013/14 SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL’ESAME DI STATO INDIRIZZO: SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Problema 1 Si consideri una circonferenza con A e B estremi di una corda di lunghezza 1 e AC diametro. a) Posto BC = x , si esprima in funzione di x il rapporto fra l’area del triangolo ABC e quella del quadrato costruito sul diametro, provando che è dato da: x . f ( x) = 2(1 + x 2 ) Indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema geometrico, si studi la funzione f (x ) , si rappresenti il suo grafico γ e si dimostri che i punti di flesso sono allineati. b) Si scriva l’espressione del valor medio di f (x ) nel generico intervallo [0; h ] , con h > 0 ; se ne determini poi il limite al tendere di h a + ∞ . c) Considerato il fascio di rette di equazione y = mx , si stabilisca per quali valori di m esse intersecano γ anche in punti Q diversi dall’origine; si calcoli quindi l’area Σ della regione di piano del primo quadrante sottesa al grafico di γ fra i punti O e Q. d) Detta p la parabola passante per l’origine e con vertice nel punto di massimo assoluto della funzione f (x ) , si determini m in modo che l’area Σ sia uguale a quella del segmento parabolico formato da p con l’asse delle ascisse. e) Sia L la regione di piano delimitata da γ e dall’asse delle ascisse con 0 ≤ x ≤ xF , essendo x F l’ascissa del punto di flesso di γ che si trova nel primo quadrante. Si calcoli il volume del solido che ha per base L e le cui sezioni ottenute con piani perpendicolari all’asse delle ascisse sono rettangoli di altezza x, dove x è l’ascissa del piano di sezione. Problema 2 Per ogni numero naturale k > 0 sono date le funzioni: f k ( x) = sen kx + 1 , x g k ( x) = ∫ (sen kt + 1)dt 0 con x ∈ [0; π]. a) Si trovi per quali valori di k l’area sottesa al grafico di f k nell’intervallo [0; π] è π . Fissato il più piccolo di tali numeri, si scrivano le espressioni delle corrispondenti funzioni indicandole con f e g, e determinando l’espressione analitica di g in forma non integrale. b) Si dimostri che l’origine è l’unico punto di intersezione del grafico di g con l’asse delle ascisse. c) Si studino f e g e se ne disegnino i grafici λ e γ. d) Si trovi l’equazione della retta t tangente a γ nel punto A di ascissa x = π e si dimostri che tale retta ha infiniti punti di tangenza con γ. Si calcoli l’area della regione piana che t e γ delimitano fra x = 0 e x = π . e) Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse delle ascisse 3 della porzione di grafico λ con 0 ≤ x ≤ π . 4 © Copyright Zanichelli 2014 MATutor (6163) 1 Simulazione Ordinamento 2013/14 Questionario 1. Si dimostri che in un opportuno intorno di x = 1 la funzione y = arctg( x 2 − 1) è invertibile. Si determini la derivata della funzione inversa nel punto 0 . 2. Angela vuole farsi una collana composta da perle di plastica colorate: 6 rosse, 10 arancioni e 8 gialle da chiudere con un fermaglio. Quante sono le possibili sequenze differenti? Qual è invece il numero delle sequenze nel caso in cui Angela voglia mettere agli estremi perle di colore arancione? Quale sarà poi tale numero se Angela pensa a composizioni con estremi di colore uguale? 3. Si calcoli il seguente limite: 1 lim(1 + ln x ) x −1 . x →1 4. Data la funzione ⎧ e x se x < 0 ⎪ f ( x) = ⎨ 0 se x = 0 , ⎪ x 2 + 1 se x > 0 ⎩ si dica quale delle seguenti proposizioni è vera dandone adeguata motivazione. In x = 0 la funzione: A è derivabile con derivata nulla. B ha un punto angoloso. C ammette derivata sinistra uguale a 1. D non è derivabile. E ammette derivata destra uguale a 0. 5. Dato un cubo di spigolo noto l si determini qual è, muovendosi sulla superficie del cubo, il percorso di minima lunghezza che congiunge gli estremi di una delle sue diagonali. Si calcoli poi la misura della sua lunghezza in funzione di l. 6. Si calcoli per quali valori di k ∈ R si ha: k 2 1 x −1 dx < ∫0 x − 1 ∫0 x + 1 dx . 7. Si determinino i coefficienti reali a, b, c in modo che la funzione ⎧ ⎪ 2 x ≤ −1 ⎪ax + bx + c se 1 ⎪ f ( x) = ⎨ cos πx se − 1 < x < 2 ⎪ 1 1 ⎪ a ln⎛⎜ x + ⎞⎟ se x≥ ⎪⎩ 2 ⎠ 2 ⎝ sia derivabile in R. © Copyright Zanichelli 2014 MATutor (6163) 2 Simulazione Ordinamento 2013/14 8. Dato il triangolo di lati 2 cm, 3 cm, 4 cm, si dimostri che è ottusangolo. 9. La seguente figura rappresenta il grafico di una funzione f e le sue tangenti nei punti O(0; 0) , M (3; − 2) , F (6; − 1) . La funzione è continua e derivabile almeno due volte in R e ha due flessi in O e F. Si disegni un grafico probabile della derivata prima dando adeguata giustificazione, indicando in particolare le coordinate dei suoi punti di massimo e minimo relativi. 10. Si determini il dominio della funzione: y= ln( x − 2) . ln x − 2 © Copyright Zanichelli 2014 MATutor (6163) 3