Integrazione per PARTI – esempi di applicazione del metodo

Integrazione per PARTI
Esempi di applicazione dell’integrazione per parti
Sono 4 esempi e sono scritti uno per pagina
Calcolare l’integrale nei seguenti esempi usando il metodo dell’Integrazione per parti
1)
Quando nell’integrale è presente il logaritmo occorre considerarlo come funzione e tutto il resto del testo come
derivata.
∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
Poniamo
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑔′ (𝑥) = 𝑥 → 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
𝑥2
2
Avremo
∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
𝑥2 1
ln 𝑥 − ∫ ∙ 𝑑𝑥 =
2
2 𝑥
Semplificando otteniamo
=
𝑥2
𝑥
𝑥2
1
ln 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 =
ln 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥
2
2
2
2
Il risultato sarà
=
𝑥2
𝑥2
ln 𝑥 − + 𝑐
2
4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2)
Quando nell’integrale è presente l’esponenziale occorre considerarla come derivata e tutto il resto del testo come
funzione.
∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
Poniamo
𝑓(𝑥) = 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 1
𝑔′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 → 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥
Avremo
∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑐
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3)
Se nel testo il logaritmo (o l’esponenziale) compaiono con gradi maggiori di 1, dovremo applicare più volte
l’integrazione per parti.
∫ ln2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ∙ ln2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜 è 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒, 𝑙 ′ 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑟à 𝑖𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 1
Poniamo
1
𝑓(𝑥) = ln2 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 2 ∙ ln 𝑥
𝑥
𝑔′ (𝑥) = 1 → 𝑔(𝑥) = 𝑥
Avremo
1
∫ ln2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ∙ ln2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 − ∫ 𝑥 ∙ 2 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥
Semplificando otteniamo
1
= 𝑥 ln2 𝑥 − ∫ 𝑥 ∙ 2 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 − 2 ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥
Osservazione: per calcolare il valore dell’integrale rimasto
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
occorre ripetere l’integrazione per parti
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 =
Poniamo
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) =
1
𝑥
𝑔′ (𝑥) = 1 → 𝑔(𝑥) = 𝑥
Avremo che
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 ∙
1
𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
𝑥
Quindi il risultato sarà
∫ ln2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 − 2 ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 − 2( 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥) + 𝑐 = 𝑥 ln2 𝑥 − 2𝑥 ln 𝑥 + 2𝑥 + 𝑐
Attenzione: tante volte è conveniente effettuate prima la sostituzione e poi calcolare l’integrale magari con
l’integrazione per parti, ed esempio
∫ 𝑥 2 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 =
Poniamo
𝑡 = 4𝑥 →
𝑡
𝑡2
= 𝑥 𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 →
= 𝑥2
4
16
𝑑𝑡 = 4 𝑑𝑥
1
𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
4
Sostituiamo e otteniamo
=∫
𝑡2
1
1
∙ 𝑒 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 =
∫ 𝑡 2 𝑒 𝑡 𝑑𝑡
16
4
64
Ora eseguendo l’integrazione per parti
𝑓(𝑡) = 𝑡 2 → 𝑓 ′ (𝑡) = 2𝑡
𝑔′ (𝑡) = 𝑒 𝑡 → 𝑔(𝑡) = 𝑒 𝑡
Avremo che
∫ 𝑡 2 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑒 𝑡 − ∫ 2𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2 ∫ 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡
Ora eseguendo una seconda integrazione per parti
𝑓(𝑡) = 𝑡 → 𝑓 ′ (𝑡) = 1
𝑔′ (𝑡) = 𝑒 𝑡 → 𝑔(𝑡) = 𝑒 𝑡
Avremo che
∫ 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 + 𝑐
Scriveremo che
∫ 𝑡 2 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2 ∫ 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2(𝑡 𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 ) + 𝑐 = 𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2𝑡 𝑒 𝑡 + 2 𝑒 𝑡 + 𝑐
Quindi
∫ 𝑥 2 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 =
1
1
1 𝑡 2
(𝑡 2 𝑒 𝑡 − 2𝑡 𝑒 𝑡 + 2 𝑒 𝑡 ) + 𝑐 =
∫ 𝑡 2 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑒 (𝑡 − 2𝑡 + 2) + 𝑐
64
64
64
Sostituendo la variabile 𝑡 = 4𝑥 ritorno alla variabile usata nel primo integrale:
1 𝑡 2
1 4𝑥
1 4𝑥
𝑒 (𝑡 − 2𝑡 + 2) + 𝑐 =
𝑒 [(4𝑥)2 − 2(4𝑥) + 2] + 𝑐 =
𝑒 (16𝑥 2 − 8𝑥 + 2) + 𝑐
64
64
64
1 4𝑥
=
𝑒 (8𝑥 2 − 4𝑥 + 1) + 𝑐
32
(Notare bene che sono state effettuate anche delle semplificazioni)
∫ 𝑥 2 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 =
4) Qualche volta, soprattutto con presenza contemporanea di 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e/o 𝑐𝑜𝑠 𝑥 e della funzione esponenziale 𝑒 𝑥
occorre dopo alcune integrazioni per parti (solitamente 2) tornare al testo di partenza
Come hai visto siamo tornati al testo di partenza, raccolto e poi diviso per il valore numeri che riporteremo
davanti all’integrale

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