Universit`
a degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Tutorato di GE220
A.A. 2013-2014 - Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso
Tutore: Enrica Gonzalez
Soluzioni Tutorato 5 (18 Marzo 2014)
1. Caratterizzare i sottoinsiemi compatti di (R, is ), dimostrando che un sottoinsieme S di R `e compatto
(rispetto a is ) ⇔ S ha un massimo (cio`e, ∃s0 ∈ S tale che s ≤ s0 , ∀ s ∈ S).
Soluzione: (⇐): Sia S un sottoinsieme di R dotato di un massimo elemento, chiamiamolo s0 ; sia
poi U un ricoprimento aperto di S, ed Uo ∈ U tale che s0 ∈ Uo . Ma allora U0 ⊇ S e pertanto {U0 }
`e un sottoricoprimento finito di U. Dunque S `e compatto.
(⇒): Supponiamo per assurdo che S sia un sottoinsieme compatto di R (rispetto alla topologia
is ) tale che non possiede un massimo elemento. Consideriamo allora b := sup(S). Se S non `e
limitato superiormente allora la famiglia U = {(−∞, n)}n∈Z `e un ricoprimento aperto di S che non
ammette sottoricoprimenti finiti. Assurdo. Se invece S `e limitato superiormente, b = sup(S) ∈
/ S.
1
)}
costituisce
un
ricoprimento
aperto
di
S,
infatti
Allora
la
famiglia
di
aperti
V
=
{(−∞,
b
−
n≥1
n
S
1
n≥1 (−∞, b − n ) = (−∞, b) ⊇ S. Chiaramente V non ammette sottoricoprimenti finiti, e si ha di
nuovo un assurdo.
2. Sia X uno spazio topologico di Hausdorff e K1 , K2 due suoi sottoinsiemi compatti. Dimostrare che
K1 ∩ K2 `e compatto. Mostrare con un controesempio che l’ipotesi ”Hausdorff” `e essenziale, e che
quindi non `e vero in generale che l’intersezione di due compatti `e un compatto.
Soluzione: Poich´e K1 e K2 sono sottoinsiemi compatti di uno spazio di Hausdorff allora sono
entrambi chiusi, dunque K1 ∩ K2 `e un chiuso, ed `e contenuto sia in K1 che in K2 . Ma un chiuso in
un compatto `e compatto, per cui segue la tesi. Come controesempio consideriamo R con la topologia
is dell’esercizio precedente; ovviamente due aperti di tale topologia hanno sempre intersezione non
vuota, quindi non `e uno spazio di Hausdorff. Poniamo A := Q ∩ (−∞, 0), K1 := A ∪ {1}, K2 :=
= A ∪ {2}. Allora essendo dotati di massimo K1 e K2 sono compatti mentre K1 ∩ K2 = A non `e
compatto.
3. Sia X uno spazio topologico. Sfruttando il seguente enunciato visto a lezione:
X `e compatto
⇔ per ogni famiglia S ⊂ P(X) di chiusi con la propriet`
a dell’intersezione finita si
T
ha che S∈S S 6= ∅;
dimostrare che:
X `e compatto ⇔
T per ogni famiglia S ⊂ P(X) di sottoinsiemi di X con la propriet`a dell’intersezione
finita si ha che S∈S S 6= ∅.
Soluzione: (⇐): ovvia: se la propriet`a vale per una famiglia arbitraria in particolare vale per i
chiusi, quindi X `e compatto;
(⇒): Sia S = {Si }i∈I ; Se S ha la proprit`a dell’intersezione finita allora anche S = {Si } ha la
proprit`
a dell’intersezione finita, infatti Si ⊇ Si per ogni i ∈ I. Quindi segue la tesi.
4. Sia X uno spazio compatto e siaT
{Vn } una successione di insiemi chiusi non vuoti tali che Vn+1 ⊆ Vn
per ogni n ∈ N. Dimostrare che n∈N Vn 6= ∅. Mostrare con un esempio che l’ipotesi di compattezza
`e essenziale.
Soluzione: Poich´e X `e compatto e la famiglia {Vn } ha chiaramente la propriet`a dell’intersezione
finita (l’intersezione finita T
di una famiglia di chiusi non vuoti uno contenuto nell’altro `e non vuota),
possiamo concludere che n∈N Vn 6= ∅. Come controesempio
consideriamo R con la topologia
T
euclidea, e poiniamo Vn := [n, +∞) ⊂ R; si ha dunque n∈N Vn = ∅.
5. In R2 con la topologia euclidea si denoti
Cr := {x ∈ R2 : ||x|| = r}
il cerchio di centro O = (0, 0) e raggio r, dove r ≥ 0 `e un numero reale.
(a) Sia A := Q ∩ [0, 1] (l’insieme dei numeri razionali nell’intervallo [0,1]) e sia
[
XA :=
Cr
r∈A
• XA `e chiuso?
• XA `e compatto?
(b) Sia B := {0} ∪ { n1 , ∀n ∈ N} e sia
XB :=
[
Cr
r∈B
• XB `e chiuso?
• XB `e compatto?
(c) Sia
XN :=
[
Cr
∀r∈N
• XN `e chiuso?
• XN `e compatto?
Soluzione:
(a) Facciamo vedere prima che non `e compatto:
• Se XA fosse un compatto, allora l’applicazione norma || · || : R2 → R dovrebbe essere
chiusa, ma non lo `e poich`e mappa XA in A, che non `e chiuso in R.
• Se XA fosse chiuso, poich´e XA ⊆ D2 (0) e un chiuso in un compatto `e compatto, avremmo
che XA `e compatto, che `e una contraddizione.
(b)
• La funzione norma || · || : R2 → R≥0 `e una funzione continua e XB `e la retroimmagine di
B. Poich´e B `e chiuso in R e dunque anche in R≥0 , allora anche XB lo `e.
• XB `e compatto, perch´e oltre ad essere chiuso `e limitato (`e ovviamente contenuto nel disco
unitario).
(c)
• XN `e la retroimmagine di N tramite l’applicazione norma. Poich´e N `e chiuso in R≥0 ,
possiamo concludere che XN `e chiuso.
• XN non `e compatto, poich´e non `e limitato.
6. Si consideri X := {(x, y) ∈ R2 |x2 + 2y 2 + x2 y 4 = 3} ⊂ R2 con la topologia indotta da R2 . Sia
f : X → X un’applicazione continua e biiettiva.
(a) Dimostrare che X `e uno spazio compatto.
(b) Dimostrare che X `e uno spazio di Hausdorff.
(c) Dimostrare che f `e un omeomorfismo.
(d) Dare un esempio di applicazione continua e biiettiva tra due sazi topologici Y e Z che per`
o
non `e un omeomorfismo.
Soluzione:
(a) Facciamo vedere che X `e chiuso e limitato:
consideriamo l’applicazione g : R2 → R, g(x) = x2 + 2y 2 + x2 y 4 . Chiaramente g `e continua
poich´e `e somma `e prodotto di funzioni continue, dunque X = g −1 (3) `e chiuso perch´e `e controimmagine di un chiuso di R tramite un’applicazione continua. Inoltre sia (x, y) ∈ X; allora
x2 + y 2 ≤ x2 + 2y 2 + x2 y 4 = 3, e perci`o X ⊆ D√3 (0).
(b) Ovvio, poich´e ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff `e di Hausdorff.
(c) Questa `e un ovvia conseguenza della proposizione seguente (Sernesi, proposizione 9.10 pagina
106):
Sia X uno spazio compatto ed Y uno spazio di Hausdorff. Se f : X → Y `e un’applicazione
continua allora f `e chiusa. Se f `e continua e biunivoca allora f `e un omeomorfismo.
(d) Come esempio si considerino Y := (R, P(R)), Z := (R, {∅, R}) ed h = idR . Allora h `e continua,
biiettiva ma h−1 non `e continua: ad esempio h(0) non `e aperto in Z.
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