Rilassamento lagrangiano Dualit` a Lagrangiana Laura Galli Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, 56127 Pisa [email protected] http://www.di.unipi.it/~galli 11 Novembre 2014 Ricerca Operativa 2 Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa A.A. 2014/15 L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 1 / 12 Rilassamento lagrangiano Metodi risolutivi per la PLI Metodi esatti (garanzia soluzione ottima) • metodi poliedrali • Branch and bound • programmazione dinamica • metodi ad hoc Metodi euristici • greedy • ricerca locale • metodi ad hoc L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 2 / 12 Rilassamento lagrangiano Rilassamento Lagrangiano Consideriamo un problema di PLI della forma max c T x Ax ≤ b Bx ≤d x ∈ Zn (P) in cui A x ≤ b sono i vincoli ’difficili’, cio`e il problema (P) senza tali vincoli sarebbe ’facile’ da risolvere. Invece di eliminare i vincoli ’difficili’, penalizziamo la loro violazione inserendoli nella funzione obiettivo moltiplicati per un parametro. Definizione Il rilassamento lagrangiano di (P), rispetto ai vincoli A x ≤ b, `e il seguente problema di PLI: max c T x + λT (b − A x) Bx ≤d (RLλ ) x ∈ Zn dove il parametro λ ≥ 0 `e detto il vettore dei moltiplicatori di Lagrange. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 3 / 12 Rilassamento lagrangiano Rilassamento Lagrangiano Il rilassamento lagrangiano fornisce una vS (P). Teorema (dualit` a debole) Per ogni λ ≥ 0 si ha v (P) ≤ v (RLλ ). Dimostrazione v (P) = max c T x ≤ max c T x + λT (b − A x) ≤ max c T x + λT (b − A x) = v (RLλ ) A x≤b B x≤d x∈Zn L. Galli A x≤b B x≤d x∈Zn Corso di Ricerca Operativa 2 B x≤d x∈Zn - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 4 / 12 Rilassamento lagrangiano Rilassamento Lagrangiano Se la sol. ottima di (RLλ ) `e ammissibile per (P), allora `e ottima anche per (P)? In generale NO, perch´e le funzioni obiettivo di (P) e (RLλ ) sono diverse. Teorema Se x¯ `e la soluzione ottima di (RLλ ), x¯ `e ammissibile per (P) e λT (b − A x¯) = 0 (scarti complementari), allora x¯ `e ottima anche per (P). Dimostrazione Se x `e ammissibile per (P), allora c T x ≤ c T x + λT (b − A x) | {z } ipotesi 1 ≤ c T x¯ + λT (b − A x¯) ipotesi 3 = c T x¯. ≥0 L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 5 / 12 Rilassamento lagrangiano Duale Lagrangiano v (RLλ ) `e una vS (P) per ogni valore di λ ≥ 0. Qual `e la migliore? Il problema min v (RLλ ) λ≥0 (D) `e chiamato il duale lagrangiano di (P). Teorema • v (D) ≥ v (P). • La funzione v (RLλ ) ` e convessa rispetto a λ, ma in generale non `e differenziabile. Per minimizzare una funzione convessa, non differenziabile, esistono i cosiddetti metodi del sottogradiente. Il sottogradiente `e una generalizzazione del concetto di gradiente. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 6 / 12 Rilassamento lagrangiano Sottogradiente Definizione Sia v : Rm → R una funzione convessa. ¯ `e un vettore g ∈ Rm tale che Un sottogradiente di v nel punto λ ¯ + v (λ) ¯ v (λ) ≥ g T (λ − λ) ∀ λ ≥ 0, ¯ v (λ)) ¯ sta ’al di sotto’ del grafico di v . cio`e il piano ortogonale a g passante per (λ, ¯ λ 0 L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale λ Universit` a di Pisa 7 / 12 Rilassamento lagrangiano Metodi del sottogradiente Metodi di tipo sottogradiente per risolvere il duale min v (RLλ ) (D) λ≥0 All’iterazione k calcoloun sottogradienteg k della funzione v (RLλ ) nel punto λk . gk Aggiorno λk+1 = max 0, λk − tk . kg k k2 Teorema Se i passi tk sono scelti in modo che lim tk = 0, k→∞ ∞ X tk = +∞, k=1 allora lim v (RLλk ) = v (D). k→∞ In generale, la successione v (RLλ1 ), v (RLλ2 ), . . . non `e decrescente. L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 8 / 12 Rilassamento lagrangiano Calcolo di un sottogradiente Come si calcola un sottogradiente della funzione v (RLλ )? Teorema Se x¯ `e la soluzione ottima di (RLλ¯ ), allora il vettore g = b − A x¯ ¯ `e un sottogradiente di v (RLλ ) nel punto λ. Dimostrazione ¯T (b − A x¯). Inoltre v (RLλ ) = max c T x + λT (b − A x), quindi v (RLλ¯ ) = c T x¯ + λ B x≤d x∈Zn v (RLλ ) ≥ c T x¯ + λT (b − A x¯) ¯ T (b − A x¯) + (λ − λ) ¯ T (b − A x¯) = c T x¯ + λ ¯ T (b − A x¯). = v (RLλ¯ ) + (λ − λ) L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 9 / 12 Rilassamento lagrangiano Duale lagrangiano e rilassamento continuo Dato un problema di PLI: max c T x Ax ≤ b Bx ≤d x ∈ Zn (P) consideriamo il duale lagrangiano ed il rilassamento continuo: max c T x min v (RLλ ) Ax ≤ b (D) (RC ) λ≥0 Bx ≤d Qual `e la relazione tra i loro valori ottimi? L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 10 / 12 Rilassamento lagrangiano Duale lagrangiano e rilassamento continuo Teorema v (D) ≤ v (RC ) Dimostrazione v (D) = min v (RLλ ) λ≥0 = min λT b + max (c T − λT A) x λ≥0 [rilass. continuo di (RLλ )] [dualit`a PL] B x≤d x∈Zn ≤ min λT b + max (c T − λT A) x B x≤d λ≥0 T = min λ b + λ≥0 min y Td y T B=c T −λT A y≥0 = λT b + y T d min λT A+y T B=c T λ,y≥0 [dualit`a PL] = max c T x A x≤b B x≤d = v (RC ) L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 11 / 12 Rilassamento lagrangiano Duale lagrangiano e rilassamento continuo Teorema Se (RLλ ) e il rilassamento continuo del (RLλ ) hanno lo stesso valore ottimo per ogni λ ≥ 0, allora v (D) = v (RC ). L. Galli Corso di Ricerca Operativa 2 - Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale Universit` a di Pisa 12 / 12
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