Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania Torsione elastica Torsione elastica Problema del De Saint Venant Si consideri una trave a sezione costante incastrata ad un estremo e sottoposta ad momento torcente. Per l’equilibrio le tensioni trasmesse al vincolo danno luogo ad un momento torcente uguale e di verso opposto a quello sollecitante. Dal punto di vista statico, il problema è equivalente a quello di De Saint Venant per la torsione. x z y T 3 Torsione elastica Problema del De Saint Venant Il momento torcente vale : T GJ ' dove : J ’ rigidità torsionale angolo di torsione unitario Per profili aperti in parete sottile la rigidità torsionale è approssimativamente ottenuta dalla relazione : 1 a 3 J b ( s )ds 3 0 x z y T essendo b lo spessore del profilo a la lunghezza totale della linea media 4 Torsione elastica Problema del De Saint Venant La rotazione della sezione varia linearmente con z, raggiungendo il suo valore massimo all’estremo : Tz ( z ) GJ Gli spostamenti sono : s x y dove : s y x s z ' ( s ) funzione di ingobbamento rotazione torsionale x L z Le sezioni si ingobbano tutte in egual misura, la torsione è uniforme ! y T … ciò comporta che le fibre non si deformano in direzione longitudinale. 5 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov È evidente come un incastro impedisca ai punti di spostarsi longitudinalmente. Lo spostamento sz risulterà in realtà funzione di z in una zona più o meno estesa a partire dal vincolo (principio di equivalenza elastica). Un modo di incorporare questo aspetto è quello di assumere un angolo di torsione unitario ’ funzione di z. Le sezioni non si ingobbano tutte in egual misura, la torsione è non uniforme 6 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov L’espressione degli spostamenti diviene: s x ( z ) y ( s ) yc s y ( z ) x ( s ) xc sz '(z) ( s ) dove : xc yc coordinate del centro di taglio nel riferimento principale della sezione L’espressione di sz = ’(z) (s) dipende da z, quindi …. le fibre subiscono deformazioni dirette in senso longitudinale : sz z ( s )''(z) z 7 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov La presenza di deformazioni longitudinali comporta la presenza di tensioni normali σz : ( z ) E z E ( s ) ''(z) 8 Torsione elastica La funzione di ingobbamento La funzione di ingobbamento vale: ( s ) 2 ( s ) dove : 1 s ( s ) r ( s ')ds' 2 0 r(s) distanza dal centro di taglio della tangente alla linea media nel generico punto P(s). Tale distanza si considera positiva se t provoca rotazione positiva intorno al centro di taglio. 1 dA A A s x P(s) xc G t r(s) c yc y 9 Torsione elastica La funzione di ingobbamento La funzione di ingobbamento gode delle seguenti proprietà A dA 0 A xdA 0 A ydA 0 Non ci può essere sforzo normale Non ci può essere momento flettente intorno all’asse y Non ci può essere momento flettente intorno all’asse x 10 Torsione elastica La funzione di ingobbamento Le σz devono quindi costituire uno stato di autotensione, corrispondente ad azione assiale e momenti flettenti nulli. Avendo assunto il centro di rotazione come centro di taglio, questa proprietà risulta verificata : N Mx A z dA E '' dA 0 A A y z dA E '' ydA 0 A M y x z dA E '' xdA 0 A A 11 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov Si consideri un elemento infinitesimo di trave. Data la piccolezza dello spessore, le σz sono assunte distribuite uniformemente su di esso. Poiché esse variano lungo z, per l’equilibrio nascono delle tensioni tangenziali τ2, dette secondarie, uniformi sullo spessore. σzbds 2bds ( 2b) dzds z s τ2bdz ds dz b(s) z bds b dzds z // z 12 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov L’equilibrio alla traslazione lungo l’asse z impone : ( 2 b) z b Eb( s ) ( s ) '''(z) s z σzbds 2bds ( 2b) dzds z s τ2bdz ds dz b(s) z bds b dzds z // z 13 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov Il flusso q=τ2b delle tensioni tangenziali secondarie attraverso lo spessore può essere calcolato integrando la precedente relazione. Se la superficie laterale è scarica, per l’equilibrio deve essere τ2=0. La costante di integrazione è quindi nulla e si ottiene : s q( s, z ) 2b E '''(z) b( s ')( s ')ds ' 0 A tale flusso non corrispondono azioni taglianti. 14 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov Tale flusso dà luogo ad un momento torcente T2 T2 a 0 qrds E '''(z) a 0 dove : a 0 s b( s ')( s ')ds ' r ( s )ds 0 s b( s ')( s ')ds ' r ( s )ds 0 è una proprietà geometrica della sezione, detta rigidità di ingobbamento (warping rigidity). Quindi T2 E '''(z) = momento torcente secondario 15 Torsione elastica a 0 s b( s ')( s ')ds ' r ( s )ds 0 Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov Si può ricondurre ad una forma più semplice ponendo ( s) s 0 ( s ')b( s ')ds ' e sostituendo rds = ‐dψ : a a Integrando per parti ( ) 0 u dv uv 0 0 v du l’espressione della rigidità d’ingobbamento, si ottiene: a a a 0 0 ( s )d ( a )( a ) (0)(0) ( s )d dove Λ(0)=0 e Λ(a)=0 Poiché dΛ=ψbds= ψdA, la rigidità di ingobbamento diviene : A 2 dA 16 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov Il momento torcente secondario T2 rappresenta il contributo degli effetti del vincolo. Sommato al momento primario T1 , corrispondente alle tensioni tangenziali date dalla soluzione di De Saint Venant, equilibra in ogni sezione la coppia applicata all’estremo della mensola : T T1 T2 GJ '(z) E '''(z) I due contributi hanno importanza relativa diversa nelle diverse sezioni. L’effetto del vincolo diminuisce con la distanza dal vincolo stesso. 17 Torsione elastica Teoria di Timoshenko ‐ Vlasov E’ possibile estendere i risultati anche ad una trave soggetta a momento torcente distribuito mt per unità di lunghezza. Per l’equilibrio alla rotazione di un elemento infinitesimo di trave si ha : dT dz mt Derivando l’equazione fondamentale della torsione T ( z ) G J '(z) E '''(z) , si ottiene : mt E '''' (z) G J ''(z) Questa equazione differenziale, lineare a coefficienti constanti, governa il comportamento torsionale dei profili aperti. Il suo integrale generale dipende da quattro costanti di integrazione, determinate dalle condizioni al contorno. 18 Torsione elastica Sezione a I In una sezione a I il centro di taglio coincide con il baricentro della sezione. Se la sezioni ruota di un angolo θ intorno a questo punto, le flange subiscono uno spostamento orizzontale sf : sf d h sf ( z ) ( z ) 2 bf x ba CG h CG essendo, più in generale : s x ( z ) y ( z ) y sf 19 Torsione elastica Sezione a I Se le sezioni fossero libere di ingobbarsi, si avrebbe una rotazione rigida delle flange nel proprio piano. d d Ala superiore Ala inferiore sf sf 20 Torsione elastica sf ( z ) Sezione a I h ( z ) 2 Per la presenza dell’incastro, la flangia si inflette e tale inflessione è contrastata dalla rigidezza legata al momento d’inerzia della flangia If : 1 I f bf d 3 h 12 Nella flangia saranno presenti momenti flettenti d 2 sf bf d 3h M f ( z ) EI f E '' 2 dz 24 e sforzi di taglio bf d 3h Vf ( z ) E ''' 24 d bf sf 21 Torsione elastica Sezione a I Sulla sezione sono presenti : Ⱶ tensioni tangenziali conseguenti a T1 Ⱶ tensioni normali da momenti di flangia Mf Ⱶ tensioni tangenziali da tagli di flangia Vf Mf T1 Vf e … Mf Vf T T1 Vf h h dz T 22 Torsione elastica Sezione a I Il primo addendo è il momento torcente secondo De Saint Venant : T1 G J '(z) dove : 1 J h ba3 2d bf3 3 è la rigidità torsionale primaria per la sezione ad I … il secondo addendo è il momento torcente secondario : T2 ( z ) Vf ( z )h E '''(z) dove : bf d 3h 2 24 è la rigidità di ingobbamento per la sezione ad I 23 Torsione elastica Sezione a I La funzione d’ingobbamento vale : ( h / 2) s1 ( s ) 0 ( h / 2) s2 flangia superiore anima flangia inferiore s1 s2 24 Torsione elastica Sezione a I Si definisce bimomento la quantità : B E '' Nella sezione a I, il bimomento è pari al prodotto dei momenti di flangia per la distanza tra le flange stesse, ovvero : B Mf h 25 Torsione elastica Altri profili d1 bf h C e ba bf d13 eh 3 d1 d 23 1 J hba3 ( d1 d 2 )bf3 3 bf h 2 d13d 23 12 d13 d 23 d2 bf h ba C e bf 3bf d 3 e 6bf d hba J 1 hba3 2dbf3 3 bf d 3h 2 3dbf 2hba 12 6dbf hba 26 Torsione elastica Altri profili d bf ba h 1 J hba3 2dbf3 3 C G bf h 2 d13d 23 12 d13 d 23 bf d R e 2R b C α sin cos sin cos 2 J Rb3 3 2 2 5 3 6 sin cos bR 3 sin cos e 27 Torsione elastica Altri profili Per profili costituiti da rettangoli allungati convergenti in un solo punto la rigidità di ingobbamento risulta nulla. Il centro di taglio si colloca nel punto di incontro dei rettangoli e ciò comporta un valore nullo per la distanza r(s) della tangente alla linea media da C. Se si considerano le variazioni di ingobbamento sullo spessore si ottengono dei valori della rigidità di ingobbamento che possono ritenersi trascurabili. d2 d bf C h J 1 hba3 dbf3 3 C d1 ba b 1 3 3 1 3 3 bf d ba h 144 36 J 1 3 b d1 d 2 3 1 3 3 b d1 d 23 36 28 Principali riferimenti Leoni Corradi Dell’Acqua. Meccanica delle strutture 1 - Il comportamento dei corpi continui, Mc Graw Hill. ISBN: 978 88386 67145 Leoni Corradi Dell’Acqua. Meccanica delle strutture 2 - Volume 2 - Le teorie strutturali e il metodo degli elementi finiti, Mc Graw Hill. ISBN: 978 88386 67152 29 FINE 30
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