Resistenze attritive in una parete muraria soggetta

Resistenze attritive in una parete muraria soggetta ad azioni
normali al suo piano medio
C. Casapulla
Dipartimento di Costruzioni e Metodi matematici in Architettura, Università degli studi di Napoli, Italy
SOMMARIO: Nel presente lavoro si esamina il comportamento a collasso di una parete muraria
a blocchi, come parte della scatola muraria, sollecitata dal peso proprio e da forze orizzontali
normali al suo piano medio. Uno studio preliminare completo dei cinematismi del blocco
singolo consente di valutare le resistenze attritive a taglio e torsione che si generano tra i conci
murari. Si discutono i limiti di validità dell’analisi limite in presenza di attrito, considerando la
possibilità di adottare leggi di scorrimento di tipo associato. In tale ipotesi, con attenzione a
quanto ricavato sperimentalmente da altri autori, si definisce il minimo valore di una particolare
classe di moltiplicatori cinematici e la relativa deformata di collasso, evidenziando come i
rapporti dimensionali dei blocchi e la presenza dell’attrito contribuiscano in modo determinante
alla resistenza della parete. Opportuni grafici mostrano i risultati raggiunti.
ABSTRACT: This paper deals with the limit-state analysis of a block masonry wall, connected
to side-walls, subject to its weight and out of plane seismic actions. The net frictional forces and
moments between the rigid blocks at each level in the wall, are evaluated by considering the
results of a preliminary and complete study of the single block. The problem is treated with
associated flow rule, guaranteed by some hypotheses herein discussed. The ultimate load and
the settlement of the collapse situation of the masonry structure are obtained by simple
numerical procedures, pointing out the importance of the friction and the blocks’ dimensions.
Proper graphics show the achieved results with reference to some given geometric parameters.
1 INTRODUZIONE
Lo studio del comportamento della parete muraria a blocchi comporta evidenti difficoltà di
generalizzazione a causa del sussistere di ineliminabili incertezze nella valutazione di molti
parametri, ad esempio: contributi coesivi della malta, disomogeneità, fessurazioni e distacchi.
Di qui un ampio studio, in corso da tempo presso il Dipartimento di Costruzioni della Facoltà di
Architettura di Napoli, rivolto a privilegiare anzitutto l’affidabilità dei modelli; nel caso
specifico esso è fondato sul modello semplificato, ma appunto largamente affidabile, di parete
muraria a blocchi con giunti attritivi in assenza di coesione.
Il lavoro in oggetto si colloca all’interno di questo filone di ricerca ed è rivolto ad indagare
sul problema della resistenza a collasso della parete muraria, come parte della scatola muraria,
in presenza di azioni sismiche normali al suo piano medio. Un problema che, benché già
studiato da altri autori, non appare ancora chiaramente sistemato, pur nella semplicità del
modello. La tendenza dominante, infatti, a lavorare nella classe delle soluzioni cinematiche
(giustificata dalla difficoltà di produrre soluzioni statiche localmente ammissibili) comporta
tuttora almeno due ordini di incertezze:
a) incertezze sull’efficace utilizzabilità dei risultati dell’analisi limite per legami attritivi
notoriamente non associati;
b) e incertezze nella valutazione della resistenza attritiva a taglio-torsione delle cerniere
cilindriche dei meccanismi, in ragione della forma dei blocchi e dell’apparecchio murario.
Nel presente lavoro sono stati discussi i limiti di validità dell’analisi limite ed è stato condotto
uno studio preliminare completo dei cinematismi del blocco singolo, evidenziando i casi in cui
sono consentite linearizzazioni e le possibilità di previsione degli errori.
2 ASPETTI GENERALI DEL PROBLEMA
La possibilità di adottare l’analisi limite per lo studio della muratura e di sfruttare per le
verifiche tecniche i suoi teoremi fondamentali, è già stata ampiamente discussa (Heyman 1966,
Como 1983, Giuffrè 1990). La presenza dell’attrito, tuttavia, comporta la necessità di rimuovere
una delle regole fondamentali per un materiale standard: la legge di normalità tra il campo
vettoriale delle tensioni limite e quello degli incrementi delle deformazioni. Il materiale ha
quindi, in presenza di attrito, un comportamento non standard ed è regolato da una legge di
scorrimento di tipo non associato (Livesley 1978, Franciosi 1980, Lo Bianco & Mazzarella
1987, D’Ayala & D’Asdia 1991), con la conseguente invalidità dei teoremi dell’analisi limite e
perdita dell’unicità della soluzione (Drucker 1954).
In particolare, il problema delle murature a blocchi si può configurare meccanicamente come
un problema di contatto unilatero e attritivo tra corpi rigidi, regolato dalla legge di Coulomb.
Tale legge, com’è noto, può essere rappresentata, nell’ipotesi di attrito isotropo e in assenza di
coesione, da un solido a forma di cono nello spazio tridimensionale della tensione normale σ e
di due tensioni tangenziali τ1 e τ2, come illustrato in Figura 1a). L’assenza di normalità del
vettore degli incrementi di deformazione plastica δγ rispetto alla frontiera del dominio limite,
definisce una legge di scorrimento di tipo non associato.
D’altra parte è ben noto (Goyal et al. 1991), ed è ovvio, che, se la tensione normale è una
quantità localmente determinata, essa può essere ignorata nella definizione della superficie di
snervamento ed il cono di Coulomb può essere ridotto ad un cerchio, nel piano delle tensioni
tangenziali, con centro in A, estremo del vettore della tensione normale (Fig. 1b)).
τ2
τ2
δγ
δγ
τ
τ−τ∗
b)
a)
τ∗
O
A
σ
A
τ1
τ1
Figura 1. a) Il cono di Coulomb. b) Dominio nel piano delle tensioni tangenziali
In tal caso, poiché la diseguaglianza del massimo lavoro plastico è sempre soddisfatta e cioè
(Fig. 1b)):
(τ − τ *) δγ ≥ 0
(1)
la legge di normalità è rispettata. Lo studio del comportamento del materiale può allora essere
ricondotto a quello di un materiale rigido-perfettamente plastico, caratterizzato da una tensione
tangenziale limite costante:
τ = σ tan ϕ
(2)
dove ϕ è l’angolo d’attrito.
In tali condizioni è garantita la possibilità di utilizzare la strumentazione teorica valida per
legami associati.
3 ANALISI DEL BLOCCO RIGIDO, APPOGGIATO SU UN PIANO RIGIDO, SOGGETTO
A TAGLIO E TORSIONE IN REGIME DI SFORZO NORMALE COSTANTE
L’analisi di un corpo rigido, appoggiato su un piano rigido, soggetto ad un’azione tagliante
eccentrica, in regime di sforzo normale costante, è ricondotta, per quanto suesposto, allo studio
del comportamento del blocco in regime di taglio e torsione in campo plastico. Le resistenze
d’attrito che si generano sulla superficie di contatto sono infatti regolate da legami associati,
proprio perché la tensione normale è una quantità localmente nota. Il meccanismo di
scorrimento associato è una rototraslazione rispetto al baricentro della superficie di contatto e la
soluzione del problema è ricercata attraverso la definizione delle relazioni tra gli sforzi limite e
le coordinate del centro di rotazione assoluto.
In particolare, se un blocco rettangolare, di lunghezza a e larghezza b, è soggetto ad
un’azione tagliante nella direzione dell’asse baricentrico Y (Fig. 2), oltre che, come detto, ad
uno sforzo normale costante, esso subisce solo traslazione nella stessa direzione, con una
tensione tangenziale che in ogni punto della superficie di contatto sarà:
τ = σ tanϕ
(3)
dove σ indica la tensione normale dovuta allo sforzo normale costante.
Y
a
C
b
X
F0
Figura 2. Blocco soggetto a taglio, in regime di sforzo normale costante
La forza limite d’attrito risulta in tal caso:
F0 = τ a b
(4)
Se il blocco, invece, è soggetto solo a torsione, esso subisce una rotazione intorno all’asse Z
passante per il baricentro. Essendo le τ sempre parallele, per la legge di Coulomb, alle direzioni
dei relativi spostamenti, esse risultano in ogni punto perpendicolari alla distanza dal baricentro
(Fig. 3) ed il momento d’attrito torcente limite è dato dalla relazione seguente:
a/2
M 0 = 4τ
∫ ∫
0
=
=
τ
2
a/2 
∫
0
τ 
b/2
dx
x 2 + y 2 dy =
0
b 4 x 2 + b 2 + 4 x 2 ln


a 3 ln
12 

b + 4x 2 + b 2
2

 dx =



b + a2 + b2
a + a2 + b2
+ b 3 ln
+ 2 a b a2 + b2 
a
b


(5)
che, tenendo conto della (4), può scriversi anche nella forma:
M 0 = F0 d 0
(6)
in cui:
d0 =

1  3 b + a2 + b2
a + a 2 + b2
a ln
+ b 3 ln
+ 2 a b a2 + b2 
12 a b 
a
b



(7)
Y
a
τ
C
b
X
M0
Figura 3. Blocco soggetto a torsione, in regime di sforzo normale costante
I casi intermedi riguardano sollecitazioni composte di taglio e torsione, che comportano,
come già detto, rotazioni del blocco intorno ad assi non baricentrici.
Con riferimento alla Figura 4, i valori limite della forza F e del momento Mt rispetto al
baricentro O del blocco, per cui esso ruota intorno a C, sono definiti attraverso le seguenti
equazioni di equilibrio:
xc + a
F1 =τ
yc + b
∫ dx ∫
xc
yc
yc + b
F2 =τ
2
x +y
xc + a
∫ ∫
xc
2
2
x +y
∫
dy = τ
xc
yc + b
x
dy
yc
xc + a
y
2
dx = τ
∫
yc
b
a


M t + F1  y c +  + F2  x c +  = τ
2
2



 x 2 + ( y + b )2 − x 2 + y 2  dx
c
c 


(8)


(9)
( x c + a )2 + y 2
yc + b
xc + a
∫ ∫
dy
yc
− x c 2 + y 2  dy

x 2 + y 2 dx
(10)
xc
in cui, essendo e l’eccentricità della forza rispetto al baricentro O, il momento è:
M t = F1 e2 + F2 e1 = F e
(11)
Con le posizioni:
B=
b
;
a
X=
F0 = B a 2τ ;
xc 1
y
e
e
B
e
+ ;
Y= c + ;
E1 = 1 ;
E2 = 2 ;
E= ;
a 2
a 2
a
a
a
M
F
F
a 3τ
F
M0 =
D;
N1 = 1 ;
N2 = 2 ;
N=
;
M= t ;
12
F0
F0
F0
M0
1+ B 2 +1
D = ln B + B 2 + 1  + B 3 ln
+ 2 B B 2 + 1;


B
G = 2 X − 1;
H = 2 X + 1;
I = 2 Y − B;
L = 2 Y + B;
P = G2 + I 2 ;
Q = G 2 + L2 ;
R = H 2 + L2 ; S = H 2 + I 2
le tre precedenti equazioni (8), (9) e (10) forniscono:
(12)
N1 =
1 
G+P
H + R
2
+ L2 ln
G(P − Q ) + H (R − S ) + I ln

8B 
H +S
G +Q
(13)
N2 =
1 
I +P
L + R
2
+ H 2 ln
 I (P − S ) + L(R − Q ) + G ln

8B 
L+Q
I +S 
(14)
I +P
L+R

3
3
2G(I * P − L * Q ) + 2H (L * R − I * S ) + G ln L + Q + H ln I + S
1 
M=
H+R
4D  3 G + P
3
+ I ln H + S + L ln G + Q − 48N1 BY − 48N 2 BX


+




(15)
a
Y
e1
τ
F1
F2
d
F
e2
O
b
xc
yc
C
X
Figura 4. Blocco soggetto a taglio e torsione, in regime di sforzo normale costante
La Figura 5 illustra i risultati ottenuti per un blocco con rapporto dimensionale b/a=0,25. Nel
quadrante destro superiore sono rappresentati diversi punti di applicazione dei tagli F (le cui
direzioni sono ortogonali alle distanze dei punti stessi dal baricentro) con i relativi valori di N e
nel quadrante sinistro inferiore i corrispondenti centri di rotazione.
Y
b
X
a
Figura 5. Tagli e relativi centri di rotazione per un blocco con b/a=0,25
Per il caso particolare, e più interessante ai fini della presente trattazione, di una forza
eccentrica diretta parallelamente alla direzione Y, per la quale il centro C giace sull’asse X e
quindi yc= - b/2 (Fig. 4), le relazioni M-N per diversi rapporti dimensionali, sono mostrate in
Figura 6.
A
M
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
B
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
N
b/a=0,25
b/a=0,5
b/a=1
b/a=2
AB
Figura 6. Curve di interazione per diversi valori di b/a, relative ad una forza F diretta parallelamente ad Y
Tali relazioni sono ovviamente riducibili ad espressioni del tipo:
n
M = 1 + a1 N + a 2 N 2 + ... = 1 +
∑a
i
Ni
(16)
i =1
in cui i coefficienti ai sono funzioni dei rapporti dimensionali dei blocchi.
In pratica non vi sono ragioni che impediscano l’impiego della (16), con valori anche elevati
di n. Pur tuttavia, nell’applicazione che segue, si è preferito rinunciare ad una precisione solo
apparente, privilegiando, invece, una formulazione più semplice a favore di sicurezza. Si è così
assunta a riferimento la retta AB in Figura 6, espressa dalla relazione:
M = 1− N
(17)
4 ANALISI DELLA PARETE
Il presente lavoro è finalizzato, come già detto, a fornire un contributo allo studio del
comportamento meccanico delle strutture murarie, al fine di valutare la loro sicurezza nei
confronti di forze orizzontali rappresentative di azioni sismiche.
L’analisi che segue è relativa ad una parete muraria a blocchi parallelepipedi, con un unico
blocco nello spessore, come parte della scatola muraria, sollecitata dal peso proprio e da azioni
orizzontali ortogonali al suo piano, dirette verso l’interno della scatola. Il discorso non cambia
se le azioni sono dirette verso l’esterno, con l’ipotesi aggiuntiva che non possa verificarsi, per
debolezza delle connessioni con le pareti ortogonali, il ribaltamento dell’intera parete.
Adottando come modello della parete una struttura discreta costituita da blocchi rigidi con
giunti attritivi in assenza di coesione, è stata analizzata una particolare classe di possibili
cinematismi, già esaminata da altri autori (Croci 1981, Giuffrè 1990) e confortata da risultati
sperimentali (De Riggi 1997).
Il cinematismo tipo di tale classe, illustrato in Figura 7, è caratterizzato da una porzione
triangolare di parete, costituita da due corpi rigidi che ruotano intorno ad una sorta di cerniere
cilindriche, in mezzeria e lungo due direzioni inclinate.
Figura 7. Ipotesi di cinematismo di una parete per azioni fuori dal piano
Questo meccanismo è stato sinora fondamentalmente studiato o in regime di attrito infinito,
caratterizzato da semplici rotazioni dei corpi rigidi (Giuffrè 1990) o valutando solo momenti di
attrito torcente lungo le cerniere cilindriche, sia in mezzeria che nelle direzioni inclinate (De
Riggi 1997). In realtà, ritenendo opportuno considerare anche il contributo del taglio,
equilibrante le azioni orizzontali esterne, le resistenze attritive che si generano tra i conci murari
risultano essenzialmente di tipo torcente in mezzeria e di tipo composto taglio-torsione lungo le
linee di fessurazione inclinate. Valutando tali resistenze a taglio-torsione in funzione delle forze
orizzontali esterne, proporzionali ai carichi verticali secondo un certo moltiplicatore λ, l’analisi
proposta conduce alla definizione della resistenza globale della parete attraverso un processo di
minimizzazione della classe dei moltiplicatori in esame, come verrà esposto più avanti.
La possibilità di adottare una legge di scorrimento di tipo associato è garantita, per quanto
detto nel secondo paragrafo del presente lavoro, dalla costanza dei pesi gravanti sulle superfici
di contatto fra i blocchi. I risultati che seguono potranno comunque essere corretti, a vantaggio
di sicurezza, assumendo a riferimento, nelle resistenze locali, valori del peso ridotti in modo da
risultare sufficientemente affidabili.
Con riferimento, quindi, al cinematismo schematizzato in Figura 8 di una parete di lunghezza
netta l, altezza h e spessore b (spessore semplice), costituito da due blocchi triangolari soggetti
al peso proprio P e all’azione orizzontale λP, la rotazione generica β della cerniera obliqua si
decompone in una rotazione intorno ad un asse verticale (β sinα), che provoca il lavoro dei
momenti torcenti, ed in una rotazione intorno ad un asse orizzontale (β cosα), che non provoca
lavoro interno (alla Heyman).
Il momento torcente limite tra due blocchi in mezzeria è dato dalla resistenza d’attrito offerta
dalla superficie di contatto pari a metà area del singolo blocco (parte rigata in Figura 9), tale
che, all’innesco del moto, il blocco ruoti intorno al punto C, baricentro della superficie. Tale
momento, ad una generica distanza ξ dalla sommità della parete (Fig. 8), si ottiene dalla (6):
M1 = F1 d1
(18)
in cui, essendo a/2 la lunghezza della superficie resistente, d1 è dato dalla relazione:
2
2


a + a2 + 4b2
1  3 2b + a + 4b
3
2
2
d1 =
a ln
+ 8 b ln
+ 4 a b a + 4b

48 a b 
a
2b


ed F1 è il taglio puro:
(19)
F1 =
τξ a b
µ γ a b ξ tan ϕ
=
2
(20)
2
dove γ è il peso specifico della muratura e µ un coefficiente riduttivo del peso.
A
ξ
D
α
λP
G
P
x
β cos α
β sin α
β
h
B
b
l
Figura 8. Schema del cinematismo ipotizzato
a
C1
C
b
F
Figura 9. La superficie resistente del singolo blocco
Per i blocchi lungo le linee di fessurazione inclinate, soggetti a taglio e torsione, la rotazione
avviene intorno ad un punto C1 (Fig. 9), tale che il momento resistente limite all’altezza ξ è
ricavato dalla (17) e vale:
 F
M 2 = M1 1 − 
 F1 
(21)
Appare ora sufficientemente giustificato assumere, tenuto conto che le resistenze sono
proporzionali ai pesi, che tagli e momenti varino linearmente con l’altezza x. Pertanto il taglio t
per unità di altezza è espresso in funzione dell’azione esterna λP con la relazione:
t=
2λ P
x2
ξ
(22)
e, sapendo che:
P=
µγ bl x
(23)
4
i due momenti m1 e m2 sono espressi dalle relazioni seguenti:
m1 =
m2 =
µ γ a b tanϕ d1
2s
ξ
µ γ a b tanϕ d1 
2s
sl λ 
1 −
 ξ
 a x tan ϕ 
(24)
in cui s è l’altezza del singolo filare.
Il lavoro delle forze interne per il tratto di altezza x definito dall’angolo α (Fig. 8) è dato dalla
relazione:
x
 a tanϕ d1 l d1 λ  2
Lint = 2(m1 + m2 ) β sinα dξ = µ γ b 
−
 x β sinα
s
2x 

0
∫
(25)
ed il lavoro delle forze esterne P e λP, applicate nei baricentri dei due blocchi triangolari, si
scrive nella forma:
Lest = 2 Lλ P − 2 LP =
2
x λ P β cosα − b P β cosα
3
(26)
Uguagliando la (25) e la (26) per il P.L.V., si ha:
2 a tanϕ d1 2
l xλ bl
x − d1 x λ =
−
sl
6
4
(27)
da cui, con le posizioni:
a
s
ψ= ;
tanα =
2x
;
l
δ=
d1
;
l
χ=
b
l
(28)
si ottiene:
λ=
6 δ ψ tan ϕ tan 2 α + 3 χ
(1 + 6 δ ) tan α
(29)
La determinazione del minimo valore di λ fornisce, come è noto in regime di legami
associati, il cinematismo più probabile della struttura e quindi, in questo caso, le dimensioni
delle porzioni di muratura interessate dal collasso.
Condizione necessaria per ottenere il minimo di λ è l’annullarsi della sua derivata prima
rispetto al valore tanα:
∂λ
=0
∂ tanα
(30)
La condizione sufficiente è data da:
∂ 2λ
∂ tan2 α
>0
(31)
La (30) fornisce:
tanα =
χ
2 δ ψ tanϕ
(32)
per cui il minimo valore di λ è:
λ=
6
1+ 6 δ
2 χ δ ψ tan ϕ
(33)
con la condizione, imposta dalla seconda delle (24), che:
λ<
2 χ δ ψ tan ϕ
4δ
(34)
e cioè che sia rispettata la limitazione seguente:
δ<
1
18
(35)
affinché non via sia rottura della parete per scorrimento globale dei blocchi.
Il diagramma in Figura 10 definisce le curve dei moltiplicatori sismici λ in funzione della
lunghezza della parete, per diversi rapporti dimensionali dei blocchi. Si può notare che la
resistenza della parete, misurata come l’azione orizzontale ultima che essa può sopportare prima
che avvenga il collasso, diminuisce, a parità di altezza, con l’aumentare della sua lunghezza, ma
aumenta con l’aumentare del rapporto b/a. In altre parole, come era prevedibile, pareti tozze,
composte da blocchi tozzi, offrono un maggiore contributo alla stabilità, sempre nelle
condizioni in cui sia rispettata la (35).
1,5
λ
1,2
0,9
0,6
b/a=1
b/a=0,5
b/a=0,25
0,3
0
5
8
11
14
17
l/a
20
Figura 10. Curve di λ in funzione della lunghezza della parete, per ψ=5 e tanϕ=0,75
D’altra parte, però, le pareti con blocchi tozzi presentano, a parità di lunghezza, una maggiore
porzione di muratura interessata dal collasso rispetto a quelle composte da blocchi più snelli,
come si può osservare in Figura 11, dalla quale si evince, altresì, che l’altezza x della lesione
verticale cresce proporzionalmente alla lunghezza stessa della parete.
8
x/a
6
b/a=1
b/a=0,5
4
b/a=0,25
2
0
5
8
11
14
17
l/a
20
Figura 11. Altezza della lesione verticale (x) in funzione della lunghezza della parete, per ψ=5 e
tanϕ=0,75
La Figura 12 mostra, infine, che la resistenza della parete è fortemente influenzata dall’attrito,
che manifesta il suo grande contributo già per valori molto bassi.
I risultati testé ottenuti rappresentano la naturale conclusione del lavoro svolto e costituiscono
le premesse necessarie per una promettente direzione d’indagine futura, rivolta a pareti murarie
con tessiture interne geometricamente più complesse.
4
λ
3
b/a=1
2
b/a=0,5
b/a=0,25
1
0
0
5
10
15
20
ϕ
tanϕ
Figura 12. Curve di λ in funzione del coefficiente di attrito, per ψ=5 e l/a=10
5 CONCLUSIONI
L’analisi limite di una parete muraria, collegata a muri trasversali, soggetta al peso proprio e
ad azioni orizzontali normali al suo piano medio, è stata opportunamente basata, nel presente
lavoro, su leggi di scorrimento di tipo associato, garantite, con sufficiente attendibilità, da valori
di sforzo normale localmente noti. In tali ipotesi, valide a rigore per un blocco singolo, è stata
valutata la resistenza globale, misurata come l’azione orizzontale che la parete può sopportare
prima che avvenga il collasso, evidenziando come essa sia fortemente influenzata dai rapporti
dimensionali dei blocchi e dalla presenza dell’attrito.
Poiché l’analisi è stata focalizzata su una particolare classe di possibili cinematismi con cui la
parete può essere portata al collasso, avrà interesse indagare anche su altre eventuali ipotesi di
cinematismo, al fine di pervenire ad una più completa valutazione della resistenza.
Il metodo proposto per una parete a semplice spessore costituisce, infine, il primo passo per
la formalizzazione e la risoluzione del problema di analisi limite di strutture murarie a blocchi
geometricamente complesse.
RINGRAZIAMENTI
L’autore ringrazia il prof. P. Jossa per il continuo incoraggiamento con spunti di riflessione, per
le indicazioni metodologiche e per la proficua partecipazione alla discussione del problema
analizzato.
Lavoro svolto con cofinanziamento M.U.R.S.T. 98.
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