F OGLIO PROBLEMI 0: P ROBLEMI DI RISCALDAMENTO
P ROBABILITÀ – C D S M ATEMATICA – 2013/14
Esercizio 0.1. In un contenitore ci sono 20 palline rosse, 15 palline blu e 18 palline verdi. Si estraggono 10 palline. Determinare la
probabilità
Esercizio 0.5. Un sacchetto contiene 2n caramelle (con n > 5), delle quali n sono al gusto
di menta e n al gusto di limone. Si pesca a caso
nel sacchetto e si mangia la caramella pescata.
Ripetendo questa operazione, a un certo pundi estrarre 10 palline rosse;
to una delle due varietà di caramelle si esaupalline di tre colori differenti;
3 palline verdi, 4 palline rosse e 3 palline risce. Si calcoli la probabilità che il numero di
caramelle dell’altra varietà avanzate sia 5.
blu;
che nessuna pallina sia verde.
Esercizio 0.6. Un contenitore contiene r palline rosse e n palline nere. Le palline vengono
Esercizio 0.2. Calcolare qual è la probabilità che
estratte una ad una, fino a quando rimangoun giocatore di poker riceva
no solo palline dello stesso colore. Calcolare la
esattamente un asso;
probabilità che le palline rimaste siano di colore
esattamente una coppia (cioè due carte rosso.
dello stesso tipo);
Esercizio 0.7. Un circolo tennis organizza un
un tris d’assi;
torneo di doppio, in cui ogni giocatore gioca in
un tris;
un poker servito (quattro carte dello coppia con ogni altro ed ogni coppia si scontra
con ogni altra coppia. Al torneo si iscrivono 10
stesso tipo);
un full (due carte di un tipo e tre carte di partecipanti, di cui 5 uomini e 5 donne. Calcolare il numero totale di partite del torneo. Diun altro tipo);
un colore (le cinque carte sono tutte dello re quale sarebbe il numero totale di partite se il
torneo fosse di doppio misto (cioè ogni coppia
stesso seme).
è formata da un uomo e una donna).
Esercizio 0.3. Il senato della repubblica è comEsercizio 0.8. Alla fine di una concitata finale,
posto da 315 senatori. Durante una votazioi 22 giocatori delle due squadre si scambiano le
ne ogni senatore vota a caso (a favore oppure
maglie, ognuno scegliendo a caso un giocatore
contro, indipendentemente dagli altri) un certo
tra gli altri 21 (si intende che lo scambio è reprogetto di legge. Qual è la probabilità che un
ciproco e ogni giocatore scambia la sua maglia
fissato senatore ha di votare per l’opzione che
una volta sola).
ottiene la maggioranza?
Qual è la probabilità che il numero di giocatori che, dopo lo scambio, indossano
Esercizio 0.4. Supponiamo che, durante delle
votazioni, 2n persone votino per un candidato
ancora la maglia della propria squadra sia
scelto tra k. Un candidato risulta eletto se ricepari a 7?
ve la maggioranza dei voti (i.e. almeno n + 1
Qual è la probabilità che questo numero
voti). Determinare la probabilità che un fissasia pari a 6?
to candidato ha di essere eletto. Determinare la
Qual è la probabilità che questo numero
probabilità che nessun candidato sia eletto.
sia pari a 8?
Esercizio 0.9. Da un contenitore, al cui interno Dire se A1 e A2 sono indipendenti, sia nel caso
vi sono 3 palline rosse e 5 palline nere, vengono in cui le estrazioni siano senza reinserimento,
estratte due palline. Siano
che nel caso in cui siano con reinserimento.
A1 = {pallina rossa nella prima estrazione},
A2 = {pallina nera nella seconda estrazione}.
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© 2013 M. Romito
Esercizio 0.10. Quattro amici, 1, 2, 3 e 4, lasciano le proprie giacche al guardaroba di un locale. Al momento di ritirarle, si accorgono che i
tagliandi si sono mescolati. Sia Ai l’evento per
cui la persona i riceve la propria giacca. Dire se
gli eventi A1 , A2 , A3 , A4 , sono o meno collettivamente indipendenti. Dire se sono o meno a
due a due indipendenti.
Esercizio 0.11. Un’aula contiene 9 banchi, disposti in tre file. Due studenti sono scelti a caso
tra i nove seduti. Se
A = {i due sono seduti in banchi d’angolo},
B = {i due sono seduti nella stessa fila},
calcolare le probabilità dei due eventi. Dire se
gli eventi A, B sono indipendenti.
Esercizio 0.12. Un giocatore riceve 13 carte da Esercizio 0.14. Il giocatore A lancia n + 1 moun mazzo di 52. Qual è la probabilità di ricevere nete, il giocatore B ne lancia n. Calcolare la
probabilità che A abbia più teste di B.
due assi? Qual è più grande tra
1. la probabilità di ricevere esattamente due
assi, sapendo di ricevere l’asso di cuori,
2. la probabilità di ricevere esattamente due
assi, sapendo di ricevere almeno un asso.
Esercizio 0.13. Una malattia ha una incidenza
dell’1%. Il test per rivelare se un individuo è o
meno malato risulta positivo il 95% delle volte per coloro che sono effettivamente malati e il
10% delle volte per i sani. Se un individuo fa il
test e questo è positivo, qual è la probabilità che
abbia davvero contratto la malattia?
Dire qual è la probabilità che l’individuo sia
effettivamente ammalato qualora vengano fatti due test indipendenti (dove cioè le fonti di
errore sono indipendenti da test a test).
Esercizio 0.15. In un concorso a premi ogni solutore deve spedire la sua risposta in una busta.
Il vincitore viene poi estratto tra coloro che hanno inviato la risposta corretta. Tradizionalmente le buste vengono tutte controllate (e si scartano quelle sbagliate), e poi viene estratto il vincitore. Quest’anno, per ridurre i costi, si è deciso di estrarre le buste fino a quando non se ne
trova una contenente la risposta corretta, il cui
solutore risulta il vincitore.
Calcolare la probabilità di vincere, avendo inviato una risposta corretta, nei due
casi. Discutere il risultato.
Calcolare (nel caso del secondo metodo)
il numero atteso di estrazioni necessarie
per estrarre una risposta corretta.
Esercizio 0.16. Calcolare il numero medio di numero di teste risultanti.
assi in una mano di poker.
Esercizio 0.17. Un mazzo contiene n chiavi. Esercizio 0.20. Un contenitore contiene n palliUna sola di queste apre una porta. Qual è il ne rosse e n palline blu. Un giocatore le estrae
numero medio di chiavi che bisogna provare una per una e guadagna un punto se la palla estratta è di colore diverso dalla precedente.
prima di trovare la chiave giusta?
Detta P la v. a. che indica il numero di punti, deEsercizio 0.18. Un lettore MP3 contiene 5000 terminare la probabilità che il giocatore totalizzi
canzoni. Lo shuffle mode del lettore sceglie a ca- almeno tre punti. Determinare il numero atteso
so, indipendentemente da brano a brano, le can- di punti del giocatore.
zoni da riprodurre. Detto T il numero di brani
da ascoltare in modo che la canzone T -esima sia
Esercizio 0.21. Vengono lanciati n dadi. Siano
il primo brano che si ripete nella playlist casuaM il numero di dadi che presentano la faccia
le, determinare la distribuzione di T . Calcolare
di valore massimo ed N il numero di dadi che
inoltre il valore atteso di T .
presentano la faccia di valore minimo.
Esercizio 0.19. Vengono lanciate n monete. Le
1. Trovare la distribuzione di M e di N.
monete che presentano testa vengono lancia2. Calcolare i valori attesi di M e N.
te di nuovo. Determinare il valore atteso del
Esercizio 0.22. Una moneta, che mostra testa
con probabilità p, viene lanciata N volte, dove
N è una v. a. di Poisson di parametro λ. Siano X
il numero di teste e Y il numero di croci. Determinare la distribuzione di X e di Y. Dire se le v.
a. X e Y sono indipendenti.
Esercizio 0.23. Una moneta viene lanciata fino
a quando non siano apparse esattamente 2 teste
consecutive. Sia N la variabile aleatoria che indica il numero di lanci effettuati. Determinare
distribuzione e speranza di N.
Se M è la v. a. che indica il minimo numero
di lanci necessari per vedere uscire (di seguito) la sequenza testa-croce, determinare distribuzione e valore atteso di M. Confrontare con
il risultato precedente.
Se una pratica viene presentata presso lo
sportello A, sia X il numero di passaggi tra gli
uffici necessario perché la pratica ritorni in A.
Calcolare distribuzione e valore atteso di X.
Esercizio 0.27. Una pulce salta, ad ogni secondo, da un vertice a un altro adiacente di un quadrato, scegliendo a caso la direzione in cui muoversi. Se S è il numero totale di secondi che la
pulce impiega per arrivare al vertice B partendo dal vertice A, trovare distribuzione e valore
atteso di S se
1. i vertici A e B sono opposti,
2. i vertici A e B sono adiacenti.
Esercizio 0.24. Estraendo, con reinserimento, i Esercizio 0.28. Un supercomputer riceve richiegettoni della tombola, stimare la probabilità che ste di utilizzo con distribuzione di Poisson con
il gettone 1 esca al più 2 volte in 180 estrazioni. una media 0, 2 di richieste per ora. Ogni utilizzo
richiede un numero di minuti che ha distribuEsercizio 0.25. Lo scrittore P. ha appena termizione geometrica di parametro p ∈ (0, 1). Dunato il suo ultimo romanzo, di circa 30 000 parante questo tempo ulteriori richieste vengono
role. Dai suoi precedenti scritti, si è osservato
cancellate.
che la probabilità di un refuso per una singola
parola nella stesura finale è lo 0.01%. Qual è la
Calcolare la probabilità che vi siano almeprobabilità che ci siano più di 10 errori?
no due richieste di utilizzo in una data
Il correttore di bozze riesce ad individuare
ora.
ogni errore (indipendentemente l’uno dall’alCalcolare la probabilità che una richiesta
tro) con una probabilità del 90%. Qual è il nudi utilizzo richieda più di 5 minuti.
mero medio di errori che conterrà il libro doDeterminare la probabilità che vi siano
po la revisione? Qual è la probabilità che il
r richieste di utilizzo cancellate durante
romanzo non contenga errori?
l’esecuzione di una data richiesta.
Esercizio 0.26. Un ufficio ha 4 sportelli, denominati A, B, C, D. Una pratica viene esaminata
da un singolo sportello e poi passata per essere esaminata ad uno degli altri tre sportelli con
probabilità 13 ognuno.
Determinare la probabilità che se vi sono state r richieste di utilizzo cancellate
durante l’esecuzione di una data richiesta, tale richiesta fosse della durata di 3
minuti.
Esercizio 0.29. Due amici fissano un appuntamento in un certo luogo tra le 12 e le 13. L’accordo è che chi arriva per primo aspetta 20 minuti
(o le ore 13, secondo quale sia l’attesa più breve)
prima di andar via. Qual è la probabilità che i
due amici si incontrino?
coordinate siano i tre lati di un triangolo?
Esercizio 0.31. Le v. a. X, Y sono indipendenti e
distribuite uniformemente sull’intervallo [0, 1].
Su un segmento di lunghezza 1 vengono segnate due tacche a distanze X e Y dall’estremo sinistro. Qual è la probabilità che i tre segEsercizio 0.30. Si sceglie un punto a caso nel menti delimitati dalle tacche siano i lati di un
cubo di lato 1. Qual è la probabilità che le tre triangolo?
Esercizio 0.32. Si scelgono a caso tre punti su
una circonferenza unitaria. Qual è la probabilità che il centro della circonferenza sia un punto
interno del triangolo di vertici i tre punti scelti?
Calcolare il tempo medio del primo
classificato.
Calcolare il tempo medio del secondo
classificato.
Esercizio 0.33. Mostrare che, se X è una v.
a. normale N(0, 1), allora X2 ha distribuzione
chi-quadro χ2 (1).
Verificare che X2 + Y 2 ha distribuzione χ2 (2)
se X, Y sono due normali N(0, 1) indipendenti.
Esercizio 0.37. Le v. a. X e Y sono indipendenti e
hanno entrambe distribuzione normale N(0, 1).
Si consideri il punto (aleatorio) del piano (X, Y)
e siano (R, Θ) le sue coordinate polari. Trovare
la distribuzione di R e di Θ e mostrare che R e Θ
Esercizio 0.34. Mostrare che, se U è una v. a. di- sono indipendenti.
stribuita uniformemente su [0, 1], allora − log U
Esercizio 0.38. Siano X e Y due v. a. indipenha distribuzione Γ (1, 1).
denti con distribuzione uniforme sull’intervallo
Esercizio 0.35. Percorrendo un’autostrada, il [0, 1], e sia α ∈ [0, 1]. Qual è la distribuzione di
conducente di un TIR realizza che il suo vei- αX + (1 − α)Y?
colo viene superato in media una volta ogni 2
Siano poi fX e fY le densità di X e Y. Deminuti. Detto T il tempo che intercorre tra due scrivere una v. a. avente densità αf + (1 −
X
sorpassi, qual è una ragionevole distribuzione α)f .
Y
di T ? Qual è la probabilità che il TIR non subisca sorpassi nei 5 minuti successivi, se è stato Esercizio 0.39. Un dispositivo hardware fornisce
appena sorpassato? Determinare la stessa pro- numeri casuali distribuiti uniformemente nelbabilità se il TIR è stato sorpassato un minuto l’intervallo [0, 1]. Chiamiamo X la v. a. che inprima. Calcolare infine la probabilità che il TIR dica il numero letto dal dispositivo. Spiegare,
sia stato sorpassato meno di 250 volte in 10 ore. giustificando opportunamente le proprie rispoEsercizio 0.36. Tre concorrenti gareggiano in ste, come ottenere, a partire da X, una v. a. la cui
una gara ciclistica a cronometro. Il tempo me- legge descriva
il risultato del lancio di una moneta;
dio di percorrenza del circuito è di 1h 27 0 .
il risultato del lancio di un dado;
Il tempo di ogni concorrente è indipendente
la distribuzione esponenziale;
da quello degli altri due ed ha distribuzione
esponenziale.
Quale può essere un metodo per ottenere una
Determinare la distribuzione del tempo v. a. che abbia, approssimativamente, legge
dell’ultimo classificato.
normale?
Esercizio 0.40. Siano A e R rispettivamente il
1. Mostrare che E[S] = E[T ].
2. Mostrare che E[ST ] = E[T 2 ].
numero di assi ed il numero di re che un giocatore riceve in una mano di poker. Determinare
3. Dire se S e T sono indipendenti, giustifila distribuzione congiunta della coppia (A, R).
cando opportunamente la risposta.
Calcolare il coefficiente di correlazione tra A e
Esercizio 0.42. All’ufficio delle poste ci sono
R.
due sportelli. Il tempo medio di attesa per esEsercizio 0.41. Definiamo una moneta aleatoria sere serviti è, per entrambi, di 20 minuti. Se si
nel seguente modo. Lanciamo 10 monete eque indicano con T1 , T2 i tempi di attesa ai due spored indichiamo con T il numero di teste; noto il telli, qual è una distribuzione ragionevole per T1
valore di T , la moneta aleatoria darà testa con e T2 ? Supponendo che i tempi di attesa ai due
probabilità T . Qual è la probabilità che una sportelli siano indipendenti, calcolare
10
moneta aleatoria dia testa?
Sia S il numero di teste che si ottengono lanciando 10 monete aleatorie indipendenti, tutte
con lo stesso parametro.
la distribuzione del tempo di attesa M
minimo tra i due sportelli;
la distribuzione della v. a. D che rappresenta la differenza (positiva) di tempo che
è p ∈ (0, 1)) per n volte. Se A, M indicano
il numero di teste di Alberto e Marco, rispettivamente, trovare la distribuzione condizionaEsercizio 0.43. Alberto e Marco lanciano ognu- le di A sapendo che il numero totale di teste è
no una moneta (la cui probabilità di dare testa esattamente n.
intercorre tra i due tempi di attesa.
Dire se le v. a. M, D sono indipendenti.
Esercizio 0.44. Un automobilista viene sottoposto al test dell’etilometro. Il tasso alcolemico è
risultato, sulla base di misurazioni successive,
il seguente (i valori sono in g/l),
1,10 1,11 1,03 1,37 1,14 0,91 0,54
0,48 0,94 0,51 0,24 1,34 1,29 0,79
0,53 0,47 0,53 1,01 0,30 0,83 1,07
0,89 0,73 0,93 1,06 0,42 0,88 0,65.
Classificare i dati, rappresentarne le frequenze
in forma di tabella e di istogramma e calcolare gli indicatori di centralità (media, mediana,
moda) e di dispersione (varianza, quartili).
Esercizio 0.49. La BNE, una ditta produttrice
di CPU, dichiara che solo il 0.3% dei loro chip
risulta difettoso.
Si acquista una partita di 20 000 CPU e se
ne trovano 76 difettose. Valutare se si possa
accusare la BNE di dichiarazioni ingannevoli.
Stimare poi la probabilità di trovare 2 CPU
difettose in una partita di 1000.
Esercizio 0.50. Una scatola contiene un numero ignoto di monete n0 . Per darci modo di indovinare tale numero, le monete vengono lanciate e viene contato il numero di teste. RipeEsercizio 0.45. Ci sono 100 lampadine, di ognu- tendo questo esperimento, riceviamo i seguenti
na delle quali si afferma che il tempo di vita me- suggerimenti,
dio è 200 ore. Tuttavia ben 58 lampadine fun692 695 665 674 719
zionano meno di 160 ore. Pensate che vi sia
680 686 658 691 645.
qualcosa di strano?
Quale numero è opportuno rispondere? GiustiEsercizio 0.46. Si ritiene che una barra di metalficare la propria risposta.
lo abbia una lunghezza di 40 cm. Si effettuano
500 misurazioni e si trova una misura media di Esercizio 0.51. Si suppone che l’intensità del se39, 3 cm e una deviazione standard empirica di gnale emesso da un access point e percepito dalla
5 cm.
scheda wireless di un laptop segua la statistica di
Ci sono elementi per dubitare che la lunghez- Rayleigh, di densità
za effettiva sia di 40 cm?
2
2r − rω
e
,
r > 0,
Esercizio 0.47. Un montacarichi da cantiere ha
fω (r) = ω
una portata di 1500 kg. Sapendo che il peso me0
altrimenti.
dio di un uomo adulto è 74.3 kg, con deviazione
standard 6.8 kg, stimare con quale probabilità il
b di massima
1. Trovare lo stimatore ω
peso combinato di 20 persone può superare la
verosimiglianza di ω.
portata del montacarichi.
b quando la scheda
2. Calcolare il valore di ω
rileva i valori
Esercizio 0.48. La macchina che fa i buchi di
una fabbrica di ciambelle produce, in condizio7 6 21 12 17 14 25 13.
ni normali, all’incirca il 5% di ciambelle difettose (cioè senza il buco centrale). Le ciambelb è uno stimatore non distorto.
3. Dire se ω
le sono poi inscatolate in pacchi contenenti 300
Esercizio 0.52. Un dado viene lanciato ripetuciambelle ognuno.
Durante un controllo di qualità viene aperto tamente. Determinare approssimativamente il
un pacco e vengono trovate 22 ciambelle sen- numero di lanci necessario affinché la frequenza
za buco. Che conclusioni si possono trarre sul del 3 disti da 16 per meno di 10−3 con probabilità
funzionamento della macchina?
superiore al 99%.
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