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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
La Ricorsione
Marco D. Santambrogio – [email protected]
Ver. aggiornata al 29 Maggio 2014 Obiettivi
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
•  La ricorsione
Ricordate la sigla GNU
GNU = GNU is Not Unix
GNU = GNU is Not Unix
GNU = GNU is Not Unix
GNU = GNU is Not
GNU = GNU
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La ricorsione: definizione
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•  Dal latino re-currere
§  ricorrere, fare ripetutamente la stessa
azione
•  In informatica: si tratta di
procedure/funzioni che richiamano
se stesse
•  Il concetto di ricorsione viene usato
nel contesto di:
§  algoritmi
§  strutture dati
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La ricorsione: che cos’è?
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•  Ricorsione indiretta:
§  Un sottoprogramma P chiama un
sottoprogramma Q
§  Q a sua volta chiama un terzo R, …
§  R chiama nuovamente P
•  Ricorsione diretta
§  Un sottoprogramma P chiama se
stesso durante la propria esecuzione
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Un esempio classico
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•  Individuare, in un gruppo di palline l’unica
pallina di peso maggiore delle altre facendo
uso di una bilancia “a basculla”
•  Per semplicità: il numero di palline sia una
potenza di 3
•  Algoritmo Pesate:
•  Se il gruppo di palline consiste in una sola pallina,
allora essa è banalmente la pallina cercata,
altrimenti procedi come segue.
–  Dividi il gruppo di palline in tre e confronta due dei tre
sottogruppi.
–  Se i due gruppi risultano di peso uguale scarta entrambi,
altrimenti scarta il gruppo non pesato e quello risultato di
peso minore.
–  Applica l’algoritmo Pesate al gruppo rimanente.
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Altri esempi di ricorsione
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•  La sommatoria di una sequenza di numeri
•  Fattoriale:
Fact(n)=n*Fact(n-1)
Fact(0)=1
•  In arte e non solo…
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Scopo della programmazione ricorsiva
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•  Lo scopo è quelo di risolvere un problema facendo
riferimento allo stesso problma su scala ridotta
•  La condizione di terminazione avviene quando si
identifica uno o più casi semplici con soluzione
immediata
•  La struttura di un algoritmo ricorsivo è il seguente
if (è il caso semplice)
risolvilo
else
usa la ricorsione su dati ridotti
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Il calcolo del fattoriale
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In matematica, se n è un intero
positivo, si definisce n fattoriale e si
indica con n! il prodotto dei primi n
numeri interi positivi minori o uguali
di quel numero
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Il main del fattoriale
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Il fattoriale iterativo
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Definizione ricorsiva del fattoriale
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1) n!=1
2) n!= n*(n-1)!
se n=0
se n>0
§  Riduce il calcolo a un calcolo più semplice
§  Ha senso perché si basa sempre sul
fattoriale del numero più piccolo, che io
conosco
§  Ha senso perché si arriva a un punto in cui
non è più necessario riusare la def. 2) e
invece si usa la 1)
§  1) è il passo base, 2) è il passo di
ricorsione
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Esempio di traccia
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•  Calcoliamo il fattoriale di 4:
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt.
3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt.
2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt.
1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt.
0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo:
il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè
il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè
il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè
il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè
per
per
per
per
4
3
2
1
1*1=1
2*1=2
3*2=6
4*6=24
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Il fattoriale ricorsivo
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Calcolo del Fattoriale in modo ricorsivo:
Fact(n)=n*Fact(n-1)
Fact(0)=1
fat= 1
FattRic(0)
fat=
1
FattRic(1)
fat=
2
FattRic(2)
fat=
6
FattRic(3)
n = 3
main
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Moltiplicazione
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•  Ideare un procedimento ricorsivo per
calcolare il prodotto di due interi
•  Nota: A*1=A; A*B = A + A*(B-1)
int MulRic(int a, int b)
{
int ris;
if (b == 1) ris = a;
else ris = a + MulRic(a ,b–1);
return ris;
}
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Fibonacci
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•  Leonardo Fibonacci
§  Matematico italiano
§  Compie numerosi viaggi e
assimila le conoscenze
matematiche del mondo
arabo, §  Nel 1202 pubblica: il Liber
abaci
§  Con Liber abaci si propose di
diffondere nel mondo
scientifico occidentale le
regole di calcolo note agli
Arabi
•  il sistema decimale
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Il problema dei “conigli”
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“Un tale mise una coppia di
conigli in un luogo
completamente circondato da un
muro, per scoprire quante coppie
di conigli discendessero da
questa in un anno: per natura le
coppie di conigli generano ogni
mese un'altra coppia e
cominciano a procreare a partire
dal secondo mese dalla nascita.”
L. Fibonacci da Liber Abaci
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I numeri di Fibonacci
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Idea di base
1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1
2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1
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Successione di Fibonacci
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•  Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)
•  Fib(0)=0; Fib(1)=1;
int fibRic (int n) {
int ris;
if (n == 0) ris = 0;
else if (n == 1) ris = 1;
else ris = fibRic(n–1) + fibRic(n–2);
return ris;
}
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Un problema interessante:
La torre di Brahma
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La leggenda
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•  Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel
grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al
centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro
dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine
decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.
•  E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i
sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla
prima alla terza colonnina.
•  Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da
Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla
volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.
•  Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti
i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il
tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.
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Le torri di Hanoi
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http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html
Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B
(usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine
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Le torri di Hanoi
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•  Scriveremo una funzione ricorsiva che
prende come parametro il numero del
disco più grande che vogliamo spostare
(da 0 a 5 come nel disegno)
•  La funzione prenderà anche tre
parametri che indicano:
§  da quale asta vogliamo partire (source), §  a quale asta vogliamo arrivare (dest), §  l’altra asta, che possiamo usare come
supporto temporaneo (spare).
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L’idea di base
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•  Voglio spostare n anelli dal piolo
sorgente, a quello destinazione,
usando come appoggio il piolo
ausiliario
§  Devo quindi prima spostare n - 1 anelli
dal sorgente all'ausiliario, usando come
appoggio il piolo destinazione
§  Poi sposto l'unico anello rimasto dal
sorgente al piolo destinazione
§  Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano
sull'ausilliario all'anello destinazione.. 23
L’uso della ricorsione
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•  Quando si spostano gli n - 1 anelli la
funzione hanoi richiama se stessa, cioè
effettua una chiamata ricorsiva,
semplificando però il problema perché
bisogna spostare un numero di anelli
inferiore. •  In pratica, con la ricorsione il problema
viene continuamente ridotto di complessità
fino alla soluzione banale in cui rimane
solo un anello, che viene semplicemente
spostato nel piolo destinazione. 24
Le torri di Hanoi: strategia
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Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C
alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta
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Le torri di Hanoi: pseudocodice
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FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare):
IF disk == 0, THEN:
move disk from source to dest
ELSE:
MoveTower(disk - 1, source, spare, dest)
/* (Passo 1) */
move disk from source to dest
// /
* (Passo 2) */
MoveTower(disk - 1, spare, dest, source)
// /
* (Passo 3) */
END IF
Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più
piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo
direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi,
seguiamo la procedura descritta per il disco 5.
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Codice
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void hanoi(int n, int sorgente, int destinazione, int aux) {
if (n==1)
printf("Sposto da %d a %d.\n",sorgente, destinazione);
else{
hanoi(n - 1, sorgente, aux, destinazione);
hanoi(1, sorgente, destinazione, aux);
hanoi(n - 1, aux, destinazione, sorgente);
}
}
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Esercizio: Massimo di un array
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•  Ideare un procedimento ricorsivo per
calcolare il massimo di un array di interi
•  Idea: max(vect[0 : N])
=max(vect[0],max(vect[1 : N]))
int max(int *array, int n){
int maxs;
if (n==1) return array[0]; /*Caso Array 1 elemento*/
if (n==2){
/*Caso Base*/
if (array[0]>array[1]) return array[0];
else return array[1];
}
maxs = max(&array[1],n-1); /*Risolvi Problema Ridotto*/
if (array[0]>maxs)return array[0];
else return maxs;
}
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Fonti per lo studio + Credits
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•  Fonti per lo studio
§  Introduzione alla programmazione in MATLAB,
A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti,
P.Spoletini, Ed.Esculapio
•  Capitolo 4
–  Particolare attenzione al 4.5
•  Credits
§  Prof. A. Morzenti
§  Gianluca Palermo
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