Capitolo 1 Notazioni Elenchiamo di seguito alcune notazioni che verranno ripetute diverse volte nel corso di questi appunti. Spazi c0 : Denoteremo con c0 lo spazio vettoriale delle successioni infinitesime a valori in R, cioè c0 = {{xn } ⊆ R | lim xn = 0}. n→∞ Generalmente a c0 sarà associata la norma infinito kxk∞ = supn |xn |. Insiemi Br (¯ x): Dato uno spazio vettoriale normato (X, k · k), denoteremo con Br (¯ x) la palla chiusa di centro x ¯ ∈ X e raggio r > 0, cioè Br (¯ x) = {x ∈ X | kx − x ¯k ≤ r}. Qualora non venisse specificato x ¯, si intenderà implicitamente x ¯ = 0. Qualora ci fosse ambiguità nella scelta k·k x)). della norma, sarà specificata ad apice (Br (¯ 1 2 Capitolo 2 Stream of consciousness Lo “stream of consciousness” si riferisce a quella parte degli appunti che è stata riportata qui più o meno così com’è stata presa a lezione, senza essere rivista né sistemata. Poco per volta, ciascuna lezione presente in questo capitolo verrà rielaborata e spostata in quello successivo, come versione più “definitiva”. 2.1 Lezione 01/10/14 (Novaga) Sistemata e spostata nel capitolo successivo! 2.2 Lezione 02/10/14 (Novaga) Vediamo alcuni corollari di Hahn-Banach: Corollario 2.2.1. Sia E uno spazio di Banach, G < E sottospazio vettoriale, g : G → R applicazione lineare continua. Allora ∃f ∈ E ∗ che estende g; inoltre kf k = kgk. Dimostrazione. Applicazione immediata di Hahn-Banach Corollario 2.2.2. Sia E uno spazio vettoriale normato, sia x ∈ E. Allora ∃f ∈ E ∗ tale che kf k = kxk e f (x) = kxk2 . Dimostrazione. Se x = 0 il risultato è banale. Se x 6= 0, sia G = hxi e g : tx 7→ tkxk2 : vale kgk = kxk e dunque si può estendere g ad una f ∈ E ∗ che verifica la tesi. Osservazione 2.2.3. Se nel Corollario 2.2.2 lo spazio E è di Hilbert, sappiamo che f è unica ed è hx, ·i; inoltre l’applicazione ϕ : x 7→ f è lineare. Tutto ciò non si verifica in generale. Esempio 2.2.4. Prendendo E = R2 con la norma k·k1 , applicando il Corollario 2.2.2 a x = (1, 0) non è soddisfatta l’unicità di f . 3 Teorema 2.2.5 (Hahn-Banach - forma geometrica). Sia E uno spazio vettoriale normato, siano A, B ⊆ E insiemi convessi disgiunti e non vuoti, supponiamo inoltre che A sia aperto. Allora ∃f ∈ E ∗ e ∃α ∈ R tali che f (x) ≤ α ≤ f (y) ∀x ∈ A ∀y ∈ B, cioè l’iperpiano chiuso {f = α} separa A da B. Esercizio 2.2.6. Sia f : E → R un’applicazione lineare non identicamente nulla. Allora {f = α} è un iperpiano ∀α ∈ R; inoltre {f = α} è chiuso se e solo se f è continua ∀α ∈ R. Dimostrazione. Se {f = α} è chiuso, prendiamo x0 6∈ {f = α} tale che f (x0 ) < α: allora ∃r > 0 tale che Br (x0 ) ∩ {f = α} = ∅, per cui f < α su Br (x0 ); in particolare, f sarà continua. [...] Osservazione 2.2.7. Gli iperpiani possono essere o chiusi o densi (in dimensione infinita). Dimostrazione (Hahn-Banach - forma geometrica). Dimostriamolo in passi successivi. 1. Se B = {x0 } con x0 6= 0 e 0 ∈ A, sia p(x) = kxkA = inf{t ∈ R | x ∈ tA} una seminorma su E; sia G = hx0 i = {tx0 ∈ E | t ∈ R, sia g : G → R | g(tx0 ) = t. Osserviamo che x0 6∈ A ⇒ p(x0 ) ≥ 1 e dunque g(x) ≤ p(x) ∀x ∈ G. Di conseguenza possiamo applicare Hahn-Banach ed estendere g a f ∈ E ∗ , che soddisferà kf k(x) ≤ p(x) ∀x ∈ E. Essendo A aperto, per ogni x ∈ A esisterà t < 1 tale che x ∈ tA, in particolare f (x) ≤ p(x) < 1 su A; d’altra parte f (x0 ) = 1, e dunque α = 1 separa A e B. 2. Se B = {0}, è sufficiente traslare per ricondursi al punto 1. 3. Nel caso generale, sia A0 = A − B: questo insieme è aperto (è unione di copie traslate di A) e non contiene lo 0 (intersezione vuota). Sia dunque B 0 = {0}: posso applicare il punto 2 e ottenere f che separa 0 da A0 , con f |A0 < 0. In particolare, f (x − y) < 0 ∀x ∈ A ∀y ∈ A, che implica f (x) < f (y); di conseguenza avremo supA f (x) ≤ inf B f (y), e potremo trovare α che separa. Teorema 2.2.8. Sia E uno spazio vettoriale normato, siano A, B ⊆ E insiemi convessi disgiunti e non vuoti, supponiamo inoltre che A sia chiuso e B compatto. Allora ∃f ∈ E ∗ , ∃α ∈ R tali che f (x) < α < f (y) ∀x ∈ A ∀y ∈ B. Dimostrazione. Sia Bε l’“ingrassato” di B, cioè Bε = B + Bε (0) aperto. Vogliamo mostrare che per ε sufficientemente piccolo vale A ∩ Bε = ∅: in questo modo potremo separare fortemente A e B applicando Hahn-Banach a Bε/2 , A. Supponiamo per assurdo che esista una successione (zn ) tale che zn ∈ B1/n ∩ A ∀n ∈ N: si conclude per ragioni di compattezza. Corollario 2.2.9. Sia E uno spazio vettoriale normato, sia F < E un sottospazio vettoriale non denso in E. Allora ∃f ∈ E ∗ \ 0 tale che F ⊆ ker f ; in particolare, se F è un iperpiano chiuso, F = {f = 0}. Dimostrazione. Sia A = F¯ , x0 6∈ F¯ e B = {x0 }: per ogni x ∈ F¯ possiamo separare fortemente {x0 } da F¯ , ottenendo f (x) < α; tuttavia, essendo f lineare e F un sottospazio, questo è possibile se e solo se f |F ≡ 0. 4 Teorema 2.2.10 (Banach-Steinhaus, o uniforme limitatezza). Siano E, F spazi di Banach, sia {Ti }i∈I una famiglia di funzionali in L(E, F ) = {T : E → F | T lineare e continuo}. Supponiamo inoltre che valga sup kTi (x)kF < +∞ ∀x ∈ E : i∈I allora vale anche sup kTi kL(E,F ) < +∞, i∈I cioè ∃c : kTi (x)k|F ≤ ckxkE per ogni x ∈ E, ∀i ∈ I. Lemma 2.2.11 (Baire). Sia E uno spazio metrico completo e sia (Xn ) una successione di chiusi di E con parte interna vuota. Allora anche la loro unione ha parte interna vuota. Dimostrazione. Sia On = E \ Xn ∀n T ∈ N: questi saranno aperti e densi in E. La tesi T diventa quindi equivalente a dimostrare che On è ancora denso in E, o equivalentemente che On ∩A 6= ∅ per ogni aperto A ⊆ E. Procediamo nel seguente modo: 1. Sia x1 ∈ O1 ∩ A (∃ perché O1 è denso): in particolare ∃r1 > 0 tale che Br1 (x1 ) ⊆ O1 ∩ A. 2. Dati x1 , . . . , xn e r1 , . . . , rn , sia xn+1 ∈ On+1 ∩ Brn (xn ): anche in questo caso ∃rn+1 > 0 tale che Brn+1 (xn+1 ) ⊆ On+1 ∩ Brn (xn ); in particolare imporremo rn+1 < rn /2. 3. Essendo rn ≤ r1 /2n−1 , seguirà che xn è una successione di Cauchy; in particolare avrà limite xn → x, essendo E completo. T 4. Giocando sulla compattezza delle palle chiuse, otteniamo x ∈ Oi ∩ A. Osservazione 2.2.12. Non esiste una norma che renda RN (successioni reali definitivamente nulle) uno spazio di Banach: possiamo infatti considerare la catena R ( R2 ( R3 ( . . .: si tratta di chiusi con parte interna vuota, la cui unione è RN stesso; in particolare il lemma di Baire non sarà verificato. Dimostrazione (Banach-Steinhaus). Sia Xn = {x ∈ E | kTi (x)k ≤ n ∀i ∈ I}: si tratta di un insieme chiuso (è intersezione di chiusi) e la sua unione è tutto E. Per il lemma di Baire possiamo ˚n 6= ∅; esisteranno in particolare x ∈ X ˚n , r > 0 tali che Br (x) ⊆ X ˚n ⊆ Xn , dire che ∃n0 : X 0 0 0 0 da cui kTi (x + ry)k ≤ n0 ∀i ∈ I ∀y ∈ B1 e infine kTi (y)k ≤ n0 /r + kTi (x/r)k ≤ c ∀i ∈ I ∀y ∈ B1 . Corollario 2.2.13. Sia (Tn ) una successione in L(E, F ) tale che Tn ha limite Tn (x) → T (x) ∀x ∈ E. Allora T ∈ L(E, F ), supn kTn k < ∞ e kT k ≤ lim supn kTn k. In generale può non valere Tn → T in L(E, F ), e si può avere kT k < lim supn kTn k. Esempio 2.2.14. Sia E = L2 (0, 2π) e Tn = sin(nx) ∈ H ∗ ∼ = H, cioè Z 2π Tn (f ) = sin(nx)f (x)dx 0 Si verifica che Tn (f ) → 0 per ogni f ∈ E; tuttavia kTn k = √ π. Corollario 2.2.15. Sia E uno spazio di Banach e A ⊆ E un sottoinsieme. Allora A è limitato se e solo se f (a) è limitato per ogni f ∈ E ∗ . Dimostrazione. Per ogni a ∈ A, sia Ta (f ) = f (a) : E ∗ → R. [...] 5 Corollario 2.2.16. Sia E uno spazio vettoriale normato. Allora vale kxk = sup f (x) ∀x ∈ E f ∈E ∗ kf k≤1 Dimostrazione. f (x) ≤ kf kkxk ≤ kxk, dunque kxk ≥ sup f (x). Per l’altra freccia, scrivere il funzionale simil-Ritz. [...] 2.3 Esercitazione 07/10/2014 (Gelli) Un esercizio tipico di questo corso sarà, dati due spazi vettoriali normati (X, k · kX ), (Y, k · kY ) e un’applicazione T : (X, k · kX ) → (Y, k · kY ), dire se T è lineare, se è limitata, calcolare la sua norma e dire se è assunta (cioè se la norma è effettivamente un max). Osservazione 2.3.1. Se X = Rn e Y = Rm e T : X → T è lineare, si possono fare le solite considerazioni sulla matrice associata. Si verifica inoltre che le applicazioni lineari in dimensione finita sono continue. Esercizio 2.3.2. Sia T : (Rn , k · k1 ) → (Rm , k · k1 ) un operatore lineare: calcolare kT k. Si tratta di una norma matriciale? Esercizio 2.3.3. Sia T : (Rn , k · kp ) → R un operatore lineare: calcolare kT k. Esercizio 2.3.4. Sia X = C 0 ([a, b]), sia x ¯ ∈ ]a, b[ fissato e sia T : (X, k · k∞ ) → R t.c. T (f ) = f (¯ x). Dimostrare che T è continua e calcolare kT k. Dimostrazione. • T è lineare: verifica immediata. • T è limitata: |T (f )| = |f (¯ x)| ≤ max |f (x)| = kf k∞ ; [a,b] in particolare f è continua. • T = 1 perchè f ≡ 1 soddisfa con l’uguaglianza (2.3). Esercizio 2.3.5. Si consideri il caso dell’esercizio precedente, ponendo però su X la norma 1. Dire se T è continua e in caso calcolarne la norma. Dimostrazione. T è ancora lineare (ovviamente). Tuttavia, questa volta risulta non limitata, in quanto è facile trovare una successione di funzioni fn ∈ X di norma unitaria che diverga in un punto fissato. Esercizio 2.3.6. Sia X = C 1 ([a, b]) con la norma kf kC 1 = kf k∞ + kf 0 k∞ e sia Y = C 0 ([a, b]) con la norma kgk∞ . Sia T : (X, k · kC1 ) → (Y, k · k∞ ) t.c. T (f ) = f 0 : dire se T è lineare, se è continua e determinare kT k. Dimostrazione. • T è lineare: verifica immediata. 6 • T è limitata: kT (f )k∞ = kf 0 k∞ ≤ kf 0 k∞ + kf k∞ = kf kC 1 ; in particolare T è continua. • kT k = 1: basta considerare la successione fn (x) = norma non è assunta: infatti 1 n sin(nx). Notare che in questo caso la kf 0 k∞ = kf kC 1 ⇐⇒ kf k∞ = 0 ⇐⇒ f ≡ 0. Un’altra casistica tipica è X = `p con p ≥ 1 (eventualmente p = ∞), con le norme solite. [Seguono considerazioni varie e già viste sugli spazi `p ] Esercizio 2.3.7. Sia T : `2 → `1 tale che T (x1 , x2 , x3 , . . .) = x x2 x3 , ,... . 1 2 3 1 , Dimostrare che T è ben definita, che è continua come T : (`2 , k · k2 ) → (`1 , k · k1 ), calcolare kT k e dire se è continua anche come T : (`2 , k · k2 ) → (`1 , k · k2 ). Dimostrazione. • T è ben definita: immediato per la disuguaglianza di Hölder. • T è lineare: immediato. • T è limitata: sempre per Hölder; in particolare T è continua. pP 1/n2 : Hölder + x = (1, 1/2, 1/3, . . .) ∈ `2 . • kT k = • Il resto è lasciato per casa. 2.4 Lezione 08/10/2014 - Novaga Teorema 2.4.1 (Mappa aperta). Siano E, F spazi di Banach, sia T : E → F un operatore lineare continuo e surgettivo: allora T è una mappa aperta. Dimostrazione. • Per linearità, è sufficiente dimostrare che ∃c ∈ R+ tale che Bc ⊆ T B1 . S S S • Chiaramente N Bn = E, dunque per surgettività N T Bn ⊇ N T Bn = F ; per il lemma di Baire troviamo n ∈ N tale che T Bn = nT B1 abbia parte interna non vuota. In particolare, ∃y0 ∈ F , ∃c ∈ R+ tali che B(y0 , 4c) ⊆ T B1 . • Per linearità, anche −y0 ∈ T B1 da cui, per convessità, T B1 ⊇ B(y0 , 4c) − y0 ⊇ B2c . 2 • Se y1 ∈ Bc ⊆ T B1/2 , allora ∃x1 ∈ B1/2 tale che kT x1 −y1 k < c/2. Definiamo iterativamente yn+1 = yn − T xn : avremo per induzione yn ∈ Bc/2n−1 ⊆ T B1/2n , e troveremo xn ∈ B1/2n tale che kyn+1 k = kT xn − yn k < c/2n . Si verifica dunque n n X X y1 = yn+1 + T xi ⇒ y1 − T xi = kykn+1 < c/2n . i=1 i=1 7 Pn • Chiaramente x ˜n = i=1 xi è una successione di Cauchy e convergerà ad un certo x ∈ B1 ; tuttavia T x ˜n → y1 , e per continuità T x = y1 , cioè y1 ∈ B1 . Corollario 2.4.2. Se T del teorema precedente è bigettiva, allora è un omeomorfismo. Corollario 2.4.3. Se nel teorema precedente E = (X, k · k2 ), F = (X, k · k1 ) e T = Id è continua, allora le due norme sono equivalenti; equivalentemente ∃c ∈ R+ t.c. k · k1 ≤ ck · k2 sse ∃c0 ∈ R+ t.c k · k2 ≤ c0 k · k1 . Rx Esempio 2.4.4. T (f ) = 0 f è lineare, continua ma non chiusa, poiché ha immagine densa. Teorema 2.4.5 (Grafico chiuso). Sia T : E → F un operatore lineare tra spazi di Banach: allora E × F è di Banach con la norma kX, Y k = kXkE + kY kF . Sia inoltre Γ(T ) = {(x, T x) | x ∈ E} il grafico di T : allora T è continuo sse Γ(T ) è un chiuso. Dimostrazione. (⇒) Sia (xn , yn ) ⊆ Γ(T ) una successione convergente a (x, y): in particolare avremo yn = T xn , e per continuità y = T x, per cui (x, y) ∈ Γ(T ). (⇐) Consideriamo la norma kxkT = kxkE + kT xkF su E: • Per definizione di k · kT , una successione xn è di Cauchy in (E, k · kT ) se e solo se xn è di Cauchy in (E, k · kE ) e T xn è di Cauchy in (F, k · kF ). In particolare, se xn è di Cauchy in (E, k · kT ), avremo (xn , T xn ) → (x, y) in E × F , da cui y = T x per chiusura del grafico. Dato che kx − xn kT = kx − xn kE + kT x − T xn kF , segue immediatamente che xn → x anche in (E, k · kT ), che sarà uno spazio di Banach. • Dato che k · kE ≤ k · kT , per il Corollario 2.4.3 ∃c ∈ R+ tale che k · kT ≤ ck · kE ; in particolare kxkE + kT xkF ≤ ckxkE ⇒ kT xkF ≤ (c − 1)kxkE ∀x ∈ E, dunque T è limitata (e continua). Definizione 2.4.6. Siano E, F spazi di Banach, D < E un sottospazio vettoriale. Un operatore lineare T : D → F si dice chiuso se il suo grafico è chiuso in E × F . Esempio 2.4.7. Se D 6= E, non è più garantito che T è chiuso sse Γ(T ) è chiuso. Sia per esempio E = F = C 0 con la norma k · k∞ , D = C 1 e T : D → F tale che T (f ) = f 0 : si verifica che T è lineare, ha grafico chiuso, ma non è limitata. Definizione 2.4.8. Sia E uno spazio di Banach e G < E un sottospazio chiuso. Diremo che un sottospazio chiuso L < E è supplementare topologico di G se E = G ⊕ L. Esempio 2.4.9. Un sottospazio chiuso può non ammettere supplementare topologico. Un esempio di ciò è c0 < `∞ , ma non è facile da dimostrare. Proposizione 2.4.10. Se un sottospazio chiuso G < E ha dimensione o codimensione finita, allora G ammette supplementare topologico. Dimostrazione. Vedi appunti di Mufasa. Esempio 2.4.11. Se G < H con H spazio di Hilbert, allora G è chiuso e ha supplementare topologico G⊥ . Teorema 2.4.12. Sia E uno spazio di Banach. Allora lsse: 8 (i) Ogni G < E sottospazio chiuso ammette supplementare topologico; (ii) Esiste una norma Hilbertiana equivalente a k · kE . Senza dimostrazione. Teorema 2.4.13. Sia E uno spazio di Banach, siano G, L < E sottospazi chiusi tali che G + L sia chiuso. Allora ∃c ∈ R+ tale che ∀z ∈ G + L esistono x ∈ G e y ∈ L tali che x + y = z e kxk, kyk ≤ ckzk. Dimostrazione. Sia T : G × L → G + L tale che T (x, y) = x + y: • T è lineare e surgettiva: verifiche immediate. • T è continua: kx + yk ≤ kxk + kyk. • Dunque T è una mappa aperta, ed esisterà r ∈ R+ tale che T B1 ⊇ Br ; in particolare ∀z ∈ E : kzk = r esistono x ∈ G, y ∈ L tali che x + y = z e kxk + kyk ≤ 1. • Per linearità, possiamo dire che ∀z ∈ E : kzk = 1 esistono x ∈ G, y ∈ L tali che x + y = z e kxk + kyk ≤ 1r kzk. Definizione 2.4.14. Siano E, F spazi di Banach, sia T ∈ L(E, F ): si dice che T ha inverso destro se ∃S ∈ L(F, E) tale che T ◦ S = IdF ; in particolare T sarà surgettivo e S iniettivo. Analogamente definiremo l’inverso sinistro come S ∈ L(F, E) tale che S ◦ T = IdE ; in questo caso T sarà iniettivo e S surgettivo. 2.5 Lezione 09/10/2014 Teorema 2.5.1. Siano E, F spazi di Banach. Allora: 1. Se T ∈ L(E, F ) è surgettivo, allora T ha inverso destro sse ker T ammette supplementare topologico; 2. Se T ∈ L(E, F ) è iniettivo, allora T ha inverso sinistro sse Im T è chiusa e ammette supplementare topologico. Dimostrazione. 1. Dimostriamo le due frecce. (⇒) Sia S ∈ L(F, E) tale che T ◦ S = IdF , sia L = Im S < E. ker(T ) ∩ L = {0}: infatti x ∈ ker(T ) ∩ L ⇒ x = S(y), T (x) = 0 ⇒ y = T ◦ S(y) = 0 ⇒ ker(T ) + L = E: infatti x∈E ⇒ y = T (x) ∈ Im T ⇒ x0 = S ◦ T (x) ∈ Im S = L, T (x − x0 ) = T (x) − T (x0 ) = y − T (S(T (x)) = y − T ◦ S(y) = 0 9 ⇒ x − x0 ∈ ker(T ); x=0 dunque x = (x − x0 ) + x0 ∈ ker(T ) + L. L è un chiuso: sia xn → x una successione convergente, con xn ∈ L ∀n ∈ N e x ∈ E; in particolare ∀n ∈ N esiste yn ∈ F tale che xn = S(yn ), da cui yn = T ◦ S(yn ) = T (xn ). Dato che F è uno spazio di Banach, per continuità di S e T abbiamo yn → y e xn = S(yn ) → S(y) = x, cioè x ∈ Im S = L. (⇐) Sia L il supplementare topologico di ker(T ): allora E = ker(T ) ⊕ L e ha senso definire il proiettore PL : E → L | x + x0 7→ x0 dove x ∈ ker(T ) e x0 ∈ L. Per ogni y ∈ F , per surgettività ∃x ∈ E : T (x) = y; definiremo dunque S(y) = PL (x). S è ben definita. Infatti se T (x1 ) = T (x2 ) allora x1 − x2 ∈ ker(T ) e PL (x1 ) = PL (x2 ). S è un operatore lineare perché lo è il proiettore PL . T ◦ S(y) = T (PL (x)) = T (x) = y. Per la mappa aperta ∃c > 0 : kT (x)k ≥ ckxk ∀x ∈ E; in particolare, se x = S(y): kT (S(y))k = kyk ≥ ckS(y)k ⇒ kS(y)k ≤ c−1 kyk ∀y ∈ F, dunque S è limitata (e continua). 2. Dimostriamo le due frecce. (⇒) Sia S ∈ L(F, E) tale che S ◦ T = IdE . In particolare T sarà inverso destro di S e, per la dimostrazione del primo punto, ker S ammetterà supplementare topologico Im T ; essendo la proprietà di essere supplementare topologico simmetrica, ker S è il supplementare topologico di Im T cercato. (⇐) Sia E = L ⊕ Im(T ) e P ∈ L(F, F ) proiettore su Im(T ). Sia S(y) = T −1 (P (y)), che è ben definita in quanto T è iniettiva e P (y) ∈ Im(T ), e soddisfa S ◦ T = IdE . Dato che T : E → Im(T ) è bigettiva, per un corollario del teorema della mappa aperta sarà un omeomorfismo e di conseguenza S ∈ L(F, E). Osservazione 2.5.2. Dato che c0 < `∞ è un chiuso che non ammette supplementare topologico, l’immersione c0 → `∞ non ammette inversa sinistra, cioè non esiste T ∈ L(`∞ , `∞ ) tale che T |c0 sia l’identità. 0 Esercizio 2.5.3. Se p ∈ ]1, ∞[, allora (`p )∗ = `p dove p0 soddisfa 1/p + 1/p0 = 1. Inoltre (`1 )∗ = `∞ e c∗0 = `1 , ma (`∞ )∗ ) `1 . Osservazione 2.5.4. In generale, E si può immergere isometricamente in E ∗∗ tramite un operatore lineare continuo J ∈ L(E, E ∗∗ ), tale che J(E) sia un chiuso di E ∗∗ . Se J è surgettivo, allora E viene detto riflessivo. Questo operatore J è la valutazione, cioè (J(x))(f ) = f (x); rispetterà dunque kJ(x)kE ∗∗ = supB1E∗ f (x) = kxkE . Topologia debole Definizione 2.5.5. Sia (E, k · k) uno spazio di Banach, E ∗ il suo spazio duale. Chiameremo topologia debole la topologia σ(E, E ∗ ) su E meno fine tra tutte quelle che rendono continua ogni f ∈ E ∗ . Tale topologia esiste sempre, dato che quella indotta da k · k rende continua ogni f ∈ E ∗ e intersezione di topologie è ancora una topologia. Seguono alcuni fatti non dimostrati; si sistemano ma bisogna perderci un po’ di tempo. Osservazione 2.5.6. σ(E, E ∗ ) deve contenere f −1 (I) per ogni I ⊆ R intervallo aperto, per ogni f ∈ E∗. 10 Osservazione 2.5.7. Ogni aperto Ω ∈ σ(E, E ∗ ) contiene una retta. Osservazione 2.5.8. Se la dimensione di E è infinita, allora gli aperti di σ(E, E ∗ ) sono illimitati. Esercizio 2.5.9. Se B1 = {x ∈ E | kxk ≤ 1} è la palla chiusa unitaria, determinare la sua parte σ interna intσ (B1 ), la sua chiusura B1 nella topologia debole. Inoltre, se S1 = {x ∈ E | kxk = 1} σ è la sfera unitaria, determinare S1 . 2.6 Lezione 15/10/14 Continuiamo con la teoria generale sulla topologia debole. Vantaggio: meno aperti → compatti. Una base di aperti per σ è data dalle intersezioni finite di iperspazi. Notazione: xn * x convergenza in σ(E, E ∗ ). Osservazione 2.6.1. La topologia forte coincide con quella debole iff siamo in dimensione finita. Infatti dim E = +∞ ⇒ tutti gli aperti di σ(E, E ∗ ) sono illimitati (anzi, di più: contengono un sottospazio chiuso di codimensione finita). Osservazione 2.6.2. σ(E, E ∗ ) separa i punti (H-B II). Teorema 2.6.3. Se C ⊆ E convesso, allora C chiuso iff C debolmente chiuso. Osservazione 2.6.4. Se dim E = +∞, allora (E, σ(E, E ∗ )) non è metrizzabile. Ricordiamo che in generale compattezza per ricoprimenti e successioni sono cose diverse. Osservazione 2.6.5. Se xn → x, allora xn * x. Non vale il viceversa; sia per esempio xn = en in `2 : xn non può convergere, tuttavia xn * 0, in quanto hy, xn i = yn → 0 ∀y ∈ `2 (gli elementi del duale corrispondono al prodotto scalare). Questo controesempio funziona in tutti gli `p quando p ∈ ]0, ∞[. Esercizio 2.6.6. In `1 convergenza forte e debole coincidono (questo può succedere perché la topologia debole non è metrizzabile). Proposizione 2.6.7. Se xn * x, allora 1. ∃C > 0 : kxn k ≤ C ∀n ∈ N; 2. kxk ≤ lim inf n kxn k; 3. Se fn → f in E ∗ , allora fn (xn ) → f (x); 4. ∃yk combinazioni convesse di x1 , . . . , xnk tale che yk → x. Dimostrazione. 1. f (xn ) → f (x), dunque f (xn ) è limitato ∀f ∈ E ∗ ; per un corollario di B.S. xn è limitato. 2. f (xn ) → f (x), ma anche |f (xn )| ≤ kf kkxn k, da cui |f (x)| ≤ kf k lim inf kxn k; concludiamo passando al sup. 3. |fn (xn ) − f (x)| ≤ |fn (xn ) − f (xn )| + |f (xn ) − f (x)| ≤ kfn − f kE ∗ kxn kE + |f (xn ) − f (x)| → 0. 11 σ 4. Sia C = conv{xn } convesso debolmente chiuso. Allora x ∈ C, ma C è chiuso ed esisterà una successione convergente a valori in C (??). Osservazione 2.6.8. La (3) non funziona se fn * f . Sia per esempio en ∈ `2 e fn = en ∈ `2 = (`2 )∗ . Corollario 2.6.9. Sia ϕ : E → R ∪ {+∞} convessa. Allora ϕ è semicontinua inferiormente iff è debolmente semicontinua inferiormente (ricordiamo che semicontinua inferiormente significa che ϕ−1 (]−∞, α]) è un chiuso per ogni α ∈ R). Dimostrazione. ϕ−1 (]−∞, α]) chiuso debole iff ϕ−1 (]−∞, α]) chiuso forte, per convessità (?). Osservazione 2.6.10. k · k è debolmente semicontinua inferiormente, ma non è debolmente continua. Definizione 2.6.11. Topologia debole ∗ su E ∗ , denotata σ(E ∗ , E): è la topologia meno fine tra quelle che rende continue tutte le f ∈ J(E) ⊆ E ∗∗ . Osservazione 2.6.12. E è riflessivo iff σ(E ∗ , E) = σ(E ∗ , E ∗∗ ). Osservazione 2.6.13. σ(E ∗ , E) separa i punti: infatti, se f1 , f2 ∈ E ∗ con f1 6= f2 , allora ∃α ∈ R, ∃x ∈ E tali che wlog f1 (x) < α < f2 (x). Separo con A1 = {f | f (x) < α} e A2 = {f | f (x) > α}. Notazione: fn * f convergenza debole ∗. ∗ Proposizione 2.6.14. Valgono le seguenti: 1. fn * f iff fn (x) → f (x) per ogni x ∈ E; ∗ 2. fn * f implica fn * f ; ∗ 3. fn * f implica kfn k ≤ C per qualche C > 0 e kf k ≤ lim inf n kfn k; ∗ 4. fn * f , xn → x implica fn (xn ) → f (x). ∗ Dimostrazione. Analogamente alla topologia debole. Osservazione 2.6.15. Non è detto che C convesso chiuso sia anche debole ∗ chiuso. Esempio 2.6.16. E non riflessivo implica J(E) < E ∗∗ chiuso, debole chiuso ma debole ∗ denso (lo dimostreremo). Teorema 2.6.17 (Banach-Alaoglu). La palla chiusa B E ∗ = {f ∈ E ∗ | kf k ≤ 1} è debole ∗ compatta. Dimostrazione. X = {f : E → R} = RE , dotato della topologia prodotto, che è la meno fine tra quelle che rendono continue le valutazioni per ogni x ∈ E. E ∗ < X è un sottospazio chiuso, e la topologia prodotto ristretta coincide con la topologia debole ∗. kf k ≤ 1 vuol dire |f (x)| ≤ kxk ∀x ∈ E, da cui Y B E∗ = E ∗ ∩ [−kxk, kxk] =: E ∗ ∩ K, x∈E con K ⊆ X compatto. Essendo E ∗ chiuso, allora B E ∗ è compatto per la topologia prodotto. 12 Osservazione 2.6.18. Questi risultati valgono per la topologia debole ∗, che nel caso riflessivo (che è quello tipico) coincide con quella debole. In generale, nel caso non riflessivo, Banach-Alaoglu non si può applicare alla topologia debole. Esempio 2.6.19. `1 = c∗0 . Sia E = c0 : la palla unitaria non è debolmente sequenzialmente compatta. Infatti (en ) sta nella palla unitaria, en * 0 ma non converge debole. ∗ 2.7 Lezione 16/10/2014 Osservazione 2.7.1. Se C è un chiuso della topologia debole σ(E, E ∗ ), allora è anche sequenzialmente chiuso. Il viceversa non è necessariamente vero. Esempio 2.7.2. {x ∈ `1 | kxk = 1} è un chiuso forte, è debolmente sequenzialmente chiuso ma σ ∂B1 = B1 . Osservazione 2.7.3. Se K è compatto in σ(E, E ∗ ), non è necessariamente sequenzialmente compatto. J ∗ Esempio 2.7.4. E = `∞ , B1E è compatta per σ(E ∗ , E) Vale anche E = (`1 )∗ , da cui `1 ,→ (`∞ )∗ . xn = J(en ) agisce su `∞ : y ∈ `∞ 7→ hxn , yi, xn * x ⇒ . . . ⇒ E. 13 14 Capitolo 3 Versione quasi-definitiva 3.1 Spazi di Banach Proposizione 3.1.1. Siano (X, k · kX ), (Y, k · kY ) spazi vettoriali normati, sia f : X → Y un operatore lineare. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti: (i) f è continua; (ii) f è continua in un punto x ¯ ∈ X; (iii) f è limitata in tutte le palle chiuse Br (¯ x); (iv) f è limitata in una palla chiusa Br (¯ x). Dimostrazione. È evidente che (i) → (ii) e (iii) → (iv); restano da dimostrare le altre frecce. Essendo su spazi metrici, ricordiamo che la continuità è equivalente alla continuità per successioni. (ii) → (i) Se f è continua in x ¯ ∈ X, allora f (¯ xn ) → f (¯ x) per ogni successione convergente x ¯n → x ¯. Sia xn → x una successione convergente qualsiasi in X: osserviamo che f (xn ) = f (xn − x + x ¯) − f (¯ x) + f (x) → f (x), in quanto si ha xn − x + x ¯ =: x ¯n → x ¯. (iv) → (iii) Se f è limitata su Br (¯ x), allora ∃L > 0 : kf (x)kY ≤ L ∀x ∈ X : kx − x ¯kX ≤ r Siano x ¯0 ∈ X e r0 > 0 qualsiasi: vogliamo mostrare che f è limitata su Br0 (¯ x0 ). Si può osservare che x0 ∈ Br0 (¯ x0 ) ⇐⇒ kx0 − x ¯0 kX < r0 ⇐⇒ kx − x ¯ kX < r dove x = r(x0 − x ¯0 )/r0 , da cui 0 r 0 0 kf (x0 )kY = (f (x) − f (¯ x )) + f (¯ x ) ≤L, r Y dove L0 = r0 (L + kf (¯ x)kY ) + kf (¯ x0 )kY è una costante. r 15 (i) → (iv) Se f è continua, dato che f (0) = 0, in particolare ∀ε > 0 ∃r > 0 : kf (x)kY < ε ∀x ∈ Br , da cui, fissato un ε qualsiasi, f è limitata su Br . (iii) → (ii) Se f è limitata sulle palle chiuse, in particolare ∃L > 0 : kf (x)kY ≤ L ∀x ∈ B1 . Sia xn → 0 una successione convergente: se mostriamo che f (xn ) → f (0) = 0, allora f sarà continua in 0. Questo è immediato in quanto xn ≤ kxn kX L → 0. f kf (xn )kY = kxn kX kxn kX Y Definizione 3.1.2. Se (X, k · kX ) e (Y, k · kY ) sono due spazi vettoriali normati, denoteremo con L(X, Y ) lo spazio degli operatori lineari continui da X in Y . Possiamo definire su L(X, Y ) la norma operatoriale kf kL(X,Y ) = sup kf (x)kY , x∈B1 che è ben definita per la proposizione precedente. Che si tratti effettivamente di una norma sono semplici verifiche. Osservazione 3.1.3. Possiamo dare definizioni equivalenti della norma operatoriale su L(X, Y ), sfruttando la linearità: kf kL(X,Y ) = sup kf (x)kY = sup x∈X kxkX =1 kf (x)kY . kxkX Valgono inoltre le seguenti proprietà, utili da ricordare: ∀x ∈ X kf (x)kY ≤ ckxkX ⇐⇒ kf kL(X,Y ) ≤ c; ∃x ∈ X : kf (x)kY ≥ ckxkX ⇐⇒ kf kL(X,Y ) ≥ c. Definizione 3.1.4. Se (X, k · k) è uno spazio vettoriale normato, il suo spazio duale sarà X 0 = L(X, R), dotato in genere della norma operatoriale k · kX 0 := k · kL(X,R) . Teorema 3.1.5 (Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert su campo K, e H 0 il suo spazio duale. Sia Φ : H → H 0 tale che Φ(y) = h·, yi. Allora Φ è un (anti-)isomorfismo isometrico, cioè: (i) Φ è bigettiva, isometrica e additiva; (ii) Se K = R, Φ(λx) = λΦ(x) ∀λ ∈ R ∀x ∈ H (isomorfismo); ¯ (iii) Se K = C, Φ(λx) = λΦ(x) ∀λ ∈ C ∀x ∈ H (anti-isomorfismo). Osservazione 3.1.6. I controesempi che troveremo in questo corso saranno perlopiù ottenuti dagli spazi normati c0 , `1 e `∞ . Proposizione 3.1.7. Sia (X, k · kX ) uno spazio vettoriale normato qualsiasi: allora (X 0 , k · kX 0 ) è uno spazio di Banach. 16 Dimostrazione. Se {fn } ⊆ X 0 una successione di Cauchy, allora ∀ε > 0 ∃N ∈ N t.c. kfn − fm kX 0 < ε ∀m, n > N ⇐⇒ |fn (x) − fm (x)| < ε ∀m, n > N, ∀x ∈ B1 . In particolare fn (x) è una successione di Cauchy ∀x ∈ X (per linearità, dato che lo è su B1 ). Dato che R è completo, esisterà f (x) limite puntuale di fn (x), che sarà ancora lineare. Osserviamo che per passaggio al limite lim |fn (x) − fm (x)| = |f (x) − fm (x)| n→∞ ∀x ∈ X, ∀m ∈ N, da cui ∀m > N e ∀x ∈ B1 vale |fn (x) − fm (x)| < ε ∀n > N ⇒ |f (x) − fm (x)| ≤ ε, cioè kf − fm kX 0 → 0 per arbitrarietà di ε > 0. Resta da mostrare che f è continua: mostriamo equivalentemente che è limitata. Questo è evidente in quanto, fissati m > N e C = kfm kX 0 , abbiamo ∀n > N |fn (x)| ≤ |fn (x) − fm (x)| + |fm (x)| < C + ε ∀x ∈ B1 , da cui |f (x)| ≤ C ∀x ∈ B1 per passaggio al limite. Definizione 3.1.8. Se E è uno spazio vettoriale, una funzione sublineare p su E è una funzione p : E → R tale che 1. p(λx) = λp(x) ∀λ > 0, ∀x ∈ E; 2. p(x + y) ≤ p(x) + p(y). Osserviamo in particolare che le norme sono funzioni sublineari. Teorema 3.1.9 (Hahn-Banach). Sia E uno spazio vettoriale reale, e sia p : E → R una funzione sublineare. Sia G < E un sottospazio vettoriale, e sia g : G → R un’applicazione lineare tale che g ≤ p su G. Allora si può estendere g su tutto E, nel senso che ∃f : E → R lineare tale che f |G = g e f ≤ p su E. Dimostrazione. Sia X l’insieme delle estensioni lineari di g dominate da p, cioè X = {f : Ef → R lineare | G < Ef < E, f ≤ p, f |G = g} . con la relazione d’ordine parziale f1 ≤ f2 ⇐⇒ Ef1 < Ef2 e f2 |Ef1 = f1 . Sono soddisfatte le ipotesi del lemma di Zorn: • g ∈ X, dunque X 6= ∅; S • Se {fα } è una catena, sia Ef = α Efα e osserviamo che f : x 7→ fαx (x) è ben definita su tutto Ef (con αx sufficientemente grande), appartiene a X ed è un maggiorante per {fα }. 17 Sia dunque f ∈ X elemento massimale, e supponiamo per assurdo che valga Ef 6= E: esisterà quindi x0 ∈ E \Ef . Vogliamo mostrare che, se così fosse, potremmo trovare Eh ) Ef e h ∈ X tali che h > f . Sia dunque Eh = Ef + hx0 i: definiremo h(x + tx0 ) = f (x) + tα per ogni x ∈ E, t ∈ R, fissando arbitrariamente α = h(x0 ). Si verifica che h è ben definita; per dimostrare che h ∈ X, l’unica cosa non banale da verificare è che esiste una scelta α ∈ R che soddisfa h ≤ p su Eh . ∀x ∈ Ef ∀t > 0; α ≤ p(x/t + x0 ) − f (x/t) h(x + tx0 ) ≤ p(x + tx0 ) α ≥ −p(−x/t − x0 ) + f (−x/t) ∀x ∈ Ef ∀t < 0; ⇐⇒ ∀x ∈ Ef , ∀t ∈ R f (x) ≤ p(x) se t = 0. La terza disuguaglianza è verificata per ipotesi; ponendo y = x/t e z = −x/t, le altre sono più deboli di f (y) − p(y − x0 ) ≤ α ≤ p(z + x0 ) − f (z) ∀y, z ∈ Ef . Ricordando che vale f (y) + f (z) = f (y + z) ≤ p(y + z) ≤ p(y − x0 ) + p(z + x0 ), si verifica [sup{f (z) − p(z − x0 )}, inf{p(y + x0 ) − f (y)}] 6= ∅, dunque è sufficiente prendere α lì dentro per estendere ulteriormente f . Siamo dunque ad un assurdo perché h ∈ X con f < h. Definizione 3.1.10. Se X è uno spazio vettoriale e C ⊆ X è un convesso, definiamo il giogo di C come kxkC = inf{t ≥ 0 | x ∈ tC}. Il giogo non è necessariamente una norma, ma si verifica che è sempre una funzione sublineare. Osservazione 3.1.11. Sia X uno spazio vettoriale. Così come possiamo associare ad una norma k · kX la sua palla unitaria B1 , possiamo costruire delle norme a partire da un candidato palla ˜1 , tramite il giogo. unitaria B ˜ È necessario (mi sembra di capire che sia anche sufficiente, S ˜ da vedere) che B1 sia un convesso ˜ ˜ chiuso, simmetrico (cioè B1 = −B1 ), assorbente (cioè nB1 = X) e che non contenga rette. 18 Capitolo 4 Appendice 4.1 4.1.1 Esercizi Spazi di Banach Esercizio 4.1.1. Sia c0 lo spazio delle successioni reali infinitesime, cioè c0 = {(xi ) : N → R | lim xi = 0}. i→∞ Verificare che k · k∞ = supi∈N {|xi |} è una norma su c0 , e dimostrare che (c0 , k · k∞ ) è uno spazio di Banach; esibire inoltre una norma k · k per la quale (c0 , k · k) non sia completo. Risoluzione. Mostrare che k·k∞ è una norma su c0 sono semplici verifiche. Sia dunque j 7→ (xi )(j) (j) una successione di Cauchy in c0 : si verifica facilmente che j 7→ xi è una successione di Cauchy (j) j ∀i ∈ N, dunque troviamo xi ∈ R tale che xi − → xi per ogni i ∈ N. Dato che j 7→ (xi )(j) è di Cauchy, ∀ε > 0 ∃N ∈ N tale che (n) |xi (m) − xi | < ε ∀i ∈ N, ∀m, n > N. In particolare, passando a limite (n) lim |xi n→∞ (m) cioè kxi − xi (m) − xi (m) | = |xi − xi |≤ε ∀i ∈ N, ∀m > N, k∞ → 0. Sia ora k · k tale che k(xi )k = X |xn | . n2 n∈N (j) È immediato dove Pn verificare che k · k è una norma su c0 ; inoltre la successione j → (xi ) (n) (xi ) = k=1 ek ∀n ∈ N è di Cauchy rispetto a k · k, ma l’unico candidato per la convergenza è x ≡ 1 6∈ c0 . 19 4.2 Dimostrazioni non svolte Presentiamo qui alcune dimostrazioni che non sono state svolte a lezione, ma che includiamo per completezza, utilità o semplice interesse. 4.2.1 Spazi di Banach Teorema (Riesz, Teorema 3.1.5). Sia H uno spazio di Hilbert su campo K, e H 0 il suo spazio duale. Sia Φ : H → H 0 tale che Φ(y) = h·, yi. Allora Φ è un (anti-)isomorfismo isometrico, cioè: (i) Φ è bigettiva, isometrica e additiva; (ii) Se K = R, Φ(λx) = λΦ(x) ∀λ ∈ R ∀x ∈ H (isomorfismo); ¯ (iii) Se K = C, Φ(λx) = λΦ(x) ∀λ ∈ C ∀x ∈ H (anti-isomorfismo). Dimostrazione. • Iniettività. Se Φ(y) = Φ(y 0 ), allora hx, yi = hx, y 0 i ∀x ∈ H; questo è equivalente a hx, y − y 0 i = 0 ∀x ∈ H, in particolare varrà ky − y 0 k2 = 0. • Surgettività. Sia f ∈ H 0 : se f ≡ 0 si ha banalmente f = Φ(0), in caso contrario avremo V := ker f 6= H. Per un risultato noto, essendo V < H un sottospazio chiuso, varrà H = V ⊕ V ⊥ . Dato che V 6= H, abbiamo V ⊥ ∼ = H/V ∼ = Im f = K, da cui V ⊥ = hwi con w opportuno di norma unitaria. Dato che ogni x ∈ H si può scrivere come x = v + λw con v ∈ V , è una verifica mostrare che Φ(f (w)w) = f . • Isometria. Osserviamo che |Φ(y)(x)| = |hx, yi| ≤ kxkkyk ∀x, y ∈ H, da cui kΦ(y)k ≤ kyk. Vale in realtà l’uguaglianza, in quanto x = y/kyk soddisfa ∀y ∈ H. • Le altre proprietà sono conseguenze immediate delle proprietà del prodotto scalare (o hermitiano). 20
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