Dispense Micro e macromeccanica

Micromeccanica
Il primo passo per la definizione della micromeccanica dei materiali compositi è la
definizione dell’Elemento Rappresentativo di Volume (ERV) in modo da rendere il
composito, intrinsecamente non omogeneo, macroscopicamente omogeneo. Nella nostra
trattazione adotteremo come ERV uno schema meccanico formato da un corpo cilindrico
come da figura:
Gli studi mi micromeccanica hanno come fine l’ottenimento dei parametri significativi di
una lamina composita unidirezionale a fibre lunghe partendo dalla conoscenza delle
caratteristiche omologhe dei suoi costituenti elementari (fibra e matrice).
Le ipotesi che stanno alla base della micromeccanica dei compositi sono:
La lamina è:
 Macroscopicamente omogenea
 Presenta comportamento lineare elastico
 Macroscopicamente ortotropa
 Presenta inizialmente uno stato di tensione nullo
Le fibre sono:
 Omogenee
 Isotrope
 Presentano comportamento lineare elastico
 Sono disposte con una spaziatura regolare
 Sono perfettamente allineate
La matrice è:
 Omogenea
 Isotropa
 A comportamento lineare elastico
L’interfaccia è:
 Perfetta
 Completa
In base alle ipotesi fatte si può procedere al calcolo dei vari parametri significativi:
Volume, massa e densità
Vcomp
Vf
Vm
Vv
Con:
f per “fibra”
m per “matrice”
v per “vuoto”
In questa trattazione noi trascureremo sempre i vuoti quindi:
Vcomp
Vf
Vm
Dividendo tutto per Vcomp avremo:
V
f
Vm
1
Con V f e V m grandezze dimensionali.
Per massa e densità valgono discorsi analoghi:
M comp
Mf
Mm
M comp
comp
Mf
Vcomp
Mm
f
Vf
Vcomp
V
m m
f
Vcomp
Vf
m
Vm
Questa ultima relazione prende il nome di “Regola delle miscele”.
Stato di sforzo e deformazione
Per lo sforzo definiamo un valore medio nel volume:
1
*
Vcomp Vcomp
1
dV
Vcomp
dV
Vf
dV
Vm
Introducendo i valori medi nelle singole parti come:
*
f
*
m
1
Vf
dV
Vf
1
Vm Vm
dV
Avremo:
*
Vf
*
f
Vm
*
m
Stesso discorso vale per le deformazioni per cui:
*
Vf
*
f
Vm
*
m
Valutazione dei moduli ingegneristici
Determinazione di E1
Quello in figura è un sistema meccanico in cui fibra e matrice lavorano in “parallelo”, quindi
il carico interessa sia la matrice che la fibra in quanto queste ultime debbono restare
intimamente connesse.
In base a quanto detto circa la perfetta connessione, la fibra e la matrice subiscono la
stessa deformazione assiale, quindi:
comp
m
f
1
Essendo però:
V
1
Ei
i
f
V
f
m
m
i
Avremo che:
E1
1
V f Ef
f
V m Em
m
Dividendo ambo i membri per
E1
V f Ef
1
f
m
avremo:
V m Em
Come è possibile osservare, anche per E1 vale la regola delle miscele.
Esempio
Vf
Dati
Ef
60%
240GPa
Em
E1
3GPa
240 x0,6
3x0,4
144 1,2 145 ,2GPa
Come si può vedere, in questo caso E1 è praticamente uguale al prodotto tra il modulo
della fibra e la sua frazione in volume. Causa l’esiguo valore del modulo della matrice, il
contributo di quest’ultima risulta molto limitato.
Determinazione di E 2
In questo caso in figura è rappresentato un sistema meccanico in cui fibra e matrice
lavorano in “serie” :
Fibra e matrice saranno interessate dallo stesso stato di sforzo, ma da differenti
deformazioni:
comp
m
f
Essendo però:
2
2
Vf
comp
Vm
f
m
i
i
Ei
Avremo in questo caso:
2
E2
V
f
f
Vm
Ef
m
Em
Dividendo ambo i membri per
1
E2
Vf
Ef
V f Em
Vm
Em
m
f
2
avremo:
V mEf
Em E f
Quindi:
E2
Em E f
V f Em V m E f
Esempio
Vf
Dati
Ef
Em
E2
60%
240GPa
3GPa
240 x3
0,6 x3 0,4 x 240
720
1,8 96
7,5GPa
Si può constatare facilmente che in questo caso il contributo della matrice conta in
maniera determinante.
Determinazione del Poisson “maggiore”
12
Si ritorna al modello in “parallelo”, ove lo sforzo è in direzione orizzontale (direzione 1).
Abbiamo in questo caso:
1
2
m
f
comp
comp
V
f
f
Vm
Essendo però per definizione:
2
12
1
Avremo che:
m
V
f
Vm
f
m
V
12
f
f
Vm
m
1
Come è facilmente osservabile, anche per quanto riguarda il modulo di Poisson vale la
regola delle miscele.
Determinazione di G12
Il modello da considerare per il caso in figura è quello già visto in cui i due costituenti sono
in “serie”.
In questo caso avremo che:
12
12
comp
Vf
f
m
Vm
Essendo però:
i
i
Gi
Avremo che:
f
m
12
G12
V
f
f
Vm
Gf
Dividendo per
1
G12
Vf
Gf
Vm
Gm
m
Gm
12
m
V f Gm
f
avremo:
V mG f
Gm G f
Quindi:
G12
Gm G f
V f Gm
V mG f
OSSERVAZIONE
Si ricordi che mentre per i moduli elastici, utilizzando le formule qui viste, si arriva a
valori approssimati ma ragionevoli, per quanto riguarda gli sforzi l’uso di regole
semplificate, tipo quella delle miscele, porta a valori poco plausibili e non
ragionevoli.
Macromeccanica
Lo schema concettuale alla base della nostra trattazione segue queste linee guida:
1) Conoscenza delle equazioni costitutive nello spazio
2) Determinazione delle equazioni costitutive nel piano
3) Scrittura delle equazioni costitutive per la lamina nel suo riferimento intrinseco
4) Generalizzazione del risultato ottenuto per sistemi off-axis
5) Utilizzazione dei risultati ottenuti per descrivere la meccanica dei laminati
Le leggi costitutive (legge di Hooke) per un materiale qualsiasi, in un
riferimento cartesiano ortogonale 1-2-3, si possono scrivere, in campo
lineare elastico, nel seguente modo:
Qijhk
ij
hk
Ove:
3x3
3x3
Queste relazioni possono essere espresse anche in forma matriciale ridotta, nella forma:
Qij
i
j
Ove:
6x1
6x1
Q
6x6
In generale la matrice Q è definita da:
a) 21 costanti linearmente indipendenti per un materiale generico
b) 13 costanti linearmente indipendenti per un materiale che presenti un solo piano
di simmetria (monoclino)
c) 9 costanti linearmente indipendenti per un materiale che presenti due piani di
simmetria (ortotropo). In un sistema piano le costanti si riducono a 4
d) 2 costanti linearmente indipendenti per un materiale avente infiniti piani di
simmetria (isotropo)
Le relazioni appena viste possono essere scritte anche nella forma
i
Fij
j
f
:
ove F prende il nome di matrice di flessibilità; si dimostra facilmente che la matrice F
coincide con l’inversa di Q infatti:
Q
Q
1
Q 1Q
Q
1
F
Q
1
Per esteso queste relazioni assumono la forma:
1
Q11
Q12
Q13
0
0
0
1
2
Q12
Q22
Q23
0
0
0
2
3
Q13
Q23
Q33
0
0
0
3
4
23
0
0
0
Q44
0
0
4
23
2
5
13
0
0
0
0
Q55
0
5
13
2
6
12
0
0
0
0
0
Q66
6
12
2
In via del tutto generale avremo che i vari elementi della matrice Q dipendono dai vari
moduli ingegneristici in modo diverso; volendo fare qualche esempio avremo:
Q11
Q12
E1
1
12
21
E2
1
12
21
ecc.
Per passare al piano si sopprimono le righe e le colonne 3, 4 e 5 ottenendo:
1
Q11
Q12
0
1
2
Q12
Q22
0
2
6
0
0
Q66
6
NOTA: Nella definizione si fa riferimento agli assi intrinseci o di ortotropia.
Come è facile osservare nel piano la lamina ortotropa è caratterizzata elasticamente da 4
parametri linearmente indipendenti ( Q11 , Q12 , Q22 , e Q66 ) esprimibili come ben precise
combinazioni lineari dei parametri ingegneristici ( E1 , E 2 , G12 , e
12
) ottenibili dalle formule
della micromeccanica.
Vediamo ora cosa succede se si considera un sistema di carico off-axis. Consideriamo il
caso in cui tra il riferimento intrinseco 1-2 ed il riferimento generico x-y vi sia un angolo di
rotazione pari a
:
1
Con una semplice rotazione di assi posso passare dai vettori
2
12
1
e
2
x
ai vettori
12
y
xy
x
e
y
.
xy
Per la trasformazione dei sistemi di riferimento si utilizza la matrice T , matrice 3x3 i cui
elementi sono funzioni di
, che in genere viene definita tramite la sua inversa:
T
cos 2
sin 2
1
sin 2
cos 2
sin cos
2 sin cos
2 sin cos
sin cos
cos 2
sin 2
Definita la matrice T avremo:
x
1
T
y
1
2
xy
12
x
1
T
y
1
2
xy
12
Volendo scrivere le relazioni costitutive nel riferimento generico x-y avremo:
x
x
T 1QT
y
xy
y
x
Q
xy
y
xy
Da un punto di vista generale avremo che, al contrario di Q , la matrice Q risulterà in
genere piena.
Anche in questo caso è possibile definire nel riferimento generico x-y una matrice di
flessibilità definita da:
F
Q
1
Tale da rendere possibile la scrittura delle leggi costitutive nella forma :
x
y
xy
x
F
y
xy
Teoria Classica del Laminato
Un laminato è composto da un impilaggio ordinato di lamine unidirezionali tali da formare
una piastra sottile composita. Le caratteristiche elastiche e meccaniche del laminato
dipendono da:
o numero di lamine
o caratteristiche elastiche e meccaniche delle singole lamine
o angolo formato tra gli assi intrinseci delle singole lamine e quelli del laminato
Facciamo le seguenti ipotesi:
lamine perfettamente sovrapposte
stato di deformazione piano (
z
z
xz
yz
0)
0
Ipotesi di Kirchoff (in seguito a flessione le sezioni ruotando si mantengono
piane ed ortogonali al piano medio).
Consideriamo il laminato in figura:
Applicando il metodo degli spostamenti avremo che la cinematica è esprimibile come:
u x, y , z
u o x, y
z
x
x, y
v x, y , z
v o x, y
z
y
x, y
w x, y , z
wo x, y
ove
w
x
w
y
x
y
La relazione che esprime w x, y, z è considerata costante in virtù dell’ipotesi del “piccolo
spessore”.
Per le deformazioni possiamo scrivere:
x
x
xy
u
y
w
x2
2
w
z 2
y
2
v0
w
2z
x
y x
z
2
u0
x
v0
y
x
y
xy
2
u0
x
v0
y
u0
y
u
x
v
y
v
x
u0
y
z
v0
x
w
x2
2
w
y2
2
w
2
x y
0
zk
Considerato il fatto che per ogni k-esima lamina è possibile scrivere:
k
Qk
Sostituendo l’espressione di
appena vista avremo:
k
Qk
zQk k
0
Da questa semplice relazione è possibile osservare come gli sforzi varino da lamina a
lamina in funzione sia degli angoli sia delle caratteristiche elastiche delle lamine.
Analogamente alla teoria della piastra piana isotropa si può passare, mediando sullo
spessore che è per definizione piccolo, dalle
alle forze e ai momenti per unità di
lunghezza:
h
2
Nx
h
h
x
dz
y
dz
2
2
Ny
h
h
2
2
N xy
xy
h
h
2
2
Mx
z
h
h
dz
x
dz
y
dz
2
2
Mx
z
h
h
2
2
M xy
z
h
xy
dz
2
Le forze per unità di lunghezza N x , N y e N xy sono delle sollecitazioni membranali
applicate al piano medio mentre i momenti per unità di lunghezza M x , M y e M xy
rappresentano rispettivamente due momenti flettenti ed un momento torcente.
Per il particolare tipo di piastra occorre tenere presente che gli integrali sono continui solo
nell’ambito di ogni singola lamina quindi ciascuna di queste lamine darà un contributo
diverso al calcolo di N ed M
globali. In generale quindi si dovrà integrare su ogni
singola lamina, ciascuna con il proprio spessore, e poi fare una sommatoria.
Sollecitazioni membranali
z
2
zn
N
Nx
z
zn
N
x dz
zn
x dz
n 1 zn
2
Qn
n 1
1
zn
0
dz
zn
1
zn
N
z Q n k dz
Qn
0
n 1
1
zn
dz
zn
Qn k
zdz
zn
1
1
Da cui si ottiene:
N
N
Nx
Q
zn
0
n
zn
1
n 1
n
1
Q n k z 2n
1 2
z 2n
1
Stesso discorso può essere fatto per N y e N xy .
In forma compatta matriciale, la parte membranale può essere scritta come:
N
A
B k
0
ove i generici elementi delle matrici A e B sono esprimibili come:
N
Aij
Qij
n
zn
zn
1
n 1
N
Bij
n
1
Qij
1 2
n
z 2n
z 2n
1
Come appare evidente quindi, a partire da una sollecitazione membranale posso avere
curvature e viceversa.
Momenti
z
2
Mx
N
z
z
2
x
zn
dz
N
z
n 1 zn
Da cui si ottiene:
1
x
zn
dz
zn
zQn
n 1
zn
1
0
dz
z Q n k dz
zn
zn
N
2
1
Qn
n 1
zn
zdz
0
zn
1
z 2 dz
Qn k
zn
1
N
Mx
n
1
Q
1 2
N
0
n
z 2n
z 2n
1
n
1
Q
1 3
n
k z 3n
z 3n
1
Stesso discorso può essere fatto per M y e M xy .
In forma compatta matriciale la parte relativa ai momenti può essere scritta come:
M
B
D k
0
ove i generici elementi della matrice D sono esprimibili come:
N
Dij
n
1
Qij
1 3
n
z 3n
z 3n
1
In generale quindi, è facile osservare come nell’espressione della matrice A intervengono
gli spessori delle singole lamine, mentre per le matrici B e D non intervengono i
quadrati ed i cubi degli spessori stessi, bensì le sommatorie delle differenze dei quadrati e
dei cubi delle quote delle singole lamine.
Questa sostanziale differenza ha come effetto che se si hanno sollecitazioni fuori dal piano
si possono avere deformazioni nel piano e viceversa.
E’ possibile inoltre ricapitolare quanto appena descritto in un’unica formula che è meglio
ricordare:
N
A
B
0
M
B
D
k
Questa relazione esprime le relazioni costitutive del laminato.
Spesso è utile utilizzare l’inverso di questa formula e quindi risulta importante determinarla
analiticamente:
In base a quanto visto avremo:
N
A
0
B k
M
B
0
D k
Dalla prima di queste due ultime relazioni possiamo scrivere:
1
A
N
A
0
1
B k
0
A
1
Inserendo l’espressione appena trovata per
M
B A
1
N
B A
D
B
0
A
1
B k
nella seconda equazione avremo:
D k
1
A
Pongo
1
N
A
1
B
A B
1
C
B A
1
B A B
D
Quindi:
0
M
A N
B k
C
D k
N
k
D
1
M
D
1
C
N
Sostituendo l’espressione trovata per k nella prima relazione otteniamo:
0
A
A
Pongo
Quindi:
B
D
1
C
N
1
A
B D
C
1
B
B D
1
C
D
C
1
D
D
B
D
1
M
A N
0
k
C M
B k
D N
Ordinando il tutto in forma matriciale avremo:
0
A
B
k
C
D
N
M
Quest’ultima formula rappresenta infine l’inversa delle relazioni costitutive del laminato.
Torniamo ora alle relazioni costitutive del laminato trovate in precedenza ed espresse
dalla relazione:
N
A
B
0
M
B
D
k
Consideriamo ora tutti i possibili accoppiamenti:
a) Immaginiamo di avere solo N x
0
In base alla relazione costitutiva del laminato avremo che:
Nx
A11
0, x
A12
0, y
A16
xy
B11k x
B12 k y
B16 k xy
Se tutti e 6 i parametri elastici sono diversi da zero, ne consegue una cosa estremamente
interessante: da un solo sforzo lungo l’asse x ottengo non solo deformazioni nel piano
(come per le piastre isotrope), ma anche una distorsione del piano (due curvature
flessionali e la curvatura mista), a causa della presenza dei termini B11 , B12 e B16 ; inoltre il
termine A16 accoppia la deformazione nel piano con la deformazione al taglio.
b) Immaginiamo ora di avere solo M x
0
In questo caso avremo:
Mx
B11
0x
B12
0y
B16
xy
D11k x
D12 k y
D16 k xy
Da un solo momento lungo x, ottengo le due curvature flessionali, come per gli isotropi,
mentre D16 accoppia la curvatura flessionale con quella torsionale.
La presenza di B11 e B12 accoppiano la deformazione flessionale con le due deformazioni
membranali, mentre B16 produce l’accoppiamento con la deformazione a taglio,
Più in generale avremo che:
La matrice B accoppia ciò che sta nel piano con ciò che sta fuori dal piano;
Gli elementi A16 e A26 accoppiano gli sforzi membranali con le deformazioni a
taglio;
Gli elementi D16 e D 26 accoppiano la flessione con le deformazioni torsionali;
Per eliminare o almeno ridurre il problema degli accoppiamenti, si ricorre all’impiego di
laminati così detti “speciali”.
Per eliminare ogni accoppiamento di tipo membranale-flessotorsionale basta fare in modo
N
che la matrice B sia nulla. Ricordando che Bij
n
1
Qij
1 2
n
z 2n
z 2n
1
, potrò eliminare
ogni elemento Bij se, rispetto al piano medio, avrò una disposizione simmetrica di tutte le
lamine. Ad ogni lamina al di sopra del piano medio deve corrispondere al di sotto di
quest’ultimo una lamina uguale ed orientata allo stesso modo. Questo tipo di laminati sono
comunemente detti “laminati simmetrici”.
Consideriamo ora il laminato in figura.
In questo caso il laminato è simmetrico quindi B
0 . Questo tipo di laminato è detto
“angle ply”.
Consideriamo ora il caso di un laminato 0 / 90
come quello in figura:
Essendo un laminato simmetrico avremo che anche in questo caso B
0 . Poiché sia per
le lamine a 0 che per quelle a 90 si ha la coincidenza dei sistemi 1-2 e x-y, in questo
caso A16 , A26 , D16 e D 26 risultano nulli e pertanto non si avranno accoppiamenti. Tale
laminato è anche detto “specialissimo”. Qualora ci fosse una sola lamina a 90°, il laminato
sarebbe ancora simmetrico, con il piano medio nella mezzeria dello strato a 90°. Questo
tipo di laminato è detto “cross ply”.
Prendiamo adesso in considerazione un laminato che sia costituito da lamine poste in
posizione antisimmetrica, nel senso che per ogni lamina inclinata di
superiore del laminato a distanza
inclinata di
e posta ad una distanza
nella parte
z dal piano medio, ne corrisponda una uguale,
z dallo stesso piano medio.
Per le formule di Tsai-Pagano (di cui non si dà la dimostrazione) risulta valida la relazione:
Q16
Q26
Q16
Q26
Per un laminato così strutturato, i termini A16 , A26 , D16 e D 26 risultano nulli. Un tale
laminato è detto “equilibrato” o “bilanciato”.
Risulta altresì ovvio che un tale laminato non possa essere simmetrico, quindi B
0:
questa circostanza comporta per questo tipo di laminati l’impossibilità di evitare
l’accoppiamento membranale-flessotorsionale. In casi come questo l’effetto della matrice
B solitamente diminuisce all’aumentare considerevole del numero delle lamine.

Download Report