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¨
¥
§
中 3 数学 ¦
相似
目次
相似な図形
1
1.1
相似な図形の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
三角形の相似条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
三角形の相似の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
相似の証明と線分の長さ《基本》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
相似の証明と線分の長さ《応用》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
相似の証明と線分の長さ《発展》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1
平行線と線分の比
2
11
2.1
平行線と線分の比《基本》
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
平行線と線分の比《応用 I》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
平行線と線分の比《応用 II》
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
平行線と線分の比《発展》
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3
三角形の面積比の求め方
17
4
中点連結定理
20
4.1
中点連結定理をつかった証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
中点連結定理の応用≪重心≫
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
補足
23
角の二等分線の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
6
総合演習
25
7
相似と計量
29
5
5.1
7.1
相似比と面積比
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.2
相似比と体積比
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
解答
38
この単元では,
「相似」を学習する。おもに平面図形にかんする問題が多いが,中2で学習した「合同」に比べると,かなり高
度な内容を含んでいる。
特に高校入試においては必ず出題される単元で,「円」やこの後の「三平方の定理」などとの複合問題が中心となる。
今の教科書レベルでは,「重心」を取り扱っていないが,私立高校受験を考えると,ある程度まで深く学習する必要があるこ
とから,教科書レベルを越えた部分まで解説している。
1.1 相似な図形の性質
1 相似な図形 – 1 –
相似な図形
1
そうじ
◆
たがいに拡大・縮小の関係にある図形を,「相似」であるという。
いいかえると,「形が同じで, 大きさの異なる図形」は相似であるという。
◆
相似の記号,「 ∽ 」をつかって表す。
¨ ¥
§例 ¦ △ABC ∽ △PQR 「 三角形 ABC 相似 三角形 PQR 」とよむ。
注
⃝
対応する頂点の順番がそろうようにかくこと
1.1
相似な図形の性質
⇒ 相似な図形でいえること
¨ ¥
右の図で △ABC ∽ △PQR であるとすると,
§例 ¦
A
(1) 対応する辺の長さの比は等しい。
1 対応する辺どうしで考えて,
⃝
AC:PR = 1:2 なら,AB:PQ=1:2
c
a
B
BC:QR=1:2
C
b
つまり,AB:PQ = BC:QR = AC:PR
P
2 また,次のようにもいえる。
⃝
r
p
△ABC で, AB:AC:BC = 3:4:5 なら
△PQR でも, PQ:PR:QR = 3:4:5 である。
Q
(2) 対応する角の大きさは等しい。
q
右の図で, ∠A=∠P,∠B=∠Q,∠C=∠R である。
1.2
R
三角形の相似条件
⇒2 つの三角形が相似であることをいうために必要なこと
【例】上の △ABC と △PQR で
相似条件
1
⃝
3 組の辺の比が等しい。
a:p = b:q = c:r なら相似といえる
2
⃝
2 組の辺の比が等しく,その間の角が等しい。
例えば,a:p = b:q ,∠B=∠Q なら相似といえる
3
⃝
2 組の角がそれぞれ等しい。
例えば,∠A=∠P,∠B=∠Q なら相似といえる
次の中から相似な三角形の組をすべて答えよ。また,そのときの相似条件をかけ。
1
A
J
3.6
D
3.1
3
2
2.4
3
B
G
E
2.5
C
60◦
H
F
50◦
40◦
K
I
3
3
P
M
V
S
3
4
40◦
N
80◦
O
L
5
2
3
50◦
1.4
50◦
Q
2.1
R
T
6
U
W
X
– 2 – 1 相似な図形
1.3
1.3 三角形の相似の証明
三角形の相似の証明
◆ 証明のかき方は合同のときとほぼ同じ。
3 の「2 組の角がそれぞれ等しい 」が最も多いので,等しい角を 2 組さがす。
◆ 使う条件は,前ページ⃝
【三角形の相似の証明の手順】
¨
¥
3 で使うおもな定理
⃝
§
¦
証明の手順
・対頂角は等しい
1 2 つの三角形をかく
⃝
・平行線なら ⇒ 同位角・錯角は等しい
2 仮定 (問題文) を利用してかく
⃝
・円なら ⇒ 円周角は等しい
3 定理などを利用してかく
⃝
・二等辺三角形なら ⇒ 底角は等しい
4 相似条件をかく
⃝
・平行四辺形なら ⇒ 対角は等しい
5 結論をかく
⃝
・共通で等しい など
・この他,「三段論法」を使う場合もある。
¶
例
³
題
A
【例 1】 右図で,AB=6cm,AD=4cm, DC=5cm であるとき,
D
△ABD ∽ △ACD であることを証明せよ。
B
【手順】
【証明】
2 つの三角形を上げる
△ABD と △ACB において,
仮定から分かることをかく
1
仮定より,AD:AB=4cm:6cm=2:3 …⃝
C
2
AB:AC=6cm:9cm=2:3 …⃝
その他に分かることをかく
3
共通な角より,∠BAD=∠CAB…⃝
相似条件をかく
1, ⃝
2, ⃝
3 より,2 組の辺の比が等しく,
⃝
その間の角が等しいので
△ABD ∽ △ACD
結論をかく
µ
´
下の図の △ABC で,頂点 A から辺 BC へ,頂点 C から辺 AB へそれぞれ垂線 AD,CE をひくとき,△BAD ∽ △BCE
1
であることを証明せよ。
A
E
B
D
C
¨
¥
§
¦
証明
相似の証明 《基本》
2
1 相似な図形 – 3 –
下図の三角形 ABC の辺 AC 上に,∠ABC=∠ADB となるような点 D をとる。このとき,△ABC ∽
△ADB となること
を証明せよ。
¨
¥
§
¦
証明
A
D
B
3
C
下図の三角形 ABC で,AB=12cm,BC=16cm である。いま,辺 BC 上に BD=9cm となる点 D をとる。このとき,
△ABC ∽ △DBA となることを証明せよ。
¨
¥
§
¦
証明
A
B
D
C
– 4 – 1 相似な図形
1.4 相似の証明と線分の長さ《基本》
相似の証明と線分の長さ《基本》
1.4
相似の問題では,
「線分の長さを求めること」が中心となる。⇒ そのためには対応する辺を見つける。
¨
方法 1
¥
¦ 問題文は,必ず「対応する頂点の順」になっているので,それを利用する。
¥
§方法 2 ¦ 3 辺の短・中・長がはっきりしている場合
§
¨
その 1 対応する「短:短」,「中:中」,
「長:長」 で式をつくる。
¨
¥
その 2 1 つの三角形の「短:中」,「短:長」,「中:長」 で式をつくる。
§方法 3 ¦ 対応する角がはっきりしている場合
対応する角にマークをつけて,マーク順で対応する辺を見つける。
¶
例
A
【例 2】 左図で,△ABC ∽
³
題
△ADB である。AB=6cm,AD=4cm のとき,DC の
長さを求めよ。
D
【準備】 対応する辺を見つけて,比例式をつくる。
⇒ それぞれの短・中・長をみつける。
B
C
△ABC で,短(AB)・中(BC)・長(AC)である。
△ADC では,短(AD)・中(DB)・長(AB)である。
【解答】 DC= xcm とすると,AC= 4 + x(cm)となる。
対応する辺の比は等しいから,AB:AD=AC:AB より,
6:4=(4+x):6 内項の積 = 外項の積より,
4(4+x)=6×6
4x = 20 より,x = 5
µ
1
´
右の図で,∠ABC=∠AED であるとき,次の問に答えよ。
A
(1) △ABC ∽ △AED であることを証明せよ。
D
E
B
(2) AE=4cm,EC=2cm,AD=3cm のとき,DB の長さを求めよ。
C
相似の証明と線分の長さ《基本》
1.4
2
1 相似な図形 – 5 –
右の図で,∠ACB=∠ADC であるとき,次の問に答えよ。
A
(1) △ABC ∽ △ACD であることを証明せよ。
D
C
B
(2) AD=9cm,DB=7cm のとき,AC の長さを求めよ。
3
右の図で,AB=9 cm,AC=6 cm,∠ACB=∠ADC のとき,次の問に答
えよ。
A
(1) △ABC ∽ △ACD を証明せよ。
D
B
(2) AD の長さを求めよ。
C
– 6 – 1 相似な図形
4
1.4 相似の証明と線分の長さ《基本》
右の図で,∠ABE=∠ACD であるとき,次の問に答えよ。
A
(1) 相似な三角形を 1 組さがし,その 1 組の三角形が相似であることを証
明せよ。
D
F
B
E
C
(2) AD=3cm,DB=3cm,AC=5cm のとき,EC の長さを求めよ。
5
右の図で,∠BDC=∠BEA であるとき,次の問に答えよ。
A
(1) 相似な三角形を 1 組さがし,その 1 組の三角形が相似であることを証
明せよ。
D
F
B
(2) AB=10cm,BC=12cm,CE=6cm のとき,AD の長さを求めよ。
E
C
相似の証明と線分の長さ《応用》
1.5
1.5
1 相似な図形 – 7 –
相似の証明と線分の長さ《応用》
三段論法を使った証明問題。
¶
例
³
題
A
【例 3】 右の図で,1 辺 9cm の正三角形 ABC の辺 BC,AC 上にそれぞれ点 D,E を
とる。BD=3cm,∠ADE=60◦ のとき次の問に答えよ。
E
60◦
(1) △ABD ∽ △DCE を証明せよ。
B
D
C
△ABD と △DCE において,
1
三角形 ABC は正三角形だから,∠ABD=∠DCE=60◦ …⃝
2
ここで,△ABD の外角より,∠ADC=60◦ +∠BAD…⃝
3
また,∠ADC=60◦ +∠CDE…⃝
⃝
2 ,⃝
3 より,∠BAD=∠CDE…⃝
4
1 ,⃝
4 より,2 組の角がそれぞれ等しいので,△ABD ∽ △DCE
⃝
(2) 線分 AE の長さを求めよ。
AE= xcm とすると,CE= 9 − x(cm)。
短:短,長:長で式をつくると,BD:CE=AB:DC。
µ
1
よって,3:(9 − x)=9:6。これを解くと,x = 7cm。
AB//DC で,∠B=∠C=90◦ である台形 ABCD がある。辺 BC 上に
∠APD=90◦ となる点 P をとるとき,次の問に答えよ。
(1) △ABP ∽ △PCD となることを証明せよ。
´
A
D
B
(2) AB= 8 cm,BC= 10 cm,CD= 3 cm のとき,BP の長さを求めよ。
P
C
– 8 – 1 相似な図形
2
1.5 相似の証明と線分の長さ《応用》
右の図のように,直角三角形 ABC の頂点 A から斜辺 BC に垂線をひき
A
交点を H とする。AB= 8 cm,BC= 10 cm,AC= 6 cm のとき,次の問
に答えよ。
(1) △ABH ∽ △CAH を証明せよ。
B
H
C
(2) 辺 AH の長さを求めよ。
3
下の図で,直角三角形 ABC の頂点 B から,斜辺 AC に垂線を下ろし,交点を D とする。AD= 6 cm,CD= 3 cm の
とき,BD の長さを求めよ。
A
D
B
C
相似の証明と線分の長さ《発展》
1.6
1.6
1
1 相似な図形 – 9 –
相似の証明と線分の長さ《発展》
右の図で,平行四辺形 ABCD の辺 AB 上に点 E をとり,点 D,点 C を点 E を
A
D
それぞれ結ぶ。
AE=5cm,DE=8cm,CE=6cm,CD=9cm のとき,次の問に答えよ。
8
5
(1) 右の図において,相似な三角形1組を選び,相似であることを証明せよ。
9
E
6
B
C
(2) AD の長さを求めよ。
2
右 の 図 で ,AB=AC で あ る △ABC の 辺 BC 上 に 点 D を と り ,
∠ABC=∠ADE となるような点 E を辺AC上にとる。AB=AC= 8 cm,
A
BC= 12 cm のとき,次の問に答えよ。
8 cm
(1) △ABD ∽ △DCE を証明せよ。
B
8 cm
E
C
D
12 cm
(2) BD= 3 cm のとき,AE の長さを求めよ。
(3) BD= 4 cm のとき,DE の長さを求めよ。
– 10 – 1 相似な図形
3
1.6 相似の証明と線分の長さ《発展》
右の図で,長さ 9cm の線分 BD 上に 1 辺 6 cm の正三角形 ABC と,1
A
辺 3 cm の正三角形 CDE がある。次の問に答えよ。
(1) △BCF ∽ △AGF を証明せよ。
E
G
F
H
B
(2) CH の長さを求めよ。
(3) AG:GD を求めよ。
(4) BF:FG:GE を求めよ。 (5) △AFG の面積は,△ABC の面積の何倍か。
C
D
平行線と線分の比
2 平行線と線分の比 – 11 –
平行線と線分の比
2
◆ 3 つのパターンに分けられる。使い方を混同しないように注意が必要。
1 パターン I】
【⃝
A
左の図で,MN//BC であるとき,△AMN ∽ △ABC。
m
よって,対応する辺の比は等しいから,次の関係が成り立つ。
n
a
¨
¥
a
:m = b:ℓ = c:n
§
¦
c
N
M
ℓ
また,次のように言うこともできる。
B
¨
¥
a
:b:c = m:ℓ:n
§
¦
C
b
注 このパターンは単純に三角形の相似を使っているだけ。次のパターンと
⃝
混同しないようにすること。
2 パターン II】
【⃝
左の図で,MN//BC であるとき,次の関係が成り立つ。
¨
¥
m:n = p:q = a:c
§
¦
A
m
n
a
c
N
M
p
また,次のように言うこともできる。
¨
¥
a:m:p = c:n:q
§
¦
q
注 上のパターン⃝
1 と混同しないようにすること。
⃝
B
C
p, q が入ってくると,ℓ, b は使えない。
また,対応する辺の順序で式をつくること。
3 パターン III】
【⃝
左の図で,ℓ // m // k であるとき,次の関係が成り立つ。
ℓ
m
¨
¥
m:n = p:q = a:c
§
¦
n
a
c
p
m
また,次のように言うこともできる。
q
¨
¥
a:m:p = c:n:q
§
¦
k
注 パターン⃝
2 の頂点 A が離れたと考えてよい。
⃝
平行線と線分の比《基本》
次のそれぞれの図で,AC//BD のとき,x,y の値を求めよ。ただし,いずれも単位は cm である。
2.1
1
(1)
(2)
9
A
x
A
C
y
x
7
O
O
14
10
5
4
D
C
6
B
D
16
B
– 12 – 2 平行線と線分の比
2
2.1 平行線と線分の比《基本》
下の図で,DE//BC のとき,x,y を求めよ。ただし,いずれも単位は cm である。
(1)
A
(2)
(3)
A
y
18
D
8
12
D
B
C
20
C
12
E
y
15
B
C
12
D
6
B
3
x
x
E
8
E
x
9
A
4
下の図で,ℓ // m // n であるとき,x,y を求めよ。ただし,いずれも単位は cm である。
(1)
(2)
(3)
ℓ
ℓ
y
15
x
5
ℓ
15
18
8
10
3.6
n
4
x
m
m
12
m
12
20
n
下の図で,DE//FG//BC であるとき,次の問に答えよ。ただし,いずれも単位は cm である。
A
(1) AC(x) の長さを求めよ。
9
6
D
y
F
12
E
5 x
G
12
B
(2) DE(y) の長さを求めよ。
z
C
(3) BC(z) の長さを求めよ。
x
n
平行線と線分の比 《応用 I》
平行線と線分の比《応用 I》
2.2
2 平行線と線分の比 – 13 –
三角形の相似や平行線を利用して,比を移していく。
【例題】 左の図で,AD//PQ//BC のとき,PQ を求める。
A
6cm
D
§
¦ 2つの三角形にわけて考える。
AC を結んで,△ABC と △ACD をつくる。
¥
¨
Q
xcm
¥
方法 1
6cm
P
¨
§方法 2 ¦ 平行四辺形をつくって考える。
D から AB に平行な線をひく か,または
12cm
A から DC に平行な線をひく のどちらか
B
⇒
C
18cm
平行四辺形の方が後の計算が簡単なことが多い。
【解き方】 左図のように,平行四辺形をつくると,
A 6cm D
まず, AD=PR=BS= 6cm となって,SC= 12cm となる。
6cm
次に,
R
P
Q
△DRQ ∽ △DSC を利用すると,
RQ:SC=DR:DS より,次の式ができる。
RQ:12 = 6:18 これを解くと,RQ= 4cm
12cm
ゆえに, PQ= 6 + 4 = 10cm
B
C
S
18cm
1
次の問に答えよ。
(1) 下の図で,PQ の長さを求めよ。
9cm
A
(2) 下の図で,PQ の長さを求めよ。
D
A
12cm
D
6cm
12cm
P
P
6cm
B
2
Q
xcm
Q
9cm
C
18cm
xcm
B
18cm
C
下の図は,AD//BC の台形 ABCD で,AE:EB=3:2,AD//EF//BC である。AD=6 cm,BC=12 cm のとき,次の
問に答えよ。
(1) 線分 EF の長さを求めよ。
A
D
O
E
B
P
(2) 線分 PQ の長さを求めよ。
Q
F
C
(3) AO:OQ:QC を最も簡単な整数の比で表せ。
– 14 – 2 平行線と線分の比
平行線と線分の比《応用 II》
2.3
2.3 平行線と線分の比《応用 II》
三角形の相似や平行線を利用して,比を移していく
A
【例題】 左の図で,AB//PQ//DC のとき,PQ を求める。
¨
¥
考え方 2つの step にわけて考える。
§
¨
¥¦
step1 △ABP ∽ △CDP で相似比を求める。
§
¦
¨
¥
step2 △ABC と △PQC で相似比を求める。
§
¦
D
12cm
P
8cm
xcm
B
C
Q
A
左図は,相似を使って表した辺の比である。
3
3
⃝
12cm ¤5 ¡
£¢
P
2
⃝
8cm
¤¡ 2
xcm £2 ¢
B
△ABP ∽ △CDP より,AB:CD=AP:CP= 3:2
△PQC ∽ △ABC より,CP:CA=PQ:AB= 2:5。
D
5
したがって,次の式ができる。
2:5 = x:12 これを解くと,x = 24
5
C
Q
Â
¿
上の図の問題を,公式で解くと,
次のような公式がある。
¨
¥
x = 12 × 8 = 96 = 24
12 + 8
20
5
積
x=
§公式 ¦
和
Á
1
À
次の問に答えよ。
(1) 下の図で,PQ の長さを求めよ。
10cm
A
(2) 下の図で,AB の長さを求めよ。
D
A
P
x cm
Q
D
xcm
P
20cm
12cm
B
2
C
15cm
B
Q
C
AB=6 cm,BC=7 cm,CA=8 cm の三角形 ABC がある。下の図のように,辺 AC 上に AD=2 cm となる点 D をと
る。点 D を通り辺 BC に平行な直線をひき,AB との交点を E とする。直線 CE 上に,FA//ED//BC となる点 F をと
るとき,AF の長さを求めよ。
F
A
E
D
G
B
C
平行線と線分の比《発展》
2.4
平行線と線分の比《発展》
2.4
1
2 平行線と線分の比 – 15 –
下の図で,D は AB の中点であり,BE=EF=FC である。AG:GF を求めよ。
A
D
G
B
2
E
C
F
下の図で,AD=DB,AE=EF=FC であるとき,DH:HG:GC を最も簡単な整数の比で表せ。
A
E
D
F
H
G
B
3
C
下の図で,EF= 3 cm,FC= 9 cm,AB//DE,AE//DF のとき,BE の長さを求めよ。
A
D
B
4
E
C
F
下の図で,EF= 4 cm,FC= 6 cm,AB//DE,AE//DF,線分 BD が ∠ABC の二等分線のとき,次の問に答えよ。
(1) DE:AB を最も簡単な整数の比で表せ。
A
D
B
•
•
E
(2) AB の長さを求めよ。
F
C
– 16 – 2 平行線と線分の比
5
2.4 平行線と線分の比《発展》
右の図の平行四辺形で,辺 AD 上に AE:ED=1:2 となる点 E をとり,CE と BA の延長との交点を F とする。ま
た,BD と CF との交点を G とする。このとき,次の問いに答えなさい。
(1) BF:DC を最も簡単な整数の比で求めよ。
F
(2) FG:GC を最も簡単な整数の比で求めよ。
A
E
D
G
B
(3) EG:GC を最も簡単な整数の比で求めよ。
(4) GC=6 cm とき,EF の長さを求めよ。
(5) △FAE の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
C
3
3
三角形の面積比の求め方 – 17 –
三角形の面積比の求め方
三角形の面積比の問題は,中学の数学ではあまり扱うことはないが,実力テストなどではよく見かける問題である。どの学
年,どの単元とはっきり区別できないため,学校の授業の中で扱うには無理があるようだ。入試では,私立・公立ともによく出
題される。
【要点】 三角形の面積の比については,次の 2 点が重要
1 底辺が共通 (等しい) なら,
⃝
「高さの比」
2 高さが共通 (等しい) なら,
⃝
「底辺の比」
A
右の図で,△ABD と △ACD は,
頂点 A が共通だから,高さが等しくなるので,
△ABD:△ACD = a:b
あるいは,
△ABD
a
=
とかくこともある
△ACD
b
B
D ⃝
b
a
⃝
C
次の図も,上の図と同じように頂点 C が共通だと考えることができる
A
右の図で,△ABC と △DBC は,
頂点 C が共通だと考えると,
a
⃝
△ABC:△DBC = a:b
あるいは,
△ABC
a
=
とかくこともある
△DBC
b
⃝
b
D
B
C
実際には,次の方法をよく使う。
右図のように,AB:AP= a:p,
A
AC:AQ= b:q のとき
p cm
a cm
△APQ と △ABC の面積比は
△APQ
pq
=
△ABC
ab
1
P
q cm
b cm
Q
B
C
下の図で,BD=6 cm,CD=10 cm,AE=4 cm,ED=6 cm のとき,次の問に答えよ。
(1) △ABD と △ACD の面積比を求めよ。
A
E
(2) △ACE の面積は,△ABC の面積の何倍か。
B
D
C
– 18 – 3 三角形の面積比の求め方
2
右の図の平行四辺形 ABCD で,対角線の交点を O とし,辺 AB 上に AE:EB=1:1 となる点 E をとり,AC と DE
の交点を P とする。このとき,次の問いに答えなさい。
(1) AP:PC を最も簡単な整数の比で求めよ。
A
E
D
P
O
(2) △BDE の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
B
C
(3) △DPO の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(4) 四角形 BOPE の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
3
右の図の △ABC で,AP:PB=1:2,AQ:Q=1:1 である。次の問に答えよ。
(1) PD:DC を求めよ。
A
P
Q
D
B
(2) 四角形 APDQ の面積は,△ABC の面積の何倍か。
C
三角形の面積比の求め方 – 19 –
3
4
右の図で AP:BP=2:1,BQ:QC=3:1,AR:RC=1:4 である。次の問いに答えよ。
(1) △ABC:△APR の面積比を求めよ。
A
R
P
(2) △ABC:△BPQ の面積比を求めよ。
B
C
Q
(3) △ABC:△CQR の面積比を求めよ。
(4) △ABC:△PQR の面積比を求めよ。
5
右の図で,D は AB の中点,BE:EC=3:1 のとき,次の問に答えよ。
(1) AF:FE を求めよ。
A
D
F
(2) 点 A,C を 結 ん で △ABC を つ く る 。四 角 形 DBEF の 面 積 は
△ABC の面積の何倍か。
B
E
C
– 20 – 4 中点連結定理
3.1 中点連結定理を使った証明
中点連結定理
4
三角形の 2 辺の中点を結んだときの定理 (性質) である。定理は簡単だが応用範囲が広い。
A
左図で,D,E がそれぞれ辺 AB,AC の中点であるとき,次の関係が
成り立つ
D
E
⃝
1
⃝
2
B
DE//BC
DE= 1 BC
2
C
これを中点連結定理という
△ADE と △ABC の相似から,簡単に導くことができる
中点連結定理をつかった証明
4.1
1
下の図の四角形 ABCD で,点 P,Q,R,S はそれぞれ辺 AB,辺 BC,辺 CD,辺 AD の中点である。このとき,四
角形 PQRS が平行四辺形になることを証明せよ。
A
S
D
P
R
B
2
C
Q
下の図の四角形 ABCD で,2 本の対角線 AC,BD をひく。点 P,Q,R,S はそれぞれ辺 AD,線分 BD,辺 BC,線
分 AC の中点である。このとき,四角形 PQRS が平行四辺形になることを証明せよ。
D
P
A
Q
B
S
R
C
中点連結定理の応用≪重心≫
4.2
4.2
4
中点連結定理 – 21 –
中点連結定理の応用≪重心≫
ここは,教科書の範囲をこえた部分だが,知っておくといろいろな問題に役に立つ
3 本の中線の交点を「重心」という。
重心には 2 つの大切な性質がある
A
⃝
1 中線を 2:1 に分ける
左の図で,AG:GQ=2:1
P
BG:GR=2:1
R
CG:GP=2:1
G
B
2 重心によって,6 つの面積の等しい三角形ができる
⃝
C
Q
△AGR,△AGP,△BGP,
△BGQ,△CGQ,△CGR,
の 6 つの三角形の面積が等しい
■ 4.2.1
1
重心を使った問題
下の図で,点 P,Q,R はそれぞれ辺 AB,BC,AC の中点である。次の問に答えよ。ただし,点線によってできた三
角形は除く。
図1
(1) 左図 1 で,△GPB と面積の等しい三角形はどれか。
A
P
R
G
B
C
Q
(2) 左図 1 で,△GBQ と面積の等しい三角形はどれか。
図2
A
P
(3) 左図 2 で,△GPB と面積の等しい三角形はどれか。
R
G
B
C
Q
(4) 左図 2 で,△GBQ と面積の等しい三角形はどれか。
図3
A
P
R
(5) 左図 3 で,△GPB と面積の等しい三角形をすべて答えよ。
G
B
Q
C
– 22 – 4 中点連結定理
2
4.2
中点連結定理の応用≪重心≫
右の図の △ABC で,点 M,N はそれぞれ辺 BC,AC の中点である。また,点 N から辺 BC に平行にひいた直線と線
分 AM との交点を P,線分 AM と線分 BN の交点を G とするとき,次の問に答えよ。
A
(1) BG:GN を求めよ。
N
P
G
(2) AP:PG:GM を求めよ。
B
C
M
(3) △PGN の面積は △ABC の面積の何倍か。
3
右の図の平行四辺形 ABCD で,点 P,Q,R はそれぞれ辺 BC,辺 CD,辺 AD の中点である。このとき,次の問に
答えよ。
(1) AG:GP を求めよ。
A
D
R
H
(2) BG:GH:HD を求めよ。
G
B
(3) △DHR の面積は,平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
P
C
Q
4.1 角の二等分線の性質
5
補足 – 23 –
補足
5
相似の発展的な考え方で,複合問題でよく使う図形の解法を取り上げる
5.1
角の二等分線の性質
左の図で,線分 AP が ∠A の二等分線であるとき,
A
••
a cm
次の性質がある
b cm
⃝
1 BP:CP= a:b
三角形の面積についても,底辺の比が a:b となることから
B
1
P
C
2 △ABP:△ACP= a:b
⃝
となる
右の平行四辺形 ABCD で,∠A の二等分線と,対角線 BD との交点を
A
P,辺 BC との交点を Q,辺 DC の延長との交点を R とする。AB=3 cm,
•
AD=5 cm のとき,次の問に答えよ。
D
•
P
(1) BP:DP を求めよ。
B
Q
C
R
(2) 四角形 PQCD の面積は,平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(3) AP:PQ:QR を求めよ。
– 24 – 5 補足
2
5.1 角の二等分線の性質
右の図で,∠A=90◦ の直角三角形 ABC の頂点 A から,斜辺 BC に垂
線をおろしその交点を D とする。また,∠C の二等分線と線分 AD の交点
A
◦◦
を P,辺 AB との交点を Q,∠BAD の二等分線と線分 CQ との交点を R,
辺 BC との交点を E とする。AC=3 cm,CD=2 cm のとき,次の問に答
Q
R
えよ。
P
(1) △CAD ∽ △CBA を証明せよ。
B
(2) AP:PD を求めよ。
(3) CE の長さを求めよ。
(4) BE の長さを求めよ。
(5) CP:PR:RQ を求めよ。
E
D
••
C
6 総合演習 – 25 –
6
1
総合演習
右の図のように,AD//BC である台形 ABCD がある。辺 BC の中点を
A
M,直線 DM と直線 AC との交点を E,直線 AM と直線 BE との交点を
D
F とする。AD=3 cm,BC=8 cm のとき,次の問に答えよ。
E
F
(1) 相似な三角形を 1 組さがし,その 2 つの三角形が相似
であることを証明せよ。
B
(2) △DEC の面積は,台形 ABCD の面積の何倍か。
(3) BF:FE の比を,最も簡単な整数の比で表せ。
M
C
– 26 – 6 総合演習
2
右の図で,1 辺 8 cm の正方形 ABCD の 1 辺を直径とする半円 O をえ
A
E
D
P
がく。頂点 C から半円の接線をひき,接点を P,辺 AD との交点を E と
する。また,DP の延長と辺 AB との交点を Q とするとき,次の問に答
Q
えよ。
O
(1) CP の長さを求めよ。
A
E
D
B
P
O
B
C
(2) AE の長さを求めよ。
A
E
D
P
O
B
C
(3) AQ の長さを求めよ。
A
E
D
P
Q
O
B
C
C
6 総合演習 – 27 –
(
3
下の図で,正方形 ABCD の点Bを中心に,正方形の 1 辺を半径とする AC をえがく。辺 BC の中点Mと頂点 D を結
(
び,AC との交点を P とするとき,DP:PM を求めよ。
D
A
P
B
D
A
M
¨
¥
§
¨
¦
¥
§
¦
C
考え方 1 AP を延長し,辺 CD との交点を Q とする
P
Q
考え方 2 左図のように考えると,点 P は AB を半径と
する半円上にある。
したがって,∠APM=90◦ となる
M
B
C
E
F
– 28 – 6 総合演習
4
下の図の正五角形で,対角線 AC の長さを求めよ。
¨
¥
§
¦
考え方 左図で △ABF ∽
A
△ACB を使う
2 cm
F
E
B
O
C
5
D
下の図は,関数 y = x2 のグラフで,3 点 A,B,C それぞれの x 座標は,−4,−1,2 である。また,四角形 ABCD
は平行四辺形で,P,Q は線分 AC,BC と y 軸との交点である。次の問に答えよ。
y
D
(1) 直線 AC の式を求めよ。
y = x2
A
(2) △APB と △CPB の面積比を求めよ。
P
C
Q
B
−4
−1 O
2
x
(3) △PQC の面積と平行四辺形 ABCD の面積比を求めよ。
7 相似と計量 – 29 –
相似と計量
7
相似な図形における面積比と体積比の問題である。17 ページの三角形の面積比の特殊な形だと考えてよい。
7.1
相似比と面積比
面積比は相似比の 2 乗
相似比
a:b なら =⇒ 面積比 a2 :b2
¶
面積比
例
m:n なら =⇒ 相似比
√
m:
√
n
³
題
A
【例 1】 右の図で,三角形 ABC の辺 AB 上に点 D をとり,点 D を通り辺 BC に平行
な直線と辺 AC との交点を E とする。AB=10cm,AD=4cm であるとき,次の
E
D
問に答えよ。
(1) △ABC と △ADE の面積比を求めよ。
相似比が,4cm:10cm=2:5 だから,
C
B
面積比は,22 :52 =4:25
(2) 三角形 ADE の面積が 12cm2 のとき,四角形 DBCE の面積を求めよ。
¥
¨
方法 1 △ABC の実際の面積を求める。
§
¦
△ADE と △ABC の面積比が,4:25 だから,
4:25=12cm2 :x cm2 これを解くと,x = 75cm2
¨
よって,四角形 DBCE=75−12=63cm2
¥
方法 2 比で考える。
§
¦
△ADE と △ABC の面積比が,4:25 より,
四角形 DBCE= 25 − 4 = 21。よって,
4:21=12cm2 :x cm2 これを解くと,x = 63cm2
µ
1
´
A
右の図で,DE//BC で,AD:DB=3:2 のとき,次の問に答えよ。
(1) △ADE と △ABC の面積比を求めよ。
D
B
(2) △ABC の面積が 50cm2 のとき,台形 DBCE の面積を求めよ。
E
C
– 30 – 7 相似と計量
2
7.1 相似比と面積比
A
右の図の三角形 ABC で,点 D,E はそれぞれ辺 AB,AC の中点で,点
F,G はそれぞれ線分 DB,EC の中点である。
三角形 ABC の面積が 48cm2 であるとき,次の問に答えよ。
E
D
G
F
(1) △ABC と △ADE の面積比を求めよ。
C
B
(2) 台形 DFGE と台形 FBCG の面積比を求めよ。
(3) 台形 FBCG の面積を求めよ。
3
A
右の図で,三角形 ADE と四角形 DBCE の面積が等しくなり,DE//BC
であるように 2 点 D,E をとった。
辺 AB の長さが 10cm のとき,線分 AD の長さを求めよ。
E
D
C
B
4
右の図で,三角形 ABC の辺 AB 上に,∠BAC=∠BCD となるような点
A
D をとる。
•
辺 AB=8cm,辺 BC=5cm のとき,三角形 ACD と三角形 BCD の面積
の比を求めよ。
D
•
B
C
相似比と面積比
7.1
5
7 相似と計量 – 31 –
右の図は,AD//BC の台形 ABCD である。いま,対角線 AC と対角線
A
D
BD の交点を E とする。
AD=4cm,BC=8cm であるとき,次の問に答えよ。
E
(1) △AED と △CEB の面積比を求めよ。
B
C
(2) 三角形 ACD の面積は台形 ABCD の面積の何倍か。
(3) 三角形 AED の面積が 5cm2 のとき,台形 ABCD の面積を求めよ。
6
A
右の図は,AD//BC の台形 ABCD である。いま,対角線 AC と対角線
D
BD の交点を E とする。
△AED の面積が 18cm2 ,△BCE の面積が 50cm2 であるとき,次の問
E
に答えよ。
(1) △AED と △CEB の相似比を求めよ。
(2) 三角形 CDE の面積は台形 ABCD の面積の何倍か。
B
C
– 32 – 7 相似と計量
7
7.1 相似比と面積比
F
右の図の平行四辺形 ABCD で,辺 AD 上に AE:ED=3:2 となる点 E
をとる。
A
直線 BE と直線 CD の交点を F とし,直線 BE と対角線 AC との交点を
E
D
G とするとき,次の問に答えよ。
G
(1) 三角形 ABE と三角形 DFE の面積比を求めよ。
B
(2) 三角形 FDE と三角形 FCB の面積比を求めよ。
(3) 三角形 ABG と三角形 CFG の面積比を求めよ。
(4) 四角形 CDEG の面積は,平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(5) 三角形 AGE の面積と三角形 FDE の面積の比を求めよ。
C
相似比と面積比
7.1
8
右の図の平行四辺形 ABCD で,∠B の二等分線と辺 AD の延長線の交
7 相似と計量 – 33 –
D
A
点を E とし,点 E と点 B,点 C,点 D をそれぞれ結ぶ。線分 BE と辺 CD
E
F
との交点を F,対角線 AC との交点を G とする。
AB=6cm,BC=5cm のとき,次の問に答えよ。
G
(1) 三角形 AEG と三角形 CBG の面積比を求めよ。
•
B
(2) 三角形 ABG と三角形 CFG の面積比を求めよ。
(3) 三角形 ABG と三角形 CBG の面積比を求めよ。
(4) 三角形 CEF の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(5) 四角形 AGFD 面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
•
C
– 34 – 7 相似と計量
7.2
7.2 相似比と体積比
相似比と体積比
体積比は相似比の 3 乗
相似比
a:b なら =⇒ 面積比 a3 :b3
¶
例
³
題
O
【例 1】 右の図で,三角形 ABC を底面とする三角すい OABC がある。いま,三角す
い OABC の辺 OA,OB,OC 上にそれぞれ点 P,Q,R をとり,底面の三角形
P
ABC に平行になるように三角形 PQR をつくる。
このとき,次の問に答えよ。
R
Q
A
(1) 点 P が辺 OA の中点であるとき,三角すい OPQR と
三角すい OABC の体積の比を求めよ。
C
B
相似比が,1:2 だから,体積比は,13 :23 =1:8
(2) OP:PA=2:3 のとき,三角すい OPQR と三角すい OABC の体積の比を求めよ。
相似比が,2:5 だから,体積比は,23 :53 =8:125
(3) OP:PA=2:1 で,三角すい OABC の体積が 108cm3 のとき,三角すい台 PQRABC の体積を求めよ。
三角すい OPQR と三角すい OABC の相似比は,2:3 だから,
体積比は,23 :33 =8:27。したがって, 三角すい台 PQRABC の体積は,27 − 8 = 19。
よって,三角すい台 PQRABC の体積 = 108 ×
µ
1
19 = 76cm3
27
´
右の図で,底面の円 O の半径が 6cm,高さ PO=8cm,母線の長さが
10cm の円すいがあり,線分 PO の中点を Q とする。
P
円 Q を底面とする円すいをア,円 O を底面とする円すいをイ,イから
アを取り除いた円すい台をウとするとき,次の問に答えよ。
Q
(1) 円 Q と円 O 面積の比を求めよ。
O
(2) アとウの側面積の比を求めよ。
(3) ウの体積を求めよ。
相似比と体積比
7.2
2
7 相似と計量 – 35 –
右の図で,O-ABCD は底面が 1 辺 6 cm の正方形で,OH=12 cm を高
O
さとする正四角すいである。線分 OH 上を O から H まで動く点 P があり,
点 P を通り,底面 ABCD に平行な平面が辺 OA,OB,OC,OD と交わ
る点をそれぞれ,Q,R,S,T とする。
この立体について次の問に答えよ。ただし無理数の場合は
√
Q
の中を
T
P
最も簡単な整数にすること。
R
(1) OP=2 cm のとき,四角形 QRST の面積を求めよ。
S
A
D
H
B
(2) OP=3 cm のとき,四角すい OQRST と四角すい OABCD の体積
比を求めよ。
(3) OP=4 cm のとき,四角すい OQRST と四角すい台 QRST-ABCD
の体積比を求めよ。
(4) OP=9 cm のとき,四角すい台 QRST-ABCD の体積を求めよ。
(5) 四角形 QRST の面積が,底面 ABCD の面積の 1 になるとき,四
2
角すい OQRST と四角すい OABCD の体積比を求めよ。
C
– 36 – 7 相似と計量
3
7.2 相似比と体積比
右の図で,1 辺 6cm の立方体 ABCDEFGH があり,点 M,N はそれぞ
H
れ辺 FG,GH の中点である。
N
G
4 点 B,M,N,D を通る平面でこの立方体を切断した。このとき,次
E
F
M
の問に答えよ。
(1) 線分 MN と BD の長さの比を求めよ。
D
C
A
B
(2) 三角形 MGN と三角形 BCD の面積比を求めよ。
(3) 頂点 C を含む立体の体積を求めよ。
4
右の図は,∠B=∠E=90◦ ,AB=DE=6 cm,BC=EF=9 cm である三
D
H
角形 ABC,三角形 DEF を底面とし,側面はすべて長方形である三角柱
G
F
E
ABC-DEF を表している。
DG:GE=1:2,GH//EF,AD=8 cm のとき,次の問に答えよ。ただ
し,無理数の場合は
√
の中を最も小さい整数にせよ。
A
(1) 線分 GH の長さを求めよ。
B
(2) 三角形 DGH と三角形 ABC の面積の比を求めよ。
(3) 立体 BCEFHG の体積を求めよ。
C
相似比と体積比
7.2
5
7 相似と計量 – 37 –
右の図で,三角形 ABC は ∠A=90◦ の直角三角形で,側面はすべて長方
A
形である三角柱 ABC-DEF を表している。辺 EF の中点 M,辺 AC 上に
AN:CN=1:2 となる点 N をとり,点 M から線分 BN に平行な直線をひ
N
B
C
き辺 DF との交点を L とし,4 点 B,M,L,N を通る平面でこの立体を 2
つに分ける。
AB=9 cm,AC=AD=12 cm のとき,次の問に答えよ。ただし,無理数
√
の場合は
D
L
の中を最も小さい整数にすること。
(1) 線分 LF の長さを求めよ。
(2) 三角形 ABN と三角形 LMF の面積比を求めよ。
(3) 頂点 A を含む方の立体の体積を求めよ。
E
M
F