電気通信大学アンテナ・伝播研究会 (H27.01.22) 大規模MIMOチャネルの漸近固有値分布と通信路容量：そこから見えてくるもの唐沢好男電気通信大学電気通信大学発表の内容  Massive MIMO通信  固有値分布と通信路容量  漸近固有値分布（マルチェンコ・パスツール則）  固有値分布に見られる性質  通信路容量に見られる性質  まとめ 2 電気通信大学 Massive MIMO WTX （アレー素子数：100～1000）基本伝送特性の把握には、チャネル応答行列の固有値把握が本質アレーサイズが大きくなると固有値解析が非常に煩雑になる 3 電気通信大学チャネル応答行列（CSI）: A a11 1 2 2 a NM M  a11   a21 A   a  N1 1 a12 a22  aN 2  a1M    a2 M       a NM  N m  min{M , N} n  max{ M , N} 4 電気通信大学ウィシャート行列: Wr and Wt Wr  AA H Wt  A A H （行列サイズ: N×N）（行列サイズ: M×M）固有値 (li ; i = 1, 2, … m) for Wr or Wt 固有ベクトル (er,i ; i = 1, 2, … m) for Wr 固有ベクトル (et,i ; i = 1, 2, … m) for Wt 固有値の性質が把握できると MIMOの基本伝送特性（BER, 通信路容量など）が評価できる 5 電気通信大学順序付固有値分布と順序無固有値分布順序付固有値分布 l1  l2   lm  0 li それぞれの確率分布送信側でCSIを利用して、最適に送信電力制御を行う場合の通信路容量を求めたい時など順序無固有値分布順序付固有値の順序を無視してまとめた固有値全体の分布送信側でCSIを利用しない場合の通信路容量を求めたい時など（アンテナから送信される電力の平均値が同じ） 6 電気通信大学 i.i.d レイリーフェージング環境における固有値導出の一般式順序付固有値の確率分布 fi ord   2 i li lm1 li   l dl1  l dli 1 0 dli 1  0 f ord l1 l2 fi このアプローチでは Massive MIMO固有値解析にはたどり着けない!! 1 m ord li    f j li  m j 1     0 0 0 0   dl1   dli 1  dli 1   dlm f unordl1 f unord l2  lm     m nm m 2  lm   c exp    li  li  li  l j  j i 1  i 1  i 1 l1  l2   lm  m  min{M , N}, n  max{ M , N} 順序無固有値の確率分布 unord dlm f ord l1 l1 l2  l2  lm  c    m nm m 2  lm   exp    li  li  li  l j  m! j i 1  i 1  i 1 1 ord f l1 m! l2  lm  7 電気通信大学 MIMOチャネルの（順序無）固有値解析のアプローチ大規模MIMO M, Nの数：非常に大小規模MIMO M, Nの数：小通常固有値解析？ l  Mlˆ 漸近固有値解析困難   N / M  一定 M  f (lˆ ) 8 電気通信大学漸近固有値分布（マルチェンコ・パスツール則に基づく） NとMの比をとし、そのもとでのM∞での順序無正規化固有値の漸近固有値分布を考える   N/M lˆ  l / M 順序無正規化固有値 f (lˆ)  lim M f i unord (Mlˆ) 漸近固有値分布 M   ˆ f (l )  1     (lˆ)   lˆ  1    2  lˆ  lˆ z     ˆ  lˆ l   2lˆ    max 0, z  （M-P則に基づく分布は自由ポアソン分布とも呼ばれる） 9 電気通信大学 M<N、すなわち >1に限定して  4  (lˆ  1   ) 2   ˆ 2lˆ f (l )     0  for 1    2   lˆ  1    2 for others   1 (M  N ) のときは 1  f (lˆ )   2   4 1 ˆ l 0 for 0  lˆ  4 for others 10 電気通信大学漸近固有値分布確率密度関数 (PDF) 累積分布関数 (CDF) 0.6 1 =1 =1 0.5 =2 0.8 0.4 Cumulative probability Probability density =4 =2 0.3 =4 0.2 =8 =16 0.1 0 0 5 10 15 0.6 =8 0.4 0.2 0 0 5 10 15 Normalized eigenvalue Normalized eigenvalue lˆ  l / M (M  )   N/M 11 電気通信大学 =1における漸近固有値分布と2x2, 4x4 MIMO等の正規化固有値分布（l/M）の比較確率密度関数 (PDF) 累積分布関数 (CDF) 1 10 =1 0.1 Cumulative probaility Probability density 2x2 theoretical 4x4 theoretical M-P law, =1 1 lˆ 0.1 l ( 44 ) /4 l( 22) / 2 1 2 0.01 4x4 2x2 1x1 0.001 M=1, 2, 4, 8, .... 0.01 0 M-P law 3 Normalized eigenvalue 4 5 0.0001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 Normalized eigenvalue 12 電気通信大学平均通信路容量 < C > M×N MIMOの順序無固有値分布から   0li   m  log 1   0l  f unord(l )dl  i C   log 2 1   2  0 M M     i 1 m （bps/Hz) 漸近固有値分布から    0l   l  C   log 2 1   f  dl 0 M  M   2  x  4    1     2 M  x M 1   M    0   log 1  dx   2 2    1   M 2 M  x   =1 の時は 1 C  2  4M 0   l  4M  l log 2 1  0  dl M  l  13 電気通信大学 =1 (M=N)での平均通信路容量 1 C  2  4M 0   l  4M  l log 2 1  0  dl M  l  （bps/Hz) Telatar ETT, 1999 論文 1  4 0  1 M  1  ln  0  1   2 tanh 1 ln 2  2 0 1  4 0   3   M 0   F 1 , 1 , , 2 , 3 ,  4   3 2  0 ln 2 2     M     数値計算上完全一致 Mathematica M-P則では、アンテナ数に厳密に比例 14 電気通信大学 =1 (M=N)のケースにおける平均通信路容量 Average channel capacity <C> (bps/Hz) 1000 N=M (=1) 0=20dB 100 4x4 10dB 0dB 2x2 M-P law MxM 10 theoretical 1 1 10 100 The number of antennas M 1000 15 電気通信大学任意の  の値に対する平均通信路容量（漸近固有値分布に基づく） C M P   0   0l   l  log 2 1   f  dl M  M   2   x     4    1    2  1 1   M    0x  M     log 1  dx  2  M 2   1   M M  x   2      数値積分をしてみるとこの部分はMに依存しない C M P  g ( 0 ,  )M アンテナ数に厳密に比例 16 電気通信大学  をパラメータとする平均通信路容量vsアンテナ数N (0=10dB) Average channel capacity <C> (bps/Hz) 10000 0=10dB =32 =N/M 1000 =1 100 =1, 2, 4, 8, 16, 32 10 1 1 10 100 1000 The number of antennas M 17 電気通信大学平均正規化通信路容量のSNR特性 Normalized averaged channel capacity <C>/M (bps/Hz/M) C M P / M  g ( 0 ,  ) 何と、最小規模 MIMO の2×2でも、平均正規化通信路容量は漸近固有値分布から、極めて精度よく推定できる!! 10 =32 16 8 1 M-P law l(2x2)/2 l(4x4)/4 l(2x4)/2 4 2 漸近固有値分布理論（M-P則に基づく）は非常に適用範囲が広い 1 0.1 -10 -5 0 5 SNR 0 (dB) 10 15 20 18 電気通信大学本稿が解析対象としたシステムイメージ： N > M Case 1 Case 2 CSIは利用するが、送信電力制御はしないケース 19 電気通信大学まとめ１）Massive MIMOの固有値解析では、ランダムマトリクス理論に基づく漸近固有値解析（マルチェンコ・パスツール則を利用した）が利用される２）漸近固有値解析とは, N/Mの値を固定した状態で、 Mが無限大付近の順序無固有値分布を調べるものである３）有限サイズのM×N MIMOの平均通信路容量を、漸近固有値分布から近似的に求めることができるが、その近似精度は、 2×2 MIMOの場合でも、驚くほど良い。（適用性が極めて大きい）４）ただし、平均通信路容量ではなく、通信路容量の確率分布を求めたい場合には、また、別の景色が見えてくると思う。次の課題としたい。５）ここでは、理論計算値のみを示しているが、この結果の妥当性は、計算機シミュレーションで確認している 20