微分法 ☆積の微分法 0 0 (f g) = f g + f g 0 ☆商の微分法 0 f 0 f g − fg ( ) = g g2 0 ☆合成関数の微分法 0 0 0 ｛f (g(x))｝ = f (g(x))・g (x) ☆微分可能性 0 f (x) が x = a において微分可能（f (a) が存在）ならば x = a において連続 ★問題次の関数を微分せよ 1 (1) 映像：（導入）微分法１ 1 f (x) = √ x (2) y= 3x − 1 2x + 1 (3) 映像：（導入）微分法１ y = (3x2 + 1)4 (4) 映像：（導入）微分法１ y=3 √ x2 − 3x + 4 1 2 映像：（導入）微分法１ f (x) = x2 − 4x − 1 x+1 0 のとき f (2) の値を求めよ３ f (x) = ax + b (x ≤ 2) f (x) = x − 1(x > 2) x−1 が x = 2 において微分可能のとき定数 a, b を求めよ ★★問題 1 次の関数を微分せよ (1) y = x3 (x − 1)3 (2) y= x5 − 4x3 + x2 − 1 x3 y= 3x − 1 x2 + 1 (3) (4) y=√ x x−1 (5) 映像：（導入）微分法１ √ y = (x + 3) x + 1 2 (6) 映像：（導入）微分法１ y=4 √ x2 − x − 3 (7) 映像：（導入）微分法１ y= x2 + 1 x−1 (8) 映像：（導入）微分法１ y= √ √ a+ 1+x (9) y= x+1 x−1 (10) √ y = 3 1 − 2x (11) √ y = x x2 + 92 (12) √ y= √ 1− x √ 1+ x 2 0 関数 f (x) において f (2) = 1, f (2) = 3 のとおき次の極限値を求めよ (1) f (2 + 2h) − f (2 − 3h) h h→0 lim (2) lim x→2 2f (x) − xf (2) x−2 3 3 f (x) = x2 + 1(x ≤ 1) f (x) = ax + b (x > 1) x+1 が x = 1 において微分係数を持つとき定数 a, b を求めよ 4 ☆様々な関数の微分法・三角関数の微分法 0 0 0 (sinx) = cosx (cosx) = −sinx (tanx) = ・指数/対数関数の微分法ネイピア数 e を用いて y = ex の微分係数が ex であると定義すると ex+h − ex = ex h h→0 0 y = lim より eh − 1 =1 h h→0 lim を満たす数が e といえる。またこの関数に対数をとった関数は自然対数と呼ばれ loge x ≡ logx と e を省略して書くこの関係を用いれば log eh = log(1 + h) 1 lim (1 + h) h = lim (1 + h→0 n →∞ 1 n ) =e n を e の定義と見なすこともできるまたこの関係より様々な微分公式が導かれる 0 (ex ) = ex 0 (ax ) = ax loga (a > 0, a 6= 1) 5 1 cos2 x (証明) a x = eA log ax = A ∴ A = x log a (ax )0 = (ex log a )0 0 (logx) = 1 x 0 (loga x) = 1 (a > 0, a 6= 1) xloga ★問題次の関数を微分せよ (1) 映像：（導入）微分法 2 y = sin2x (2) 映像：（導入）微分法 2 y = cos2 x (3) y = xtanx (4) 映像：（導入）微分法 2 y= √ 1 + sin2 x (5) 映像：（導入）微分法 2 y = log √ 1 + x2 6 (6) 映像：（導入）微分法 2 y = ex sin2x (7) y = ax loga x(a > 0, a 6= 1) (8) 映像：（導入）微分法 2 対数微分法(両辺の対数を取ってから微分する。(変数)変数の形に有効) を用いて y = xsinx (9) 微分係数の定義を用いて e3x − e−x x x→0 lim (10) 微分係数の定義を用いて lim x→1 logx x−1 ★★問題 1 次の関数を微分せよ (1) y = sin2xcos3x (2) y = sin3 x (3) y = sin(x2 ) (4) y = tan2 3x 7 (5) y= sinx 1 + cosx (6) y = tan(sinx) (7) y= √ 1 + cos2x (8) y = sin( π − 2x) 4 (9) y = log4x (10) y = e2x (x + logx) (11) y = (x2 + 3)e−3x (12) 映像：（導入）微分法 2 y = e−x 2 (13) y= ex +1 ex (14) y = log|sinx + cosx| (15) y = xlogx − x 8 (16) y = log(x + √ x2 + 1) (17) √ y=x 2 (18) y= (2x + 1)(x − 2) (x − 3)2 (19) y = xlogx (20) (x + 1)3 y = 3√ 2x + 1 2 微分係数の定義から次の極限値を求めよ (1) ex log(x + 1) x x→0 lim (2) sin3 x − sin3 a x−a x→a lim 3 次の関数を微分せよ (1) y = x2 sin(3x + 5) (2) y = (sin2x + cos3x)2 (3) y = sin x−1 x+1 9 (4) y = xcosx − sinx (5) y= 1 xlogx 2 (6) y = log| a + x2 | a − x2 (7) y = sin(log(x2 + 1)) (8) y= √ xlogx (9) √ y =｛log( x + 1)｝2 (10) y= √ log2 x (11) y = x3 e−x 10 ★★★問題 1 (1) 1 lim (1 + h) h = e h→0 をもちいて x > 0 のとき 0 (loga x) = 1 (a > 0, a 6= 1) xloga を示せ (2) ex − 1 =1 h h→0 lim を用いて 0 (ax ) = ax loga (a > 0, a 6= 1) を示せ 11 ☆ n 次導関数 y = f (x) を n 回微分したもの ☆ f (x, y) = 0 型の関数の微分 y = f (x) に直しにくいときに非常に有効 0 y を x で微分すると y ・y となることを利用する例映像：（導入）微分法 3 x2 + y 2 = 25 の x での微分 0 0 2x + 2y ・y = 0 ∴ y = − x y となる ☆パラメタ表示された関数の微分 x = f (t), y = g(t) であるとき 0 y = dy = dx dy dt dx dt 0 つまりそれぞれ t で微分し割るだけで y が求められる ★問題１次の関数を 2 回微分せよ (1) 映像：（導入）微分法 3 y = x5 (2) y = sin2 3x (3) y = e−2x 12 2 次の関数の dy dx を求めよ (1) x2 + (y − 2)2 = 4 (2) y2 x2 − =1 4 9 3 次の関数の dy dx をパラメタを用いて求めよ (1) x = 2t2 + t − 1 , y = 3t − 1 (2) x = θ − sinθ ， y = 1 − cosθ ★★問題 1 次の関数の n 次導関数 y (n) を求めよ (1) y = x6 (2) y = sinx (3) y= 1 x (4) y = e−x 13 2 次の関数の dy dx を求めよ (1) x3 + y 3 = 1 (2) ex − logy = 2x 3 次の関数の dy dx をパラメタを用いて求めよ (1) 1 1 x = t + , y = t2 − 2 t t (2) x = 2cosθ ， y = 3sinθ 4 x = t2 − 1 ， y = 4t − 2 のとき d2 y dx2 を t で表せ 14 ☆接線の方程式 0 関数 y = f (x) で x = a における接線の方程式は接線の傾きが f (a) であるので 0 y = f (a)(x − a) + f (a) ☆平均値の定理関数 f (x) が a ≤ x ≤ b で連続かつ a < x < b で微分可能なら 0 f (c) = f (b) − f (a) (a < c < b) b−a を満たす c が少なくとも１つ存在するこれは a から b までの変化の割合（平均変化率）と微分係数が等しくなる点が存在するという意味である。 ★問題１次の点における曲線の接線と法線を求めよ (1) y= x (3, 3) x−2 (2) 映像：（導入）微分法 3 y = ex (2, e2 ) 2 映像：（導入）微分法 3 y = log(x − 1) に対し，点（１，０）から引いた接線の方程式を求めよ３関数 f (x) = 1 x において 15 0 f (c) = f (3) − f (1) 1 < c < 3 2 を満たす c を求めよ４関数 x2 + y 2 = 25 の上の点 (α, β) における接線の方程式を求めよ ★★問題１次の曲線の [ ] 内で与えられた点における接線の式と法線の式を求めよ (1) y= π sinx [x = ] x 2 (2) y = xlogx [x = 1 ] e (3) y = e−x − 1 [x = −1] ２ x = et cosπt ，y = et sinπt で表される曲線の t = 2 での接線と法線の式を求めよ３原点を通り，曲線 y = logx − 1 に接する直線の式を求めよ４ 2 次関数 f (x) = px2 + qx + r と異なる２つの実数 a, b について 0 f (c) = f (b) − f (a) b−a 16 を満たす c の値を a, b を用いて表せ５ y = 12 x2 の異なる 2 点Ａ (a, 12 a2 ), Ｐ (p, 12 p2 ) における法線の交点をＱとする。ＰをＡに限りなく近づけるとき，点Ｑが限りなく近づく点の座標を a を用いて表せ。 17 ☆グラフの書き方 (i) 定義域を押さえる 0 (ii)f (x) を求め，グラフの増減を知る (iii) 必要に応じ（※）x → ± ∞, 0, α の極限値を調べる。 ※不定形を必ず意識し，そこでの極限値を必ず求める ☆変曲点 00 2 次導関数 y が 0 となる点そこを境にグラフの凹凸が変わる 00 f (x) < 0 →上に凸 00 f (x) > 0 →下に凸 ★問題 1 次の関数のグラフを書け (1) y= x−1 x2 + 3 (2) 映像：（導入）微分法 3 y = xe2x (3) y = x4 − 2x3 − 12x2 + 3x + 8 (4) y = xe−x (5) y= x2 x−1 18 ★★問題 1 次の関数のグラフを書け (1) y =x+3+ 1 x−1 (2) y= 18x − 1 x2 + x + 1 (3) y = x2 e−x (4) √ y = x 2 − x2 (5) y= x−2 x2 + x − 2 (6) 映像：（導入）微分法 3 y= logx x (7) y = ex+2 + e−x (8) y = sin3x + cos3x (9) y = −2eπx sin(2πx) (0 < x < 1) 2 19 次の関数の最大値，最小値を求めよ (1) y = sinxcos3 x (0 ≤ x ≤ π) (2) y= x2 x +2 (3) y= x−1 x2 + 1 y= 1 1 π + (0 < x < ) sinx cosx 2 (4) (5) y = xlogx (6) y = (3x − 2x2 )e−x (7) y =x+ √ 4 − x2 ３ (1) 放物線 y = x2 の上の点をＰ，Ａ（3,0）とするとき線分ＡＰの最小値を求めよ (2) 2 点Ａ (1,0),B(-3,0) とする点Ｐ (x, y) が円 x2 + y 2 = 4 の上を動くとき PA+PB の最大値を求めよ (3) y= x2 + 3x + 6 , x = t3 − 3t + 2 x+1 20 とするとき，−1 ≤ t ≤ 2 における x の最大値，y の最小値を求めよ４ logx = ax の実数解の個数を a の値によって分類せよ５次の不等式を示せ。ただし x > 0 のとき sinx < x は使ってもよい (1)x > 0 で， 1 cosx > 1 − x2 2 (2)x > 0 で 1 sinx > x − x3 6 6 → → 速度ベクトル − v は位置ベクトル − x = (x, y) に対し → d− x dx dy − → v = =( , ) dt dt dt と表される。今 x = et + e−t y = e−t − e−t → で与えられるとき，速さ（|− v |）が最小となる t の値を求めよ。 21 ★★★問題１ f (x) = x−a x2 + 1 として 0 (1)f (x) を求めよ (2)f (x) の極値の１つが 1 2 のとき定数 a を求めよ (3)a が (2) で求めた値のとき y = f (x) のグラフをかけ 2 関数 f (x) = e2x − 4aex + 2x + 3a が極大値と極小値を持ち，それらの和が −６とする。 a の値と極値を取るときの x の値を求めよ３曲線 y = (x − a)2 (x − b) の変曲点の座標を a, b で表せ 4 体積が √ 3 3 4 の正三角柱の表面積の最小値を求めよ 5 円 C : x2 + y 2 = 1 の第 1 象限内の点Ａにおける接線を l として，l と y 軸との交点をＰ， l と直線 y = −1 との交点をＱとする。また，Ｒ（0,-1）とする (1) △ＰＱＲの面積 S を点Ｑの x 座標 t を用いて表せ (2)S の最小値を求めよ６ x2 + (y − 1)2 = 1 4 上の点Ｐと y = logx 上の点Ｑを結ぶ線分ＰＱの長さの最小値を求めよ７ f (x) = (x2 − px + p)e−x が極小値を持つとき，その極小値の最大値を求めよ 8 映像：（典型）微分法１ x の方程式 22 1 1 = +k x−3 x−1 の実数解の個数を求めよ９次の不等式を示せ (1) xcosx ≤ x2 + sinx (x ≥ 0) (2) 1 1 < log(x + 1) − logx < (x > 0) x+1 x (3) log(1 − x) + x < 0 (0 < x < 1) 1+x (4) ( log 1 1 − x2 ) ( ≤ 1 log 1 − x2 )2 + 1 4 １０関数 √ f (x) = 5 + 3e2x 1 + ex (1) lim f (x) ， lim f (x) x →∞ x →−∞ を求めよ (2)f (x) の最小値を求めよ (3)｛f (x)｝2 が整数になる x の個数を求めよ１１映像：（典型）微分法１関数 f (x) = x2 e−x 23 (1) この関数のグラフの概形を描け (2)x 軸上の点Ｐ（a,0）より y = f (x) に３本の接線がひくことができる a の値の範囲を求めよ 24 ★★★★問題１映像：（典型）微分法２関数 f (x) = ex − 0 00 x3 6 000 (1)f (x), f (x), f (x) を計算せよ (2) x ≥ 0 で ex > x3 6 を示せ (3) a を正の定数として ex =a x2 の x > 0 を満たす解の個数を求めよ２映像：（典型）微分法２ f (x) = x2 + πx − πsinx について (1)x < −π, 0 < x のとき，f (x) > 0 を示せ (2) 全ての実数 x について f (x) ≥ 0 を示せ 3 f (x) = x log x 1−x + (1 − x) log − 2x2 + 4ax(0 < x < 1) a 1−a がある。ただし，a は 0 < a < 1 を満たす定数とする 0 (1)f (a) の値を求めよ (2)f (x) の最小値を求めよ 25 ４無限等比級数 log x (log x)2 (log x)3 √ + √ + +… x x x x がある。ただし，対数は自然対数とする。x > 1 とする。 (1) この級数は収束することを示せ (2) この級数の和を f (x) とするとき，f (x) の最大値を求めよ５半径１の球に直円錐が外接しているとする。すなわち，半径１の球が直円錐の内側にあり，直円錐の側面と底面に接しているとする。ただし，半径１の球の中心は直円錐の頂点と直円錐の底面の中心を結ぶ線分上にあるとする。 (1) 直円錐の高さ h を直円錐の底面の半径 r を用いて表せ (2) この直円錐の体積の最小値を求めよ６曲線 C y = log x 上の異なる２点 A(a, log a),B(b, log b) における C の法線の交点をＰとする。 (1)b が限りなく a に近づくとき，Ｐはある点Ｑに限りなく近づく。Ｑの座標を a で表せ (2)(1) で求めたＱに対して線分ＡＱの長さ l を a で表せ (3)(2) で求めた l を最小にする a の値を求めよ７ n を３以上の整数として，半径１の円Ｃの内部に円Ｃと接する半径の等しい n 個の円 A1 , A2 , A3 …An を順に並べる。ただし，A1 は A2 , An に外接し，各円 Aj は隣り合う円 Aj−1 , Aj+1 と外接するものとする。(2 ≤ j ≤ n − 1) (1)n 個の円 A1 , A2 , A3 …An の面積の総和 Sn を求めよ (2) 極限値 T = lim nSn n →∞ 26 を求めよ８第１象限で x 軸に接する円Ｃが，放物線 y = x2 と点 (t, t2 ) を共有し，この点Ｔで共通の接線をもつ。ただし，t > 0 とする。円Ｃの中心を P(a, b) とし，次の問に答えよ (1)a, b を t を用いて表せ (2) 原点とＰを結ぶ直線の傾き b a の t →∞ としたときの極限値を求めよ９次のように定義された関数 f (x) はすべての x の値において微分可能であるとする。   1 (1 ≤ x) f (x) = a(x − 1) − b sin x (−1 < x < 1)   c (x ≤ −1) (1) (1) 定数 a, b, c を求めよ (2)c > 0 を証明せよ (3)y = f (x) のグラフをかけ。１０実数 a, b が 0 < a < b < 1 を満たすとき 2a − 2a 2b − 2b と a−1 b−1 の大小を比較せよ１１ 0 ≤ x ≤ 1 をみたすすべての実数 x に対して，不等式 ex ≥ ax + b が成り立つような点 (a, b) の範囲を求め，その領域を ab 平面上に図示せよ１２映像：（難問）微分法１ t を定数として，xy 平面上の直線 Ct : y = (x + t)et を考える。t が t > 0 の範囲を変化するとき，Ct が通る範囲を求め，それを xy 座標平面上に図示せよ１３放物線 y = 1 2 15 x を y 軸まわりに回転させてできる面を内壁とする容器を考える。そこに 27 水をいれるとき，y 軸は水面にいつも垂直であるとする。x 軸，y 軸の長さの単位を cm とする。 (1) 空の状態の容器に，半径 bcm(b > 0) の鉄球を入れる。この鉄球が容器に最下点だけで接するための b の値の範囲を求めよ (2)b = 4(cm) とする。鉄球を入れたまま 3cm3 /秒の割合で，容器に水を入れ始める。 0 ≤ y ≤ 8 の範囲で，水面の上昇する速度と，水面の面積の変化速度を求めよ。 28 ★★★★★問題１図のような幅４のテープを点 C が対辺に重なるように折るとき，三角形 ABC の面積が最小になるような θ とそのときの面積を求めよ。 C D B 4 θ C A 2 斜辺の長さが１である正 n 角錐を考える。つまり底面を正 n 角形 A1 , A2 , …………, An ，頂点を O と表せば OA1 = OA2 = OA3 = ……… = OAn = 1 である。そのような正 n 角錐の中で最大の体積を持つものを Cn とする。(1)Cn の体積 Vn を求めよ。(2) lim Vn n →∞ を求めよ。 3 空間内に立体 x2 + y 2 ≤ (1 − z)2 ，(0 ≤ z ≤ 1) で表される立体がある。 (1) 平面 z − y = k がこの立体と共有点をもつとき k の範囲を求めよ (2) この立体を (1) の平面で切ったとき，その切り口が表す面 Sk を xy 平面上に射影したときの図形の式を求めよ (3)(1) の範囲を k が動くとき，Sk の面積の最大値を求めよ 4 映像：（難問）微分法３ y = cos x の x = t ，(0 ≤ t ≤ π 2) における接線と x 軸，y 軸の囲む三角形の面積を S(t) とする。 (1)t の関数として S(t) を求めよ 29 (2)S(t) はある１点 t = t0 で最小値をとることを示せ。また π < t0 < 1 4 であることを示せ (3) S(t0 ) = 2t0 cos t0 を示し， S(t0 ) > √ 2 π 4 であることを示せ 5 すべての正の実数 x, y に対し √ √ √ x + y ≤ k 2x + y が成り立つような実数 k の最小値を求めよ 6 f (x) = ex とし，0 < h < 1 とする (1)f (x + h) = f (x) + hf 0 (x + ah) を満たす a の値を求めよ (2)eh < 1 + 3h をしめせ (3) 1+h+ h2 h2 < eh < 1 + h + (1 + h) 2 2 を示せ (4) lim a h → +0 を求めよ 30 7 a は正の定数とする。 ax ≥ ax がすべての正の数 x について成り立っている。このとき a はどのようなものか。 8 映像：（難問）微分法２ n は２以上の自然数とする y = ex と y = enx − 1 について (1) これらのグラフは第 1 象限においてただ１つの交点を持つことを示せ (2)(1) の交点の座標を (an , bn ) とするとき lim an n →∞ lim nan n →∞ の値を求めよ (3) 第 1 象限内でのこれらのグラフと y 軸で囲まれた部分の面積を Sn とするとき lim nSn n →∞ の値を求めよ 9 a, r が a> 1√ 1 ， 0 < r < 4a − 1 2 2 を満たす定数とする。円 x2 + (y − a)2 = r2 の接線と y = x2 で囲まれる図形の面積の最小値を a, r で表せ 31