アルゴリズム論 b (2014) [第5回] 指数乱数と待ち行列  窓口に並ぶ行列客の到着待ち行列の発生窓口サービス対応サービス終了退出  スーパーやコンビニレジの行列  チケット売り場  高速道路料金所(ETCなし)  ATMなどのオンラインシステム  インターネットサーバーのアクセス処理客の到着状況  客の行列人数  窓口の数、サービスにかかる時間   「行列ができる」状態    →待ち時間大 →コスト増加サービス低下「行列ができない」状態    商売繁盛？窓口数を増やす窓口が空いている状態窓口数を減らす →サービス過剰適度の待ち行列人数を維持することが必要  予測不能の状況  顧客の到着の不規則さ  サービス対応時間の不規則さ  各窓口への振り分け方法  先着順、ランダム、空いている窓口へ  平均待ち時間・平均行列の人数の評価  サービス時間とコスト(窓口数調整など)の最適化  客の到着    1分間あたりの客の到着人数ポアソン分布客の到着時間間隔指数分布サービス時間確率的な現象    確率的な現象経過した時間に依存しないランダムな時間 1人あたりのサービス時間指数分布窓口数１～ n  M／M／n モデル → ポアソン／指数／窓口数   窓口１つ M/M/1 モデル窓口が複数 n 個 M/M/n モデル  平均到着率 λ 1分あたり到着する客数平均サービス量 μ 1分あたり処理できる客数平均サービス時間 t s=1/ μ 1人あたりの処理時間  平均待ち行列長さ  平均システム内客数 Lq 平均滞在客数（サービスを受けている客を除く）   L 平均の行列人数  平均窓口利用率  平均の行列人数 L＝  ρ ρ＝ λ / μ Lq ＝ 1ー ρ ρ2 1ー ρ 平均待ち時間リトルの法則 Wq ＝ ρ 1ー ρ ts = Lq λ  １人目    到着すぐサービス開始サービス時間発生２人目    到着→ １人目がサービス時間内なら待ち時間行列の人数 +1 １人目のサービスが終了していたらサービス開始待ち時間途中からサービス開始  n人目  到着→ 直前の客がサービス時間内なら待ち時間行列数 +1 直前の客のサービスが終了したらサービス開始  待ち時間経過後、サービス開始   各人の待ち時間、待ち行列人数などを計算  ポアソン分布  1分間あたりの人数  指数分布  次の事象が起きるまでの時間間隔（分）  ポアソン分布と指数分布は表裏の関係  客の単位時間あたりの到着人数   客の到着間隔   ポアソン分布に従う乱数指数分布に従う乱数サービス時間  指数分布に従う乱数ポアソン分布と指数分布は表裏の関係  ポアソン乱数 (平均 λ) 1分間に来るお客の数一様乱数を複数個を掛ける =RAND（）*・・・* RAND（）＞exp(－λ) exp(－λ)よりも小さくなる直前の積の個数（整数） Excelの乱数機能にも用意  指数乱数 (平均 m) お客が来る時間間隔窓口サービスにかかる時間＝－ LOG（ RAND（））＊ m 1. ポアソン到着・指数サービスの乱数を生成 2. 各ステップで待ち時間・待ち行列人数を算定 3. 平均の待ち行列人数・平均システム内人数を、シミュレーションの平均として求める 4. 窓口２つの場合のシミュレーション到着した客がどちらの窓口に入るか