確率・統計 A 第 3 章平均と特性量 (Part 1)

確率・統計 A
第 3 章平均と特性量 (Part 1)
3.1. 平均の定義
講師:栁原宏和
E-mail: [email protected]
Web: http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~yanagi/ProbStatA.html
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.1
平均の定義 (離散型) (1/2)
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.2
平均の定義 (離散型) (2/2)
定義 3.1. 確率変数 X のとりうる値が有限個
であるとき, 単純確率変数と呼ばれる. とり
得る値の集合を D={x1,…,xn} とするとき,
n
n
j =1
j =1
m = E(X ) = å x j P(X = x j ) = å x j f (x j )
を X の平均または平均値 (mean)，あるい
は期待値 (expectation) という. ここに,
f(x)=P(X=x) である.
定義 3.1. (続き) 同様に, 離散型確率変数の
場合で, とり得る値の集合が可算集合
D={x1,x2,…} のとき, X の平均は
¥
¥
j =1
j =1
m = E(X ) = å x j P(X = x j ) = å x j f (x j )
として定義される. この場合, 右辺の級数が
絶対収束するとき, すなわち,
å
¥
j =1
| x j | f (x j ) < ¥
のとき, X の平均は存在するという.
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.3
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.4
平均の定義 (連続型)
特性量の必要性
確率変数Xの確率分布PXとは
PX(A)=P(XÎA), AÎ
によって定義される確率測度PX のことである. 確率分
布PXは分布関数
FX(x)=PX((-¥,x])=P(XÎ(-¥,x])
によって一意的に定まることが知られている．また, 離
散型あるいは連続型の場合には，その確率密度関数
によって確率分布が定まる. しかし, 異なる分布を比較
したり, 分布のだいたいの様子を表すためには, その
分布の特徴を表すようないくつかの量が重要となる.
最も重要な量は平均である.
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.5
定義 3.2. 確率変数 X は連続型とし, その確率密
度関数を f(x) とする. このとき,
m = E(X ) = ò
¥
-¥
xf (x )dx
を X の平均または平均値 (mean)，あるいは期
待値 (expectation) という. 右辺の積分が絶対
¥
積分可能であるとき, すなわち, ò-¥ | x | f (x )dx < ¥
のとき, X の平均は存在するという.
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.6
平均の例
1. 確率変数Xの確率分布がB(1,p) (XがB(1,p)
に従う or X~B(1,p)) のとき, E(X)=p.
2. 確率変数Xの確率分布がB(n,p) (XがB(n,p)
に従う or X~B(n,p)) のとき, E(X)=np.
3. 確率変数Xの確率分布がU(a,b] (XがU(a,b]
に従う or X~U(a,b]) のとき, E(X)=(a+b)/2.
4. 確率変数Xの確率分布がN(m,s2) (Xが
N(m,s2) に従う or X~N(m,s2)) のとき,
E(X)=m.
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.7
3.2. 基本的性質
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.8
練習問題1
確率変数の関数の期待値 (1/2)
X~U(0,1]のとき,Y=X2の平均を計算して
みよう.
ìï1 (0 < x £ 1)
Xの確率密度関数は fX (x ) = ïí
ïï0 (上記以外)
ïî
ìï0 (x £ 0)
ïï
ï
分布関数は FX (x ) = P(X £ x ) = ïíx (0 < x £ 1)
ïï
ïï1 (x > 1)
ïî
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.9
練習問題1の解法 1
ìïå ¥ x f (x ) (離散型)
ï j =1 j j
確率変数の期待値 : E(X ) = ïí ¥
ïï
xf (x )dx (連続型)
ïî ò-¥
では E{g(X )} は ?
定義に従えば, 確率変数Y=g(X)の確率関数または確
率密度関数 h(y) を求め,
¥
ì
ï
y h(y j ) (離散型)
å
ï
j =1 j
ï
E{g(X )} = E(Y ) = í ¥
ï
yh(y )dy (連続型)
ï
ï
î ò-¥
を計算すればよい.
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.10
確率変数の関数の期待値 (2/2)
定理 3.1. 確率変数 X が離散型のとき, そのとる
値を xj,j=1,2,… とし確率関数を f(xj) とする. ま
た X が連続型のとき, その確率密度関数を
f(x) とする. このとき
¥
ì
ï
å j =1 g(x j )f (x j ) (離散型)
ï
ï
E(g(X )) = í ¥
ï
g(x )f (x )dx (連続型)
ï
ï ò-¥
î
注 3.3. この定理は, g(X) の平均が本来 g(X) の分布か
ら求められるべきであるが, X の分布から求められる
ことを述べている.
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.11
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.12
練習問題1の解法 2
定理 3.1 の多変量版
定理 3.2. n 次元確率ベクトル X が離散型のと
き, とりうる値を x1,x2,… とし確率関数を f(xj)
とする. また, X が連続型のとき, その確率密
度関数を f(x) とする. このとき,
¥
ì
ï
g(x j )f (x j )
(離散型)
å
ï
j =1
ï
E{g(X )} = í ¥
¥
ï

g(x )f (x )dx (連続型)
ï
ï
îò-¥ ò-¥
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.13
変数変換後の確率密度関数 (1/2)
練習問題2
X1とX2が独立でN(0,1)に従うとき,
Y1=X1+X2 とY2=X1-X2 の同時確率密度
関数を計算してみよう!
X1とX2の同時確率密度関数は
f (x 1, x 2 ) =
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.14
1
1
exp(-x 12 / 2) ⋅
exp(-x 22 / 2)
2p
2p
定理 3.3. n 次元確率ベクトル X は連続型で, 確率密度関数
f(x1,…,xn) をもつとする. また, X のとりうる値は領域
={x;f(x)>0}Ìn であるとする. x=(x1,…,xn)¢ から
y=(y1,…,yn)¢ への変換 ì
ï
y1 = u1(x ) = u1(x 1,..., x n )
ï
ï
ï
ï

í
ï
ï
ï
y = un (x ) = un (x 1,..., x n )
ï
ï
î n
は領域  を領域  に写し, 次の性質 (1)~(3) をみたすとする.
1. 1-1 である.
2. 逆変換
yx: xi=vi(y)=vi(y1,…, yn), i=1,…,n
は C1 クラスである.
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確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.16
変数変換後の確率密度関数 (2/2)
練習問題2の解法
¶x 1 / ¶y1  ¶x 1 / ¶yn
3. ヤコビ行列式
J =



¶x n / ¶y1  ¶x n / ¶yn
の値が任意の yÎ に対して0でない.
この変換により定義される確率変数を
Yi=ui(X)=ui(X1,…,Xn), i=1,…,n
とする．このとき，Y=(Y1,…,Yn)¢ の確率密度関数は次式で
与えられる．
ì f (v1(y ),..., vn (y )) | J | (y Î  )
ï
ï
h(y1,..., yn ) = í
ï
0
(y Î  c )
ï
ï
î
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.17
期待値に関する関係式 (1/2)
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.18
定理3.4の証明
定理 3.4. 確率変数 X と Y は平均を
持つとする.
1. 任意の定数 a に対して
E(aX)=aE(X)
2. E(X+Y)=E(X)+E(Y)
3. X£Y  E(X)£E(Y)
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.19
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.20
期待値に関する関係式 (2/2)
定理3.5の証明
定理 3.5. 確率変数 X と Y は平均を持ち
独立とする. このとき
E(XY)=E(X)E(Y)
注3.5. 定理3.2と定理3.5を用いると, 確率
変数XとYが独立とすると
E{g(X)h(Y)}=E{g(X)}E{h(Y)}.
(gとhに少し仮定が必要. また, E{g(X)}と
E{h(Y)}が存在することも必要)
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.21
確率・統計A,第3章平均と特性量 Part 1: P.22

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