c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/13 CCP Physique 1 PSI 2014 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Louis Salkin (ENS Cachan) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Ce sujet analyse une installation frigorifique de refroidissement de l’hélium liquide. Ses cinq parties sont indépendantes. • La première partie est consacrée au cycle thermodynamique de Claude, qui permet de refroidir l’hélium liquide. À l’aide de bilans énergétiques, on détermine le rendement de l’installation. • L’étude d’un échangeur à contre-courant fait l’objet de la deuxième partie. On s’intéresse à la notion de résistance conducto-convective thermique, puis on modélise l’échangeur. L’énoncé s’appuie sur des notions de thermodynamique telles que la diffusion thermique. • La troisième partie concerne l’écoulement de l’hélium liquide dans une conduite cylindrique. On y utilise des raisonnements simples de mécanique des fluides faisant intervenir la perte de charge, les débits volumique et massique,... • La quatrième partie aborde une méthode de refroidissement de l’hélium liquide par pompage de la vapeur. En partant de la formule de Clapeyron, on détermine la puissance thermique prélevée au liquide ainsi que la masse liquide perdue par évaporation. • Pour finir, dans la cinquième partie, on s’intéresse à différentes méthodes de contrôle de paramètres tels que la température, la pression, la vitesse d’écoulement et la hauteur de liquide. Cette partie utilise de nombreuses notions d’hydrostatique, d’électrocinétique et de mécanique du point. De longueur raisonnable pour une épreuve CCP, ce sujet présente cependant une difficulté : les parties compliquées se situent en début d’énoncé. Il faut vous habituer à lire en entier les sujets pour traiter d’abord les parties où vous vous sentez à l’aise. D’ailleurs, beaucoup de résultats intermédiaires sont donnés, ce qui permet d’avancer sans même avoir répondu à toutes les questions. Vous pouvez utiliser ce sujet pour réviser la thermodynamique (bilans énergétiques, diffusion thermique) et l’électrocinétique. Toutes ses questions sont conformes au nouveau programme. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/13 Indications A.1.2 Par définition, Dm = dm dt A.2.1 Utiliser la conservation du débit massique. A.2.2 Déterminer les enthalpies Dmi hi entrante et sortante. En outre, les puissances reçues par le système sont −PT1 et −PT2 . A.2.3 L’enthalpie massique h n’est pas une grandeur extensive alors que Dm h l’est. A.2.9 Le titre en liquide s’écrit xℓ = Dmℓ /Dm7 . Introduire ensuite le taux de liquéfaction y dans l’expression de xℓ . A.2.12 Par un bilan énergétique au niveau du compresseur, déterminer la puissance du compresseur sans apport extérieur d’énergie. B.1.3 Utiliser le fait que ΦTh est constant. B.1.6 Le transfert thermique se fait réellement du fluide 1 vers le solide donc le solide reçoit du fluide 1 ΦTh = −hC1 (TS1 − T1 ) 2π R1 L B.1.7 Introduire tous les flux avec la relation T1 − T2 = T1 − TS 1 + TS 1 − TS 2 + TS 2 − T2 B.2.1 La différence de température est T1 (0)−T1 (x) pour le fluide 1 et T2 (0)−T2 (x) pour le fluide 2. C.3 Ajouter la pression hydrostatique. C.4 Utiliser une analogie électrique. D.5 Le nombre de particules aspirées par unité de temps est donné par P Th dn = dt Lv D.7 Écrire le premier principe en considérant que l’énergie reçue est dm Lv . D.8 Résoudre avec la méthode de séparation des variables. E.2.1 Prendre le logarithme de l’expression puis la différentier. E.3.1 Le fluide possède une vitesse v m cos ϕ de A vers B. E.3.2 Le fluide possède une vitesse −v m cos ϕ de B vers A. E.4.2 La résistivité électrique et la conductivité électrique sont reliées par ρel = Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . 1 . γ el c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/13 A.1.1 Dans le bilan énergétique, on a pour le système constitué de la masse dm : • δWu , le travail reçu autre que le travail de transvasement, appelé « travail utile » ; • δQ, l’énergie thermique reçue ; • h dm, l’enthalpie ; c2 • dm , l’énergie cinétique ; 2 • z dm g, l’énergie potentielle de pesanteur. A.1.2 Par définition, δWu = PW dt et δQ = PQ dt où PW est la puissance mécanique utile reçue par le fluide et PQ la puissance thermique reçue. De même, le débit massique est défini par dm Dm = dt Le bilan énergétique se réécrit 1 2 1 2 Dm h2 + c2 + gz2 − h1 + c1 + gz1 = PW + PQ 2 2 A.2.1 Au point de repère 14, le débit massique est de nouveau Dm . La conservation du débit massique impose Dm13 + Dmℓ = Dm d’où Dm13 = Dm − Dmℓ A.2.2 Le système reçoit −PT1 − PT2 . En négligeant les variations d’énergies cinétique et potentielle de pesanteur, le premier principe s’écrit Dm13 h13 + Dmℓ hliq − Dm h1 = −PT1 − PT2 Avec l’expression de la question A.2.1, on arrive à Dm (h13 − h1 ) + Dmℓ (hliq − h13 ) = −PT1 − PT2 A.2.3 De même, le premier principe appliqué à la turbine 1 donne Dm11 h11 − Dm12 h12 = −PT1 Or Dm11 = Dm12 = x1 Dm et h12 = h2 . Ainsi, x1 Dm (h11 − h2 ) = −PT1 L’enthalpie est une grandeur extensive mais l’enthalpie massique h ne l’est pas car cette dernière est le rapport de deux grandeurs extensives. A.2.4 Le bilan énergétique sur la turbine 2 s’écrit Dm9 h9 − Dm10 h10 = −PT2 Or h10 = h4 et Dm9 = Dm10 = x2 (1 − x1 ) Dm , donc Dm x2 (1 − x1 ) (h9 − h4 ) = −PT2 Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/13 A.2.5 Remplaçons les expressions de PT1 et de PT2 des questions précédentes dans la relation obtenue à la question A.2.2 : Dm (h13 − h1 ) + Dmℓ (hliq − h13 ) = x1 Dm (h11 − h2 ) + x2 (1 − x1 ) Dm (h9 − h4 ) ce qui se réécrit en introduisant y = Dmℓ /Dm (h13 − h1 ) + y (hliq − h13 ) = x1 (h11 − h2 ) + x2 (1 − x1 ) (h9 − h4 ) d’où y= x1 (h11 − h2 ) + x2 (1 − x1 ) (h9 − h4 ) + h1 − h13 hliq − h13 A.2.6 Au niveau du premier échangeur, il n’y a ni transfert thermique ni travail. Le premier principe impose donc Dm (h2 − h1 ) + Dm13 (h13 − h12 ) = 0 Or Dm13 = Dm − Dmℓ d’après la question A.2.1. L’expression précédente se réécrit h2 − h1 + h13 − h12 h13 − h12 h2 − h1 = Dm 1 + h13 − h12 Dmℓ = Dm Ainsi, Dmℓ ce qui donne y =1+ h2 − h1 = 4,65 × 10−2 h13 − h12 A.2.7 De même, sur le deuxième échangeur, Dm (1 − x1 ) (h3 − h2 ) + Dm13 (h12 − h11 ) = 0 Avec l’expression de Dm13 tirée de la question A.2.1, on a x1 Dm (h3 − h2 ) = Dm (h3 − h2 ) + (Dm − Dmℓ ) (h12 − h11 ) donc x1 = 1 + (1 − y) h12 − h11 = 9,97 · 10−2 h3 − h2 A.2.8 Appliquons le bilan énergétique sur le quatrième échangeur pour faire apparaître x2 : Dm4 (h5 − h4 ) + Dm9′ (h10 − h9 ) = 0 avec Dm9′ le débit massique entrant dans l’échangeur au point de repère 9. On a Dm4 = (1 − x1 ) (1 − x2 ) Dm ; déterminons l’expression de Dm9′ . Par conservation du débit au niveau de l’intersection du deuxième échangeur, Dm12 = Dm9′ + Dm11 avec Dm12 = Dm13 et Dm11 = x1 Dm . La conservation du débit se réécrit x1 Dm + Dm9′ = Dm13 = Dm − Dmℓ d’où Dm9′ = (1 − x1 ) Dm − Dmℓ Le bilan énergétique donne alors (1 − x1 ) (1 − x2 ) Dm (h5 − h4 ) + (1 − x1 ) Dm − Dmℓ (h10 − h9 ) = 0 Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
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