GROUPE SPG-RYTZ / Villas résidentielles

Devoir surveillé no 3
Diffusion - Optique
– La durée de l’épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du
temps prévu.
– L’usage de la calculatrice est autorisé.
– Les problèmes sont indépendants.
– Les résultats devront être encadrés.
– Toute application numérique ne comportant pas d’unité sera considérée comme fausse.
– Si au cours de l’épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d’énoncé, vous le signalerez
sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous
avez été amené à prendre.
– Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question.
Problème I
A
Mesures interférométriques (d’après Banque PT 2014)
Trou d’Young
Un Laser envoie, sur un trou circulaire de faible diamètre d percé dans un plan π0 , un faisceau de
lumière parallèle monochromatique, de longueur d’onde dans le vide λ0 (figure 1). On observe la figure
sur un écran πE placé à la distance D de π0 (π0 et πE sont parallèles).
Figure 1 – Montage expérimental
Le faisceau incident se propage dans l’air (indice absolu na ) dans la direction X 0 X perpendiculaire
aux plans π0 et πE .
Figure 2 – Aspect de l’écran πE .
On associe au plan πE un repère (Y 0 Y, Z 0 Z). La figure 3 donne, en fonction de z, l’intensité lumineuse I observée sur πE .
1
Figure 3 – Profil d’intensité lumineuse
A.1 Quel est le phénomène physique mis en jeu ? Le rayon R de la tâche centrale, supposé égal à z1 ,
est donné par une des relations suivantes :
d
κ λn0aDd ou κ nλa0dD2 ou κ nλa0D
Ecrire la bonne réponse en justifiant brièvement les raisons de votre choix ( κ est une constante sans
dimension dépendant de la géométrie et dont la valeur approchée est κ ≈ 1, 2 pour un trou circulaire).
A.2 On peut considérer que le trou d’Young se comporte comme une source lumineuse, notée S,
quasi ponctuelle, émettant de la lumière dans un cône d’ouverture θ correspondant à la tache centrale
de la figure .
1. Evaluer θ littéralement.
2. Tracer, en fonction de z, le profil de l’intensité lumineuse sur πE en supposant que la zone éclairée
l’est uniformément.
3. Comparer ce profil et la figure 3. Conclure en 5 lignes maximum sur la validité de ce modèle.
Dans toute la suite, les trous d’Young seront assimilés à une telle source ponctuelle.
B
Dispositif interférentiel à deux trous d’Young
Le dispositif est le même qu’en I, mais le faisceau arrive sur deux trous d’Young percés dans le
plan π0 (figure 3). Ces trous d’Young, éclairés par un faisceau incident parallèle se propageant dans la
direction OX, se comportent comme deux sources lumineuses S1 , S2 ponctuelles, monochromatiques,
synchrones, cohérentes, distantes de b (figure 4). Elles sont symétriques par rapport à l’axe OX.
L’air est un milieu homogène transparent isotrope d’indice optique absolu na .
On utilise le repère (OXY Z), l’origine O étant au milieu de S1 S2 (figure 4).
On observe des interférences dans la zone commune d’éclairement du plan πE . Cette zone est
sensiblement un disque de rayon R = 1 cm (figure 4).
On s’intéresse aux phénomènes en un point M (x = D, y, z) du plan πE .
B.1 Préciser la signification des termes synchrone et cohérent.
B.2 Les distances séparant les sources du point M (de coordonnées (D, y, z)) sont notées respectivement d1 = S1 M et d2 = S2 M .
1. En supposant que l’observation se fasse à grande distance, évaluer d1 et d2 en fonction de y, z,
D et b.
2. En déduire la différence de marche δ2/1 = [S2 M ] − [S1 M ].
B.3 Montrer que l’intensité lumineuse au point M est de la forme I = A(1 + cos(B)) et expliciter B
en fonction de δ2/1 et λ0 .
B.4 Reproduire et compléter la figure en dessinant l’allure géométrique des franges d’intensité maximale.
B.5 Evaluer le nombre de franges d’intensité maximale observable avec λ0 = 500 nm ; b = 2 mm ;
na = 1 et D = 2 m.
2
Figure 4 – Montage des trous d’Young
C
Montage expérimental
On reprend le montage précédent de A.2 mais on observe, à présent, les phénomènes sur un écran
π situé dans le plan focal image d’une lentille convergente(L2 ).
Figure 5 – Montage de Fraunhofer des trous d’Young
Cette lentille, fonctionnant dans les conditions de Gauss, sera considérée comme parfaitement stigmatique pour ses points conjugués.
Les trous d’Young sont symétriques par rapport à l’axe optique OX de la lentille L2 .
On regarde ce qui se passe en un point M d’ordonnée y du plan π. On suppose que S1 et S2 sont
en phase.
Démontrer que la différence de chemin optique δ2/1 entre l’onde arrivant en M issue de S2 et celle
issue de S1 est :
δ2/1 = na bY
f0
On justifiera de manière précise, à l’aide de schémas, les raisonnements utilisés.
3
D
Mesure d’indice de réfraction
Le dispositif de mesure comprend une source de lumière monochromatique S, ponctuelle, de longueur d’onde dans le vide λ0 , placée au foyer objet d’une lentille convergente L1 (figure 6).
Entre les deux lentilles L1 et L2 (considérées comme minces, identiques, de distance focale f 0 ), on
dispose deux cuves C1 et C2 identiques de longueur L.
Figure 6 – Mesure de l’indice d’un gaz
Deux fentes d’Young séparées de la distance b sont placées avant L2 symétriquement par rapport à
l’axe SO.
On observe sur un écran π dans le plan focal image de L2 .
Les points S et O sont sur l’axe optique commun de L1 et L2 .
La cuve C2 contient de l’air d’indice optique na ; la cuve C1 contient un gaz d’indice optique n1 .
D.1 Déterminer la différence de chemin optique δ entre une onde issue de S arrivant en M en étant
passée par C2 et celle qui est passée par C1 .
On donnera le résultat en fonction de na , n1 , b, f 0 , L et l’ordonnée y de M sur π.
D.2 Déterminer l’interfrange i0 .
D.3 Un capteur placé en O (y = 0) est couplé à un compteur qui s’incrémente de 1 unité à chaque
détection d’une frange brillante. On part d’un état initial où les cuves C1 et C2 sont remplies d’air.
(a) Quel est l’ordre d’interférence pO initial en O ?
(b) On remplace progressivement l’air de la cuve C1 par du gaz d’indice n1 (n1 > na ). Lorsque C1 est
uniquement rempli de ce gaz, le détecteur s’est incrémenté de k unités. Préciser le nouvel ordre en
y = 0 et le sens dans lequel le système de frange a défilé (on attend ici une réponse argumentée).
(c) Déterminer l’expression littérale de n1 en fonction de na , k, L et λ0 .
(d) Avec L = 1, 00 m ; k = 100 ; na = 1, 0002926 ; λ0 = 500 nm, on obtient n1 = 1, 0003426. Pour
chaque grandeur, on admet une erreur absolue de 1 sur le dernier chiffre indiqué. Combien de
chiffres significatifs doit on conserver dans le résultat de n1 (réponse argumentée requise) ?
E
Suivi de déplacement
On utilise un dispositif de Michelson à deux miroirs parfaitement orthogonaux, éclairés par un
fin pinceau lumineux monochromatique émis par un Laser. On se ramène au modèle dans lequel la
séparatrice, inclinée à 45 °, est idéale (elle est semi réfléchissante, infiniment mince et n’introduit aucun
déphasage) (figure 7).
On suppose ici
– longueur d’onde dans le vide λ ;
4
Figure 7 – Interféromètre de Michelson
– indice de l’air na = 1 ;
– miroir M2 fixe OO2 = d ;
– miroir M1 lié à la cible OO1 = d + x(t) avec x(0) = 0 ;
E.1 Déterminer l’intensité lumineuse I arrivant sur le détecteur D ; montrer qu’elle se compose d’un
terme constant et d’un terme variable lié au déplacement x(t).
E.2 Le détecteur D élimine la composante constante du signal et donne une tension Ud proportionnelle à la composante variable de l’intensité I. Montrer que Ud = U0 cos(ϕ) et expliciter ϕ en fonction
de x et des données.
E.3 Le détecteur D est couplé à un compteur C incrémenteur de franges. Le compteur est à 0 lorsque
x = 0.
(a) On envisage un déplacement de la cible toujours dans le même sens sur une longueur L = 200 λ ;
quelle sera l’indication du compteur ?
(b) On envisage à présent un déplacement de L1 = 100 λ dans un sens et L2 = 100 λ en sens inverse.
Donner l’abscisse finale de la cible et l’indication du compteur dans ce cas.
(c) A quelle grandeur accède-t-on finalement par ce dispositif interférentiel ?
E.4 Lame à retard
On interpose sur le bras OO2 , une lame d’indice n et d’épaisseur e, dans le but que le détecteur D
délivre la tension Ud = U0 sin ϕ, ϕ ayant la même expression que celle trouvée précédemment.
Donner l’expression littérale des épaisseurs possibles de la lame pour qu’il en soit ainsi.
Problème II
A
Analyse d’une lame mince (d’après PT A 2011)
Défaut de planéité d’un des miroirs de l’interféromètre de Michelson
On considère un interféromètre de Michelson dont le schéma simplifié est donné par la figure . On
admettra que l’ensemble constitué par la séparatrice et la compensatrice se comporte comme une lame
séparatrice idéale sans absorption et d’épaisseur nulle, notée Sp .
La source S, peu étendue, est monochromatique de longueur d’onde λ = 633 nm. Elle est placée
dans le plan focal objet d’une lentille convergente de telle sorte que le miroir (M2 ) est éclairé sur toute
sa surface sous une incidence quasi-normale (figure ). On recueille les faisceaux émergents sur un écran
plan parallèle au miroir (M 1).
5
Figure 8 – Interféromètre de Michelson
On notera I0 l’intensité maximale de la figure.
Initialement l’interféromètre est réglé en "lame d’air". (M 1) est parallèle à Ox et (M 2) est parallèle
à Oz. Soient (M ?2) le symétrique du miroir (M 2) par la séparatrice et e la distance entre (M 1) et
(M ?2).
A.1 Exprimer l’intensité I en fonction de e. Quel est l’aspect de ce plan pour une distance e donnée ?
Comment varie l’intensité I si e varie ?
A.2 Proposer un protocole expérimental pour repérer la position e = 0, appelé contact optique.
A.3 On admet que la condition e = 0 est réalisée. On incline alors (M 1) d’un angle α faible :
l’interféromètre est réglé en "coin d’air". On a alors δ = 2e(x) où e(x) est l’épaisseur locale du coin
d’air.
Déterminer la figure d’interférences. On précisera en particulier la localisation de la figure d’interférences, la forme de la figure et on déterminera l’expression de l’interfrange i mesuré sur les miroirs
en fonction de λ et α.
Le miroir (M 1) initialement plan s’est déformé et est devenu sphérique. On admettra que le centre
de la sphère (M 1), de rayon R, se trouve sur l’axe Oz, qui est donc axe de symétrie de (M 1). Les
conditions d’observations sont les mêmes qu’à la question A.3.
A.4 Soient e0 la distance entre (M 2) et le plan π correspondant au cas où (M 1) est plan, et Hmax ,
l’épaisseur maximale du miroir (M 1) une fois courbé. Montrer que l’épaisseur d’air z(r) entre (M 1) et
r2
(M 2), pour un point P de (M 1), est z(r) = e0 + Hmax − 2R
(figure 9).
Figure 9 – Déformation d’un miroir
On remarquera que les conditions d’observation impliquent les approximations : r << R, e0 << R
et Hmax << R.
A.5 Avec les approximations précédentes, exprimer la différence de marche δ en un point P situé à
la distance r de l’axe Oz. Montrer que, dans les mêmes conditions d’observation que les franges du coin
d’air, on observe des anneaux localisés au voisinage de (M 1).
6
A.6 . Déterminer l’ordre p0 au centre des anneaux en fonction de e0 , Hmax et λ. On utilise l’indice
k pour repérer les anneaux brillants, sachant que k = 1 correspond au premier anneau brillant à partir
du centre de la figure d’interférences, de rayon ρ1 sur la surface de localisation. Calculer le rayon ρk
du kième anneau brillant en fonction de ρ1 , k, λ et R.
B
Analyse d’un défaut de planéité d’une surface réfléchissante
Une surface métallique polie est plane à l’exception d’un défaut local sphérique. On l’installe sur
un des bras d’un interféromètre de Michelson, à la place de (M 2). L’interféromètre est éclairé comme
dans la question A.3. On rappelle que (M 2) est également un miroir métallique parfaitement plan.
Figure 10 – Intensité lumineuse obtenu pour un défaut de planéité d’une surface.
On observe la figure d’interférences correspondante sur la figure 10. Déterminer le diamètre d du
défaut et son épaisseur maximum Hmax . Exprimer les résultats avec un nombre de chiffres significatifs adapté. Peut-on déterminer si le défaut est convexe où concave ? Si oui, proposer un protocole
permettant de le déterminer.
Problème III Isolation thermique d’un mur de bâtiment (d’après e3a
PSI 2014)
A l’heure où les économies d’énergie sont largement recommandées, un soin particulier est et devra
être apporté à l’isolation thermique des bâtiments, qui se double d’isolation acoustique grâce à des
matériaux permettant souvent ces deux applications.
A
Etude du mur simple
Considérons un mur de bâtiment (chalet de montagne en plein hiver par exemple) constitué d’un
matériau homogène, isotrope, de masse volumique ρ, de capacité thermique massique c et de conductivité thermique λ, supposées constantes.
Le mur est limité par deux plans (Oyz) parallèles, distants de eB (figure 11). Les températures
constantes Tint et Text (avec Tint > Text ) sur les deux faces correspondent respectivement aux températures de l’air à l’intérieur et à l’extérieur du bâtiment. L’étude est unidirectionnelle, la chaleur se
propageant uniquement dans la direction Ox normale à ces plans.
7
En un point M du mur d’abscisse x, la température est notée T (x). Les dimensions de la surface
S du mur dans le plan (Oyz) sont supposées grandes par rapport à son épaisseur et aucune ouverture
n’est sensée venir perturber les transferts thermiques dans le mur.
L’étude est réalisée en régime permanent ; pour débuter, seuls les phénomènes conductifs sont pris
en compte.
A.1 Établir, en justifiant chaque étape de votre raisonnement, l’équation différentielle de la chaleur
à laquelle obéit la température T (x).
A.2 En déduire la loi de répartition de la température T (x). Commenter.
A.3 Exprimer le flux surfacique (ou densité de courant thermique) jQ dans le mur. Justifier son
orientation.
A.4 Déterminer le flux thermique total φ traversant le mur.
A.5 Rappeler les grandeurs analogues de φ et de Tint − Text en électrocinétique ; en déduire l’expression de la résistance thermique surfacique définie par le rapport Rth = ∆T
jQ et préciser son unité.
Les caractéristiques d’un mur en béton armé (épaisseur eB et conductivité thermique λ) sont
mentionnées sur le tableau relatif aux matériaux. Les températures sur les faces intérieure et extérieure
du mur s’élèvent respectivement à Tint = 19 °C et Text = −15 °C.
Le coefficient de transmission surfacique ou coefficient de déperdition thermique noté U évalue la
facilité avec laquelle le transfert thermique s’effectue à travers la surface d’échange ; il représente le
flux de chaleur par unité de surface pour une différence de température d’un degré entre les deux
milieux extrêmes.
A.6 Calculer le flux surfacique jQ et le coefficient de transmission surfacique U du mur.
A.7 Représenter, sur le document-réponse, le profil de température dans le mur en béton armé.
A.8 Déterminer numériquement la profondeur eHG du mur demeurant "hors gel".
B
Etude du mur composite
Le mur a maintenant une structure composite : il comporte quatre matériaux différents (de l’intérieur vers l’extérieur du bâtiment : carreaux de plâtre, laine de verre, béton armé, crépis extérieur),
homogènes et isotropes, référencés j = 1, 2, 3, 4 ; d’épaisseur ej , de conductivités thermiques λj , en
contact parfait et possédant des surfaces limites isothermes (figure 11). Les températures des faces
extrêmes sont toujours notées Tint et Text (avec Tint > Text ). Le régime est permanent et aucune source
interne de chaleur n’est présente dans le mur.
B.1 Justifier puis traduire la conservation du flux surfacique jQ à travers ce mur composite.
B.2 Déterminer la résistance thermique surfacique RCth du mur composite (figure 11) en fonction
des ej et λj . Calculer RCth en utilisant les données relatives aux matériaux constitutifs.
B.3 Exprimer le coefficient de transmission surfacique UC en fonction de RCth , puis calculer jQ,C et
UC , sachant que les milieux extrêmes sont aux températures Tint = 19 °C et Text = −15 °C.
Comparer les coefficients U du mur simple et UC du mur composite.
B.4 Calculer les températures intermédiaires T2 , T3 et T4 aux interfaces entre les couches, puis représenter, sur le document-réponse , le profil de température dans le mur composite. Analyser son
évolution par rapport à celui tracé en A.7.
Afin de simplifier l’approche thermique de ce mur, introduisons la notion de conductivité thermique
équivalente λM ceq : c’est celle d’un mur simple et homogène possédant une épaisseur et une résistance
thermique respectivement égales à l’épaisseur et à la résistance thermique du mur composite.
B.5 Déterminer puis calculer la conductivité thermique équivalente λM ceq du mur composite.
8
Figure 11 – Isolation d’un mur
C
Mur composite avec transferts convectifs et radiatifs
Le mur composite précédent est au contact, de part et d’autre, avec l’air intérieur et l’air extérieur.
Ce fluide est aux températures respectives TF L,int et TF L,ext (avec TF L,int > TF L,ext ). Deux types de
transferts thermiques superficiels interviennent alors : les échanges convectifs liés au déplacement de
l’air et les échanges radiatifs dus au rayonnement thermique.
Ces deux modes de transfert entre les parois du mur et l’atmosphère environnante sont régis, pour
un transfert de chaleur algébrique de la paroi (d’aire S) au fluide, par la loi globalisée :
φrcc = hRCC (Tparoi − Tf luide )S, avec hRCC positif.
Le coefficient surfacique d’échange hRCC tient en compte à la fois des transferts thermiques conductoconvectifs et des transferts par rayonnement aux interfaces air-paroi.
Il est noté hint pour la paroi interne à la température TP,int au contact de l’air intérieur à la
température TF L,int et hext pour la paroi externe à la température TP,ext au contact de l’air extérieur
à TF L,ext .
C.1 Déterminer les nouvelles expressions du flux surfacique jQ,F L et de la résistance thermique
surfacique Rth,F L aux deux interfaces air-mur.
Calculer la résistance thermique surfacique du mur composite RCth,F L .
C.2 Exprimer puis calculer les températures de paroi TP,int et TP,ext . Commenter.
C.3 Tracer sommairement sur le document-réponse l’évolution du profil de température au voisinage
des parois murales (intérieure et extérieure). Discuter des paramètres (climatiques entre autres) qui
pourraient influencer ces évolutions du profil thermique.
Données : TF L,int = 19 °C ; TF L,ext = −15 °C ; hint = 10 W.m−2 .K −1 ; hext = 30 W.m−2 .K −1 .
D
Recherche d’une isolation optimale du mur
Dans le cadre de la rénovation de bâtiments (appartement ou chalet de montagne) ou de leur mise en
conformité énergétique, un bureau d’étude envisage une isolation spécifique du mur composite présenté
9
en sous-partie B. Le mur est considéré comme homogène, il possède une épaisseur eM C = 35 cm et une
conductivité thermique équivalente λM ceq .
Le bureau d’étude propose d’appliquer une couche isolante d’épaisseur eISO constituée de mousse
de polyuréthane de faible conductivité thermique λP U R = 0, 02 W.m−1 .K −1 et insérée en sandwich
entre deux plaques de bois. Deux alternatives s’offrent à eux : isolation côté intérieur (avantage d’une
moindre épaisseur) ou isolation côté extérieur du bâtiment. Le document-réponse fournit les tracés des
profils de températures dans ces deux cas.
Parmi les nombreux problèmes à résoudre, l’un des plus délicats est celui de la congélation d’humidité liée à la perméabilité à l’air et à l’humidité des matériaux constitutifs du mur. Pour un mur en
béton donné et compte tenu de l’humidité qu’il renferme, la vapeur d’eau se condense dans la zone où
T < Ts , Ts étant la température de saturation ou point de rosée (Ts = 5 °C). L’eau liquide formée se
congèle si la température baisse en dessous de T0 = 0 °C et son volume augmente. Les cycles répétés
gel-dégel, selon les évolutions temporelles et climatiques, entraînent la dégradation des matériaux, et
plus particulièrement celle du béton.
D.1 Positionner sur chaque tracé du document-réponse, les températures T0 et TS .
Mettre en évidence (en les hachurant de couleurs différentes) trois zones en liaison avec la valeur
de la température au sein du matériau par rapport à T0 et TS . Décrire l’état physique de l’eau dans
chacune de ces zones.
D.2 Analyser les deux situations proposées. Conclure sur un choix d’isolation (extérieure ou intérieure), en tenant compte du bâtiment étudié.
Problème IV
Décongélation d’un aliment (d’après e3a PC 2013)
Dans ce problème, seront mis en évidence l’intérêt de la décongélation par micro-ondes, puis la
manière de procéder afin d’obtenir une décongélation sensiblement uniforme. L’aliment soumis à la
décongélation, de forme parallélépipédique, possède une section S = 1, 0 m2 et une épaisseur L = 20 cm.
Sa température initiale est uniforme, égale à Tini = −20 °C, et la température finale désirée est fixée
à Tf in = 0 °C.
La manière la plus simple de procéder à la décongélation consiste à utiliser un fluide plus chaud
(air ou eau en pratique).
Figure 12 – Décongélation d’un aliment
Jusqu’à la fin du problème, la situation est supposée unidimensionnelle, c’est-à-dire que les grandeurs d’intérêt ne dépendent que de la variable x (figure 12). L’action du fluide entourant l’aliment sera
simplifiée, en supposant qu’elle impose la température Text = 20 °C aux bords de l’aliment, c’est-à-dire
en x = 0 et en x = L. Quasi instantanément, les bords de l’aliment acquièrent la température Text ,
puis petit à petit, l’intérieur de l’aliment se réchauffe. Pour la simplification du problème, les fuites
thermiques latérales seront négligées.
La capacité thermique massique de l’aliment est notée cth = 2, 0 kJ.K −1 .kg −1 , sa conductivité
thermique λth = 1, 0 W.m−1 .K −1 et sa masse volumique ρ = 1, 1.103 kg.m−3 ; ces grandeurs demeurent
uniformes au sein de l’aliment.
1. En considérant une tranche élémentaire d’aliment comprise entre x et x + dx, établir l’équation
de diffusion thermique satisfaite par la température de l’aliment :
∂T (x,t)
∂t
= Dth ∂
10
2 T (x,t)
∂x2
λth
où Dth = ρc
.
th
La température de l’aliment est dans un premier temps recherchée sous la formeă : T (x, t) =
Text + f (x)g(t). La fonction f (x) est supposée être sinusoïdale, de la forme f (x) = sin µx , où µ
est une constante positive ; la fonction g(t) sera explicitée ultérieurement.
2. En considérant les conditions aux limites, exprimer les valeurs possibles de µ en faisant intervenir
un entier n.
3. En résolvant l’équation de diffusion thermique, montrer que la température T (x, t) s’écrit alors
sous la forme :
T (x, t) = Text + θ sin µxeνt
où θ est une constante (qui ne sera pas déterminée). Exprimer la constante ν en fonction de Dth ,
L et n.
4. Tracer, dans le cas n = 1, l’allure de la température de l’aliment T (x, t) au début de la décongélation, pour t1 = 0+ , puis au bout d’un certain temps, pour t2 = 5 h (calculer notamment
eνt2 ).
5. Commenter l’évolution de la température au cours du temps. Critiquer les deux courbes obtenues.
Une solution plus générale peut être obtenue en sommant les solutions obtenues précédemment
pour les différentes valeurs des entiers n, les constantes étant désormais indicées :
P
νn t
T (x, t) = Text + ∞
n=1 θn sin µn xe
6. Estimer numériquement la durée nécessaire pour dégeler l’aliment et commenter le résultat.
7. Pouvait-on avoir une idée de son ordre de grandeur sans faire les calculs précédentsă ?
11
Document réponse
12

Download Report