DS6 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – DS6
Sciences Physiques MP 2015-2016
Devoir surveillé de Sciences Physiques n˚6 du 04-02-2016
— Durée : 4 heures —
Problème no 1 – Lampe de vélo
30 minutes maximum !
La figure 1 montre la photographie d’une lampe de vélo. La puissance de cette lampe est d’une dizaine de watts,
elle fonctionne avec des DEL (Diodes Electro Luminescentes) ou LED en anglais. Ce type de dipôle est une
source lumineuse fondamentalement quantique. Elle est alimentée par 3 piles rechargeables LR03 de 1, 2 V. Deux
d’entre elles sont représentées sur la photo de droite de la figure 1. Dans la DEL, on suppose que la production
d’un photon correspond au passage d’un électron dans la jonction constituant la DEL. Données quantiques :
c = 3 × 108 m · s−1 , h = 6, 62 × 10−34 J · s et e = 1, 6 × 10−19 C.
Figure 1 – La lampe de vélo et 2 des 3 accumulateurs qu’elle utilise
1. Déterminer la tension minimale permettant aux DEL d’émettre de la lumière.
2. Déterminer l’autonomie de la lampe.
Compétences
Capacités associées
S’approprier le problème
Identifier les grandeurs physiques pertinentes.
Identifier les grandeurs physiques inconnues
et/ou non précisées.
Présenter le problème en une modélisation simplifiée.
Expliciter la modélisation choisie.
Déterminer et énoncer les lois physiques
qui seront utilisées.
Mener la démarche jusqu’au bout afin de
répondre explicitement aux questions posées.
Traduire les lois physiques utilisées
sur la situation modélisée.
Savoir mener efficacement les calculs analytiques
et les applications numériques.
S’assurer qu’on a répondu aux questions posées.
Vérifier la pertinence du résultat trouvé.
Comparer le résultat trouvé avec une valeur
de l’énoncé.
Utiliser l’analyse dimensionnelle pour vérifier
l’homogénéité d’un résultat.
Présenter la solution et la rédiger.
Expliquer le raisonnement suivi.
Utiliser les termes scientifiques appropriés.
Établir une stratégie de résolution
(analyser)
Mettre en œuvre une stratégie de résolution
(réaliser)
Avoir un regard critique sur les
résultats obtenus (valider)
Communiquer
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2015-2016
DS6 – 2
Problème no 2 – Lentille magnétique
Capes 2008
Le contrôle de la focalisation du faisceau électronique dans le microscope électronique est possible en utilisant
des lentilles magnétiques. On s’intéresse ici à une lentille magnétique, modélisée par une bobine à N tours
confondus, circulaires de rayon a, de centre O, d’axe Oz et parcourue par un courant permanent I. Un point
M de l’espace sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’axe Oz et de centre O.
Données :
Charge élémentaire : e = 1, 6 × 10−19 C
Masse de l’électron : m = 9, 1 × 10−31 kg
Accélération de la pesanteur : g = 9, 81 m · s−2
~ = Ar~er + Aθ ~eθ + Az ~ez en coordonnées cylindriques est :
La divergence d’un vecteur A
~ = 1 ∂(rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
div A
r ∂r
r ∂θ
∂z
1. Préciser sur un schéma les coordonnées cylindriques du point M , ainsi que la base locale cylindrique
~
(~er , ~eθ , ~ez ). Montrer que le champ magnétique B(M
) = Br (r, z)~er + Bz (r, z)~ez .
2. En pratique, le faisceau électronique passe dans le domaine r ≪ a. Dans ce cas, on peut se contenter d’une
~ au voisinage de l’axe Oz :
expression approchée du champ B
r dBz (0, z)
~
B(M
)≃−
~er + Bz (0, z)~ez
2
dz
Démontrer l’expression de Br (r, z) donnée ci-dessus.
3. On peut montrer que pour une spire circulaire la composante axiale du champ magnétique est donnée par :
Bz (0, z) =
B0
[1 +
avec
3/2
z 2 /a2 ]
B0 =
µ0 N I
2a
Tracer le graphe représentatif de f (z) = Bz (0, z)/B0 . Que vaut f (10a) ? Comment peut-on réaliser expérimentalement le tracé de la courbe ?
4. On place en un point P de l’axe Oz, en amont de la lentille magnétique, une source ponctuelle d’électrons.
On considère un électron émis depuis le point P avec une vitesse ~v0 , voir la figure 2. On ajoute les hypothèses
simplificatrices suivantes à l’étude :
– L’électron est supposé non relativiste.
– L’électron ne subit que la force magnétique due à la lentille.
– Le vecteur vitesse initiale est dans le plan méridien θ = 0 et forme un angle α avec l’axe Oz.
– L’angle α est faible (α ≪ 1) et la trajectoire ultérieure de l’électron reste dans le domaine r ≪ a.
À quelle approximation d’optique une hypothèse simplificatrice fait-elle penser ?
P
b
α
O
v~0
lentille
b
z
Figure 2 – Lentille
5. Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen. Qu’est-ce que cela signifie ? Donner l’expression de la
~
force subie par l’électron à un instant quelconque en fonction de e la charge élémentaire, de B(M
) le champ
magnétique où il se trouve et de ~v sa vitesse. Déterminer l’ordre de grandeur de la valeur du champ magnétique
à partir de laquelle on peut ne pas tenir compte du poids de l’électron dans l’étude de son mouvement. On
supposera que l’ordre de grandeur de la vitesse de l’électron est 108 m · s−1 . Conclure.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
3 – DS6
Sciences Physiques MP 2015-2016
6. À partir de la relation fondamentale de la dynamique, montrer que les trois équations différentielles du
mouvement de l’électron sont :
2
=
d 2 dθ
r
dt
dt
=
d2 z
dt2
=
d2 r
−r
dt2
dθ
dt
e dθ
r Bz (0, z)
(1)
m dt
e
dr
r dz dBz (0, z)
r
Bz (0, z) +
(2)
m dt
2 dt
dz
−
−
e 2 dθ dBz (0, z)
r
2m dt
dz
(3)
7. Démontrer à l’aide de l’équation (2) la relation :
dθ
e
=
Bz (0, z)
dt
2m
8. L’équation (3) présente un second membre négligeable dans le cadre de cette étude car d’ordre 2 en r/a.
dz
? En déduire, en partant de l’équation (1), que l’évolution radiale r(z) de l’électron vérifie
Que vaut alors
dt
l’équation différentielle :
d2 r
e2
+
rB 2 (0, z) = 0
dz 2
4m2 v02 z
(4)
9. On propose sur les figures 3 deux familles de tracés de fonction r(z) partant d’un point d’annulation avec
un angle de départ α variable. Quelle famille de tracés représente effectivement un champ de solutions possible
de l’équation (4) ? On justifiera la réponse. Le système étudié joue-t-il bien son rôle attendu ?
r
r
a
b
z
Figure 3 – Familles de tracés
z
On ajoute à présent l’hypothèse de la lentille mince, c’est-à-dire que le champ magnétique du bobinage n’intervient que sur une zone de faible épaisseur comprise entre deux plans Π et Π′ , de positions −z0 et z0 avec
z0 ≪ OP , voir la figure 4. Dans ce cadre, on peut toujours écrire que :
e
dθ
=
Bz (0, z)
dt
2m
et l’équation différentielle sur le mouvement radial r(z) est utilisable sous la forme approchée :
d2 r
e2
≃
−
r0 Bz2 (0, z)
dz 2
4m2 v02
où r0 est une valeur approchée de r(z) (ordre zéro en r/a) entre les plans Π et Π′ .
P
b
O
b
−z0
Π
′
Π
lentille
z0
z
Figure 4 – Lentille mince
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2015-2016
DS6 – 4
10. Pourquoi la trajectoire d’un électron seul est forcément rectiligne en dehors de la zone de champ magnétique ? Montrer que l’angle d’incidence α de l’électron en entrée de la zone magnétique est :
dr
r0
≃−
α≃
dz −z0
OP
11. On note P ′ le point de focalisation du rayon électronique, issu de la lentille, sur l’axe Oz et on pose α′
l’angle d’émergence de la zone magnétique tel que :
dr
r0
′
α ≃
≃−
dz z0
OP ′
Préciser sur une figure l’angle α′ et son orientation. Montrer que le système vérifie une loi de conjugaison de
Descartes de lentille mince de centre O et de focale f ′ avec :
Z z0
1
e2
=
B 2 (0, z)dz
f′
4m2 v02 −z0 z
12. Montrer que, pendant le passage de l’électron dans la zone de champ magnétique, l’électron ne reste
pas dans un même plan méridien et qu’il y a un angle de rotation ∆θ autour de l’axe Oz de la trajectoire de
l’électron qui vaut :
Z z0
e
Bz (0, z)dz
∆θ =
2mv0 −z0
13. Dans le cas d’une spire, les intégrales pouvant être étendues de −∞ à +∞, un calcul non demandé donne :
∆θ =
aeB0
mv0
f′ =
32m2 v02
3πae2 B02
Quel est le signe de f ′ ? Conséquence ? Sur quels paramètres peut-on jouer pour réduire f ′ à tension accélératrice
des électrons fixées ?
14. On donne B0 = 1 T, a = 1 mm et on choisit une tension accélératrice des électrons de sorte que v0 =
2 × 108 m · s−1 . Calculer f ′ et commenter.
15. Calculer également ∆θ. Tracer dans l’espace, y compris dans la zone de champ magnétique l’allure de la
trajectoire suivie par un électron du point P au point P ′ .
16. Les aberrations interviennent aussi avec une lentille magnétique mais l’aberration dite de charge d’espace
n’existe pas en optique classique. Quelle en est selon vous l’origine ? Pourquoi la réduction de cette aberration
passe par l’utilisation de faisceaux électroniques peu denses ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
5 – DS6
Sciences Physiques MP 2015-2016
Problème no 3 – Métallurgie du lithium
Mines MP 2015
Le sujet vise à commenter et approfondir le contenu d’un article scientifique concernant le lithium et sa métallurgie.
Référence de l’article : BLAZY Pierre, JDID El-Aı̈d, Métallurgie du lithium, Techniques de l’ingénieur,
. Dans un souci de simplification, certaines parties de l’article ont été éludées et certains termes modifiés
pour rendre les raccords intelligibles, sans que le contenu scientifique ne soit changé. Les 3 parties du sujet sont
indépendantes.
A. Généralités
Document 1 : Extrait de l’article
Le lithium a été découvert en  par Johann August Arfvedson dans un silicate d’aluminium naturel :
la pétalite. Jöns Jacob Berzelius donna au nouvel élément le nom de lithium (du grec lithos = pierre) pour
rappeler son origine minérale.[. . .] Le développement de nouvelles applications du lithium dans les années 
à  a relancé les exploitations minières en Australie, au Canada, au Zimbabwe et en Chine. [. . .].
Les propriétés atomiques du lithium sont les suivantes :
- rayon métallique, 155 pm ;
- rayon ionique de Li+ , 60 pm.
L’énergie d’ionisation du lithium (5, 39 eV) est plus élevée que celles des autres métaux de sa colonne et son
potentiel d’électrode est relativement bas (−3, 02 V) [. . .].
Les propriétés physiques du métal sont les suivantes : - masse atomique, 6, 951 g · mol−1 ;
- masse volumique, 0, 53 g · cm−3 ;
- température de fusion, 180 ◦ C ;
- température d’ébullition, 1 336 ◦C.
Il existe deux isotopes stables du lithium, 63 Li et 73 Li . [. . .].
Le lithium métallique réagit peu avec l’eau.
1. Rappeler les règles générales permettant d’établir la configuration électronique d’un atome dans l’état
fondamental et les appliquer à l’atome de lithium. À quelle famille chimique appartient-il ?
2. Justifier que l’énergie d’ionisation du lithium (5, 39 eV) est plus élevée que celles des autres métaux de sa
colonne.
3. Son potentiel d’électrode est relativement bas. Quelle application du lithium tire profit de cette propriété ?
4. Déterminer l’abondance relative des deux isotopes du lithium (on négligera la présence d’autres isotopes).
Le lithium métallique cristallise dans une maille cubique centrée (les atomes de lithium occupent les sommets
d’un cube et son centre).
5. Représenter la maille du lithium, déterminer le nombre d’atomes par maille ainsi que la coordinence du
lithium dans la maille, après avoir défini cette notion.
6. Déterminer la valeur du paramètre de la maille.
Le lithium réagit avec l’eau en milieu acide pour donner des ions lithium.
7. Écrire l’équation (1) de la réaction du lithium avec l’eau en milieu acide en prenant un coefficient stœchiométrique de 1 pour le lithium.
8. Évaluer la constante d’équilibre de la réaction (1). La réaction est-elle attendue totale ?
9. Proposer une interprétation de l’assertion : Le lithium réagit peu avec l’eau.
10. Donner l’allure des courbes courant-potentiel permettant de décrire les caractéristiques de la réaction (1).
B. Élaboration du lithium à partir du minerai : passage par des composés intermédiaires.
Document 2 : Extrait des Techniques de l’ingénieur.
Le lithium est présent dans la lithosphère à une concentration de l’ordre de 60 ppm. Il existe plus d’une centaine
d’espèces minérales contenant Li, dont environ 25 titrent plus de 2% en Li2 O.
Les trois principaux minéraux du lithium sont des aluminosilicates (on peut citer par exemple : le spodumène
de formule {4SiO2 .Al2 O3 .Li2 O}).[. . .].
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2015-2016
DS6 – 6
Le spodumène est broyé dans un broyeur à boulets dans lequel est ajouté de l’acide sulfurique H2 SO4 à 93%
en excès par rapport à la stœchiométrie de la réaction ci-dessous.[. . .]. Cette lixiviation avec de l’eau met en
solution le lithium.
{4SiO2 .Al2 O3 .Li2 O} + 8 H+ ⇋ 2 Li+ + 2 Al3+ + 4 SiO2 + 4 H2 O
(2)
Les impuretés Mg, Ca, Al et Fe sont précipitées par neutralisation à la chaux, puis le lithium est précipité par
du carbonate de sodium Na2 CO3 à l’état de carbonate de lithium. [. . .]. Le carbonate de lithium purifié est
transformé en chlorure par réaction avec l’acide chlorhydrique.
11. En considérant la réaction (2) comme totale, quel est le volume minimal d’acide sulfurique à 93% nécessaire
pour dissoudre 1 mole de spodumène ? Pour simplifier on considérera que les 2 acidités sont fortes.
12. Sous quelle forme les impuretés précipitent-elles lors de la neutralisation à la chaux ? Pourquoi le lithium
ne précipite-t-il pas lors de cette étape ?
13. Lors de l’étape de précipitation des impuretés, que l’on assimilera aux seuls ions aluminium, calculer le
pH à atteindre pour commencer à précipiter les ions aluminium ainsi que le pH à atteindre pour précipiter
99, 9% des ions aluminium initialement présents (on considérera une solution initiale contenant des ions Li+ à
0, 1 mol · L−1 et l’impureté Al3+ à hauteur de 1% en quantité de matière ; on négligera la dilution).
Le carbonate de lithium est un composé peu soluble dans l’eau. Sa solubilité est de l’ordre de 0, 2 mol · L−1 à
20 ◦ C et de 0, 1 mol · L−1 à 100 ◦C.
14. Le carbonate de lithium est-il plus ou moins soluble que le carbonate de sodium ? Justifier.
15. Écrire l’équation de la réaction (3) de dissolution du carbonate de lithium.
16. La réaction (3) est-elle endo ou exothermique ? Justifier.
17. En déduire le signe d’une grandeur thermodynamique caractéristique de la réaction (3), grandeur dont on
précisera le nom.
18. Déterminer la valeur de cette grandeur thermodynamique (on pourra introduire des simplifications dans
l’application numérique).
C. Élaboration du lithium à partir du minerai : électrolyse.
Document 3 : Extrait des Techniques de l’ingénieur.
Le lithium métal est obtenu par électrolyse ignée de son chlorure. [. . .]. L’électrolyse s’effectue dans une cellule de
type Down, voir le schéma de la figure 5 comparable à la cellule produisant le sodium. Cette cellule comprend :
- une cuve en acier revêtue entièrement de briques réfractaires et calorifugées ;
- quatre anodes en graphite dont une seule est représentée sur le schéma ;
- une cathode annulaire entourant les anodes ;
- quatre diaphragmes en toile métallique situés entre les électrodes pour empêcher la recombinaison entre le
lithium et le dichlore ;
- un collecteur, une sorte de cloche portant les diaphragmes, placé au dessus des anodes, qui recueille séparément
le lithium et le dichlore.
Le chlorure de lithium est alimenté en continu dans la cellule ; le débit est réglé de sorte que le niveau reste
constant. [. . .].
Dans les cellules les plus récentes, les conditions d’électrolyse sont les suivantes : pour une densité de courant
de 6 à 7 kA · m−2 , la tension est de l’ordre de 6 à 7, 5 V. [. . .].
Une cellule d’électrolyse produit 275 kg de lithium et 1 400 kg de dichlore par jour et la consommation électrique
est de 30 à 35 kWh · kg−1 de lithium.
En complément d’information, une électrolyse ignée signifie que le chlorure de lithium est électrolysé sous forme
de sel fondu, la température d’électrolyse étant comprise entre 400 et 460 ◦ C. Le lithium métal est également
obtenu à l’état liquide. Le milieu dans l’électrolyseur est parfaitement anhydre. On considérera le chlorure de
lithium comme étant totalement dissocié (Li+ , Cl− ) à la température d’électrolyse. La densité de courant indiquée
est donnée pour l’électrode où apparaı̂t le lithium. La consommation électrique indiquée prend en compte le
fonctionnement de l’électrolyse et le chauffage de la cellule.
19. Déterminer, en justifiant, les réactions à l’anode et à la cathode ainsi que l’équation globale de la réaction
d’électrolyse.
20. Nommer les espèces chimiques 1 à 4 et affecter les termes d’anode et de cathode aux électrodes a et b.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
7 – DS6
Sciences Physiques MP 2015-2016
Cuve en briques réfractaires
Collecteurs des produits
2
Électrode a
(pôle négatif)
4
2
1
3 1
2
4 2
Électrode b (pôle positif)
Diaphragme en toile métallique
Figure 5 – Schéma simplifié de l’électrolyseur
21. Estimer la tension minimale d’électrolyse. Quel phénomène permet d’interpréter l’écart entre la valeur
calculée et la valeur indiquée dans le document 3 ?
22. Vérifier que les masses de lithium et de dichlore obtenues, indiquées dans le document 3, sont bien
cohérentes entre elles.
23. Montrer que les données du document 3 permettent de retrouver par calcul une valeur légèrement sousestimée de la consommation électrique. Comment interpréter l’écart entre la valeur calculée et la valeur indiquée
dans le document 3 ?
Données :
Constante
Constante
Constante
Constante
d’Avogadro : NA = 6, 0 × 1023 mol−1
des gaz parfaits : R = 8, 3 J · K−1 · mol−1
de Faraday : F = 96 500 C
RT
ln 10 = 0, 06 V
de Nernst à 298 K :
F
Masses molaires : H = 1, 0 g · mol−1 , C = 12, 0 g · mol−1 , O = 16, 0 g · mol−1 , Cl = 35, 5 g · mol−1 et H2 SO4 =
98 g · mol−1 .
Densité d’une solution d’acide sulfurique à 93% en masse : ≃ 2.
Produit de solubilité à 25 ◦ C : Al(OH)3 s : Ks ≃ 10−33 .
Potentiels standard à 25 ◦ C et pH = 0 :
Li+ aq /Lis : −3, 0 V ; H+ aq /H2 gaz : 0, 0 V et Cl2 gaz /Cl− aq : 1, 4 V.
Dans un souci de simplification, on utilisera ces valeurs des potentiels sur l’ensemble du sujet quelles que soient
les phases des espèces présentes et la température.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes

Download Report