Écoulement des fluides
dans les tuyauteries
par
Jacques BONNIN
Ingénieur des Arts et Manufactures
Ingénieur en Chef à Électricité de France
1.
Propriétés des fluides .............................................................................
A 738 - 2
2.
2.1
2.2
Écoulement permanent des liquides ..................................................
Écoulement dans les conduites cylindriques longues .............................
Évaluation des pertes de charge ................................................................
—
—
—
5
5
6
3.
3.1
3.2
3.3
Écoulement permanent des gaz et des vapeurs..............................
Équations à prendre en compte .................................................................
Écoulement à travers les organes de détente ...........................................
Écoulement adiabatique avec frottements dans les conduites
cylindriques longues ...................................................................................
Écoulement isotherme avec frottements dans les conduites
cylindriques longues ...................................................................................
—
—
—
11
11
12
—
13
—
13
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Écoulements diphasiques dans les conduites longues .................
Notion d’écoulement diphasique ...............................................................
Difficultés de l’étude des écoulements diphasiques ................................
Configurations des écoulements diphasiques ..........................................
Équations des écoulements diphasiques ..................................................
Mesures dans les écoulements diphasiques.............................................
Pertes de charge par frottement.................................................................
Pertes de charge singulières.......................................................................
Écoulements critiques .................................................................................
—
—
—
—
—
—
—
—
—
15
15
15
15
16
16
16
16
16
5.
5.1
5.2
Écoulement non permanent des liquides dans les conduites
longues........................................................................................................
Phénomène du coup de bélier....................................................................
Protection contre les coups de bélier.........................................................
—
—
—
16
16
18
6.
6.1
6.2
6.3
Dimensionnement des conduites ........................................................
Notion d’optimum économique .................................................................
Vitesse économique ....................................................................................
Diamètre économique.................................................................................
—
—
—
—
20
20
21
21
3.4
A 738
5 - 1983
Pour en savoir plus...........................................................................................
Doc. A 738
e présent article donne les méthodes pratiques d’étude des tuyauteries en
fonction des conditions d’écoulement du fluide transporté. Le lecteur
trouvera les développements théoriques dans l’article Mécanique des fluides
[A1 870] du traité Sciences fondamentales.
Nous ne traiterons pas ici du cas de l’écoulement des fluides non newtoniens,
qui est abordé dans l’article Fluides non newtoniens [A 710] du traité Sciences
fondamentales. On trouvera également d’abondants développements dans la
référence bibliographique [1].
L
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A 738 − 1
ÉCOULEMENT DES FLUIDES DANS LES TUYAUTERIES
_________________________________________________________________________________________
Notations et Symboles
Notations et Symboles
Symbole
Unité
Définition
Symbole
Unité
Définition
a
m · s –1
vm
m · s–1
c
cc
cp
m · s –1
m · s –1
J · kg–1 · K –1
cV
J · kg–1 · K –1
D
m
De
DH
m
E
Pa
e
g
H
∆H υ
h
∆h
k
L
Ma
Pr
p
pc
pc
m
m · s–2
J · kg–1
J · kg–1
m
m
m
m
vitesse moyenne de déplacement du
fluide
= c p /c V rapport des capacités thermiques massiques
= ρ dp / dρ coefficient de compressibilité du fluide
coefficient de pertes de charge singulière
coefficient de pertes de charge
conductivité thermique du fluide
viscosité dynamique du fluide
viscosité cinématique du fluide
abscisse réduite
masse volumique du fluide
masse volumique critique thermodynamique
masse volumique critique d’écoulement
contrainte tangentielle du fluide sur
une surface cylindrique
durée
d’une
perturbation
(changement de régime)
périmètre de la section de la conduite
pg
pi
Pa
Pa
pm
Pa
q
qV
R
kg · s–1
m3 · s–1
m
R
J · mol–1 · K –1
r
J · kg–1 · K –1
Re
S
m2
T
Tc
K ou oC
K ou oC
Tc
Téb
Ti
K ou oC
K ou oC
K ou oC
V
v
vc
m3
m · s–1
m · s–1
célérité des ondes de changement
de régime
célérité du son dans le fluide
célérité critique
capacité thermique massique à
pression constante
capacité thermique massique à
volume constant
dimension transversale de la
conduite
= Re β nombre de Dean
diamètre
hydraulique = 4S/ χ
(diamètre de la conduite si elle est
circulaire)
module d’élasticité du matériau
constitutif du tuyau
épaisseur de la conduite
accélération de la pesanteur
enthalpie massique du fluide
enthalpie massique de vaporisation
charge
perte de charge
rugosité de la paroi
longueur de la conduite
nombre de Mach
= µcp / λ nombre de Prandtl
pression du fluide
pression critique thermodynamique
= pm pression dans la zone
contractée d’une tuyère
= p + ρgz
pression dans une zone amont de
vitesse nulle (ou faible)
pression correspondant au débit
maximal (sonique)
débit massique de fluide
débit volumique de fluide
rayon de courbure d’une conduite
courbe
constante des gaz parfaits
rapportée à
une
mole
(R = 8,317 × 103 J · mol –1 · K –1)
constante des gaz parfaits rapportée
à l’unité de masse (r = R /M )
nombre de Reynolds
aire de la section transversale de la
conduite
température du fluide
température critique thermodynamique
température critique d’écoulement
température d’ébullition
température dans une zone amont de
vitesse nulle (ou faible)
volume
vitesse de déplacement du fluide
= cc vitesse critique d’écoulement
Pa
Pa
Pa
1 bar = 105 Pa = 10 –1 MPa.
1 cal ≈ 4,185 J.
1 Pl (poiseuille) = 10 P (poise) = 1 Pa · s.
1 St (stokes) = 10 – 4 m2 · s –1.
A 738 − 2
γ
ε
Pa
ζ
Λ
λ
µ
ν
ξ
ρ
ρc
W · m–1 · K –1
Pa · s
m2 · s–1
kg · m–3
kg · m–3
ρc
kg · m–3
τ
Pa
τ
s
χ
m
1 bar = 105 Pa = 10 –1 MPa.
1 cal ≈ 4,185 J.
1 Pl (poiseuille) = 10 P (poise) = 1 Pa · s.
1 St (stokes) = 10 – 4 m2 · s –1.
1. Propriétés des fluides
Les conditions d’écoulement des fluides dans les tuyauteries, avec
ou sans échange de chaleur, dépendent tout à la fois de paramètres
géométriques et dynamiques (dimensions des tuyaux, pressions,
etc.) et des propriétés des fluides qui y circulent.
Parmi ces propriétés, certaines intéressent l’écoulement
seulement (masse volumique ρ, viscosité dynamique µ, viscosité
cinématique ν), d’autres interviennent dans les transferts de chaleur
monophasiques (capacité thermique massique à pression
constante c p , conductivité thermique λ, nombre de Prandtl
Pr = µc p / λ), d’autres enfin doivent être prises en compte lorsque le
fluide change de phase au cours de l’écoulement (température
d’ébullition T éb , enthalpie de vaporisation ∆H υ ) ainsi éventuellement que les constantes du point critique (pression critique p c ,
température critique T c , masse volumique critique ρ c ).
Un certain nombre de ces propriétés varient en fonction de la
température ; aussi l’ensemble des données intéressant les divers
fluides qui peuvent circuler dans les tuyauteries constitue-t-il un
recueil volumineux qui n’aurait pas sa place ici ; on en trouvera un
grand nombre dans le traité Constantes physico-chimiques des Techniques de l’Ingénieur. Dans ce qui suit, nous donnons les plus utiles,
pour un nombre limité de fluides, sous forme soit de tableaux, soit
de graphiques ; ces propriétés sont données soit à 20 oC, soit avec
indication de leurs variations de température.
Les tableaux 1, 2 et 3 et les figures 1, 2 et 3 sont relatifs aux
propriétés ρ, µ, ν, c p , λ et Pr ; le tableau 1 les fournit pour sept liquides
à 20 oC, le tableau 2 pour sept gaz à 20 oC et le tableau 3 pour trois
métaux liquides à diverses températures ; la figure 1 donne leurs
variations pour l’eau liquide de 0 à 300 oC, la figure 2 pour l’air à
pression normale de 0 à 1 500 oC et la figure 3 pour la vapeur d’eau
à même pression de 100 à 1 500 oC.
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_________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES DANS LES TUYAUTERIES
La conductivité thermique des fluides varie avec la température.
On obtient la conductivité λ par les relations :
— pour les liquides, à la température T (oC) :
λ (T ) = λ 0 + βT
— pour les gaz, à la température T (K) :
λ (T ) = λ 0 (T / 273)n
(2)
(273 K).
avec λ 0 conductivité thermique à 0
On trouvera les valeurs de λ 0 , β et n pour un grand nombre de
liquides et de gaz dans le traité Constantes physico-chimiques.
oC
(1)
(0)
Tableau 1 – Propriétés de quelques liquides à 20 oC
Liquide
(kg · m–3)
cp
(kJ · kg–1 · oC–1)
10 3 (Pa · s)
Eau .......................................................
Aniline .................................................
Ammoniaque (saturée) ......................
Fréon 12 ..............................................
Alcool butylique n ..............................
Benzène ...............................................
Glycérine .............................................
997
1 020
610
1 315
806
881
1 260
4,205
2,00
4,82
0,975
2,34
1,70
2,35
1,00
4,4
0,22
0,26
3,10
0,65
1,7
106 (m2 · s–1)
1,00
4,3
0,36
0,198
3,85
0,74
1,35
(W · m–1 · oC –1)
Pr
0,598
0,172
0,517
0,072
0,167
0,166
0,286
7,05
≈ 50
2,05
3,5
43,4
6,9
≈ 14
(0)
Tableau 2 – Propriétés de quelques gaz à 20 oC et à la pression normale
(kg · m–3)
Gaz
Air ........................................................
Oxygène ..............................................
Azote....................................................
Hydrogène ..........................................
Dioxyde de carbone ...........................
Monoxyde de carbone .......................
Hélium .................................................
(kJ · kg–1 · oC –1)
10 6 (Pa · s)
106 (m2 · s–1)
1,004
0,920
1,040
14,3
0,824
1,041
5,19
18,2
20,2
18,8
8,85
14,8
17,5
18,7
15,1
15,2
18,1
106
8,07
15,0
112
cp
1,205
1,332
1,174
0,083 3
1,834
1,163
0,167
103 (W · m–1 · oC –1)
25,4
26,0
26,6
182
15,8
24,5
145
Pr
0,72
0,72
0,72
0,70
0,77
0,74
0,67
(0)
Tableau 3 – Propriétés de métaux liquides en fonction de la température
T
(oC)
(kg · m–3)
(J ·
cp
kg–1 · oC –1)
103 (Pa · s)
106 (m2 · s–1)
(W · m–1 · oC –1)
103 Pr
Sodium
93
200
450
700
926
901
838
778
1 380
1 340
1 300
1 255
316
400
550
700
10 000
9 890
9 685
9 530
144,4
148,1
154
162
20
100
200
300
13 520
13 305
13 110
12 870
138
137
135
133
0,70
0,43
0,24
0,18
0,76
0,48
0,29
0,23
86,3
86,0
68,8
59,8
11
7
4,5
3,8
0,162 5
0,143
0,111
0,090
16,4
15,6
15,6
15,6
14
13
11
9
0,115
0,092
0,076
0,069
8,4
10,5
12,5
14,8
25,5
16,0
10,8
8,0
Bismuth
1,02
1,41
1,08
0,86
Mercure
1,55
1,23
1,00
0,89
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A 738 − 3
ÉCOULEMENT DES FLUIDES DANS LES TUYAUTERIES
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Figure 3 – Propriétés de la vapeur d’eau
en fonction de la température à la pression normale
(0)
Figure 1 – Propriétés de l’eau liquide en fonction de la température
Tableau 4 – Paramètres d’ébullition
de quelques fluides usuels
Fluide
Figure 2 – Propriétés de l’air en fonction de la température
à la pression normale
Le tableau 4 donne la température d’ébullition T éb et l’enthalpie
de vaporisation ∆H υ pour 27 corps usuels. On trouvera de
nombreuses autres données dans le traité Constantes
physico-chimiques.
Enfin, le tableau 5 donne la pression critique p c , la température
critique T c et la masse volumique critique ρc pour 18 corps usuels.
On trouvera les mêmes valeurs pour un grand nombre d’autres
corps dans le traité Constantes physico-chimiques.
Acétone..........................
Alcool butylique n.........
Alcool éthylique ............
Alcool méthylique.........
Ammoniac .....................
Aniline............................
Azote ..............................
Benzène .........................
Butane n.........................
Butane (iso) ...................
Chloroforme ..................
Chlorure d’éthyle ..........
Chlorure de méthyle
Dioxyde de carbone......
Dioxyde de soufre.........
Eau .................................
Éther éthylique ..............
Hexafluorure
d’uranium ......................
Hydrogène .....................
Mercure..........................
Méthane.........................
Oxygène.........................
Propane..........................
Sodium ..........................
Sulfure de carbone .......
Tétrachlorure
de carbone.....................
Trichloréthylène ............
T éb
(oC)
Formule
chimique
CH3COCH3
C4H9OH
C2H5OH
CH3OH
NH3
C6H5NH2
N2
C 6 H6
C4H10
C4H10
CHCl3
C2H5Cl
CH3Cl
CO2
SO2
H 2O
(C2H5) 2O
56,1
116,8
78,3
64,7
– 33,4
183
– 195,8
80,1
– 0,50
– 11,72
61,5
4,7
– 23,8
– 78,4
– 5,0
100,0
34,6
521,0
591,3
855,0
1 100
1 374
434,0
199,7
394,0
385,4
366,4
247
389
428,1
573,5
389,7
2 262
351,1
UF6
H2
Hg
CH4
O2
C 3 H8
Na
CS2
55,1
– 252,7
361
– 161,6
– 183,0
– 42,1
914
46,3
117,7
452,0
292,5
510,2
213,0
426
4 207
352
CCl 4
C2HCl3
Remarque : on prendra garde à ne pas confondre les grandeurs
critiques thermodynamiques (tableau 5) avec les grandeurs
critiques d’écoulement (§ 3.2 et 3.3).
A 738 − 4
H (kJ · kg–1)
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© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique
77
85,7
198
240
(0)
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Tableau 5 – Constantes critiques de quelques corps usuels
Corps
Formule
chimique
Acétylène .....................
Ammoniac....................
Azote.............................
Benzène ........................
Butane ..........................
Dioxyde de carbone ....
Dioxyde de soufre .......
Eau ................................
Éthane ..........................
Éthanol .........................
Éthylène .......................
Hydrogène ...................
Méthane .......................
Méthanol ......................
Monoxyde de carbone
Oxygène .......................
Propane ........................
Sulfure de carbone ......
C 2 H2
NH3
N2
C 6 H6
C4H10
CO2
SO2
H 2O
C 2 H6
C 2 H6 O
C 2 H4
H2
CH4
CH4O
CO
O2
C 3 H8
CS2
pc
(MPa)
6,28
11,29
3,39
4,83
3,65
7,38
7,87
22,055
4,94
6,39
5,16
1,30
4,64
7,97
3,55
5,03
4,36
7,70
Tc
(oC)
c
(kg · m–3)
36,0
132,4
– 147,1
288,5
153
31,04
157,2
374,0
31,2
243,1
9,7
– 239,9
– 82,5
240,0
– 139
– 118,8
95,6
273
231
235
311,0
304
–
467
500
400
210
275,5
220
31,0
162
272
311
430
441
2. Écoulement permanent
des liquides
2.1.2 Distribution des vitesses
Dans les conditions précisées précédemment, on constate en outre
que la vitesse le long d’une ligne de courant ne varie pas ; dans chaque section transversale, la distribution spatiale des vitesses est la
même.
Dans le cas, fréquent, d’une conduite de section circulaire, cette
distribution présente une symétrie de révolution ; la vitesse ne
dépend plus que de la distance à l’axe de la conduite. On trouvera
des développements sur ce profil des vitesses dans l’article Mécanique des fluides [A 1 870] du présent traité.
2.1.3 Équilibre dynamique de l’écoulement
Considérons (figure 4) un volume cylindrique quelconque de
liquide compris entre deux sections transversales distantes de dx.
Le parallélisme des vitesses implique la constance des pressions
dans chacune des sections ; soient p et p + dp ces pressions. Si
l’on appelle s l’abscisse curviligne sur le pourtour de la section, sur
chaque élément dx ds de la surface cylindrique limitant ce volume,
le fluide est le siège de contraintes tangentielles τ, en général
variables avec s. L’équilibre de la masse de fluide contenue dans ce
volume, supposée soumise à la pesanteur, s’écrit, en appelant S sa
section transversale :
pS – ( p + dp )S – ρgS dz –
Dans ce qui suit, nous négligerons la compressibilité des liquides
et considérerons donc un fluide à masse volumique ρ constante.
Nous examinerons son écoulement dans une conduite de section
quelconque, mais indépendante de l’abscisse, ou conduite
cylindrique. La notion de conduite longue est liée à l’établissement
d’un régime d’écoulement dans la conduite ; elle nécessite, dans la
pratique, une longueur dépassant quelques dizaines de fois les
dimensions transversales de la section.
2.1.1 Forme de l’écoulement
et régimes d’écoulement
τ ds dx = 0
avec z altitude du centre de l’élément,
c’est-à-dire, en posant :
2.1 Écoulement dans les conduites
cylindriques longues
p g = p + ρgz
dp g
1
------------ = – ----S
dx
τ ds
(4)
(5)
Pour une conduite de section circulaire, τ ne dépend que de la
distance r à l’axe ; en choisissant un volume de référence
conservant cette symétrie de révolution, l’expression (5) devient :
dp g
2τ
------------ = – -------r
dx
(6)
et en particulier, à la paroi de la conduite, de diamètre D, où la
contrainte tangentielle prend la valeur τ 0 :
dp g
4τ 0
------------ = – ----------D
dx
Dans les conditions qui viennent d’être précisées, on constate
que la vitesse est partout parallèle à l’axe de la conduite ; les lignes
de courant sont toutes des droites parallèles aux génératrices.
Suivant l’importance des forces de viscosité par rapport aux
forces d’inertie de l’écoulement, on observe pour celui-ci plusieurs
régimes possibles. Ce rapport de forces est caractérisé par un
nombre de Reynolds :
Re = vD ρ/µ
(3)
avec v vitesse caractéristique de l’écoulement (souvent la vitesse
moyenne dans la section),
D dimension caractéristique de la section transversale
(diamètre pour une conduite de section circulaire).
Ce nombre est d’autant plus grand que les forces de viscosité
ont moins d’importance relative.
Lorsque Re est inférieur à une valeur limite de l’ordre de 2 000,
l’écoulement est toujours laminaire, c’est-à-dire exempt de turbulence.
Dans les conditions industrielles, pour Re > 2 500, il est en pratique
toujours turbulent, c’est-à-dire que les forces de viscosité ne sont
plus suffisantes pour empêcher les inévitables perturbations
d’engendrer une multitude de petits tourbillons qui se superposent
à l’écoulement global.
Figure 4 – Équilibre d’un élément de volume cylindrique de liquide
compris entre deux sections transversales
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A 738 − 5
ÉCOULEMENT DES FLUIDES DANS LES TUYAUTERIES
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Comme pg est constante dans toute section transversale, on a
nécessairement dans chaque section :
2.2.1 Rugosité
2τ 0
τ(r )
------------- = ---------D
r
(7)
2.1.4 Notions de charge et de perte de charge
On utilise couramment en hydraulique la notion de charge, qui
représente l’énergie mécanique totale des particules fluides par
unité de poids ; elle a les dimensions d’une longueur :
pg
v2
p
v2
h = --------- + z + --------- = --------- + --------2g
ρg 2g
ρg
h dq V
hv dS
h m = ---------------------- = ----------------------dq V
v dS
v 3 dS
pg
1
h m = --------- + --------- ---------------------ρg 2g
v dS
soit
Le quotient des deux intégrales est homogène au carré d’une
vitesse ; il ne dépend que de la distribution des vitesses dans la
section, et il est toujours supérieur au carré de la vitesse moyenne
vm =
2
v dS/ dS . On le désigne par αv m . Le coefficient α, toujours
supérieur à l’unité, prend dans les conduites de section circulaire
la valeur 2 pour les écoulements laminaires ; pour les écoulements
industriels très turbulents, il est pratiquement compris entre
1,05 et 1,10.
Entre deux sections d’une conduite cylindrique longue, ce terme
ne change pas de valeur. Par suite, la perte d’énergie mécanique
du fluide, ou perte de charge, ne dépend que des variations de pg :
dh m
4τ 0
1 dp g
-------------- = --------- ------------ = – -------------ρg dx
D ρg
dx
(9)
On utilise souvent également l’énergie mécanique totale par
2
vm
unité de volume du fluide p g + αρ ---------- , qui est une pression ; elle
2
sert par exemple à évaluer les charges et pertes de charge dans les
circuits de gaz. On a alors de la même façon, pour un fluide de
masse volumique constante :
2
vm
d
--------- p g + αρ --------dx
2
dp g
4τ 0
= ------------ = – ----------D
dx
Puisque, d’après les relations (9) et (10), les pertes de charge sont
liées aux contraintes de frottement à la paroi de la conduite, elles
dépendent non seulement des paramètres de l’écoulement, mais de
l’état de surface (plus ou moins lisse ou rugueux) de cette paroi. On
qualifie ordinairement cet état par une seule dimension
géométrique k, qui est d’un ordre de grandeur comparable à la
hauteur géométrique moyenne des aspérités de cette paroi. Les
valeurs de k pour des natures de parois usuelles sont données par
le tableau 6.
(0)
(8)
C’est la constance de cette charge, somme de trois termes
traduisant des énergies respectivement de pression, de hauteur et
cinétique, qu’exprime l’équation bien connue de Bernoulli, en
l’absence de pertes.
Dans les différents points d’une section transversale, les variations
du terme d’énergie cinétique v 2 / 2g occasionnent des variations de
la charge ; on définit une charge moyenne h m en affectant à chaque
débit élémentaire d q V traversant un élément de section dS, sa
propre charge :
2.2 Évaluation des pertes de charge
(10)
Tableau 6 – Rugosité géométrique de parois usuelles
Rugosité uniforme
équivalente k (mm)
Nature de la paroi
Tuyau étiré en verre, cuivre, laiton ..........
Tuyau industriel en laiton.........................
Tuyau en acier laminé :
— neuf .......................................................
— rouillé ....................................................
— incrusté .................................................
— bitumé intérieurement.........................
Tuyau en acier soudé :
— neuf .......................................................
— rouillé ....................................................
Tuyau en fer galvanisé..............................
Tuyau en fonte usuelle moulée :
— neuf .......................................................
— rouillé ....................................................
— bitumé intérieurement.........................
Tuyau quelconque, fortement incrusté ...
Tuyau en ciment :
— lisse .......................................................
— brut........................................................
Tuyau en acier riveté.................................
Planches non rabotées..............................
Pierre de taille............................................
Galerie brute de percement......................
0,05
0,15 à 0,25
1,5 à 3
0,015
0,03 à 0,1
0,4
0,15 à 0,20
0,25
1 à 1,5
0,1
jusqu’à 3
0,3 à 0,8
jusqu’à 3
0,9 à 9
1 à 2,5
8 à 15
90 à 600
Un raisonnement fondé sur l’analyse dimensionnelle [3] montre
que la perte de charge ∆h dans une conduite de longueur L peut
se mettre sous la forme :
2
L vm
∆h = Λ ------ --------D 2g
(11)
avec Λ coefficient de perte de charge, qui ne dépend que de deux
facteurs adimensionnels :
Λ = f
Re, -----Dk- avec Re nombre de Reynolds caractérisant l’écoulement défini
par (3),
k
------ rugosité relative de la paroi.
D
Remarque : cette façon d’exprimer la perte de charge sous
forme de différence de pression par unité de longueur est
surtout utilisée pour les gaz.
Lorsque la masse volumique ρ du gaz peut être considérée
comme constante (sur une courte longueur de tuyauterie), la
formule (10) reste valable. Mais sur une conduite longue, varie
et il faut utiliser les équations de l’écoulement établies au
paragraphe 3.
A 738 − 6
< 0,001
0,025
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2.2.2 Pertes de charge dans les conduites longues
La formule empirique de Colebrook couvre, pour les conduites
industrielles, les deux domaines précédents et la transition qui les
sépare :
Nota : le lecteur pourra se reporter à la référence bibliographique [4].
2.2.2.1 Écoulements laminaires
Pour les écoulements laminaires (Re < 2 000 à 2 500), le coefficient
de pertes de charge Λ dépend du seul nombre de Reynolds Re
(formule de Hagen-Poiseuille) :
Λ = 64/Re
(12)
2.2.2.2 Écoulements turbulents hydrauliquement lisses
■ Pour des nombres de Reynolds supérieurs au seuil précédent,
mais inférieurs à une valeur de l’ordre de 105 (et en pratique dépendant de la rugosité), les contraintes de frottement à la paroi ne
dépendent pratiquement pas de la rugosité : l’écoulement est dit
hydrauliquement lisse, et le coefficient Λ est donné par la formule de
Blasius :
Λ = 0,316 Re –1/4 = 1/ 4 100 Re
(14)
2.2.2.3 Écoulements turbulents complètement rugueux
Dans les conduites rugueuses, pour des nombres de Reynolds
suffisamment élevés (la limite dépendant de la rugosité), le
coefficient Λ ne dépend plus que de la rugosité (formule de
Karman-Prandtl) :
1/ Λ = – 2 lg ( k /D ) + 1,14
k
2,51
1
----------- = – 2 lg 0,270 ------ + ------------------D Re Λ
Λ
(16)
L’ensemble des variations de Λ en fonction du nombre de
Reynolds Re et de la rugosité relative k /D est représenté par la
figure 5.
Pour évaluer rapidement les pertes de charge dans une conduite
industrielle, il est commode d’utiliser un abaque, comme celui de
la figure 6, tiré de [5], qui permet de traiter des débits
de 10– 4 à 7 m3/s avec des diamètres de 50 à 1 500 mm, la rugosité
étant supposée égale à 2 mm.
2.2.3 Conduites de section non circulaire
(13)
■ Pour les nombres de Reynolds supérieurs, Λ est donné par la
formule de Karman-Nikuradze :
1/ Λ = 2 lg ( Re Λ ) – 0,8
2.2.2.4 Ensemble des écoulements turbulents
(15)
La dimension transversale D utilisée habituellement est le
diamètre hydraulique D H , égal à quatre fois le rayon hydraulique R H ,
lui-même quotient de l’aire S de la section par son périmètre χ :
S
D H = 4R H = 4 ----χ
Ce diamètre, égal à celui de la conduite lorsqu’elle est circulaire,
est utilisé dans la formule (3) pour le calcul du nombre de
Reynolds et dans les formules (12), (13), (14), (15) et (16) pour le
coefficient de pertes de charge.
Pour les écoulements laminaires, le coefficient numérique de la
formule (12) n’est plus égal à 64 ; sa valeur dépend de la forme de
la section ; Comolet [4] en donne des exemples où il peut varier
de 47 à plus de 96.
Figure 5 – Coefficient de pertes de charge en fonction de la rugosité relative k /D et du nombre de Reynolds Re
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A 738 − 7
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Pour les écoulements turbulents, si la forme de la section
transversale ne s’éloigne pas trop du cercle (polygone régulier
convexe, rectangle peu allongé) les formules (12), (13), (14), (15)
et (16) donnent encore des résultats satisfaisants, en général à
moins de 5 % près.
2.2.4 Conduites circulaires courbes
Pour les conduites de section circulaire dont la ligne médiane est
courbée, on se réfère à la courbure relative :
β = D / 2R
avec R rayon de courbure de cette ligne médiane.
Des études ont été faites dans le cas des écoulements laminaires
et turbulents lisses.
Pour les écoulements laminaires, on forme le nombre de Dean :
De = Re β
et l’on calcule Λ par la première formule de Ito, valable
pour 30 < De < 2 000 :
64
Λ = --------- 0,100 8 De 1 + a 1 De –1/ 2 + a 2 De –1
(17)
Re
+ a 3 De –3/ 2 + a 4 De –2 avec a 1 = 3,945,
a 2 = 7,702,
a 3 = 9,907,
a 4 = 5,608.
Pour les écoulements turbulents lisses, on forme le paramètre :
= Re β 2
Pour 0,034 < < 300, Ito donne la formule :
Λ / β = 0,29 + 0,304 –1/4
(18)
Figure 6 – Abaque pratique pour le calcul des conduites d’eau,
d’après la formule de Colebrook
et adopte la formule de Blasius (13) pour < 0,034.
2.2.5 Pertes de charge singulières
Lorsque l’écoulement d’un fluide traverse un organe ou une
singularité de la conduite où sa vitesse change rapidement de
direction et/ou de grandeur, il s’ensuit une perte de charge supplémentaire. On met en évidence expérimentalement cette perte en
relevant la ligne piézométrique le long de la conduite (figure 7) et
en extrapolant les lignes de pression des conduites longues en
amont et en aval de l’accident, ce qui permet de considérer cette
perte de charge, dite singulière, comme localisée.
Pour les écoulements turbulents, les pertes de charge singulières
sont très généralement proportionnelles à la pression cinétique
ρv 2 / 2, donc au carré de la vitesse :
∆pg = ζρv 2 / 2
(19)
Figure 7 – Définition d’une perte de charge singulière
Le coefficient de proportionnalité ζ est caractéristique de la
singularité. On en trouvera de nombreuses valeurs dans des recueils
spécialisés, par exemple dans [6]. Le tableau 7 donne les plus
usitées.
A 738 − 8
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2.2.6 Pertes de charge dans les conduites
de répartition
Lorsqu’une conduite de longueur L entre deux points A et B
(figure 8) sert à alimenter un certain nombre d’appareils ou de
clients, il est souvent impossible de connaître à chaque instant la
répartition des débits le long de cette conduite, et par suite d’y
calculer en toute rigueur la perte de charge. On peut cependant en
obtenir une évaluation approchée en admettant [7] que le débit
consommé est réparti linéairement le long de la conduite. Pour cela,
on peut soit estimer un débit fictif équivalent le long du tronçon AB,
soit considérer que tout le débit distribué est prélevé fictivement en
un point C.
■ Débit fictif équivalent (figure 8 a ) : en appelant q Vd le débit
distribué le long du tronçon AB et q Vs le débit sortant en B (le
débit q Ve entrant en A valant alors q Vd + q Vs ), on montre [7] que le
débit fictif équivalent donnant la même perte de charge que la
distribution linéaire de la consommation a pour valeur :
q Vm = q Vs + 0,54q Vd
(20)
■ Prélèvement fictif équivalent (figure 8b ) : dans ce cas on montre
[7] que le point C donnant la meilleure approximation de la perte de
charge est situé de telle façon que :
AC = 5L / 12
(21)
2.2.7 Réseaux maillés
Dans de nombreux cas de distribution, et en particulier pour bien
des distributions urbaines, on est amené à former un réseau
comportant un certain nombre de mailles fermées, dans lequel la
détermination du débit dans chaque tronçon doit faire l’objet d’une
étude particulière. On trouvera l’étude détaillée de ce problème et
des méthodes de calcul correspondantes dans les références
bibliographiques [8] [9].
Figure 8 – Évaluation de la perte de charge
dans une conduite de répartition AB
(0)
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A 738 − 9
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Tableau 7 – Pertes de charges singulières pour des conduites de section circulaire
R
-----D
0,5
0,75
1,0
1,5
2
ζ
α
ζ
0,90
0,45
0,35
0,25
0,20
15o
30o
45o
60o
90o
0,1
0,2
0,5
0,7
1,3
Coude arrondi (angle droit)
Coude à angle vif
ζ = 0,2 à 0,3
ζ≈2
Coude muni de directrices
(angle droit)
Soupape
D
--------1D2
ζ
D
--------2D1
ζ
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,9
0,7
0,4
0,2
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
D
--------2D1
ζ
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
0,9
2,5
2,5
2,5
2,3
1,9
1,5
ζ=1
Élargissement brusque
Diaphragme mince
et élargissement brusque
Rétrécissement brusque
ζ1 = 0
α
ζ2
R
-----D
ζ
α
15o
30o
45o
60o
90o
0,1
0,3
0,5
0,7
1,3
0,5
0,75
1
1,5
2,0
1,2
0,6
0,4
0,25
0,2
15o
30o
45o
60o
90o
Dérivation latérale
Bifurcation arrondie
(angle droit)
Droite
ζ ≈ 0,9
Double T
A 738 − 10
ζ
0,1
0,3
0,7
1,0
1,4
Bifurcation à bords vifs
En paroi
ζ ≈ 0,5
A entrée profilée
Pièces d’aspiration
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R
-----D
ζ
0,2
0,5
0,8
0,2
0,1
0,05
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3. Écoulement permanent
des gaz et des vapeurs
cette loi dans les calculs approchés, si leur état n’est pas trop proche
de la saturation ; dans le cas contraire, il est nécessaire d’introduire
en ordinateur les tables représentatives des états du fluide, ou des
équations d’ajustement (souvent compliquées) qui les représentent.
Les fluides compressibles (gaz et vapeurs) se comportent, en
particulier dans leurs écoulements, de façon différente de celle des
liquides. Ces derniers sont très généralement considérés comme
ayant une masse volumique ρ constante, en particulier indépendante
de la pression ; et, le plus souvent, leur température ne varie
pratiquement pas, en l’absence de transfert thermique.
Au contraire, les gaz sont le siège d’une variation importante de
leur masse volumique, liée aux variations de pression dues par
exemple aux pertes de charge ou aux variations de vitesse dans
l’écoulement, et associées à des variations de température. Sauf
pour les courtes longueurs de tuyauterie (remarque § 2.1.4), l’étude
de l’écoulement des gaz nécessite de combiner une relation entre
ces divers paramètres, propre au fluide, appelée équation d’état,
aux équations classiques en mécanique des fluides (continuité,
dynamique, énergie) que nous allons rappeler au paragraphe 3.1.
La complexité des solutions générales nous conduira à limiter
les applications à trois cas fréquemment rencontrés dans les
écoulements industriels :
— l’écoulement (voulu ou non) du fluide à travers les organes de
détente, où la section varie très rapidement et où l’on néglige en
première approximation les frottements et les transferts thermiques
(§ 3.2) ;
— l’écoulement avec frottements dans les conduites longues, en
l’absence de transfert thermique (§ 3.3) ;
— l’écoulement avec frottements dans les conduites longues,
avec des transferts thermiques suffisamment intenses pour
maintenir le fluide pratiquement isotherme (§ 3.4).
Les écoulements réels dans les conduites longues se rapprochent
plus ou moins de l’un des deux cas précédents.
3.1 Équations à prendre en compte
Dans ce qui suit, nous donnerons les bases d’étude des écoulements des gaz et des vapeurs, mises en équations lorsque cela est
possible ; nous ne développerons pas les calculs théoriques, que le
lecteur pourra trouver soit dans l’article Mécanique des fluides
[A 1 870] du traité Sciences fondamentales, soit dans d’autres
ouvrages traitant de la mécanique des fluides compressibles, par
exemple [2] [4].
3.1.2 Équation de continuité
L’équation de continuité sera écrite en supposant que les paramètres d’état et la vitesse ont la même valeur (valeur moyenne) en
tous les points d’une même section transversale. Le débit
massique q, constant en fonction de l’abscisse et du temps, s’écrit
donc :
q = ρSv
(25)
équation que l’on utilisera souvent sous sa forme dérivée :
dρ dS dv
--------- + ---------- + --------- = 0
ρ
S
v
Dans les conduites cylindriques (S = cte), ces équations se
simplifient en :
ρv = q /S = cte
(27)
dρ dv
--------- + --------- = 0
v
ρ
L’équilibre des forces entre deux sections infiniment voisines
distantes de dx s’écrit, en tenant compte des pertes de charge
[caractérisées par un coefficient Λ dans une conduite de diamètre D,
(§ 2.2)] et de la remarque du paragraphe 2.1.4 :
v2
v 2 dx
dp
d -------- + --------- = – Λ -------- --------2
2 D
ρ
3.1.4 Équation d’énergie
La conservation de l’énergie totale du fluide dans son écoulement (abstraction faite de l’énergie potentielle de pesanteur, très
généralement négligeable pour les gaz et les vapeurs) s’écrit :
H = g (p, T )
(23)
Le traitement mathématique des problèmes d’écoulement de
fluides compressibles est relativement simple lorsque l’équation
d’état l’est aussi. On admet souvent, pour les gaz permanents,
qu’ils suivent la loi des gaz parfaits :
p
----- = rT
ρ
(24)
avec r = R /M.
Des correctifs à cette loi peuvent être introduits, en particulier dans
les calculs sur ordinateur. Pour les vapeurs, on continue à appliquer
(29)
Dans les conduites industrielles où un écoulement turbulent
rugueux est établi, le coefficient de pertes de charge Λ est constant.
Pour les cas où le régime d’écoulement est turbulent lisse (§ 2.2.2.2),
A. Fortier a montré que les variations de Λ le long de la conduite
sont faibles, ce qui autorise à les négliger.
3.1.1 Équation d’état
à laquelle on doit, si nécessaire, ajouter des relations exprimant, en
fonction des deux paramètres choisis, les autres variables éventuellement utilisées (telles que enthalpie, entropie, etc.), par exemple :
(28)
3.1.3 Équation dynamique
v2
d -------- + H
2
L’équation d’état d’un fluide compressible exprime que toutes
ses variables d’état ne dépendent que de deux paramètres
indépendants, à choisir librement ; elle s’exprime souvent sous
forme d’une relation entre la pression, la température et la masse
volumique :
f (p, T, ρ) = 0
(22)
(26)
avec H
dPT
= dP
T
(30)
enthalpie massique du fluide,
puissance thermique fournie, sur un élément de
longueur infiniment petite, à l’unité de masse du fluide
par le milieu extérieur, à travers la paroi de la conduite.
L’expression de dPT tient compte des conditions de transfert
thermique à l’extérieur de la conduite, à travers sa paroi et à
l’intérieur ; ces dernières au moins varient avec l’abscisse. Leur
introduction permet d’étudier sur ordinateur l’évolution de
l’écoulement le long de la conduite. La formulation de cette évolution
reste simple si l’on peut éviter de prendre en considération
l’expression de ces transferts thermiques, ce qui est autorisé dans
les deux cas suivants :
— les transferts sont négligeables ; l’écoulement est alors
adiabatique (dPT = 0) ;
— les transferts thermiques sont suffisamment intenses pour
que l’écoulement reste isotherme ; il est alors inutile de considérer
l’équation d’énergie (30), que l’on remplace par :
T = Cte
(31)
Pour un gaz parfait, il en découlerait :
H = Cte
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(32)
A 738 − 11
ÉCOULEMENT DES FLUIDES DANS LES TUYAUTERIES
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3.2 Écoulement à travers les organes
de détente
ou, pour un écoulement pratiquement isentropique :
v =
3.2.1 Équation générale
Dans les organes de détente (vannes, robinets, détendeurs), la
section offerte à l’écoulement décroît rapidement ; la courte
longueur de ces organes permet d’y négliger les transferts
thermiques et, en première approximation, les pertes de charge par
frottement. Les pertes de charge singulières (élargissement brusque
à la sortie) peuvent être localisées après la section minimale ; leur
évaluation, pour laquelle l’assimilation à un liquide perd sa légitimité, n’a pas à être prise en compte si l’on considère l’écoulement
en amont de cette section minimale.
Dans cette première partie de l’écoulement, le fluide s’écoule
comme dans la partie convergente d’une tuyère. En général, la
section minimale de l’écoulement n’est pas la section géométrique
minimale de l’organe ; elle se situe légèrement en aval et elle est
plus petite ; le rapport de ces sections est le coefficient de contraction
[6].
Bien que l’écoulement ne soit pas réversible, l’entropie
n’augmente que très peu dans la partie amont (avant la section
contractée), et un gaz parfait y suit alors assez bien l’évolution
traduite par :
(33)
p /ργ = Cte
En combinant les équations (24), (26), (29) et (33), et en
introduisant la célérité c du son dans les conditions physiques du
fluide en chaque point de l’écoulement :
c =
dp
--------- =
dρ
γrT =
γp
-------ρ
(34)
on établit (article Mécanique des fluides [A 1 870] du traité
Sciences fondamentales et [2]) l’équation de l’écoulement, qui peut
s’écrire avantageusement sous la forme :
v2
dS dv
---------- + --------- 1 – -------2v
S
c
=0
(35)
2γ p
p
-------------- ------i- 1 – ------γ – 1 ρi
pi
( γ – 1 )/ γ
On en déduit le débit massique du fluide :
p
q = Sρv = Sρ i ------pi
1/ γ
2γ p
p
-------------- ------i- 1 – ------pi
γ – 1 ρi
pm
--------- =
pi
2
------------γ+1
A 738 − 12
=
2r γ
-------------- ( T i – T )
γ–1
(38)
γ /(γ – 1)
(39)
et l’écoulement est alors sonique dans la section contractée (cas c du
§ 3.2.1).
Pour les gaz diatomiques, γ = 1,4 et l’on a : p m /pi = 0,528.
La figure 9 montre les variations du débit massique q en fonction
de la pression p ; on voit que le même débit, inférieur au maximum
q max , peut être obtenu pour deux valeurs de p, l’une supérieure et
l’autre inférieure à p m , auxquelles correspondent respectivement
des écoulements subsonique et supersonique dans la partie
convergente.
Si l’écoulement est subsonique en amont, il ne sert à rien
d’abaisser p en aval au-dessous de p m : la pression p c dans la section contractée reste égale à p m , et le débit est alors maximal.
Dans cette section, la température a alors pour valeur :
2
T c = T i -------------γ+1
(40)
et la vitesse vaut :
vc =
pc
γ -------- = c c
ρc
En désignant par l’indice i les caractéristiques du fluide dans une
zone amont de vitesse nulle (réelle ou fictive), on peut exprimer [2]
la vitesse locale v en fonction d’une caractéristique (p, ρ ou T ) du
fluide au même point ; on obtient :
( γ – 1 )/ γ
Pour une pression pi donnée à l’amont, le débit varie en fonction
de la pression p que l’on impose dans la section contractée ; il est
maximal pour p = p m défini par :
3.2.2 Vitesse et débit de l’organe
p
2γ
p
-------------- ------i- – ----γ – 1 ρi ρ
(37)
qui est la relation de Barré de Saint-Venant.
appelée relation d’Hugoniot.
On voit immédiatement sur cette relation comment évolue
l’écoulement en amont de la section contractée, où dS < 0 (dans le
sens de l’écoulement) :
a ) écoulement subsonique (v /c < 1) : dv est positif, la vitesse
augmente ;
b ) écoulement supersonique (v /c > 1) : dv est négatif, la vitesse
diminue ;
c ) écoulement sonique (v /c = 1) : n’est possible que pour dS = 0,
c’est-à-dire dans la section contractée ; l’écoulement subsonique
ou supersonique amont tend progressivement vers un écoulement
sonique, qu’il atteint dans cette section, qui réalise alors un
véritable contrôle du débit.
v =
(36)
Figure 9 – Débit en fonction de la pression
pour un organe de contrôle
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(41)
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3.3 Écoulement adiabatique
avec frottements dans les conduites
cylindriques longues
On peut fréquemment admettre que l’écoulement d’un gaz dans
une conduite longue rentre dans ce cas, soit que la conduite soit
calorifugée pour réduire au minimum les échanges thermiques, soit
que déjà ils soient suffisamment faibles pour pouvoir être négligés
dans la pratique.
Dans ce cas, l’équation de continuité, vu la constance de la
section, se ramène aux formes simples (27) ou (28) ; l’équation
dynamique, qui traduit les pertes de charge par frottement, est
toujours l’équation (29) ; et l’énergie du fluide ne varie pas,
c’est-à-dire que l’équation (30) se ramène à :
dv 2
------------ + dH = 0
2
(42)
En combinant ces diverses équations, on obtient une équation
différentielle relative à la vitesse v dans la conduite :
dv
v 2 dx
v dv – c 2 --------- + γΛ -------- --------- = 0
2 D
v
que l’on peut écrire :
v 2 dx
dv
--------- ( v 2 – c 2 ) + γΛ -------- --------- = 0
2 D
v
(43)
où Λ est le coefficient de perte de charge (§ 2.2.2).
Le second terme de cette équation (43) est toujours positif ; on
peut donc conclure immédiatement :
— écoulement subsonique (v < c ) : dv est positif, la vitesse
augmente le long de la conduite dans le sens de l’écoulement ;
— écoulement supersonique (v > c ) : dv est négatif, la vitesse
diminue alors le long de la conduite ;
— écoulement sonique (v = c ) : n’est possible que pour dx = 0,
c’est-à-dire en fait à l’extrémité aval de la conduite, qui se comporte
comme la section contractée d’une tuyère, et bloque l’écoulement.
On voit que le comportement de l’écoulement présente une
analogie avec celui qui a son siège dans une tuyère convergente :
un écoulement supersonique ou subsonique tend à se rapprocher
d’un écoulement sonique ; il peut éventuellement atteindre cet état
dans la section de sortie de la tuyauterie.
Si l’on intègre l’équation (43), en introduisant la célérité critique c c
(vitesse de blocage) définie par l’équation (41), dans laquelle p c est
égale à la pression p m calculée par (39), et en appelant v 0 la vitesse
à l’abscisse x = x 0 (entrée de la conduite), on obtient :
v0
ln ------v
2
2
1
1
+ c c -------– -------22
v0 v
Λ
- ------ ( x – x )
= ------------γ+1 D
2γ
0
(44)
Une représentation graphique de cette équation montre :
— que la courbe v (x ) présente deux branches, correspondant respectivement aux écoulements supersonique (v /c c > 1) et subsonique
(v /c c < 1) ;
— que l’abscisse x ne peut dépasser une valeur x max , pour
laquelle l’écoulement devient sonique ; physiquement cela signifie
qu’une conduite plus longue ne peut être alimentée à la vitesse v 0
avec un gaz dont les caractéristiques se traduisent par une célérité
critique c c : le débit d’un tel fluide est alors limité par la conduite
elle-même et, comme au paragraphe 3.2, il ne sert à rien d’abaisser
la pression à l’aval au-dessous de p c .
La figure 10 représente cette courbe en coordonnées réduites
adimensionnelles v /c c et ξ, en remarquant que l’équation (44) peut
s’écrire :
f (v /c c ) – f (v 0 /c c ) = ξ – ξ0
(valable quel que soit γ),
avec
f v/c c = ln v 2 /c c + c c /v 2
2
2
ξ = x /x *
γ+1 D
x * = -------------- -----2γ Λ
D / Λ a une signification physique simple : c’est la longueur de
tuyauterie dans laquelle, pour un fluide à masse volumique
constante (donc à vitesse constante en régime permanent), les pertes
de charge atteindraient la valeur de l’énergie cinétique ρv 2 / 2. Le
facteur (γ + 1) / 2γ est légèrement inférieur à 1 (0,857 pour les gaz
diatomiques).
À chaque valeur de v /c correspond une valeur de ξ. L’origine
des ξ, sur la figure 10, a été choisie au point d’abscisse maximale
x max . Les valeurs de ξ sont donc toutes négatives.
La branche inférieure (écoulements subsoniques) a été tracée à
trois échelles d’abscisses, pour permettre de traiter aussi bien les
faibles valeurs de ξ que les valeurs élevées, jusqu’à ξ = – 200
(longueurs atteignant 10 000 diamètres environ).
Les écoulements supersoniques (branche supérieure) ne sont
pratiquement possibles que dans les conduites relativement
courtes, à cause des pertes de charge élevées dues aux grandes
vitesses : ξ atteint à peine la valeur de – 1,6 (soit en pratique une
longueur de 50 à 100 diamètres) pour v /c c = 3,6.
Dans les deux cas, comme prévu, le rapport v /c c se rapproche
de l’unité dans le sens de l’écoulement.
Deux exemples sont traités sur la figure 10.
3.4 Écoulement isotherme
avec frottements dans les conduites
cylindriques longues
Lorsque les transferts thermiques entre le fluide et l’extérieur sont
suffisamment intenses pour que sa température reste à peu près
constante, on peut considérer l’écoulement comme isotherme. Il
n’est pas nécessaire alors d’évaluer ces échanges de chaleur. Les
équations (27), (28) et (29) exprimant la continuité et la dynamique
de l’écoulement restent valables ; on ne prendra plus en
considération l’équation (42) exprimant la constance de l’énergie
totale du gaz, mais l’équation (31), et, dans le cas des gaz parfaits,
l’équation (32) qui exprime la constance de son enthalpie (et de son
énergie interne).
En combinant ces équations, on obtient [2] [4] l’équation différentielle de la vitesse dans la conduite :
p 0 dv
Λ dx dv
- -------------- --------- + --------- = ------ρ0 v 3
2 D
v
que l’on peut mettre sous la forme :
2
c0
dv
Λ
dx
--------- v 2 – ------- + ------ v 2 --------- = 0
v
2
D
γ
(45)
avec c 0 célérité du son, donnée par la relation (34), à la température T 0 de l’écoulement,
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A 738 − 13
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c 0 / γ serait la valeur de la célérité si, dans la propagation du son,
l’évolution des perturbations était isotherme (au lieu d’être
adiabatique comme dans la réalité) ; bien que fictive, cette célérité
justifie que, par raison de simplification, nous appelions encore
supersonique et subsonique les écoulements où v est supérieure ou
inférieure à c 0 / γ .
Avec cette convention, l’équation (45) permet d’obtenir les
mêmes conclusions qu’au paragraphe 3.3 :
— écoulement subsonique (v < c 0 / γ ) : dv est positif, la vitesse
augmente le long de la conduite dans le sens de l’écoulement ;
— écoulement supersonique (v > c 0 / γ ) : dv est négatif, la
vitesse diminue le long de la conduite ;
— écoulement pseudo-sonique (v = c 0 / γ ) : n’est possible qu’à
l’extrémité aval de la conduite.
Qualitativement, le comportement de l’écoulement est le même
que pour un écoulement adiabatique ; la célérité critique c c est
seulement remplacée par la célérité fictive c 0 / γ .
Notons de plus que le sens du transfert thermique dépend de la
valeur de l’écoulement : un écoulement subsonique, qui s’accélère
et diminue sa pression sans voir baisser sa température, reçoit de
la chaleur (donc de l’énergie) de l’extérieur ; au contraire, un
écoulement supersonique cède de la chaleur au milieu extérieur.
Si l’on intègre l’équation (45) en appelant Ma = v /c 0 le nombre
de Mach, on obtient :
p0 1
v0
1
------- -------- – -------- + ln ------ρ0 v 2 v 2
v
0
2
Λ
= ------ ( x – x 0 )
D
(46)
soit :
2
Ma 0 1
1
1
ln -------------2- + ----- -------------2- – -------------2γ Ma
Ma
Ma
0
Λ
= -----D- ( x – x )
0
(47)
Comme pour l’écoulement adiabatique (§ 3.3), on peut écrire :
g (Ma ) – g (Ma 0) = ξ – ξ 0
avec
g (Ma ) = ln (Ma )2 + 1/γ Ma 2
ξ = x /x **
x ** = D /Λ
On remarque cependant qu’ici la fonction g n’est pas unique :
elle dépend de la valeur de γ pour le gaz considéré.
La figure 11 représente les variations de v en fonction de x (sous
la forme des coordonnées réduites adimensionnelles Ma et ξ) pour
les gaz diatomiques (γ = 1,40). Les équations (47) et suivantes
permettent aisément d’effectuer les calculs pour d’autres valeurs
de γ.
Les variations de la figure 11 ont la même allure et les mêmes
propriétés que sur la figure 10. Dans le sens de l’écoulement, la
valeur de Ma se rapproche de la valeur limite 1/ γ .
Au voisinage de v = c 0 / γ (= 0,845c 0 pour γ = 1,40), les
échanges thermiques, qui devraient assurer le caractère isotherme
de l’écoulement, deviendraient si élevés qu’ils sont pratiquement
irréalisables (la partie correspondante de la courbe est tracée en
tireté) ; l’écoulement se rapproche alors généralement de
l’adiabatique (figure 10).
Deux exemples sont traités sur la figure 11.
Figure 10 – Évolution des vitesses dans une conduite cylindrique :
écoulement adiabatique avec frottements
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Remarques
■ Les écoulements réels se situent tous entre ces deux cas
limites (isotherme et adiabatique), ce qui permet d’évaluer
largement une borne aux erreurs que l’on peut commettre en les
assimilant, par simplification, aux cas ci-dessus dont le calcul est
très abordable.
■ Lorsqu’une conduite longue présente des singularités, on peut
efficacement, dans les traitements qui précèdent (§ 3.3 et 3.4), les
assimiler à une longueur de conduite supplémentaire équivalente.
4. Écoulements diphasiques
dans les conduites longues
4.1 Notion d’écoulement diphasique
Dans de nombreux processus industriels, l’écoulement dans une
conduite n’est pas celui d’un fluide homogène, compressible ou non,
mais d’un mélange de deux fluides (dont au moins un liquide) ou
d’un fluide et de particules solides. On dit alors qu’il s’agit d’un
écoulement diphasique. On peut en trouver de multiples exemples
dans l’industrie pétrolière, le transport hydraulique des déblais ou
des combustibles, le transport pneumatique de nombreux matériaux
pulvérulents, l’écoulement de vapeur et d’eau dans les générateurs
de vapeur, les pompes à émulsion, etc.
4.2 Difficultés de l’étude
des écoulements diphasiques
Nous avons vu (§ 3) que l’étude d’un écoulement de fluide
compressible était bien plus complexe que celle d’un fluide
incompressible, nous conduisant à ne traiter que trois applications
simplifiées, suffisamment voisines de cas réels. Dans le cas des
écoulements diphasiques, la plupart des équations considérées au
paragraphe 3.1 doivent être dédoublées, pour s’appliquer à chacune
des phases ; il est en outre nécessaire de traiter des échanges entre
les deux phases.
La complexité du problème vu dans son ensemble est telle qu’il
n’est pas possible, dans un espace nécessairement très limité, d’en
traiter même sommairement. Aussi nous contenterons-nous, dans
ce qui suit, de mentionner les principaux problèmes inhérents à
l’étude des écoulements diphasiques, et de signaler les études où
le lecteur pourra en trouver la solution.
Le plus souvent, c’est alors sur l’expérience que repose le
dimensionnement pratique des tuyauteries.
4.3 Configurations des écoulements
diphasiques
Figure 11 – Évolution des vitesses dans une conduite cylindrique :
écoulement isotherme avec frottements
On rencontre essentiellement dans les écoulements diphasiques
les combinaisons suivantes :
— liquide/liquide (non ou peu miscibles) ;
— liquide/gaz (ou liquide avec sa vapeur) ;
— liquide/solide divisé ;
— gaz/solide divisé.
Dans tous ces cas, plusieurs configurations, conduisant chacune
à un traitement différent de l’écoulement, sont possibles. Pour les
combinaisons de deux fluides, le problème est beaucoup plus
complexe : il fait en effet intervenir théoriquement huit paramètres
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adimensionnels indépendants, pouvant se réduire dans les cas les
plus simples à quatre ou cinq ; aussi les domaines d’existence des
diverses configurations ne sont-ils pas connus dans tous les cas possibles. Ces configurations ont fait l’objet d’une classification topologique [10] où on les trouvera représentées, en conduites
respectivement proches de l’horizontale et de la verticale. On trouvera une approche des domaines de validité de quelques
configurations dans [11] et de leurs frontières mutuelles dans l’article
Écoulements diphasiques gaz-liquide [A 722] du traité Sciences
fondamentales.
4.4 Équations des écoulements
diphasiques
Nous avons vu (§ 4.2) que le traitement des équations des
écoulements diphasiques était, en général, extrêmement complexe.
Leur établissement pose lui aussi de sérieux problèmes, car il diffère
suivant les types d’écoulements diphasiques et suivant les
configurations.
On trouvera les lois générales des écoulements diphasiques dans
l’article Écoulements diphasiques. Lois générales [A 720] du traité
Sciences fondamentales, les bases de la mécanique des suspensions
dans [12] et la théorie de l’écoulement des manutentions pneumatiques dans l’article Manutention pneumatique de produits en vrac
[AG 7 510] de la rubrique Manutention continue du traité l’Entreprise
industrielle. Pour les écoulements gaz-liquide et liquide-vapeur, un
traitement approfondi de la théorie se trouve dans [13] [14], et leurs
applications les plus courantes dans l’article Écoulements diphasiques gaz-liquide [A 722] du traité Sciences fondamentales.
4.7 Pertes de charge singulières
De même, les données du paragraphe 2.2.5 et du tableau 7, ainsi
que celles de [6], établies pour des liquides, ne sont pas valables
pour les mélanges de fluides ou de fluide et solide constituant des
écoulements diphasiques. On trouvera des résultats relatifs à
certaines pertes de charge singulières (étranglements, coudes,
changements de section) dans [21].
4.8 Écoulements critiques
Les écoulements critiques, qui limitent le débit des fluides
compressibles dans les organes de manœuvre ou de détente et dans
les conduites (§ 3.2, 3.3 et 3.4), sont beaucoup plus complexes à
étudier pour les fluides diphasiques ayant un composant gazeux, car
les célérités du son peuvent y être beaucoup plus faibles. On trouvera
une excellente étude de ce problème dans [22].
5. Écoulement
non permanent des liquides
dans les conduites longues
5.1 Phénomène du coup de bélier
5.1.1 Principe du coup de bélier
4.5 Mesures dans les écoulements
diphasiques
Des problèmes aussi complexes que ceux posés par les
écoulements diphasiques nécessitent, à défaut de traitement
théorique rigoureux, et en confirmation de calculs approchés, de
nombreuses études et vérifications expérimentales. Mais les
mesures dans de tels milieux inhomogènes présentent elles-mêmes
des difficultés importantes, sinon parfois insurmontables.
On trouvera une excellente étude systématique des grandeurs à
mesurer et des instruments et méthodes de mesure disponibles dans
[15]. La mesure des vitesses de particules solides a été spécialement
étudiée dans [16]. Des résultats de mesures de vitesses critiques de
transport de matériaux solides figurent dans [17] [18].
4.6 Pertes de charge par frottement
Les données qui figurent aux paragraphes 2.2.2 et 3.1 pour les
pertes de charge en conduite dues à l’écoulement des fluides homogènes, incompressibles ou compressibles, ne sont pas valables pour
les écoulements diphasiques. Pour les cas particuliers du transport
hydraulique et de la manutention pneumatique, on trouvera des
résultats dans l’article Manutention pneumatique de produits en vrac
[AG 7 510] de la rubrique Manutention continue du traité l’Entreprise
industrielle.
Beaucoup plus complexe pour les écoulements liquide-gaz et
liquide-vapeur, l’étude expérimentale des pertes de charge donne
encore lieu à de nombreux travaux. La meilleure synthèse ancienne
de ces résultats (pour des écoulements liquide-gaz isothermes) est
dans [19], et une excellente synthèse récente dans [20].
A 738 − 16
Lorsqu’un liquide se déplace dans une conduite longue, avec une
vitesse du même ordre de grandeur que sa vitesse économique
(§ 6.2), c’est-à-dire de un à quelques mètres par seconde, son énergie
cinétique est importante et ne peut disparaître instantanément, en
cas de fermeture brusque volontaire ou inopinée, sans se manifester
par des effets souvent néfastes. Ainsi l’énergie cinétique d’un liquide
circulant dans une conduite industrielle représente-t-elle la
puissance dépensée en pertes de charge par le liquide dans cette
même conduite pendant un temps généralement compris entre
quelques secondes et plus d’une minute.
L’interruption très rapide de l’écoulement nécessite des forces de
pression importantes, en regard desquelles la compressibilité du
liquide, même faible, n’est plus négligeable, et intervient directement
dans le phénomène, ainsi d’ailleurs que l’élasticité du tuyau. En
revanche, les pertes d’énergie par frottement dans le tuyau pendant
une évolution très brève sont en première approximation
négligeables ; cette simplification permet d’écrire de façon très
condensée l’équation qui régit les variations, dans l’espace (le long
de l’abscisse x de la conduite) et dans le temps, d’un paramètre
quelconque A décrivant l’état du fluide :
∂ 2A
∂ 2A
------------ = a 2 -----------∂x 2
∂t 2
(48)
Dans cette équation, due à Allievi, A peut représenter à volonté
la pression génératrice p g , la hauteur piézométrique h, la vitesse
v, etc. ; a représente une vitesse de propagation, qui sera précisée
au paragraphe 5.1.2.
Les solutions de l’équation (48) ont la forme très générale
suivante :
(49)
A = A 0 + f 1 (x – at ) + f 2 (x + at )
La signification physique de ces solutions est expliquée par
L. Bergeron dans [23] : tout paramètre descriptif de l’écoulement
(vitesse, pression, etc.) voit se superposer, à son état initial, deux
nouvelles évolutions, représentées par les fonctions f 1 et f 2 , qui
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chacune demeurent inchangées (en négligeant les pertes par
frottements) dans une translation vers l’amont et vers l’aval de la
conduite, à la vitesse ± a. Ce sont donc de véritables ondes (de
pression, de vitesse, etc.) ou ondes de changement de régime, dont
la vitesse de propagation a est appelée célérité.
5.1.2 Célérité des ondes
L’expression de la célérité a des ondes, qui apparaît au cours de
l’élaboration des équations (48) d’Allievi [23], s’écrit :
a =
ε
----ρ
ε D
1 + ----- -----E e
(50)
En l’absence de tuyau, en milieu infini, la célérité a pour valeur :
a∞ =
ε/ρ
(51)
Les problèmes de propagation de ces ondes sont susceptibles
d’être traités par la méthode des caractéristiques, simplifiée par le
fait que les caractéristiques sont ici linéaires (article Mécanique des
fluides [A 1 870] du traité Sciences fondamentales) ; cette simplification a permis, séparément à Schnyder et à L. Bergeron, d’élaborer
une méthode graphique de résolution très pratique [23]. On utilise
maintenant de plus en plus des programmes de résolution sur ordinateurs.
Nous n’exposerons pas ici ces diverses méthodes, renvoyant le
lecteur intéressé et à des publications spécialisées sur le sujet [23],
lui permettant de traiter un problème particulier. En revanche nous
donnons dans le paragraphe qui suit des éléments permettant
d’évaluer l’importance du coup de bélier dans quelques cas simples.
5.1.4 Effets du coup de bélier
ε ≈ 2 × 109 Pa = 2 × 104 bar
On conçoit intuitivement que les perturbations occasionnées par
une manœuvre ou un incident sur une tuyauterie aient des résultats
différents, suivant que l’onde qui les transmet a ou non le temps
de revenir au point où elle se produit avant qu’elle ne soit elle-même
terminée. Il est donc logique de considérer de ce point de vue deux
sortes de perturbations :
— les perturbations rapides, dont la durée d’évolution τ est
inférieure au temps d’aller et retour des ondes le long de la
conduite de longueur L :
2L
τ --------(53)
a
c’est-à-dire 100 fois moins qu’un acier ordinaire ; dans ces
conditions, la célérité des ondes de pression et de débit (qui est aussi
celle des ondes acoustiques) est, en milieu infini, voisine
de 1 400 m/s.
— les perturbations lentes, dont la durée d’évolution τ est
supérieure à ce temps :
2L
(54)
τ > --------a
C’est aussi la valeur vers laquelle elle tend, par valeurs inférieures,
pour des tuyaux très épais et très rigides (e et E élevés).
Le coefficient ε de compressibilité du fluide, qui a les dimensions
d’une pression, est défini par :
ε dρ /ρ = dp
(52)
Pour l’eau, dans les conditions usuelles de température et de
pression, il a pour valeur :
ε D
1 + ----- ------ de l’équation (50) combine
E e
l’élasticité de la conduite avec celle du liquide ; connaissant les
propriétés du matériau (E ) et les dimensions (diamètre D et
épaisseur e) du tuyau, il est facile d’y calculer la célérité.
Dans la pratique, pour les tuyaux en matériaux peu élastiques
(métal, béton, grès, etc.) la célérité des ondes est comprise entre 700
et 1 300 m/s ; elle est d’autant plus forte que la pression de service
est plus élevée, car l’épaisseur relative e /D est alors plus importante.
Au contraire, pour les tuyaux constitués d’un matériau peu rigide
(caoutchouc, divers plastiques) les valeurs de la célérité sont
beaucoup plus faibles, et se situent le plus souvent entre quelques
mètres et quelques dizaines de mètres par seconde.
Le terme réducteur 1
Dans ce qui suit, nous considérerons uniquement des conduites
cylindriques longues, exemptes de singularités susceptibles de
réfléchir les ondes ; nous ne prendrons en compte que des
manœuvres de fermeture (fermeture d’une vanne, arrêt d’une
pompe par exemple) se produisant à l’extrémité de la conduite ; nous
négligerons l’amortissement des ondes dû aux pertes de charge.
5.1.4.1 Fermeture rapide ( 2L/a )
On démontre que la surpression ∆p due à une fermeture rapide
ne dépend pas de la longueur de la tuyauterie.
Si la fermeture est totale, en appelant v 0 la vitesse initiale
moyenne du liquide, la surpression a pour valeur :
∆p = ρav 0
5.1.3 Propagation des ondes
Les valeurs qui précèdent montrent que, pour les tuyaux rigides,
l’ordre de grandeur de la célérité est le kilomètre par seconde ; ainsi,
à l’intérieur d’une même usine, les changements de régime
d’écoulement dus à une manœuvre ou à un incident se propagent-ils
d’une extrémité à l’autre de l’installation en une fraction de seconde ;
pour des conduites d’adduction de 10 et de 100 km, ces temps de
propagation atteignent respectivement une dizaine de secondes et
près de deux minutes.
Les ondes de changement de régime se réfléchissent sur toutes
les singularités de la tuyauterie (extrémités, changements de
section, etc.) ; dans les configurations simples, on considérera
seulement les réflexions sur les extrémités, qui se produisent :
— sans changement de signe de l’onde si le tuyau est fermé à
l’extrémité correspondante ;
— avec changement de signe de l’onde s’il est ouvert (par
exemple, débouché sur un large réservoir).
(55)
Exprimée en hauteur de liquide, elle vaut :
∆h = av 0 /g
(56)
Si la fermeture est partielle, faisant passer la vitesse de v 1 à v 2
(toujours dans un temps τ 2L/a ), la surpression a pour valeur :
ou
∆p = ρa (v 1 – v 2)
(57)
∆h = a (v 1 – v 2)/g
(58)
5.1.4.2 Fermeture lente ( > 2L/a)
En admettant que la variation de débit est linéaire en fonction du
temps pendant toute la durée de la fermeture (totale ou partielle),
Michaud a démontré que la valeur de la surpression ne dépend pas
de la célérité a des ondes.
On a alors, pour une fermeture totale :
ou
∆p = 2ρLv 0 /τ
(59)
∆h = 2Lv 0 /g τ
(60)
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Pour une fermeture partielle :
ou
∆p = 2ρL (v 1 – v 2)/τ
(61)
∆h = 2L (v 1 – v 2)/g τ
(62)
Dans la pratique, et sauf dispositions spéciales, les fermetures
dues à des manœuvres de vannes ou à des arrêts de pompes ne
réalisent pas la variation linéaire du débit ; par suite, la surpression
qui se produit passe momentanément par des valeurs plus
importantes que celles que donnent les formules (59), (60), (61) et
(62), dans des proportions qui dépendent du défaut de linéarité et
que seule une étude détaillée (§ 5.1.3) permet de déterminer.
5.1.4.3 Exemples
Les exemples qui suivent ont pour but de donner des ordres de
grandeur pratiques.
■ Sur une conduite d’eau de 1 000 m de longueur où la célérité a
vaut 1 000 m/s (§ 5.1.2), une fermeture est rapide si elle dure moins
de 2 s. Dans ce cas la surpression ne dépend pas de la loi de
fermeture ; pour une vitesse initiale en conduite de 1 m / s, elle
atteint 100 m d’eau.
Si l’on réalisait dans la même conduite une fermeture assurant
une variation linéaire du débit en 5 s, la formule (60) de Michaud
donnerait une variation de pression de 40 m d’eau, par rapport à
la pression en fonctionnement. Cette variation est une surpression
si la vanne de fermeture est à l’extrémité aval du tuyau, une dépression dans le cas contraire (fermeture d’une vanne ou arrêt d’une
pompe en amont) ; elle peut alors provoquer de la cavitation, qui
complique l’étude du phénomène et peut le rendre plus dangereux.
■ Si l’on veut éviter une surpression dépassant 20 m d’eau dans
une conduite de 60 km de longueur où la vitesse moyenne de l’eau
est de 1 m/s, le temps de fermeture linéaire ne doit pas être inférieur
à 10 min. Or on notera que le temps normal d’arrêt d’une pompe qui
cesse accidentellement d’être alimentée en énergie est de l’ordre
d’une fraction de seconde à quelques secondes, d’où la nécessité de
prévoir des protections contre les coups de bélier.
5.2 Protection contre les coups de bélier
Les coups de bélier, provoqués par des variations rapides du débit,
peuvent être dus à des manœuvres de vannes, normales ou
incorrectes, à l’arrêt prévu ou intempestif de pompes d’alimentation,
et plus rarement à des accidents survenant à la conduite (rupture
ou obstruction par un corps étranger). Pour protéger les tuyaux, il
convient d’empêcher, au moyen de dispositions ou de dispositifs
spéciaux appelés antibéliers, que la pression ne dépasse celle qui
peut être supportée sans inconvénient ; les antibéliers seront choisis
et placés en fonction des risques contre lesquels on désire protéger
les tuyaux. Il existe des antibéliers spécifiques, qui permettent de
combattre un seul de ces risques, et d’autres qui ont un caractère
universel, sous réserve de leur emplacement correct.
5.2.1 Antibéliers spécifiques
Certains dispositifs antibéliers combattent efficacement une cause
déterminée ; on peut d’ailleurs dire que, plutôt que de supprimer les
effets du coup de bélier, ils empêchent celui-ci de se produire ; en
revanche, ils sont inefficaces contre les autres causes.
5.2.1.1 Vanne à fermeture lente
Pour combattre les coups de bélier dus à la fermeture de la vanne
d’alimentation, il convient de limiter la vitesse de fermeture de
celle-ci. Nous avons donné au paragraphe 5.1.4.2 l’estimation du
temps minimal de fermeture nécessaire lorsque la loi de variation
du débit est linéaire, ce qui dans la pratique n’est guère réalisable.
On trouvera dans l’article Robinetterie industrielle [BM 6 900] du
présent traité, ainsi que dans [6], des données sur la section de passage en fonction du degré d’ouverture (position linéaire ou angulaire
A 738 − 18
de la commande) pour différents types de vannes (papillon, vanne
à guillotine, etc.) ; on prendra garde que la loi de section ne suffit
pas à déterminer la loi de débit, mais qu’il convient de lui associer
un coefficient de débit [6], ainsi que les variations de pression de
part et d’autre de la vanne, résultant elles-mêmes de la manœuvre
transitoire.
On peut, au moyen d’un système de leviers ou de cames de
commande, rapprocher la loi de fermeture d’une loi linéaire, ou bien
ne pas modifier la loi de fonctionnement de la vanne ; dans les deux
cas, la vitesse de fermeture du débit ne doit à aucun moment excéder
celle d’une fermeture complètement linéaire (évaluée § 5.1.4.2).
Cette solution, qui ne protège pas contre l’arrêt intempestif
(toujours possible) d’une pompe, est particulièrement recommandée
dans le cas des adductions purement gravitaires.
5.2.1.2 Volant d’inertie
Une pompe faisant circuler un liquide dans un conduit est toujours
susceptible de s’arrêter (manœuvre volontaire, panne du moteur,
défaut d’alimentation en énergie, fonctionnement normal ou inopiné
d’une sécurité, etc.). Lors d’un arrêt volontaire, il est possible de
prendre des dispositions pour que la variation du débit soit suffisamment lente, afin d’éviter la formation d’ondes de pression
préjudiciables au circuit. Dans les autres cas, et sans précautions
spéciales, on peut craindre la création d’un coup de bélier intense.
Une solution pour l’éviter est d’associer à la pompe un volant
d’inertie : celui-ci emmagasine, pendant le démarrage de la machine,
de l’énergie cinétique, ce qui permet à la pompe de continuer à
tourner, à vitesse décroissante, pendant quelques secondes à
quelques dizaines de secondes après l’interruption de son alimentation en énergie.
On trouvera dans [7] des considérations sur l’énergie nécessaire,
et dans [23] une méthode d’évaluation du coup de bélier résiduel.
Il est conseillé à l’utilisateur de confier la responsabilité de cette
évaluation au constructeur et/ou à l’installateur spécialisé.
Dans les installations d’adduction d’eau, cette solution n’est guère
appliquée qu’aux pompes de faible puissance pour lesquelles un
volant de dimensions modérées peut convenir.
5.2.2 Antibéliers non spécifiques
S’il peut être avantageux d’empêcher le coup de bélier de se
produire, en revanche on ne lutte ainsi, comme nous venons de le
voir, que contre une seule cause possible. Les dispositifs que nous
allons voir maintenant servent à amortir les ondes de pression,
indépendamment de leur origine. Bien entendu, ils laissent ces
ondes se propager entre leur point de formation et l’endroit où ils
sont installés.
5.2.2.1 Soupape de décharge
Une soupape de décharge est un appareil de robinetterie qui
s’ouvre dès que la pression dans la conduite dépasse une valeur
réglée à l’avance, grâce le plus souvent à un ressort taré ; elle laisse
alors passer un certain débit, ce qui superpose à l’onde de pression
positive une onde négative.
Ce dispositif ne combat donc que les surpressions et non les
dépressions ; il nécessite une maintenance pour assurer son bon état
de fonctionnement. Son prix peu élevé et la possibilité de le placer
en divers points d’une conduite longue le rendent utilisable lorsque
le point de formation du coup de bélier est incertain et que seules
des surpressions sont initialement à craindre.
5.2.2.2 Cheminée d’équilibre
Pour combattre hydrauliquement aussi bien les ondes négatives
que positives, il faut pouvoir non seulement évacuer (temporairement ou non) une certaine quantité d’eau, mais aussi en fournir à
la conduite que l’on doit protéger. Il faut donc disposer d’un réservoir
partiellement plein pendant le fonctionnement, dans lequel les
variations de pression sont associées à des variations de volume.
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Lorsque la surface libre de ce réservoir est à la pression atmosphérique, c’est une cheminée d’équilibre ; dans le cas contraire, il
s’agit d’un réservoir sous pression d’air, appelé communément
réservoir antibélier (§ 5.2.2.3).
Le schéma d’une cheminée d’équilibre est représenté par la
figure 12a. Lorsque la pression a tendance à baisser, par exemple,
au pied de la cheminée, celle-ci fournit du liquide et permet d’ajuster
la pression en fonction du niveau dans la cheminée ; l’inverse se
produit dans le cas contraire. La pression ainsi imposée varie donc
en général au cours du temps. Pour atteindre le plus vite possible
la pression maximale ou minimale admise, on réalise parfois des
cheminées d’équilibre à expansions (figure 12b ), où les volumes de
liquide à fournir ou à recevoir sont constitués par des épanouissements de la cheminée situés presque entièrement au voisinage des
niveaux correspondants.
L’ordre de grandeur du volume V de la cheminée d’équilibre,
comparé au volume SL de la conduite à protéger, est :
V
--------SL
2
v / 2g
0
≈ -------------------∆h
où ∆h est la surpression admise.
Il est sensiblement réduit de moitié pour une cheminée à
épanouissements.
La présence de la capacité qui constitue une cheminée d’équilibre
(ou un réservoir antibélier) confère au circuit hydraulique les
propriétés d’un circuit oscillant (article Mécanique des fluides
[A 1 870] du traité Sciences fondamentales), c’est-à-dire que des
oscillations de pression et de débit, d’une période allant de quelques
secondes à quelques minutes, peuvent y être entretenues ; on les
amortit le plus souvent en reliant la cheminée à la conduite par un
étranglement (figure 12) produisant une perte de charge qui
augmente légèrement la surpression.
Le niveau dans la cheminée d’équilibre pendant le fonctionnement
normal de l’installation est imposé par la ligne piézométrique ; il faut
donc que l’installation en soit permise à ce niveau, et suffisamment
près des organes perturbateurs (vannes, machines hydrauliques).
Ces conditions sont souvent remplies pour les grosses installations
de pompage (débits compris entre quelques centaines de litres et
quelques dizaines de mètres cubes par seconde) et pour les
équipements hydroélectriques, où l’on met à profit le relief du sol.
Figure 13 – Réservoir antibélier
5.2.2.3 Réservoir antibélier
Pour les installations de pompage de débit plus modéré (quelques
litres à quelques mètres cubes par seconde), où le relief permet rarement l’aménagement d’une cheminée d’équilibre, la protection est
le plus souvent assurée par un réservoir antibélier, qui a l’avantage
de pouvoir être installé à proximité des pompes et des vannes susceptibles d’engendrer des coups de bélier (figure 13).
Le principe de fonctionnement de ce type d’appareil est identique à celui de la cheminée d’équilibre (§ 5.2.2.2) ; il est nécessaire
de s’assurer que le volume d’air est toujours suffisant (par exemple
au moyen de bougies électriques placées dans le réservoir) et de
le renouveler périodiquement, car l’eau sous pression dissout
lentement l’air.
L’estimation du volume V 0 au repos du matelas d’air nécessaire
a été donnée par M. Vibert [24], dans l’hypothèse d’une évolution
isotherme de l’air, par la formule :
2
v0
V 0 = SL ρ -----------2p 0
p
f ------------p min
(63)
0
avec p 0 et p min pressions absolues normale et minimale dans la
conduite au niveau du réservoir :
p min
f -------------p0
- – 1 – ln ------------- = ------------p
p
p0
p0
min
min
(64)
que l’on peut simplifier si p min /p 0 est suffisamment voisin de
l’unité [7] :
ε
≈ -----2
f
2
1 – -------3 - 2ε
(65)
p0
en posant ε = -------------–1.
p min
L’abaque à points alignés représenté par la figure 14 permet de
déterminer directement le volume V 0 , en reliant les échelles de
gauche ρv 0 /p 0 et de droite (p min /p 0) par un trait rectiligne, ce
qui donne le rapport V 0 / LS sur l’échelle du milieu. Cet abaque
associe à la pression minimale la pression maximale
correspondante, réalisée par la même installation.
Pour amortir les oscillations spontanées du système, on a
souvent intérêt à disposer une perte de charge dissymétrique
(figure 15), en utilisant soit un ajutage de Borda (figure 15a ), soit
un clapet dont le battant a été percé à un diamètre calculé par le
projeteur (figure 15b ). Ces dispositifs consomment l’énergie excédentaire du système oscillant au bout de plusieurs oscillations.
2
Figure 12 – Cheminées d’équilibre
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A 738 − 19
ÉCOULEMENT DES FLUIDES DANS LES TUYAUTERIES
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Figure 15 – Dispositifs d’amortissement des oscillations
6. Dimensionnement
des conduites
6.1 Notion d’optimum économique
Le choix du diamètre d’une conduite doit être adapté aux
conditions de l’écoulement destiné à la parcourir.
Figure 14 – Abaque de Vibert pour la détermination du volume
des réservoirs antibéliers
Dans certains cas, des limites, supérieure et/ou inférieure, à la
vitesse du fluide sont imposées par des conditions physiques. C’est
en général le cas si l’écoulement est diphasique : ainsi un liquide
chargé de sable [24] ne doit pas couler trop lentement (vitesse minimale de l’ordre de 0,30 à 0,60 m/s) pour éviter les dépôts ; un écoulement trop rapide, à l’opposé, risque de provoquer une usure rapide
de la conduite (vitesse maximale de l’ordre de 4 à 5 m/s) ; de même
les écoulements liquide/gaz doivent-ils respecter certaines vitesses
si l’on désire conserver une configuration d’écoulement imposée
(§ 4.3).
Dans tous les autres cas, le choix de la vitesse moyenne
d’écoulement, et par suite du diamètre de la conduite, résulte d’un
optimum économique. Choisir un diamètre plus grand se traduit par
une dépense initiale (investissement) plus élevée, et par une perte
de charge plus faible, donc par des dépenses d’énergie (fonctionnement) moins élevées, et vice versa.
6.1.1 Notion de taux d’actualisation
Le choix de la valeur admissible de la surpression est orienté,
partiellement, par des considérations économiques : une protection très rudimentaire conduit à adopter des conduites résistant à
une surpression élevée ; au contraire, une très faible surpression
nécessite un réservoir vaste et de coût élevé. Le choix tiendra
compte des pressions normalisées de service des tuyauteries ; il
sera effectué par l’installateur responsable de l’étude de protection
contre les coups de bélier.
Pour déterminer un optimum entre les dépenses d’investissement,
supportées une seule fois avant la mise en service de la conduite,
et celles de fonctionnement, qui sont répétitives, on utilise la notion
économique de taux d’actualisation a : c’est le supplément de
dépense que l’on accepte pour reporter d’un an une dépense de
1 franc. Ainsi, une dépense de x francs (en francs constants) répétée
tous les ans pendant N années est équivalente à une dépense initiale
de :
i=n
x
∑
i=1
1 – ( 1 + a ) –n
- = x ----------------------------------------------------a
(1 + a) 1
i
ou dépense de fonctionnement actualisée à l’origine.
A 738 − 20
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(66)
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Le taux d’actualisation conseillé par le gouvernement est de 0,09
(9 %) en 1983 ; pour les équipements dont la durée normale de vie
dépasse plusieurs dizaines d’années, le calcul est souvent fait en
prenant n = 30 ans (on peut vérifier que le résultat serait peu changé
en prenant n = 40 ou 50 ans).
6.3 Diamètre économique
6.1.2 Évolution des différents coûts
remplaçant
Les calculs de pertes de charge (§ 2.2) montrent que, en régime
turbulent rugueux (cas le plus fréquent), le coefficient de perte de
charge Λ ne dépend pratiquement pas du diamètre, et peut être
considéré comme constant (figure 5). La puissance dépensée par
mètre de conduite pour vaincre les pertes de charge est égale à :
De plus, elle ne tient pas compte du prix de l’énergie, de celui de
la matière dont est constitué le tuyau, ni du temps pendant lequel
l’énergie y est dissipée.
Ces différents paramètres ont été pris en compte par Vibert, pour
des tuyaux en fonte véhiculant de l’eau [24] ; il donne pour le
diamètre économique la formule :
La simplification extrême précédente, consistant à adopter une
vitesse moyenne optimale unique, est parfois considérée comme
trop grossière. Nous avons vu qu’elle devient inexacte pour les
diamètres trop petits ou trop grands, ce qui pourrait être corrigé en
3
0,46
8Λρq V
P ( W/m ) = --------------------π2 D 5
D opt = A ( e /f ) 0,154 q V
D’autre part, le prix unitaire du tuyau augmente avec son
diamètre ; on peut souvent représenter cette variation par une loi
simple, proportionnelle à D α , où l’exposant α, qui dépend du
matériau et du mode de fabrication, est compris entre 1 et 2 mais
le plus souvent entre 1,2 et 1,4. Dans ces conditions, on minimise
la somme des dépenses actualisées de fonctionnement et des
α
investissements lorsque les premières sont égales à ----- fois les
5
seconds ; cela signifie que, suivant la valeur de l’exposant α, les
dépenses de fonctionnement actualisées représentent en général à
l’optimum entre 24 et 28 % des investissements.
Dans le cas de transport de gaz à grande distance, ces dépenses
doivent tenir compte également du coût des stations de
recompression.
6.2 Vitesse économique
Dans la pratique, il est souvent malaisé pour l’utilisateur de trouver
la valeur exacte de l’exposant α déterminant les variations du prix
des tuyaux en fonction de leur diamètre. Aussi a-t-on établi des règles
simples approximatives permettant d’évaluer de façon
suffisamment correcte le diamètre optimal à adopter pour les
conduites d’eau.
La plus simple de ces règles consiste à adopter dans les tuyaux
une vitesse moyenne vm constante, et donc un diamètre proportionnel à la racine carrée du débit. C’était l’objectif de la formule de
Bresse, établie au siècle dernier [24] :
D opt = 1,5 q V
(67)
où le diamètre optimal D opt est exprimé en mètres et le débit
volumique q V en mètres cubes par seconde ; il lui correspond une
vitesse moyenne :
v m ≈ 0,57 m/s
Dans les conditions économiques actuelles, cette vitesse est trop
faible ; aussi est-il préférable [7] de corriger la formule de Bresse
et d’adopter :
D opt =
qV
q V par une puissance un peu différente du diamètre.
(68)
avec les mêmes unités que précédemment ; la vitesse moyenne
économique prend alors pour valeur :
v m ≈ 1,27 m/s
Cette valeur est assez satisfaisante pour les tuyauteries dont le
diamètre est compris entre 0,1 et 1 m.
(69)
où D opt et q V sont exprimées comme précédemment.
e et f sont respectivement le prix de l’énergie par kWh et de la
fonte par kg.
A est un coefficient qui dépend du nombre N d’heures de fonctionnement par jour, ou ce qui revient au même du facteur
d’utilisation n = N / 24 ; Vibert donne à A la valeur 1,547 pour N = 24
(n = 1), et 1,35 pour N = 10 (n = 0,416). On voit que l’exposant 0,46
de q V diffère assez peu de la racine carrée.
Vibert a également fourni un abaque à points alignés (figure 16),
qui permet de déterminer le diamètre économique pour toutes les
valeurs du facteur d’utilisation n comprises entre 1/12 et 1 (2 à 24 h
par jour).
Quelle que soit la méthode d’évaluation adoptée, le diamètre de
la canalisation devra être choisi, au plus près du résultat trouvé,
dans la série des diamètres normalisés dont la fabrication est
assurée de façon courante ; ces diamètres sont donnés par le
(0)
tableau 8 entre 4 et 3 600 mm.
Tableau 8 – Diamètres nominaux normalisés
des tuyauteries (en mm) (1)
(4)
(5)
6
8
10
15 (2)
20
25
32
40
50
65 (3)
80
100
125
150
(175)
200
(225)
250
(275)
300
350
400
(450)
500
600
700
800
900
1 000
1 200 (4)
1 400 (4)
1 600
1 800
2 000
2 200
2 400
2 600
2 800
3 000
3 200
3 400
3 600
(1) Ces diamètres sont donnés par la norme NF E 29-001 (1968). Ils sont
conformes aux normes ISO de 4 à 2 600 mm.
Le diamètre nominal correspond à peu près au diamètre intérieur pour
les pressions faibles et moyennes ; il est plus faible pour les pressions
élevées (épaisseur plus grande pour un même diamètre extérieur
normalisé).
Les diamètres entre parenthèses sont à éviter.
(2) Entre 10 et 20 mm, la série 10-15-20 peut être remplacée par une série
plus serrée 10-12-16-20.
(3) Pour les tuyaux en fonte, remplacer 65 mm par 60 mm.
(4) Pour les tuyaux en fonte, au-delà de 1 000 mm, utiliser 1 100, 1 250
et 1 500 mm.
Pour les diamètres inférieurs à 80 mm, le calcul économique n’a
guère de signification.
Les dimensions de l’ensemble des tubes normalisés en fonte et
en acier sont données dans l’article Éléments normalisés pour
tuyauteries sous pression [A 760] du présent traité.
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Figure 16 – Abaque de Vibert pour le calcul
du diamètre économique de tuyaux
en fonte transportant de l’eau
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U
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Écoulement des fluides
dans les tuyauteries
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N
par
Jacques BONNIN
Ingénieur des Arts et Manufactures
Ingénieur en Chef à Électricité de France
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Tuyauteries-DN-PN-Définitions et gammes normalisées.
Doc. A 738
5 - 1983
NF E 29-001 12-81
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Doc. A 738 − 1
S
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P
L
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S

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Turbomachines : calcul des écoulements compressibles

bulletin N°1 JEUX AFRICAIN S DE BRAZZAVILLE CONGO

Cours-Mécanique des fluides - Nathalie Lidgi

QCM FLUIDE FRIGORIGENE

Modèle mathématique.

Examen de janvier 2014

DOMAINE SPORTIF MATERNELLE BLEU - Aubigny-en

Notes de cours en PDF