FORMATION CHIRURGIE ASEPTIQUE RONGEURS

MP*1- 2014/2015
Electronique
Circuits en régime sinusoidal forcé
1) Etude d’un circuit R,L,C série :
On considère un générateur de tension idéale de fém.
qui alimente une
√
bobine d’inductance
, de résistance interne et en série un condensateur de capacité
variable . On observe que pour
et
l’intensité
a la même valeur
efficace
. On donne
,
et
.
1) Déterminer littéralement puis numériquement.
2) En déduire littéralement puis numériquement.
3) donner la valeur
telle que soit maximale. Effectuer l’application numérique.
2) Montage avec une lampe :
On dispose de deux bobines identiques et d’une lampe. On utilise une source de
tension alternative de
et
. Quel circuit réaliser pour que mettre un noyau de fer
doux dans une des bobines augmente la luminosité de la lampe et mettre un noyau de fer doux
dans l’autre bobine la diminue ?
3) Etude de déphasage :
On considère le circuit suivant:
1) Pour quelle valeur
de ,
et
sont en phase
indépendamment de la fréquence?
2) Pour
, comparer les phases de
et de
. Pour quelle valeur
ces courants ont-ils même
valeur efficace?
𝑖𝐿 𝑡
𝐿
𝐶
𝑅
𝑅
𝑖𝐶 𝑡
𝑖 𝑡
𝑢 𝑡
4) Caractéristiques d'un quadripôle :
1) Donner les résistances d'entrée et de sortie du
quadripôle
La résistance d’entée est donnée par
le rapport , expression qui ne dépend ni de , ni de
, la résistance de sortie est donnée par la relation
, expression qui ne dépend pas de .
2) Trouver le gain en tension c’est-à-dire le
rapport
𝑅
𝐼
A
𝐼𝑒
C
𝑅
𝑉𝑒
𝑅
𝑅
𝛽𝐼
𝐸
B
𝐼𝑠
D
𝑉𝑆
5) Mesure d’un coefficient de mutuelle induction :
On désire mesurer la valeur absolue M du coefficient de mutuelle M existant entre deux
bobines identiques.
1) A cet effet on réalise le montage cicontre. On étudie le signal obtenu aux bornes de
la résistance et on observe une résonance pour
une fréquence
. On inverse les
connexions de l’une des bobines. La résonance
se produit alors pour la fréquence
Calculer M sachant que
C
𝑟
voie A
𝐿
E
M
𝑟
𝐿
voie B
R
.
Circuits en régime transitoire :
6) Réponse à un échelon de tension :
Soit le circuit ci-contre ;
La tension d’entrée est
telle que
pour
et
pour

. Déterminer s(t  0 ) et s(t  0  )
𝐶
𝑅
𝑒 𝑡
𝑅
𝐿
𝑠 𝑡
puis l’allure de s(t). On suppose que
.
7) Couplage avec induction mutuelle :
On considère deux circuits oscillants (L, C) couplés par induction mutuelle.
M
1
M
 1.
On note:  0 
et k 
R
L
LC
L
L
E
(
). On tient compte d’effets dissipatifs dans le
primaire via le résistor . Pour t < 0, l’interrupteur est
C
ouvert et les condensateurs ne sont pas chargés.
est
une tension continue de valeur . A
, on ferme l’interrupteur.
1) Ecrire les équations différentielles régissant le système.
2) Pour
, étudier l’évolution des charges
et
des deux capacités.
C
Action d’un filtre sur un signal périodique :
8) Réalisation d’une fonction retard :
On étudie le quadripôle ci-contre:
1) Donner l’expression de la fonction de
Vs
transfert H ( j ) 
lorsque le quadripôle est fermé
Ve
par une résistance R .
L/2
𝑉𝑒
L/2
C
𝑉𝑠
2) Montrer que pour des fréquences suffisamment basses et moyennant une valeur
particulière de
, on réalise une fonction retard, c'est-à-dire qu’on a la relation
3) Calculer l’impédance d’entrée du quadripôle quand a la valeur
et donner une
valeur approchée en basses fréquences de cette impédance d’entrée.
4) On définit l’impédance caractéristique du quadripôle par la valeur Z o de
l’impédance Z qu’il faut placer en sortie pour que l’impédance d’entrée soit égale à Z o .
Calculer Z o et donner une valeur approchée
L/2
L/2
L/2
L/2
en basses fréquences.
C
C
C
5) On réalise la ligne ci-contre en branchant
n cellules identiques en cascade et en fermant
sur la valeur de Z o obtenue au 4).Quel est le retard en basses fréquences apporté par la ligne.
Application numérique: calculer et
et que le retard total est de
.
pour une ligne de

cellules sachant que
9) Filtre de Butterworth:
1) On veut réaliser un filtre dit de Butterworth, dont le module de la fonction de
transfert vérifie: |
|
√
(
)
; on pose
. Un filtre dont la fonction de transfert
1
réalise-t-il cette condition ?
1  2 jx  2( jx ) 2  ( jx )3
2) On considère le filtre ci-contre. Montrer que
𝐿
𝐿
sous certaines conditions, il réalise une fonction de
𝑅 𝑣
𝐶
𝑠
𝑣𝑒
transfert de type Butterworth.
Application numérique: pour
 calculer
les valeurs des deux inductances et de la capacité pour avoir une pulsation de coupure égale à
mettre sous la forme H ( ju ) 
10) Action d’un filtre passse-bande sur un signal périodique :
1) Déterminer la fonction de transfert du montage ci-dessous :
Préciser la nature du filtre, l’écrire sous forme canonique
𝑅
et calculer sa bande passante.
𝑣𝑒
2) On donne
et
.
Donner la valeur de la fréquence de résonnance , celle
𝐶
𝐶
𝑅
𝑣𝑠
du facteur de qualité ainsi que celle de la bande passante du filtre.
3) Le signal d’entrée est une fonction créneau de fréquence
. Donner la
valeur du gain pour le fondamental et les harmoniques d’ordre inférieur ou égal à
. On
donne l’expressions des coefficients de Fourier d’un signal créneaux d’amplitude
:
;
4) Représenter le signal de sortie si le signal d’entrée est une fonction créneau, de
fréquence
.
5) Même question pour un signal d’entrée de fréquence
.
11) Démodulation d'amplitude :
On souhaite démoduler un signal de la forme y(t )  yo (1  m cos(t   ) sin(o t ) avec
  o . Le signal modulant est y m (t )  yo m cos(t ) . On dispose de la porteuse
p(t )  po sin(o t ) .
1) A l’aide d’un multiplieur, on forme u(t )  kp(t ) y(t ) . Déterminer le spectre de u(t).
2) Que doit-on faire sur u(t) pour récupérer le signal modulant ? Connaissez-vous une
autre méthode de démodulation ? Laquelle ?
Echantillonnage et numérisation d’un signal :
12) Principe d’un oscilloscope numérique :
La structure de principe d’un oscillateur numérique est la suivante :
-un étage atténuateur dont l’impédance d’entrée est très élevée (  environ) ;
-un échantillonneur prélevant
échantillons par seconde ;
-un convertisseur analogique-numérique C.A.N. dont les valeurs successives sont transférées
dans une mémoire tampon à accès rapide ;
-une unité de traitement et d’affichage qui permet d’exploiter les données prélevées.
1) Un utilisateur désire disposer d’une grande gamme d’analyse, allant de
à
et pouvoir examiner des signaux de formes diverses : sinusoïde, carrée,
impulsionnelle. Justifier les conseils suivants :
« ne pas se contenter d’un oscilloscope dont la bande passante soit égale à la fréquence
maximale des signaux à analyser ; »
« le taux d’échantillonnage recommandé ne peut se limiter à 2 échantillons par
période ; »
2) Laquelle des limites
ou
conduit au choix le plus contraignant pour
fixer la cadence maximale
?
3) La notice précise que, pour une bonne gestion de la capacité mémoire, le taux
est ajusté en fonction du calibre sélectionné. En supposant qu’un échantillon occupe 2 octets
dans la mémoire tampon de capacité
, quel taux
maximal permettrait d’observer
périodes d’un signal de fréquence
? On restreint la cadence à
,
combien un balayage occupe-t-il de capacité mémoire ? Combien cela représente-t-il de
points par période ?
4) Le choix du convertisseur est également important et conditionne fortement le prix
de l’appareil. Justifier et commenter les valeurs portées dans le tableau suivant :
Nombre de bits
Nombre de niveaux
Plus petite variation
détectable
5) L’utilisateur veut pouvoir examiner des signaux dont l’amplitude va de quelques
dixièmes de millivolt à
(utilisations en électricité domestique). Doit-il chercher un
convertisseur couvrant cette gamme ?
13) Justification du critère de Shannon :
On modélise l’échantillonnage d’un signal analogique
par la multiplication du
signal
par un signal
formé d’impulsions périodiques de période .
Un signal formé d’impulsions de hauteur , de période
et de largeur présente un
spectre constitué de raies d’amplitudes
avec
[
, où
désigne le rapport cyclique :
].
𝑝 𝑡
𝜏
𝑡
𝑇𝑒
𝑇𝑒
𝑇𝑒
Signal temporel pour
Spectre pour
1) A quelles fréquences se situent les raies spectrales de
?
2) Quelle valeur de rapport cyclique correspondrait à une prise d’échantillon
instantanée ? On retient dans la suite
mais non nul.
3) Dans le cas d’un signal
sinusoïdal de fréquence
strictement inférieure à
préciser quelles raies contient le spectre du signal échantillonné grâce à
raies par ordre croissant de fréquence). Qu’advient-il si
,
(on classera ces
atteint, voire dépasse
? Retrouver
le critère de Shannon traduisant la possibilité de reconstituer le signal initial par simple
filtrage passe-bas.
4) Que deviennent ces résultats lorsque
n’est plus une fonction sinusoïdale mais
une somme finie de fonctions sinusoïdales de fréquences bornées par
?
5) Quelle relation peut-on écrire dans ce cas entre les coefficients
de la série de
Fourier donnée par l’énoncé de p(t) et la transformée de Fourier
du motif élémentaire
(impulsion de largeur et de hauteur ).
On définit la transformée de Fourier
par l’intégrale :
∫
.
Indications :
1) Etude d’un circuit
série :
1) Il faut exprimer l’intensité efficace en fonction de l’impédance du circuit ; celle-ci prend la
même valeur pour deux valeurs différentes de la capacité du condensateur ; 3) l’intensité
maximale correspond à la résonnance.
2) Montage avec une lampe :
Il faut penser à un montage où une des bobines, d’impédance
est en parallèle avec la
lampe ; l’ensemble est en série avec la bobine d’impédance
; puis exprimer l’intensité
efficace dans la lampe en fonction de
et de
et conclure si
ou
augmente.
3) Etude de déphasage :
1) On a
; calculer l’impédance
est réelle ; 2) on a
et
4) Caractéristique d'un quadripôle :
1) Pour calculer la résistance d’entrée
il faut appliquer les lois des nœuds et
des mailles au dipôle 1 pour trouver le
rapport ; pour calculer la résistance
et trouver à quelle condition sur C cette impédance
; trouver la relation entre
𝐼𝑒
𝑉𝑒
𝐼
𝑅
𝑅
𝛽𝐼
et
.
𝐼𝑠
𝐼
𝑅
𝑉𝑆
𝑅
𝑅
𝑅
𝛽𝐼
𝐼𝑠
𝑉𝑆
𝐸
de sortie, il faut appliquer les lois des
Dipôle 1
Dipôle 2
nœuds et des mailles au dipôle 2 pour
trouver la relation
.
5) Mesure d’un coefficient de mutuelle induction :
Dans la première expérience, le coefficient d’inductance mutuelle est
et dans la
deuxième –
; exprimer dans chaque cas la condition de résonance du circuit et en déduire
l’expression de .
6) Réponse à un échelon de tension :
Exprimer
en fonction de
d’une part et en fonction de
et de
d’autre part ;
écrire la loi des nœuds et la dériver ; on doit obtenir une équation différentielle
d’ordre 2 ; 2) la tension aux bornes du condensateur et l’intensité du courant dans la bobine
sont continues au temps
; reprendre les équations du 1) pour en déduire
et
̇
; le discriminant de l’équation du second degré associé est négatif, on a un régime
sinusoïdal amorti.
7) Couplage avec induction mutuelle :
1) Appliquer les lois des mailles et des nœuds ; 2) pour trouver la solution sans second
membre de ce système, chercher des solutions en
et trouver les valeurs de
correspondant à des solutions non triviales.
8) Réalisation d’une fonction retard :
1) Il faut d’appliquer la loi de nœuds et le montage diviseur de tension ; 2) Faire un DL
d’ordre
2
de
la
fonction
de
transfert ;
on
veut
obtenir
H  exp(  j )  1  j   j   2 / 2 ; 3) pour trouver l’impédance d’entrée, on suppose
2
un courant d’entrée
au quadripôle et une tension
; l’impédance d’entrée est le rapport
puis faire un DL de l’expression obtenue; 4) même démarche et faire un DL pour
trouver que
.
9) Filtre de Butterworth :
1) Calculer la norme de la fonction de transfert proposée ; 2) identifier la fonction de transfert
du quadripôle donné au modèle.
10) Action d’un filtre passse-bande sur un signal périodique :
1) il faut faire une étude qualitative en basse et haute fréquence puis reconnaître un montage
diviseur de tension ; 2) il faut analyser si le filtre est sélectif ou pas ; 3) calculer les gains
correspondants à chaque harmonique et conclure ; 4) il s’agit d’un montage intégrateur.
11) Démodulation d'amplitude :
Pour obtenir le spectre, linéariser les fonctions trigonométriques; pour démoduler il suffit de
placer à la sortie un filtre bien choisie.
12) Principe d’un oscilloscope numérique :
1) Il faut distinguer un signal sinusoïdal, qui ne comporte qu’une fréquence, et les signaux
carré ou impulsionnel qui comportent de nombreuses harmoniques ; 2) le nombre
d’échantillons par seconde s’identifie avec la fréquence d’échantillonnage ; travailler avec 10
échantillons par période ; 3) il faut calculer le nombre d’échantillons contenu dans la mémoire
et le temps de l’échantillonnage ; en déduire le nombre d’échantillons par seconde ; dans la
deuxième question on donne le nombre d’échantillons par seconde et le temps
d’échantillonnage, en déduire le nombre d’échantillons dans la mémoire ; 4) il faut trouver la
relation entre le nombre de bits et le nombre de niveaux ; la plus petite variation détectable est
donnée par la relation
; 5) faire le rapport entre les deux grandeurs mesurables et
commenter le résultat.
13) Justification du critère de Shannon :
2) le signal échantillonné est égal à
pendant les impulsions et nul en dehors des
impulsions ; 3) écrire l’expression du signal échantillonné en utilisant la série de Fourier du
signal
donné par l’énoncé ; on rappelle que
; pour restituer par filtrage le signal
il faut que la fréquence reste la plus
petite fréquence du spectre du signal échantillonné; 4) même discussion pour chaque raie, le
critère de Shannon doit être vérifié par la plus grande des raies du spectre de
; 5) il faut
calculer la transformée de Fourier du motif, c’est-à-dire de la fonction
nulle en dehors
de l’intervalle [
] et de valeur
dans l’intervalle [
] et identifier .
Solutions:
1) Etude d’un circuit R,L,C série :
1)
(
)
 ; 3)
; 2)
2) Montage avec une lampe :
Avec le montage ci-contre on trouve
augmente
diminue et quand
; quand
√
augmente
𝐸
augmente.
𝑅
𝐿
𝐿
𝐼𝑅
3) Etude de déphasage :
1)
si
; 2)
√
; les deux courants sont en quadrature ; leurs normes sont égales
.
4) Caractéristique d'un quadripôle :
1)
;
; 2)
5) Mesure d’un coefficient de mutuelle induction :
.
Les deux valeurs de la pulsation de résonance sont : 12 
1
C ( L1  L2  2M )
et
1  1
1 
1
 2  2   10mH .
d’où M 
2
C ( L1  L2  2M )
16 C  f 2
f1 
6) Réponse à un échelon de tension :
 22 
1)
;
(
√
)
(√
;
)
̇
;
.
7) Couplage avec induction mutuelle :
1) Eo  q / C  Rq  Lq  Mq' ; 0  Lq' Mq  q' / C ;2) 12 
1
1
;  22 
;
C(L  M )
C(L  M )
 cos 1t )  cos  2 t 
 cos  2 t  cos 1t 
q(t )  CEo 1 
 ; q' (t )  CEo 
.
2
2




8) Réalisation d’une fonction retard :
1)
H
1
2
L
2 LC
3 L C
1   j    j 
  j 
R
2
4R
;
2)
H  1   j 
2
L
LC 
2 L
 :
  j   2 
R
2
R


L
et   LC ; avec un DL d’ordre deux on trouve Z e  Ro ; 4) après DL d’ordre
C
2
L
2
2 L
deux on trouve Z o    j 
soit en BF Zo = Ro ; 5) n  n LC d’où L  3.10 4 H ;
C
4
C  3.1nF
9) Filtre de Butterworth :
Ro 
1) La fonction de transfert proposée convient ; il faut avoir
;
;
;
;
;
10) Action d’un filtre passse-bande sur un signal périodique :
1) il s’agit d’un filtre passe- bande (comme l’indique le titre  ) ;
;
;
;
; 2)
; il
s’agit d’un filtre peu sélectif ; 3) pour chaque harmonique le signal de sortie aura pour
amplitude :
√
ce qui donne :
(
;
)
;
;
;
; le signal de sortie sera très proche d’une sinusoïde de fréquence
; 4)
on observe des dents de scie, montage intégrateur.
11) Démodulation d'amplitude :
m
m
m


u (t )  kpo yo 1 / 2  cos((2o   )t   )  cos(t   )  cos((2o   )t   ) ; pour
4
2
4


démoduler il suffit de placer un filtre passe-bas à la sortie du montage pour récupérer la
pulsation ; on peut aussi démoduler avec un montage détecteur de crête.
12) Principe d’un oscilloscope numérique :
1) Pour les signaux carré ou impulsionnel, le spectre comprend de nombreuses harmoniques,
une bande passante trop faible ne restituera pas le signal ; 2 échantillons par période constitue
le critère de Shannon pour un signal sinusoïdal mais pour échantillonner les signaux carré ou
impulsionnel, il faut au moins 10 échantillons par période ce qui donne
; 2) pour
on a
; pour
on a
ce qui est plus contraignant ; 3) la mémoire contient
échantillons et le temps de l’échantillonnage est
ce qui donne
si
et
la mémoire
contient
échantillons ce qui fait
points par période ce qui est beaucoup ; 4) si est le
nombre de bits, le nombre de niveaux est ; par exemple pour
, le nombre de niveaux
est
la plus petite variation détectable est
trouve
; 5)
; par exemple pour
; cette gamme st impossible à atteindre .
13) Justification du critère de Shannon :
1)
; 2) pour une prise d’échantillon instantanée il faut
problèmes
on
mathématiques ;
∑
3)
e qui poserait des
(∑
) ; on observe dans l’ordre croissant :
etc.. mais il faut avoir pour cela
et
; 4)
;
; 5)
.

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