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E3A Maths A PSI 2014 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Gauthier Gidel (ENS Ulm) et Benjamin Monmege (ENS Cachan).
Ce problème, qui combine algèbre (polynômes et espaces euclidiens) et analyse
(calcul différentiel et intégral), se concentre sur les polynômes de Tchebychev, sujet
d’étude ô combien classique, sans toutefois les nommer, ce qui est pour le moins surprenant. Il est constitué de trois parties qui peuvent être abordées indépendamment
les unes des autres, car tous les résultats utiles apparaissent clairement dans l’énoncé.
• Dans la première partie, on retrouve la définition et les propriétés fondamentales
des polynômes de Tchebychev.
• Dans la deuxième partie, on définit un produit scalaire sur R[X] et l’on montre
– entre autres propriétés – que les polynômes de Tchebychev en constituent
une base orthonormale.
• Dans la troisième et dernière partie, on utilise les polynômes d’interpolation
de Lagrange associés aux racines de l’un des polynômes de Tchebychev pour
simplifier le calcul du produit scalaire.
Le sujet ne comporte pas de difficulté particulière et fait appel à des techniques
et notions très classiques, qui ne devraient pas surprendre un candidat maîtrisant le
programme... et ne manifestant pas d’intolérance à la trigonométrie, outil incontournable dès que les polynômes de Tchebychev sont dans les parages. De plus, l’énoncé
est d’une longueur raisonnable, constitué de questions précises et bien articulées, ce
qui permet d’envisager de le traiter dans le temps imparti.
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Indications
Partie 1.
2 On peut utiliser les formules d’addition des sinus et des cosinus, ainsi que la
formule de Moivre.
4 Les formules d’addition mènent droit au but.
5 Effectuer une récurrence double sur n.
6 Établir la liberté de cette famille grâce au résultat de la question précédente.
7 Une nouvelle récurrence double conduit rapidement au résultat.
Partie 2.
1.2 Utiliser les formules d’addition afin de linéariser l’intégrande.
1.3 Employer le résultat de la question 7, partie 1, puis effectuer le changement de
variable t = cos θ afin de récupérer les résultats de la question précédente.
1.5 Partir de la division euclidienne de Tn par Xn , puis calculer (Tn | Tn ).
2.2 Exprimer de deux manières différentes (P | Tn ).
2.3 Utiliser les résultats des questions 1.3 et 2.1.
2.4 Dans quel cas l’inégalité précédente est-elle une égalité ?
Partie 3.
2.1 Prouver que c’est une famille libre en évaluant une combinaison linéaire nulle
en xj , pour j ∈ [[ 1 ; n ]].
2.2 Employer la même idée pour déterminer les coordonnées de G dans la base L .
2.3b Combiner les résultats des questions 2.2 et 2.3a.
2.4b Ne pas perdre de vue que Tn est divisible par X − xk , ce qui permet de montrer
que ψk est un polynôme.
2.4c Utiliser des développements limités à l’ordre 1 pour calculer la limite. Ensuite,
effectuer le changement de variable t = cos θ dans l’intégrale définissant un .
2.4d Partir du calcul de uj+2 + uj , en pensant aux relations établies au cours de la
question 4, partie 1. On peut aussi user de l’identité ab−cd = a(b−d)+d(a−c).
3 Combiner les résultats des questions 2.3b et 2.4e.
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Partie 1.
1 On sait que les fonctions Arccos et cos sont continues sur [ −1 ; 1 ] et sur R
respectivement. De ce fait, en tant que composée de fonctions continues,
La fonction cn est continue sur [ −1 ; 1 ] pour tout n ∈ N.
2 Soit x ∈ [ −1 ; 1 ]. Alors
c0 (x) = cos(0) = 1
De plus, par définition de la fonction Arccos , il vient
c1 (x) = cos(Arccos x) = x
Rappelons que la fonction cos décrit une bijection de [ 0 ; π ] sur [ −1 ; 1 ], dont
la bijection réciproque est la fonction Arccos .
Pour tout réel θ, on a de plus
cos(2θ) = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1
donc
c2 (x) = cos(2 Arccos x) = 2x2 − 1
Enfin, d’après la formule de Moivre, on a pour tout réel θ
cos(3θ) = Re (cos θ + i sin θ) 3
= Re cos 3 θ + 3i cos 2 θ sin θ − 3 cos θ sin 2 θ − i sin3 θ
= cos 3 θ − 3 cos θ (1 − cos 2 θ)
cos(3θ) = 4 cos 3 θ − 3 cos θ
si bien que
c3 (x) = cos(3 Arccos x) = 4x3 − 3x
On peut également retrouver l’expression de cos(3θ) en fonction de cos θ à
l’aide des formules d’addition des sinus et cosinus, en écrivant
cos(3θ) =
=
=
cos(3θ) =
cos(2θ) cos θ − sin(2θ) sin θ
(2 cos 2 θ − 1) cos θ − 2 sin 2 θ cos θ
(2 cos 2 θ − 1) cos θ − 2(1 − cos 2 θ) cos θ
4 cos 3 θ − 3 cos θ
3 Notons déjà que les fonctions affines c0 et c1 ont pour courbes respectives la droite
horizontale d’équation y = 1 et la première bissectrice des axes d’équation y = x.
La courbe de c2 est quant à elle la parabole d’équation y = 2x2 − 1 : sa concavité
est donc dirigée vers le haut et elle a pour sommet le point S(0; −1).
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Enfin, la fonction polynomiale c3 est dérivable et, pour tout x ∈ [ −1 ; 1 ],
1
1
1
= 12 x +
x−
c3 ′ (x) = 12x2 − 3 = 12 x2 −
4
2
2
ce qui permet de dresser son tableau de variations :
x
c3 ′ (x)
−1
+
c3 (x)
−1/2
0
1
ր
−
1/2
0
1
ց
−1
1
+
ր
−1
Voici les courbes Ci de ces quatre fonctions dans un repère orthonormal :
y
C1
2
C2
C0
1
x
0
−2
−1
0
1
2
−1
C3
−2
4 Soient n ∈ N∗ , x ∈ [ −1 ; 1 ] et θ = Arccos x ; alors
cn+1 (x) = cos((n + 1)θ) = cos(nθ + θ)
= cos(nθ) cos θ − sin(nθ) sin θ
et
donc
cn−1 (x) = cos((n − 1)θ) = cos(nθ − θ)
= cos(nθ) cos θ + sin(nθ) sin θ
cn+1 (x) + cn−1 (x) = 2 cos(nθ) cos θ
= 2cn (x) c1 (x)
d’où, d’après la question 2,
∀ n ∈ N∗
∀ x ∈ [ −1 ; 1 ]
cn+1 (x) + cn−1 (x) = 2xcn (x)
On pouvait retrouver ce résultat en employant directement la formule de
factorisation des cosinus
p+q
p−q
∀ (p, q) ∈ R2
cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
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