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Interrogation de mathématiques
Niveau : 1ereS
Durée : 3heures
Calculatrice : Non autorisée
Thème : Trigonométrie, suites et fonctions
Exercice n°1 : Mesure principale.
(6pts)
Chaque bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point et une
absence de réponse vaut 0 point. Un total négatif sera ramené à zéro. On ne demande
aucune justification. Il y a exactement une bonne réponse par question.
Sur votre copie, recopier uniquement les numéros et les lettres de vos réponses.
Sur le schéma ci-dessous, on a tracé le cercle trigonométrique et le repère orthonormé
direct (O ; I ; J). Les points A, B, C et E sont placés tels que OIA est un triangle
équilatéral, OABC est un carré et B, O et E sont alignés.
a)
a)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
3
5π
6
2) La mesure principale de ( OI ; OC ) est :
2π
5π
7π
b)
c)
d) −
3
3
6
3π
4
3) La mesure principale de ( OA ; OE ) est :
2π
3π
2π
b)
c) −
d) −
3
4
3
3π
4
4) La mesure principale de (OC ; OE ) est :
3π
5π
5π
b) −
c)
d) −
4
4
4
π
a)
a)
→
1) La mesure principale de ( OA ; OI ) est :
π
5π
π
b) −
c)
d) −
6
3
3
a) −
a) −
5π
12
5) La mesure principale de ( OE ; OI ) est :
π
5π
2π
b)
c)
d)
3
12
3
π
6) La mesure principale de ( BO ; AI ) est :
11π
π
7π
b)
c)
d)
12
12
12
12
Exercice n°2 : Equations et inéquation trigonométriques.
Résoudre dans [− π ; π [ , à l’aide d’un cercle trigonométrique, les équations :
3) − 2 cos 2 x − 11 cos x − 5 = 0 .
3
.
1) sin x =
2
2) 2 cos x + 3 = 2 .
4) 4 sin x + 2 > 0 .
Exercice n°3 : Les angles associés.
π 
 π   π 3π   3π

On donne : tan   = 2 − 1 et D = 0 ;  ∪  ;
∪
; 2π  .

2 2 2   2
8


sin x
1) On rappelle que tan x =
.
cos x
Justifier que cette expression est définie sur pour tout x ∈ D .
2)
a) Justifier que : ∀x ∈ D tan ( x + π ) = tan x .
 9π 
b) En déduire la valeur exacte de tan   .
 8 
π 
3) On donne : cos  =
8
(5pts)
(5pts)
2+2
.
2
π 
a) En déduire la valeur exacte de sin   .
8
 5π 
b) Calculer la valeur exacte de cos  .
 8 
Exercice 4 : A l’aide d’une fonction auxiliaire.
(10pts)
− x + 4 x + 12
.
x+3
La courbe représentative C f de f est donnée en annexe.
Soit f une fonction définie sur ]− 3 ; 8] par : f ( x) =
•
•
2
Les points A(3 ; 2,5) et D(− 1 ; 3,5) appartiennent à C f
La droite (BC ) est la tangente en A à C f avec B(5 ; 1) et C (1 ; 4) .
Partie A : Lectures graphiques.
1) Lire sur le graphique les nombres suivants : f ' (0) et f ' (3) .
2) On sait que f ' (− 1) = 1,25 . Déterminer une équation de la tangente en D à C f .
3) On considère que cette fonction f est la dérivée d’une fonction F .
En justifiant la réponse, donner les variations de la fonction F.
Partie B : Etude de la fonction.
1) Calculer la fonction dérivée f ' de f et étudier son signe.
2) En déduire les variations de f sur ]− 3 ; 8] .
3) Dresser le tableau de variations de f sur ]− 3 ; 8] .
4) Donner l’équation de la tangente T à C f au point d’abscisse –2.
5) Montrer que C f coupe l’axe des abscisses en deux points A et B dont on
déterminera les coordonnées.
6) Montrer que l’équation f ( x ) = −1 admet une unique solution positive α .
Exercice 5 : Les livres de la bibliothèque.
(7pts)
Dans une bibliothèque, on recense 15000 ouvrages fin 2010. A la fin de chaque année,
on constate que 5% des livres sont perdus et on achète 1000 nouveaux ouvrages.
Pour un entier n , on note u n le nombre de livres de la bibliothèque à la fin de l’année
2010 + n .
1) Calculer le nombre d’ouvrages de la bibliothèque fin 2011 et fin 2012.
2) Exprimer u n +1 en fonction de u n .
3) On pose v n = 20 000 − u n .
a) Montrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 0,95.
b) En déduire que pour tout entier n : u n = 20 000 − 5 000 × 0,95 n .
c) Montrer que pour tout entier n : u n +1 − u n = 250 × 0,95 n .
d) En déduire la monotonie de la suite (u n ) .
e) Déterminer la limite de la suite (u n ) .
Exercice 6 : Jardin spiralé.
(7pts)
Un paysagiste doit créer dans un jardin une spirale plantée d'arbustes.
Il veut connaître la longueur de cette spirale évaluer le nombre d'arbustes à planter.
Voici le schéma qu'il dresse :
Cette spirale est constituée de demi-cercles construits de la manière suivante :
• Le diamètre [ A0 A1 ] du demi-cercle C 0 a pour milieu A2 .
•
Le diamètre [ A1 A2 ] du demi-cercle C1 a pour milieu A3 .
•
Ainsi de suite, on construit les demi-cercles C n ( n est un entier naturel).
L’unité de longueur est le mètre. On donne A0 A1 = 100 .
On note Ln le périmètre du demi-cercle C n .
1) Montrer qu’on a : L0 = 50π et L1 = 25π .
2) Montrer que la suite (Ln ) est une suite géométrique de raison
1
.
2
3) Exprimer Ln en fonction de n.
4) Le paysagiste décide de ne tracer que les huit demi-cercles : C 0 , C1 , C 2 , C 3 , C 4 ,
C 5 , C 6 et C 7 . On appelle L la longueur de la spirale obtenue avec ces huit demicercles. Calculer L (on arrondira le résultat à 0,1).
Le barème de ce devoir n’est qu’indicatif, il se peut donc qu’il soit légèrement modifié.
NOM :
Exercice n°4 :
CLASSE : 1ère S….

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