鉛筆パズルの整数計画法による解法定式化集 ２３．
2015.11.28 Easy as ABC 追加
ＡＢＣプレース
例題（2014年1月4日 毎日新聞より）
B
A
A
A
解答
A
(A∼C)
B
C
C
A
C
B
B
B
B
B
A
B
A
C
B
A
C
A
C
B
C
C
A
B
C
B
A
A
B
B
C
A
B
B
C
B
A
A
A
B
C
ルール
①タテ・ヨコの各列に、Ａから指定の範囲のアルファベットが一つずつあるように、
アルファベットを入れる。
②マスの外側のアルファベットは、その列で最も近くにあるアルファベットを示している。
2015.11.28 http://puzzlepicnic.com/の「Easy as ABC」がこのルールの拡張型なので末尾に追加した。
変数
マスの行番号をＩ、列番号をＪとして
dA(I,J) = 1
= 0
dB(I,J) = 1
= 0
dC(I,J) = 1
= 0
dX(I,J) = 1
= 0
マス(I,J)にＡが入るとき
〃 入らないとき
マス(I,J)にＢが入るとき
〃 入らないとき
マス(I,J)にＣが入るとき
〃 入らないとき
マス(I,J)に空白が入るとき
〃 入らないとき
colA(J)
第Ｊ列の文字Ａの行位置
colB(J)
第Ｊ列の文字Ｂの行位置
colC(J)
第Ｊ列の文字Ｃの行位置
rowA(I)
第Ｉ行の文字Ａの列位置
rowB(I)
第Ｉ行の文字Ｂの列位置
rowC(I)
第Ｉ行の文字Ｃの列位置
J →
1 2
I 1
↓ 2
3
.
.
.
Nr
3
4
. . .
Nc
目的関数
minimize
x
（ダミー）
制約式
subject to
１．マスにはどれかの文字が入る
dA(I,J)+dB(I,J)+dC(I,J)+dX(I,J)
=
1
(I=1,2….…Nr)
(J=1,2….…Nc)
２．文字Ａ，Ｂ，Ｃは各行一回しか現れない
Nr
dA(I,J)
Σ
I=1
=
1
=
1
=
1
Nr
dB(I,J)
Σ
I=1
(J=1,2….…Nc)
Nr
dC(I,J)
Σ
I=1
３．文字Ａ，Ｂ，Ｃは各列一回しか現れない
Nc
dA(I,J)
Σ
J=1
=
1
=
1
=
1
Nc
dB(I,J)
Σ
J=1
(I=1,2….…Nr)
Nc
dC(I,J)
Σ
J=1
４．列内、文字Ａ，Ｂ，Ｃの行位置セット
Nr
I*dA(I,J)
Σ
I=1
=
colA(J)
=
colB(J)
=
colC(J)
Nr
I*dB(I,J)
Σ
I=1
(J=1,2….…Nc)
Nr
I*dC(I,J)
Σ
I=1
５．行内、文字Ａ，Ｂ，Ｃの列位置セット
Nc
J*dA(I,J)
Σ
J=1
=
rowA(I)
=
rowB(I)
=
rowC(I)
Nc
J*dB(I,J)
Σ
J=1
(I=1,2….…Nr)
Nc
J*dC(I,J)
Σ
J=1
６．枠外側の文字条件
第１列であれば、上がＡ、下がＣであるから
colB(1)≧colA(1)
colC(1)≧colB(1)
第３行であれば、左のＢのみであるから
rowA(3)≧rowB(3)
rowC(3)≧rowB(3)
などとすべてセットする。
上下界
bounds
変数型
binary
dA(I,J)
dB(I,J)
dC(I,J)
dX(I,J)
(I= 1,2.…… Nr )
(J= 1,2.…… Nc )
general
終端
end
colA(J) colB(J) colC(J)
(J= 1,2.…… Nc )
rowA(I) rowB(I) rowC(I)
(I= 1,2.…… Nr )
鉛筆パズルの整数計画法による解法定式化集 ２３．
Easy as ABC
http://puzzlepicnic.com/
例題（Genres Easy as ABC
A
A
nyancharov, April 5,2015より）
解答
B2
A
B
C
E2
D2
D
E
(A∼E)
E
A2
D
A
B2
A
E
A
E
C
D
C
D
B
B
D
B
C
C
B
E
A
D
A
C
E
E
A
D2
B
D
D
B
C
E
E
C
A
E2
B
A2
D
(A∼E)
D
E
枠周囲のアルファベットの後ろの数字１は省略した。こういう形式の出題もある。
ルール
①タテ・ヨコの各列に、Ａから指定の範囲のアルファベットが一つずつあるように、
アルファベットを入れる。
②マスの外側のアルファベットは、その列で最も近くにあるアルファベットを示している。
数字が付いたときは、何番目に来るかを示す。２であれば、最も近くから２番目。
（http://puzzlepicnic.com/ より）
変数
マスの行番号をＩ、列番号をＪとして
d(I,J,K) = 1
マス(I,J)に文字Ｋが入るとき
〃 = 0
入らないとき
文字番号Ｋは１から順にA,B,C・・・とし
最終文字（この例題ではＥ）の次に空欄用にＸを置く。
row(J,K)
第Ｊ列の文字Ｋの行位置
col(I,K)
第Ｉ行の文字Ｋの列位置
rowk(J,K,KK) =
=
colk(J,K,KK) =
=
1
0
1
0
row(J,K)≦row(J,KK) のとき
row(J,K)＞row(J,KK) のとき
col(J,K)≦col(J,KK) のとき
col(J,K)＞col(J,KK) のとき
J →
1 2
I 1
↓ 2
3
.
.
.
Nr
3
4
. . .
Nc
目的関数
minimize
x
（ダミー）
制約式
subject to
１．マスにはどれかの文字が入る
Nk+1
d(I,J,K)
Σ
K=1
=
1
(I=1,2….…Nr)
(J=1,2….…Nc) Nkは文字種総数、
K=Nk+1は空欄用文字Ｘ
２．文字は各行一回しか現れない
Nc
d(I,J,K)
Σ
J=1
=
1
(I=1,2….…Nr)
(K=1,2….…Nk)
３．文字は各列一回しか現れない
Nr
d(I,J,K)
Σ
I=1
=
1
(J=1,2….…Nc)
(K=1,2….…Nk)
４．空欄文字は各行(Nc-Nk)個ある
Nc
d(I,J,Nk+1)
Σ
J=1
=
Nc-Nk
(I=1,2….…Nr)
５．空欄文字は各列(Nr-Nk)個ある
Nr
d(I,J,Nk+1)
Σ
I=1
=
Nr-Nk
(J=1,2….…Nc)
６．列内、文字の行位置セット
Nr
I*d(I,J,K)
Σ
I=1
=
row(J,K)
(J=1,2….…Nc)
(K=1,2….…Nk)
７．行内、文字の列位置セット
Nc
J*d(I,J,K)
Σ
J=1
=
col(I,K)
(I=1,2….…Nr)
(K=1,2….…Nk)
８．列内、文字の行位置上下関係セット
row(J,K)≦row(J,KK)のときrowk(J,K,KK)＝1、
row(J,K)≧row(J,KK)のときrowk(J,K,KK)＝0 であるから
row(J,K)≦ row(J,KK)+bigM*{1-rowk(J,K,KK)}
row(J,K)+bigM*rowk(J,K,KK)≧ row(J,KK)
(J=1,2….…Nc)
(K=1,2….…Nk)
(KK=1,2….…Nk)
K≠KK
(I=1,2….…Nr)
(K=1,2….…Nk)
(KK=1,2….…Nk)
K≠KK
９．行内、文字の列位置左右関係セット
col(I,K)≦ col(I,KK)+bigM*{1-colk(I,K,KK)}
col(I,K)+bigM*colk(I,K,KK)≧ col(I,KK)
１０．上欄数字条件合わせ
文字がＫ、その後ろの数字がＬ（省略時は１）であればrowk(J,K,KK)=1となるKKの
ものがその列の中に(L-1)個あるから
Nk
rowk(J,KK,K)＝
Σ
KK=1
L-1
(J= 1,2.…… Nc )
L-1
(J= 1,2.…… Nc )
KK≠K
１１．下欄数字条件合わせ
Nk
rowk(J,K,KK)＝
Σ
KK=1
KK≠K
順序逆転
１２．左欄数字条件合わせ
Nk
colk(I,KK,K)＝
Σ
KK=1
L-1
(I= 1,2.…… Nr )
L-1
(I= 1,2.…… Nr )
KK≠K
１３．右欄数字条件合わせ
Nk
colk(I,K,KK)＝
Σ
KK=1
KK≠K
上下界
bounds
変数型
binary
d(I,J,K)
(I= 1,2.…… Nr )
(J= 1,2.…… Nc )
(K= 1,2.…… Nk)
rowk(J,K,KK)
(J= 1,2.…… Nc )
(K= 1,2.…… Nk)
(KK= 1,2.…… Nk)
(I= 1,2.…… Nr )
(K= 1,2.…… Nk)
(KK= 1,2.…… Nk)
colk(I,K,KK)
general
row(J,K)
col(I,K)
終端
end
(J= 1,2.…… Nc )
(K= 1,2.…… Nk)
(I= 1,2.…… Nr )
(K= 1,2.…… Nk)
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