基礎応用数学第 2 章命題と論理第 2 章命題と論理 § 2.1 命題 1. 命題 (proposition) 命題とは、ある事柄に対する判断あるいは主張を文で表したものである。命題は、真であるか偽であるか判定できなければならない。命題が真であることを、命題の真理値が真であると言い、偽であるときは真理値が偽であるという。《例 1》『雨が降っている』は、このままでは真偽が判定できないので命題とはならない。時刻と場所を特定すれば、真偽が判定できるので命題となる。 2. 合成命題いくつかの命題を組み合わせた、あるいは否定した命題を、合成命題あるいは複合命題という。これに対して、元の命題を単純命題という。複合命題も単純命題と同様に真偽が判定できなければならない。連言命題 p、q に対して、 p および q のいずれも真であるときのみ真となり、他の場合に偽となる合成命題を連言命題といい、 p ∧ q ( p and q · · · 論理積) と表す。《例》『Ａ君は英語もドイツ語も話せる』=『Ａ君は英語が話せる』∧ 『Ａ君はドイツ語が話せる』選言 (包含的選言) 命題 p、q に対して、 p あるいは q のどちらかが真であるとき真となり、他の場合に偽となる合成命題を包含的選言命題といい、 p ∨ q ( p and/or q · · · 包含的論理和) と表す。単に選言命題 ( p or q · · · 論理和) と述べた場合は、包含的選言命題のことをさす。 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 《例》『Ａ君は英語かフランス語が話せる』=『Ａ君は英語が話せる』∨ 『Ａ君はフランス語が話せる』排他的選言命題 p、q に対して、 p あるいは q のどちらかのみ真であり他方が偽であるときに真となり、他の場合に偽となる合成命題を排他的選言命題といい、 p ∨ q ( p exclusive or q · · · 排他的論理和) と表す。《例》『Ａ君は英語かフランス語のどちらか一方が話せる (が両方は話せない)』=『Ａ君は英語が話せる』 ∨ 『Ａ君はフランス語が話せる』 3. 否定命題 p に対して、p が真のとき偽、p が偽のとき真となる命題を否定命題といい、∼ p または p̄ と表す。《例》『「Ａ君は英語が話せる」ということはない』=『Ａ君は英語が話せない』合成命題の否定選言命題『 p または q が真』の否定は、『 p および q が偽』である。すなわち選言命題の否定は、それぞれの否定命題の連言である。逆に、連言命題の否定命題は、それぞれの否定命題の選言になる。定理 2.1 、ド・モルガンの法則 ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q) (2.1 a) ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q) (2.1 b) 2-1 基礎応用数学第 2 章命題と論理二重否定命題否定命題を否定した命題を、二重否定命題 ∼ (∼ p) という。その真偽は、元の命題 p の真偽に等しい。《例》『「Ａ君は英語が話せない」ということはない』=『Ａ君は英語が話せる』 ¶例題 2-1 ³ 次の命題の否定命題を文章で述べよ。 (1) 『Ａ君はドイツ語かフランス語のどちらかが話せる』 (2) 『Ａ君はドイツ語とフランス語のどちらも話せる』 ☞ (1) 『Ａ君はドイツ語もフランス語も話せない」 (2) 『Ａ君はドイツ語かフランス語のどちらかが話せない』 µ ´ 4. 真理表単純命題の真偽によって、合成命題の真偽がどうなるかを示した表を真理表という。このとき真は T(True)、偽は F(False) で表す。否定命題および連言命題、選言命題の真理表は以下のようになる。 p q ∼p ∼q p∧q p∨q T T F F T T T F F T F T F T T F F T F F T T F F 2 つの合成命題の真理表が一致するとき (縦の列が等しいとき)、同値である、といい、記号 ≡ で結ぶ。 ¶例題 2-2 ³ ド・モルガンの法則 (2.1 a)、 (2.1 b) 式を、真理表を作成して確認せよ (解答略)。 µ ´ 5. 条件文 2 つの命題 p および q を、『 p ならば q である』という形式で結んだ文を条件文という。このとき p を仮定、q を結論といい、 p → q と表す。条件文も合成命題の一種である。条件文 p → q を言い換えると、『「 p であって、q でない」ということはない』となる。記号で書けば ∼ (p∧ ∼ q) となる。これに、ド・モルガンの法則 (2.1 a) 式を適用すれば、 (∼ p) ∨ (∼ (∼ q)) すなわち、 (∼ p) ∨ q と同値であることがわかる。すなわち、次の定理が導かれる。定理 2.2 『 p ならば q である』という条件文は、『 p でないか、または q である』という命題と同値である。すなわち、 p → q ≡ (∼ p) ∨ q 条件文の否定『 p ならば q である』という条件文の否定は、∼ ((∼ p) ∨ q) = p ∧ (∼ q) であるから、『 p であって、q でない』となる。『 p ならば q でない』とはならない。 2-2 基礎応用数学第 2 章命題と論理双条件文『 p ならば q であり、かつ q ならば p である』という条件文を双条件文といい、 p q と書く。これは、『 p であれば q であり、 p でなければ q でない』と言いかえることもできる。 6. 条件文の逆・裏・対偶条件文の逆『 p ならば q である』という条件文に対して、『q ならば p である』という条件文を、元の条件文の逆という。記号で書けば、q → p である。条件文の裏『 p ならば q である』という条件文に対して、『 p でないなら q でない』という条件文を、元の条件文の裏という。記号で書けば、∼ p →∼ q である。条件文の対偶『 p ならば q である』という条件文に対して、『q でないなら p でない』という条件文を、元の条件文の対偶という。記号で書けば、∼ q →∼ p である。対偶律条件文、およびその逆、裏、対偶の真理表は次のようになる。 p q p→q q→ p ∼ p →∼ q ∼ q →∼ p T T T T T T T F F T T F F T T F F T F F T T T T 条件文とその逆や裏は同値でない、すなわち条件文が真でも逆や裏は必ずしも真ではない。しかし条件文とその対偶の真理表は一致しているので、同値であることがわかる。定理 2.3 対偶律条件文とその対偶は、一方が真であることがわかれば、他方もまた真である。また「逆」と「裏」は、やはり対偶関係にあり、真理表よりその真偽が一致していることがわかる。 ¶例題 2-3 ³ 次の条件文の、否定、裏、逆、対偶を、それぞれ文章で述べよ。『もし君が行ったのであれば、私も行く』 ☞ 否定：『君が行っても、私は行くとは限らない』裏：『君が行っていないなら、私も行かない』逆：『私が行くのは、君が行ったときだけだ』 (『私が行くなら、君も行った』では時間的に合わない) 対偶：『私が行かないのは、君が行っていないときだけだ』 µ ´ 2-3 基礎応用数学第 2 章命題と論理 7. 必要条件と十分条件 p → q であるとき、q を p であるための必要条件、 p を q であるための十分条件という。《例》 x = −1 → x2 = 1 であるから、x = −1 は x2 = 1 の十分条件、x2 = 1 は x = −1 の必要条件である。必要十分条件 p → q であり、かつ q → p であるとき、q を p であるための必要十分条件、あるいは単に条件といい、 p q と表す。このとき p と q は同値であるという。 ¶例題 2-4 ³ 次の ( ) の中に当てはまる語を入れよ。 (1) x2 = y2 は、x = y であるための、（）条件である。 (2) a, b が実数のとき、a + b > 0、a b > 0 は、a > 0、b > 0 であるための、（）条件である。 ☞ (1) 必要 (2) 必要十分 µ ´ 8. 真理集合命題関数集合 Ω の元 x ∈ Ω に対して、その真偽が判定できるような条件 p が与えられたとき、 p(x) を Ω を定義域、値域を { 真, 偽 } とする関数とみなし、命題関数または開いた文という。真理集合命題関数で、 p を真にするような x の元による Ω の部分集合、すなわち関数値 { 真 } の逆像 P を、真理集合といい、P = { x | p(x) = 真 } あるいは略して P = { x | p(x) } と書く。《例》条件 p を『絶対値が 1 未満』、条件 q を『正』としたとき、P = { x | p(x) } は { x | − 1 < x < 1 } の区間、Q = { x | q(x) } は { x | x > 0 } の半直線になる。合成命題の真理集合命題 p の真理集合を P、命題 q の真理集合を Q とすると、次の関係が成立する。 (1) ∼ p(x) の真理集合は、Pc (2) p(x) ∧ q(x) の真理集合は、P ∩ Q (3) p(x) ∨ q(x) の真理集合は、P ∪ Q (4) p(x) → q(x) の真理集合は、Pc ∪ Q 必要条件・十分条件の真理集合命題 p の真理集合が P、命題 q の真理集合が Q であるとき、 (1) P ⊆ Q ならば、 p は q の十分条件、q は p の必要条件である。この逆も成り立つ。 (2) P = Q ならば、 p は q の必要十分条件である。この逆も成り立つ。 9. 全称命題と特称命題全称命題『全ての x ∈ A について、 p(x)』の形の命題を、全称記号 ∀ を使って ∀x ∈ A, p(x) と書き、命題関数の全称量化といい、この形の命題を全称命題という。 p(x) の真理集合を P とすると、全称命題は、 A ⊆ P のとき真であり、それ以外のときには偽、である。特称命題『ある x ∈ A について、 p(x)』または『 p(x) である x ∈ A が存在する』の形の命題を、存在記号 ∃ を使って ∃x ∈ A, p(x) と書き、命題関数の特称量化あるいは存在量化といい、この形の命題を特称命題、あ 2-4 基礎応用数学第 2 章命題と論理るいは存在命題という。また全称量化と特称量化を合わせて量化という。 p(x) の真理集合を P とすると、特称命題は、 A ∩ P 6= 0/ のとき真であり、それ以外のときには偽、である。全称命題は特称命題を含意しない。すなわち『全ての x ∈ A について、 p(x)』が真でも、『ある x ∈ A について、p(x)』は真とは限らない。それは集合 A が空集合の時、全称命題は真であるが、特称命題は偽になるからである。《例》「全ての UFO は空を飛ぶ」という全称命題は、UFO が unidentified flying object の略であることを考えると、空を飛ばないものは UFO とは言わないから、真だと考えられる。しかし、これは「ある UFO は空を飛ぶ」という特称命題が真であることを意味しない。これが真であるためには、UFO が存在することを示さなければならない。全称命題・特称命題の否定『全ての x ∈ A について、p(x)』という全称命題の否定は、『ある x ∈ A について、p(x) でない』という否定の特称命題になる。逆に特称命題の否定は、否定の全称命題となる。これもド・モルガンの法則という。定理 2.4 、ド・モルガンの法則-その２全称命題、特称命題の否定に対して、次の定理が成り立つ。 ∼ (∀x ∈ A, p(x)) = ∃x ∈ A, (∼ p(x)) (2.2 a) ∼ (∃x ∈ A, p(x)) = ∀x ∈ A, (∼ p(x)) (2.2 b) とくに、∀x ∈ A, p(x) という命題が偽であることを証明するには、その否定が真であることを証明すればよく、これは (2.2 a) 式より、p(x) でない x ∈ A が一つでも存在することを示せれば十分である。これを反例という。量化の順序複数の量化を行う場合、現れる順序に注意が必要である。たとえばパーティ会場で、 (i) 『すべての出席者が、すべての料理を食べた』と (i0 ) 『すべての料理を、すべての出席者が食べた』のように「すべて」あるいは「ある」だけで量化が行われる場合は、順序を変えても意味が変わらないが、 (ii) 『ある出席者が、すべての料理を食べた』と (ii0 ) 『すべての料理を、(それぞれ) ある出席者が食べた』を比較すると、(ii0 ) のときは料理ごとに食べた出席者が異なってもよいので、意味が異なる。この例のように「すべての」と「ある」が混在する場合には、一般にその順序を変えると意味が変わる。数学では、しばしば「それぞれ」という語を略して記述するが、意味は上記の通りであるので、両者を混同してはならない。 ¶例題 2-5 ³ 上記の (i)、(ii)、(ii0 ) の否定命題を、それぞれ文章で述べよ。 ☞ (i) 『ある出席者が、ある料理を食べなかった』 (ii) 『すべての出席者は、(それぞれ) ある料理を食べなかった』 (ii0 ) 『ある料理を、全ての出席者が食べなかった』 µ ´ 2-5 基礎応用数学第 2 章命題と論理 § 2.2 推論 1. 関係 (relation) 関係の定義と記号集合 X 、Y の元 x ∈ X 、y ∈ Y を定義域とし、x と y にそれぞれ X と Y の元を代入したとき、真または偽の値を取る命題関数 R(x, y) を、関係という。 R(x, y) はまた、xRy と表されることもある。《例》 a, b が自然数であるとき、「aRb ≡ a は b の約数である」逆関係関係、xRy に対して、yR−1 x で定義される関係を、R の逆関係という。逆関係 yR−1 x の逆関係は、もとの関係 xRy である。「 bR−1 a ≡ b は a の倍数である」は互《例》 a, b が自然数であるとき、「aRb ≡ a は b の約数である」と、いに逆の関係にある。反射律 xRx が常に真であるとき、関係 R は反射的である、あるいは反射律 (reflective law) をみたすという。対称律 xRy が真であれば yRx も真であるとき、言いかえれば xRy と yRx の真偽が常に等しいとき、関係 R は対称的である、あるいは対称律 (symmetric law) をみたすという。推移律 xRy と yRz がともに真であるとき xRz も常に真であれば、関係 R は推移的である、あるいは推移律 (transitive law) をみたすという。反対称律 xRy と yRx がともに真であれば、x = y であるとき、関係 R は反対称的である、あるいは反対称律 (asymmetric law) をみたすという。同値関係関係 R が、反射律、対称律、推移律をみたすとき、これらを合わせて R は同値律をみたすといい、R を同値関係 (equivalence relation) という。順序関係関係 R が、反射律、反対称律、推移律をみたすとき、R を順序関係 (order relation) という。グラフ集合 X と集合 Y をそれぞれ定義域とする x、y に対して、関係 xRy が定義されているとき、直積集合 X ×Y の元 ( x, y ) の部分集合で、 xRy が真になるもの全体からなる集合、G = {( x, y ) | xRy = T} を R のグラフという。 ¶例題 2-6 ³ 次の関係が、反射律、対称律、推移律、反対称律をみたすか、それぞれ調べよ。 (1) a, b が自然数であるとき、aRb ≡ a は b の約数である。 (2) a, b が整数であるとき、aRb ≡ a − b は偶数である。 ☞ (1) 反射律、推移律、反対称律をみたす (順序関係)。 (2) 反射律、対称律、推移律をみたす (同値関係)。 µ ´ 2-6 基礎応用数学第 2 章命題と論理 2. 真理関数真理関数複合命題 f の真偽は、それを構成する単純命題 p, q, r, · · · の真偽の組み合わせによって決まることを、真理集合の項で述べた。これより、単純命題 p, q, r, · · · を (真、偽) のどちらかの (論理) 値を定義域とする変数と考え、複合命題 f は (真、偽) のどちらかの (論理) 値を値域とする、写像とみなすことができる。このように考えたとき、単純命題 p, q, r, · · · を命題変項といい、複合命題 f をその真理関数という。恒真関数 (トートロジー) 命題変項の真偽にかかわらず、常に真の値を取る真理関数を、恒真（関数）またはトートロジー (tautology) という。また、常に偽の値を取る関数を恒偽（関数）または矛盾という。《例》 p∨ ∼ p の論理値は常に T である。したがって、 p に「Ａ君は英語が話せる」という命題変項を代入した、『Ａ君は英語が話せるか、英語が話せない』は、 p の真偽によらず常に真である。 3. 含意 (implication) 論理式 f および g に対して、 f → g が恒真であることを、「論理式 f は論理式 g を含意する」といい、 f ⇒ g と書きあらわす。このとき f を前提あるいは前件、g を結論あるいは後件という。《例》論理式『私は A 大学か B 大学を受験する』かつ『私は B 大学を受験しない』は、論理式『私は A 大学を受験する』を含意することを示す。「私は A 大学を受験する」という命題を p、「私は B 大学を受験する」という命題を q とすると、上の条件式は次のように書くことができる。 ( p ∨ q )∧ ∼ q → p ここで、( p ∨ q )∧ ∼ q ≡ (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ q) ≡ (p∧ ∼ q) ∨ F ≡ p∧ ∼ q であり、 p∧ ∼ q → p であるから、この条件式は恒真であり、 ( p ∨ q )∧ ∼ q ⇒ p と、表すことができる。 4. 推論推論上の例のように、いくつかの命題 (前提、仮定) から、論理的に他の命題 (結論) が導かれる、という主張を推論という。数学的には、いくつかの条件式の連言から、含意関係を導くことを意味する。すなわち命題 f1 , f2 , · · · , fn および g を論理式で表した真理関数に対して、 f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn ⇒ g が成り立つとき、推論は妥当である、という。《妥当な推論の例 1》選言三段論法上の例は以下のように表記される。この推論は妥当である。 p ならば q である私は A 大学か B 大学を受験する q でない私は B 大学を受験しない ∴ p である ∴ ゆえに、私は A 大学を受験する《妥当な推論の例 2》条件三段論法 p ならば q である人間は哺乳類である q ならば r である哺乳類は動物である ∴ p ならば r である ∴ ゆえに、人間は動物である 2-7 基礎応用数学第 2 章命題と論理《妥当な推論の例 3》選言・条件三段論法 p あるいは q である私は A 高校に進学するか、B 高校に進学する q ならば r である私は B 高校に進学すれば野球部に入る ∴ p あるいは r である ∴ ゆえに、私は A 高校に進学するか、野球部に入る《妥当な推論の例 4》ジレンマ p ならば q である私が教師の言うことをきけば、父に怒られる p でなければ r である私が教師の言うことをきかなければ、教師に怒られる ∴ q あるいは r である ∴ ゆえに、私は父に怒られるか、教師に怒られる。謬論命題 f1 , f2 , · · · , fn および g を論理式で表した真理関数に対して、 f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn ⇒ g が成り立たないとき、すなわち前提がすべて真であっても、結論が偽である場合が存在するとき、この推論は妥当でないといい、妥当でない推論のことを謬論あるいは虚偽という。*1 《謬論の例 1》逆の謬論 p ならば q である日本人ならば、日本語を話せる ∴ q ならば p である ∴ ゆえに、日本語を話すならば、日本人である《謬論の例 2》後件肯定の謬論 p ならば q である彼女が私のことを好きならば、私の誕生日を祝ってくれる q である彼女は私の誕生日を祝ってくれた ∴ p である ∴ ゆえに、彼女は私のことを好きである《謬論の例 3》前件否定の謬論 p ならば q である英語の成績がよければ、入試に合格できる p でない英語の成績がよくなかった ∴ q でない ∴ ゆえに、入試に合格できなかった推論の検証ある推論が妥当な推論であるか、あるいは謬論かを示すには、前提が結論を含意するかどうかを調べればよい。すなわち真理表を書いて、命題変項の真偽にかかわらず、条件式が恒真であるかどうかを見ればよい。 5. 証明法直接証明法 (1) 演繹法仮定から、論理的に正しい推論を用いて、演繹的に結論を導く証明法。たとえば、p → r を示すために、命題 q を差し挟み、 p → q および q → r を示すことより、条件三段論法で p → r を導く、という論法。 (2) 対偶法対偶律により、 p → q が真であることを示すために、その対偶 ∼ q →∼ p が真であることを示す、という証明法を対偶法という。 *1 推論が正しい、正しくないというのは、論理の形式をいうのであって、結論が真であるか偽であるかとは無関係である 2-8 基礎応用数学第 2 章命題と論理《例》「x + y > 2 ならば、x > 1 または y > 1 である」という命題を証明するために、「x < = 1 かつ y < =1ならば、x + y < = 2 である」という命題を証明する方法。 ¶例題 2-7 ³ 対偶法が妥当な推論であることを示せ。 ☞ (∼ q →∼ p) ⇒ (p → q) であること、すなわち (∼ q →∼ p) → (p → q) が恒真であることを示せばよい。 p q (∼ q →∼ p) (p → q) (∼ q →∼ p) → (p → q) T T T T T T F F F T F T T T T F F T T T したがって、恒真である。 µ ´ 間接証明法 (3) 転換法 (分類法) 命題の逆を証明するために使われる方法である。次の 3 つの条件、 (i) 場合分け p1 , p2 , · · · により、すべての場合が尽くされている。 (ii) p1 → q1 、 p2 → q2 、· · · が真である。 (iii) q1 , q2 , · · · のどの組合せも両立しない。が成立するとき、 q1 → p1 、q2 → p2 、· · · も真である。これを転換法という。《例》「三角形 ABC において、対辺をそれぞれ a, b, c とすると、a2 = b2 + c2 のとき ∠A = ∠R、a2 > b2 + c2 のとき ∠A > ∠R、a2 < b2 + c2 のとき ∠A < ∠R である」という命題を証明するとき、 (i) ∠A = ∠R のとき a2 = b2 + c2 を示す。 (ii) ∠A > ∠R のとき a2 > b2 + c2 および ∠A < ∠R のとき a2 < b2 + c2 を示す。ことにより、元の命題を証明することができる。 ¶例題 2-8 ³ (p → q) かつ (∼ p →∼ q) であるとき、（q → p) であることを示せ。 ☞ (p → q) ∧ (∼ p →∼ q) ⇒ (q → p) であること、すなわち (p → q) ∧ (∼ p →∼ q) → (q → p) が恒真であることを示せばよい。 p q p→q ∼ p →∼ q (p → q) ∧ (∼ p →∼ q) q→ p T T T T T T T T F F T F T T F T T F F F T F F T T T T T 与式したがって、恒真である。 µ ´ (4) 同一法 p → q を証明するために、q の条件を満たす r を考え、q と r が一致することから、結論を導く。 2-9 基礎応用数学第 2 章命題と論理 (5) 背理法題意が成り立たないとして推論を進めていくと、仮定が矛盾が生じることを示す。これにより、逆に題意は成り立たなければならない、という論法を背理法という。つまり、p → q =∼ p ∨ q が真であることを示すためには、これを否定した ∼ (∼ p ∨ q) = p∧ ∼ q が偽であることを示すことと同値である。《例》ユークリッドの素数定理「素数は無限に存在する」を背理法によって証明する。素数が有限個であると仮定する。その数を n とすると、それらは p1 , p2 , · · · pn ただし (p1 < p2 < · · · < pn ) と表すことができる。ここで自然数 q = p1 · p2 · · · · pn + 1 を考えると、q は p1 , p2 · · · pn のどれでも割り切れない。すなわち q が素数とすれば、n 個以外にも素数があることになり、q が合成数とすれば、pn よりも大きい素数があることになる。いずれの場合も仮定に矛盾する。 ¶例題 2-9 ³ √ p 2 が無理数であること、すなわち p, q を整数として、の形で表せないことを証明せよ。 q ☞ 背理法で証明する。 √ p p, q を互いに素な自然数として 2 = と置けると仮定する。 q 上式を両辺 2 乗して分母を移項すれば、2q2 = p2 。ここで q が自然数なら q2 も自然数だから、右辺は 2 の倍数、すなわち偶数である。もし p が奇数ならば p2 も奇数となるので、 p は偶数でなければならない。すなわち p = 2p0 と置ける。これを代入すると、2q2 = 4p02 。両辺を 2 で割って q2 = 2p02 となる。同様の議論により q も偶数でなければならない。これはもとの p, q が互いに素な自然数であるという仮定と矛盾する。したがって √ 2 は有理数として表せない。すなわち無理数である。 µ ´ 数学的帰納法自然数 n ∈ N についての命題 p が、 (1) n = n0 で p が真である。 (2) n = k で p が真であれば、n = k + 1 でも p は真である。ことが証明できれば、すべての n > = n0 で p が真であることが示される。これを数学的帰納法という。あるいは、(1) の代わりに、次の条件でもよい。 (1’) n < = n0 で p が真である。 ¶例題 2-10 n Sn = ∑ k2 = k=1 ³ n(n + 1) であることを示せ。 2 ☞ 数学的帰納法で証明する。 1 (1) n = 1 の場合、S1 = ∑ 12 = k=1 1(1 + 1) であるから、上式は成り立つ。 2 k(k + 1) (2) n = k で、Sk = が成り立つとすると、 2 k(k + 1) (k + 1 + 1)(k + 1) (k + 2)(k + 1) Sk+1 = + (k + 1)2 = = 2 2 2 であるから、k + 1 でも成り立つ。ゆえに、数学的帰納法により、すべての n ∈ N で成り立つ。 µ ´ 2 - 10 基礎応用数学第 2 章命題と論理 2 章の練習問題 A 【問題 2-1 】（否定命題）次の命題の否定を文章で述べよ。ただし、単に全体を「∼でない」と否定しただけのものは不可とする。 (1) A 村の全ての若者は、女友達を持っている。 (2) B 村のある者は、すべての村人と知り合いである。【問題 2-2 】 (真理集合) 次の不等式の中で、方程式、x2 + p x + q = 0 が虚根をもつための、必要条件、十分条件になっているものはどれか。 (1) q > p2 (2) q > p − 1 (3) q > −p 【問題 2-3 】 (数学的帰納法) N 枚の金貨がある。その中に見かけは変わらないが、少しだけ目方が軽いにせ金が 1 枚だけ混じっている。そのにせ金を、天秤を用いて確実に見分ける方法を考える。ただし、天秤には同じ枚数ずつ何枚でも乗せることができる。また、天秤はどちらが重いか、あるいは釣り合うかを見分けられるだけとする。 (1) 3 枚の金貨から、1 回の天秤操作でにせ金を見つける方法を示せ。 (2) 9 枚の金貨から、2 回の天秤操作でにせ金を見つける方法を示せ。 (3) 一般に N = 3n 枚の金貨から、n 回の天秤操作でにせ金を見分ける方法を、数学的帰納法により示せ。 2 - 11 基礎応用数学第 2 章命題と論理 2 章の練習問題 B 【問題 2-4 】 (否定命題) 次の命題の否定を文章で述べよ。ただし、単に全体を「∼でない」と否定しただけのものは不可とする。 (1) A も B も、C の友人である。 (2) D は、物理か化学の、どちらか一方の科目だけを選択した。 (3) すべての新入生がそれぞれ、どれかの科目で「優」を取った。 (4) 試験勉強をしなければ、必ず落第する。【問題 2-5 】 (条件) 命題「A、B、C の 3 人の中で、少なくとも 2 人は女性である」が成り立つために、次の命題 (1)-(10) が・十分条件であるが、必要条件でないならば、十・必要条件であるが、十分条件でないならば、必・必要十分条件であるならば、必十・必要条件でも、十分条件でもないならば、無とそれぞれ記せ。ただし、言及のない者については、性別は不明であるとする。 (1) A は女性である (B と C については不明、以下同様)。 (2) B と C は女性である。 (3) A も B もＣも女性である。 (4) A または C が女性である。 (5) A または B、または C のいずれかが女性である。 (6) B または C が男性である。 (7) A は女性、B は男性である。 (8) B が女性であれば、A または C は女性である。 (9) A が男性であれば、B と C は女性である。 (10) A が男性ならば B は女性、そして B が男性ならば C は女性、そして C が男性ならば A は女性である。【問題 2-6 】 (背理法) √ p 3 が無理数であること、すなわち p, q を整数として、の形で表せないことを証明せよ。 q √ p ✌ 分子分母が公約数を持つならば約分できるので、 p と q は互いに素と置いてよい。そこで 3 = とお q いて両辺を 2 乗し、 p, q を 3 で割ったときの余りを場合分けし、互いに素という仮定に矛盾することを示せ。【問題 2-7 】「 p であるか q である。かつ q でない。ゆえに p である」という推論の形式を選言三段論法という。が恒真であることを、真理表を用いて示せ。(p ∨ q) ∧ (∼ q) → p 2 - 12