経済数学（テキスト第１・２章）『解答と解説』練習問題１１（解答）（１）集合である（２）集合である（３）集合でない（解説）定義が明確にできるものは「集合」．（３）の「常連メンバー」は定義が不明確．２（解答）（１）{1, 2, 3, 4, 5, 6} （２）{−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} （３）{宇佐美, 荏開津, 鈴木, 鶴岡, 三浦} ３（解答）（１）ひと⊂A （２）くじら⊂A （３）めだか⊂B （解説）「A⊂B」は，“A は B の集合に含まれる集合である”の意味４（解答）（１）A⊂B （２）B⊂A （３）B⊂A ５（解答）（１）偶数全体６（解答）（１）①A∪B＝｛2, 3, 4, 6｝ ②A∩B＝｛6｝ ③U＼A＝｛1, 2, 4, 5｝（２）①，②，③，それぞれ，色つき部分． ① ② U U 1 ③ 5 （２）奇数全体 A B 3 6 2 A B 3 6 2 1 4 U 1 5 （３）自然数（1 以上の整数） 4 5 A B 3 6 2 4 練習問題２１（解答）（１）命題である（２）命題でない（３）命題である（解説）内容の「真」（正しい），「偽」（誤り）を判断できる文章が命題である．（２）の文章は仮定法．２（解答）（１）真（２）真（３）偽（解説）『経済数学』の講義の中で，あつかう数値は実数に限定することを最初の講義時に話した．このため，（２）は，「（実数 x に関して） x ≠ 0 ならば x 2 > 0 」と読むこと．３（解答）（１）すべての学生が経済数学を履修するわけではない（ある学生は経済数学を履修する）（２）2 の 3 乗は 10 未満である（３）2 の 10 乗は 1000 以上である（解説）（１）「すべての∼」の否定に関しては，テキストで紹介した「ある∼」以外に次のように書いても良い．（日本語として読みやすいほうを選択すべきである．）「すべての A は B である」 →（否定）「すべての A が B であるわけではない（B とは限らない）」（２）「∼以上」→（否定）「∼未満」（ x ≥ a → 否定 x < a ）（３）「∼より小さい」→（否定）「∼以上」（ x < a → 否定 x ≥ a ）４（解答）（１）逆：「 x 2 > 0 ならば x 2 ≠ 0 」（真）裏：「 x = 0 ならば x 2 ≤ 0 」（真）対偶：「 x 2 ≤ 0 ならば x = 0 」（真）（２）逆：「島国は日本である」（偽）裏：「日本でないならば島国ではない」（偽）対偶：「島国でないならば日本ではない」（真）（３）逆：「60 分は 1 時間である」（真）裏：「1 時間でないならば 60 分ではない」（真）対偶：「60 分でないならば 1 時間ではない」（真）（解説）（１）『経済数学』であつかう数値の範囲は実数のみ． x は実数なので，「 x 2 ≤ 0 」となるのは「 x 2 = 0 」のときだけである．このため，対偶は真．（３）もとの命題を含め，逆，裏，対偶，すべて真である．これは「60 分」と「1 時間」が互いに必要十分条件になっていることを意味する．（→集合の章の「同値」を思い出すとよい）５（解答）（１）十分条件（２）必要十分条件６（解答）「競争均衡は，パレート最適である」（３）必要条件