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コンピュータ発展（井川）
３．
−3． 1 −
最短路の問題
グラフの最短路問題 ( s h o r t e s t p a t h p r o b l e m ) とは，グラフの 2 頂点間を結ぶ道 (path )
のうちで辺の重みの総和が最小のものを求める問題である．交通網の問題等はその 1 例で
ある．
この問題で対象とするのは，基本的には辺に重みのついた有向グラフである．重みは 0
以上の整数または実数値とする．重みとは，交通網の問題のように 2 点間の移動に要する
時間や費用を意味すると考えればわかりやすい．交通網の問題では無向グラフを使うのが
自然である．どちらも解き方の基本は同じである．
さらにこの問題は，出発点と終点の組合せとして何を取るかで，いくつかの種類に分か
れる．代表的なものは次の 2 種類である．
（1）出発点を 1 つ固定して，そこから他のすべての頂点への最短路を求める問題
（2）すべての 2 頂点の組合せに対して，最短路を求める問題
実用面では他の問題設定も考えられるが，それらの問題はほぼ，この 2 つのどちらかに
帰着して解くことができる．
ここではまた，道を構成する各辺の重みを加え合わせたものをその道の長さ ( length ) と
呼ぶことにする．
３．１
単一出発点の問題
出発点を 1 つ固定して，この頂点から他のすべての頂点への最短路を求める．出発点か
らはすべての頂点へ到達可能だと仮定する．
この問題には，D i j k s t r a のアルゴリズム (D i j k s t r a ’s algor i th m) とよぶ効率の良いアルゴ
リズムが知られている．その基本的な戦略は，各頂点への最短路を出発点に近い ( 最短路の
長さが等しい)ところから 1 つずつ確定していくことである．
図５ − １に重み付きグラフ例を示す．数字は辺の重みを表す．出発点は A である．図５
−2 は各頂点までの最短路を確定する順序を示している．塗りつぶしのついている頂点が
最短路確定である．頂点の中の数は，その時点までにわかっているその頂点への最短の道
の長さを表す．各ステップでは，この値が最小の頂点を選んで，最短路を確定している．
頂点 D の値が 3 番目と 4 番目の間で変わっている点に注意が必要である．
3
B
6
D
2
A
1
4
E
3
C
6
F
図５ −1
−3． 2 −
コンピュータ発展（井川）
――――――――――――――――――――――――――＞＞＞
6
9
6
7
7
4
10
10
8
10
10
図５−１
【演習１】下図６の無向グラフについて D i j k s t r a のアルゴリズムを実施して最短路を求め
るプログラムを作成しなさい．
e
2
1
a
b
f
4
6
h
2
7
2
1
c
3
2
d
5
図６
g
コンピュータ発展（井川）
プログラム例を次に示す：【演習１（ l i s t c 3- s06 .c ）】
/* - *- m o d e : c ; m o d e : f o n t-l o c k ; f i l e- coding- s y s t e m : e u c -j a p a n -* - * /
/*
ファイル名： listc3- s 0 6 . c
内容 : 単一出発点からグラフ上の各点への最短路問題 (Dijkstra's
a l g o r i t h m）
作成者学籍番号：
氏名：
日付：2 0 0 3 . 1 0 . 2 4
*/
#include <stdio.h>
/* 節の数 * /
#define N 8
#define M 9999
/* 隣接行列 * /
int a[N][N]={ {0,1,7,2,M,M,M,M},
{1,0,M,M,2,4,M,M},
{7,M,0,M,M,2,3,M},
{2,M,M,0,M,M,5,M},
{M,2,M,M,0,1,M,M},
{M,4,2,M,1,0,M,6},
{M,M,3,5,M,M,0,2},
{M,M,M,M,M,6,2,0}};
int main(void)
{
int j,k,p,start,min,
leng[N],
/ * 節点までの距離 */
v[N];
/ * 確定フラグ */
p r i n t f ( "始点 = " ) ; s c a n f ( " % d " , & s t a r t ) ;
for (k = 0 ; k < N ; k++){
leng[k]= M ; v[k] = 0;
}
用語の定義：
leng[start]=0;
o r文( 献
j =１0】; 石
j <
; j +『
+ )ア
{ ルゴリズムとデータ構造』，岩波書店， 1 9 9 6 ．
【引 f用
畑N
清著
min = M;
/ * 最小の節点を捜す */
【引用文献f o２
r】
( k杉= 原
0 ;厚k吉< ほ
Nか; 編
k +『
+ )ア
{ ルゴリズム工
i f共( v
=0
ng[k] < min){
立[ k出] =版
，&
2 0&0 1l e．
p=k; min=leng[k];
}
}
v[p]=1;
/* 最小の節点を確定する */
if (min==M){
p r i n t f ( "グラフは連結でない ¥n " ) ;
return 1;
}
/* ｐを経由してｋに至る長さがそれまでの最短路より小さければ更新 */
for (k = 0 ; k < N ; k++){
if((leng[p]+a[p][k]) < leng[k])
leng[k] = leng[p] + a[p][k];
}
プログ} ラム例を次に示す：【演習１（ l i s t c 3- s02.c ）】すべての節が始点の場合
for (j = 0 ;j < N ;j++)
p r i n t f ( " % d - > % d : % d¥n " , s t a r t , j , l e n g [ j ] ) ;
【】
}
return (0);
−3． 3 −
コンピュータ発展（井川）
−3． 4 −
（以下のプログラムは，各自で作成してみよう）
【演習２】演習１のプログラムで，最短経路の表示を加えたプログラムを作成しなさい．
(l istc3- s 0 7 . c)
【演習３】深さ優先探索の応用：トポロジカルソート (l istc3- s08. c)
半順序関係が与えられた有向グラフにおいて，1 番最初に訪問する頂点から最後に訪問
する頂点までを 1 列に並べる（これを，トポロジカルソートという）プログラムを作成し
なさい．ここで，半順序関係 ( p a r t i a l o r d e r) とは，どちらを先に先行しても良いような必
ずしも順序を比較できない場合を含む順序関係をいう．
（例） PERT 問題
1
5
0
3
4
2
7
6
図 7
【引用文献１】石畑清著『アルゴリズムとデータ構造』，岩波書店， 1 9 9 6 ．
【引用文献２】杉原厚吉ほか編『アルゴリズム工学 ― 計算困難問題への挑戦 ― 』，
共立出版， 2001 ．

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