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統計学Ⅱ(2016) 10章
１母集団と標本
10章標本抽出と標本分布
１．母集団と標本
(1) 視聴率調査
(2) 有限母集団と無限母集団
(3) データと母集団
２．標本抽出法
(1) 全数調査と標本調査
(2) 無作為抽出と有意抽出
(3) 単純無作為抽出法
(4) 層別抽出法
(5) 多段抽出法
(6) 系統抽出法
(7) その他の抽出法
３．標本平均 X の標本分布
(1) 標本平均の標本分布の例
(2) 標本平均 X の標本分布の平均
(3) 標本平均の標本分布の分散
(4) 有限母集団からの標本平均 X の
標本分布
教科書 224-231ページ
４．統計量の標本分布と比率への応用
(1) 標本分布の考え方
(2) 統計量とパラメータ，推定量と推
定値
(3) 標本比率の標本分布
(4) 標本比率の標本分布の平均と分
散
５．中心極限定理
(1) 母集団分布が正規分布の場合
(2) 中心極限定理
(3) 中心極限定理の応用
（１）視聴率調査
名古屋地区である番組をみた人がどのくらいの割合
かを表す

例：ある番組の視聴率が20％であった
名古屋地区の20％の人が，その番組を見ていた
⇒？

６． t 分布
(1) t 統計量とt 分布
(2) t 分布表
７．歪度統計量と尖度統計量の分布
◆
◆
自分は調査されていない
名古屋地区に住んでいる人すべてを調査してない
参考：視聴率調査は：ビデオリサーチによる
http://www.videor.co.jp/index.htm
視聴率調査の対象
視聴率調査のしくみ
人
名古屋地区全体（愛知，岐阜，三重の大部分）
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
調査世帯
（600世帯）
標本抽出
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
名古屋市
岐阜県
2,263,894 1,021,227
2,080,773
737,151
三県合計
20％の視聴率

愛知県の30市6郡7町，岐阜県の14市4郡4町，三重県の5市1郡4町

対象は約375万2千世帯（約922万2千人）
600
 0.00016  0.016% しか調査していない
3752000
抽出率
母集団と標本



費用，時間，労力・・・
標本 (sample)





(2) 有限母集団と無限母集団
母集団 (population)
本当にしりたい対象（ex.視聴率の名古屋地区全体）
通常は，調査不可能
実際に知ることができる対象（ex.600世帯）
特定の調査対象を何らかの基準によって選ぶ
ほとんどの統計調査は，標本調査
標本から得られた結果=データ
母集団の大きさ：N
標本の大きさ（データの個数）：n
視聴率調査・・・母集団の大きさNは有限
⇒有限母集団



母集団から，どのように標本を選ぶか


標本抽出法（10章）
標本の結果から，母集団を情報をどのように予想するか
 統計的推論：推定（11章），（仮説）検定（12章）
全数調査をすれば，母集団の情報を知ることができる
無限母集団

母集団の大きさNが無限
◆
標本調査における課題

704,607
資料：総務省「平成22年国勢調査」
あくまでも調査した
本当に知りたいが視聴率（わからない）世帯の20％

1,854,724
11,228,891 4,144,501
視聴率の調査対象エリアは，３県のすべてではない
？％

世帯数
7,410,719 2,933,802
三重県

推定
口
愛知県
◆

サイコロで1の目が出る確率を推定する
ある工場で生産される電球の寿命時間の平均を推定する
Nが有限であっても， Nが十分大きければ無限母集団と
みなす
第1章（14-15ページ）参照
1
統計学Ⅱ(2016) 10章
統計学の基本的な考え方
２標本抽出法
教科書 231-238ページ
データ＝母集団から抽出された標本とみなす


実際に標本抽出されたデータ

そうでないデータ
(1) 全数調査と標本調査
 全数調査（センサス）
視聴率，失業率…
◆

母集団全体を調査する
実施はむずかしい

例：総務省「国勢調査」・「経済センサス」

◆
GDP，株価，為替レート，試験の得点・・・
◆
※ このようなデータも母集団からの標本とみなす
（母集団を想定する）
cf. 例題10.1

標本調査


標本調査の例

関東・関西・名古屋地区：600世帯（名古屋地区は以前は250世帯）
九州，札幌，仙台地区など：200世帯

抽出される標本
母集団を代表するものでなければならない
⇒特定の集団に偏った標本はよくない
例
◆ 視聴率調査で，特定の年齢層だけを標本に選ぶ
◆ 街頭インタビュー
◆ 大統領選挙の例・・・

失業率：総務省「労働力調査」



(2) 無作為抽出と有意抽出
視聴率調査


母集団：全国の15歳以上人口（約1億1千万人）
標本：約10万人
家計の所得・貯蓄など：総務省「家計調査」
母集団：全国の約5018万世帯（平成22年国勢調査による）
=二人以上の世帯(3506万世帯)＋単身者世帯(1512万世帯)
 標本：約9000世帯

◆

母集団のすべてではなく，その一部を調査する
ほとんどが標本調査
理由：データ＝標本とみなすことによって様々
な統計的手法を適用することができる


費用，時間・・・
⇒特定の人に偏らないように，標本をいかに抽
二人以上の世帯：8076世帯＋単身者世帯：673世帯
出するかを考える
その他ほとんどの調査（内閣支持率，様々なアンケート調査，
「民間給与実態統計調査」・・・）
ランダムサンプリングと有意抽出


くじびきの原理で抽出
⇒ランダム・サンプリング（無作為抽出法）


無作為（確率的）に標本を抽出
有意抽出（ランダム・サンプリング以外の抽出）


確率的に標本抽出するのではない
恣意的に標本を抽出
◆
◆
◆

(3) 単純無作為抽出法
偏りのない標本をどのように抽出するか
街頭インタビュー，ヒアリング
インターネットによる調査
調査対象を募集する（モニター募集など）・・・
 偏った標本なので，母集団の推定が効率的に行えない
ランダム・サンプリングから得られた標本だと，標本から母
集団への推定がうまくいく


偏りのない標本を抽出する
⇒特定の人が選ばれやすくならないようにする
⇒どの標本も選ばれる確率が等しくなるように標本
を抽出する
＝くじびきの原理
⇒ 単純無作為抽出法 (Simple Random Sampling)
 SRS，シンプル・ランダム・サンプリング
 単にランダム・サンプリングと呼ぶこともある
独立性を確保できる
2
統計学Ⅱ(2016) 10章
（単純）無作為抽出の抽出方法
乱数の利用
1.母集団に番号をつける
2.母集団の番号ぶんだけのくじをつくる
3.よくかきまぜて，調査する数（標本の大きさ）
だけくじをひく
4.選ばれた番号を標本として，調査対象とする


実際はくじのかわりに，乱数（表）が用いられる
乱数における数字 (ex. 234ページ表10‐1)
 数字の並び方に特定の規則はない
◆
出やすい数字はない
–１ケタの数：0‐9までの10個の数字の出てくる
頻度はほぼ同じ
–2ケタの数：00‐99までの100個の数字が出て
くる頻度はほぼ同じ
以下同様に，3ケタ，4ケタ・・・
◆
並びやすい数字はない
– ex. １のあとに２が出やすいなどはない
（１のあとの数字は，どの数字もほぼ同じ頻度で出現
する）
ランダム・サンプリングの例
乱数で同じ番号が出てきたら？
（例）母集団400人から5人の標本を選ぶ

1. 母集団に 1,2,・・・,400の番号を振る

2. 乱数表の適当な箇所をスタート地点に選ぶ（サイコロを
振る，目をつぶって指をあてる・・・）
 ex.サイコロを２回振ったら５と３が出た
⇒5行目，３個目の数字からスタート
3. スタート地点から3ケタずつ数字を拾う
 母集団の大きさが400で3ケタだから
 401よりも大きい数字だったら飛ばす
 400以下の数字が5個出てくるまで数字を拾っていく
 192,035,(424),120,309,(928),133
 Excelでの乱数発生：
 RAND関数，RANDBETWEEN関数
同じ番号が選ばれた場合の対処の仕方
1．２回目（あるいはそれ以上）以降は飛ばす
 重複を許さない抽出（非復元抽出）
2．同じ番号の人は２人分とみなす
 重複を許す抽出（復元抽出）

どちらの方法でもよい


※ 有限母集団と無限母集団の項を参照
有限母集団における抽出：
復元抽出と非復元抽出の例

母集団=５人（有限母集団）
 視聴率調査を考え，５人のうち３人が
ある番組を見ていたとする
⇒母集団の視聴率=0.6
p  0 .6
 ２人の標本を抽出する


重複を許さない抽出（非復元抽出）
母集団
a
b
c
d
e
○
○
○
×
×
１人目を抽出するとき，母集団の視聴率は0.6
 もしbが選ばれたら，２人目を抽出するときの母集団視聴率は0.5
⇒同一の母集団視聴率から標本を選べない


復元抽出と非復元抽出
簡単な例

重複を許す抽出（復元抽出）・・・無限母集団と同じ


１人目を抽出しても，母集団に戻して２人目を抽出する
常に同一の視聴率から標本を抽出でき，独立性も確保される（iid）
実際には重複を許さない抽出がとられることが多い（同じ
人は選ばない
理論的には重複を許す抽出の方が正しい
有限母集団における標本の選び方
同じ対象を重複して選んでもよい
⇒重複を許す抽出（復元抽出）・・・無限母集団と同じ
 同じ対象を２度選ぶことはしない
⇒重複を許さない抽出（非復元抽出）

標本
・
・

非復元抽出だと iid にならない


同一の母集団からの抽出
独立性
iid
⇒復元抽出の方が理論的には望ましい

ただしNが十分大きければ，非復元抽出でも，iidと考える
ことができる
3
統計学Ⅱ(2016) 10章
ランダム・サンプリングの問題点


(4) 層化抽出法（層別抽出法）
ランダム・サンプリング・・・偏りのない標本抽出の基本
しかし，結果として，偏った標本となり得る

（くじなので，何が起こるのかはわからない．ex.女子だけが選
ばれる）
 母集団を代表する保障はない
 母集団の完全なリストも必要になる

⇒ ランダム・サンプリングを若干修正した標本抽出法
が考えられている
☆
☆
☆

層化（層別）抽出法
多段抽出法
系統抽出法・・・
事前に母集団をいくつかのグループ（層）
に分ける
各グループ（層）ごとにランダム・サンプリ
ングを行う
標本の大きさは，母集団の各層の大きさ
に比例させる
⇒母集団に関する事前の情報を利用する
※ 実際には，これらの方法がよく用いられている
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
層化抽出法におけるグループ（層）
層化抽出法

ランダムサンプリング
ランダムサンプリング
母集団
ランダムサンプリング
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
ランダムサンプリング
標本
ex. 学生の通学時間調査
・全学の男女比が8:2であれば
・ 200人の標本をとるとすると
⇒ 男160人，女40人の標本
分析の結果に大きな影響を与えると思われる主な属性で，母
集団をグループ分けをする







都市階級
地域
事業所規模（従業員規模）
性別
 年齢・・・
大きな影響を与えない属性は用いない
層は細かくしすぎない
例
 総務省「家計調査」
◆
• 結果として，偏った標本になることはない
• しかし，純粋なシンプル・ランダム・サンプリングとは異なる

国税庁「民間給与実態統計調査」
◆
地域を先に抽出する（ランダム・サンプリングによる）



ex.市町村の抽出⇒調査区の抽出
選ばれた地域の中で，ランダムサンプリングによって，
世帯・個人を抽出する
多段抽出法の利点



母集団に割り振られた番号を，一定の間隔で選
んでいく
 例： 800人から20人を選ぶ
→800÷20＝40人に1人ずつ抽出する



調査地域が散らばらない
◆
時間・費用などの面から効率的
母集団の完全なリストは必要ない







1～40, 41～80, 81～120, ・・・,761～800からそれぞれ
１人を抽出
最初の番号を，1から40の中から乱数で選択 ex.17
17,57,97,・・・,777を標本として抽出
より一般的に・・・

例．総務省統計局「家計調査」
市町村の抽出→国勢調査の調査区を抽出→世帯を抽出
 市町村の抽出は層化抽出
⇒ 層化３段抽出
従業員規模によって，事業所を抽出
(6)系統抽出法
(5) 多段抽出法

県庁所在地，政令指定都市，都市階級と地域によって，市町村を
層別して抽出（都道府県はなく，県庁所在地）
間隔＝母集団の大きさ÷標本の大きさ m  N / n
最初の番号は乱数で選択（1～mより１つ選択=K）
選択された乱数に間隔を加えていく
系統抽出法＝等間隔抽出法
系統抽出法の例

K , K  m, K  2m,  , K  ( n  1)m
視聴率調査（ウェブサイト参照）・・・
4
統計学Ⅱ(2016) 10章
教科書 238-244ページ
(7) その他の標本抽出法



３標本平均 X の標本分布
確率比例抽出法
RDD
・・・



様々な標本調査法については，

島崎哲彦・大竹延幸編(2013) 『社会調査の実際』学文社

いずれの標本抽出法も，ランダム・サンプリングが基本に
なっている

N=100の母集団から大きさn=8
の標本を抽出
抽出される標本の組合せを考
える


重複を許す抽出
繰り返し標本を抽出すると，各
標本で標本平均を計算するこ
とができる
60,
14,
:
52 x  38.375
母集団
N=100
1,
2,
3,
:
:
99,
100
標本2
51,
5,
:
x  53.625
82
母集団
母集団分布
標本=データ
x1,
x2,
：
：
xn
X1,
X2,
：
：
Xn
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
X1の分布=母集団分布


X2
X2の分布=母集団分布
x
確率変数：X 1 , X 2 ,, X n
標本
．．．
．．．
．．．
標本
．．．
．．．
．．．
・
・
・
x  45
実現する前の確率
変数として，標
本平均を考える
x
X
x
1
X1  X 2    X n 
n
・
・
・
X の標本分布
標本平均 X の標本分布の例
例教科書練習問題3（262ページ）
N=4の母集団（0,10,40,90）から n=2の標本を抽出（重複
を許す抽出）
n=2
・・・・・・
x1
実現値（データ）： x1 , x2 , , xn
．．．
．．．
．．．
N=4
X1
x
標本
標本200
58,
38,
:
52
確率変数 X
標本
x1 , x2 ．
．．．
xn
母集団
標本1
⇒その分布を標本平均 X の標
表10‐2，図10‐3
本分布という
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
標本抽出法＝ランダム・サンプリングが基本
標本の結果から，母集団の情報をどのように
予想（推定）するか
 標本分布という考え方をもとに推定などを行う
標本分布の
イメージ
(1) 標本平均の標本分布の例
（238‐241ページ）

知りたいのは母集団の情報
母集団から，どのように標本を選ぶか

などを参考のこと

基本的な考え方：データ＝母集団からの標本
x2
データx1, x2, ・・・,xnの背後に確率変数X1, X2, ・・・,Xnを考える（母集団）
X1, X2, ・・・,Xnに共通の母集団分布を想定する（iid）
0
10
40
90
0,0
n=2
0,10
x 0
x 5
・
・
・
・
・
・
5
統計学Ⅱ(2016) 10章
母集団分布と特性値（通常は未知）
i
x i －μ
xi
1
2
3
4
合計
平均
2
(x i －μ )
0
10
40
90
答．
母平均
μ=35
母分散
σ2=1225
母標準偏差
σ=35
分散 2
標準偏差
階級
0 - 20
20 - 40
40 - 60
60 - 80
80 - 100
合計
母集団分布
度数
2
0
1
0
1
4
母集団分布
3
2
1
0
20
40
標本平均の標本分布の平均と分散
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
合計
平均
0
5
20
45
5
10
25
50
20
25
40
65
45
50
65
90
X 
-35
-30
-15
10
-30
-25
-10
15
-15
-10
5
30
10
15
30
55
0
560
35 分散
標準偏差
標本平均の標本分布の平均は母平均に等しい
60
80
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
標本平均 X の標本分布の
＝母平均μ
平均=35
n
2

1225
2
母平均μ=35
母分散σ2=1225
母標準偏差σ=35
標本平均
0
10
40
90
0
10
40
90
0
10
40
90
0
10
40
90
0
5
20
45
5
10
25
50
20
25
40
65
45
50
65
90
標本平 X
均の標
本分布
階級
0 以上 - 20 未満
20 - 40
40 - 60
60 - 80
80 - 100
合計
度数
4
4
5
2
1
16
相対度数
0.25
0.25
0.3125
0.125
0.0625
1.00
標本平均の標本分布
6
標本平均の標本分布
0.4
0.3
4
0.2
2
0.1
0
0
20
40
60
80 100
20
40
60
80 100
X
標本平均 X の標本分布の
平均＝μ（母平均）
分散＝612.5 母分散σ2

母集団：0,10,40,90
→16通りの x
標本平均 X の標本分布
分散＝

2
有限母集団（重複を許
さない抽出）の場合は
244ページ参照
（Nが大きければ同じ
結論）
n
2
標準偏差＝
n


n
標準偏差=24.75…

分散は母分散よりも小さい
平均すると，もとのデータよ
り真ん中に集まる
x1, x2,・・・, xn ：iidデータ（ランダム・サンプリングによる
⇒ X1, X2,・・・, Xn ：iid （互いに独立に同一の分布に従う）
標本平均の標本分布の平均
1

E ( X )  E  ( X 1  X 2    X n )
n

1
 E ( X 1 )  E ( X 2 )    E ( X n )
n
1
 n  
n
 E( X1)  E( X 2 )    E( X n )  
標本平均 X の標本分布の意味
x によって  を推定する根拠を与える

 １個１個の x は  を当てることはできない
(3) 標本平均の標本分布の分散

標本）

標本
0
0
0
0
10
10
10
10
40
40
40
40
90
90
90
90
母平均μ=35
母分散σ2=1225
母標準偏差σ=35
(2) 標本平均の標本分布の平均

標本番号
母集団：0,10,40,90
( X  )2
1225
900
225
100
900
625
100
225
225
100
25
900
100
225
900
3025
9800
612.5
24.75
標本平均の標本分布（無限母集団）
42=16通りの標本が考えられる

標本平均の標本分布の分散は，母集団分
布の分散より小さい
分散の大きさ
1
 1
 Var( X )  Var  ( X 1  X 2    X n )  2 Var( X 1  X 2    X n )
n
 n
1
 2 Var( X 1 )  Var( X 2 )    Var( X n )
n
1
1
2
 2  2   2     2  2 n 2 
n
n
n


Var ( X 1 )  Var ( X 2 )    Var ( X n )   2
6
統計学Ⅱ(2016) 10章
標本平均の標本分布の特徴 (1)：平均

実現した個々の x はμと等しくない

しかし，X の標本分布の平均はμに等しい

一般的に
標本平均の標本分布の特徴 (2) ：分散
x
個々の x は μ と等しくない

→正確には μ を当てることはできない
→全体としてみれば（平均すれば）， X は μ をうまくあてている
X の標本分布の分散は

→ X をμの推定値として用いる根拠を与える
※但し，実際には１つの標本， x が実現する

2
n
→nを大きくすれば，分散は小さくなる
分散が小さくなると，実現する x は

μに近づいていく
Xの標本分布
X


教科書 245-250ページ
４統計量の標本分布と比率への応用
標本平均の標本分布の特徴(3)：分布の形



(1) 標本分布の考え方
 標本平均，標本分散・・・
y  h x1 , x2 ,, xn 
母集団分布は左右対称の分布
標本平均の標本分布は左右対称になる
母集団分布は左右対称のきれいな形の分布をし
ていなくても・・・


標本平均の標本分布はほぼ左右対称になる



母集団分布
標本平均 X の標本分布
(2) 統計量とパラメータ，推定量と推定値



標本からある特性値を計算するための公式
統計量は確率変数
統計量の実現値y=h(x1, x2,・・・, xn)



母集団の特性値（本当に知りたいこと；未知）


母（集団）平均，母（集団）比率，母（集団）分散
推定量(estimator)：パラメータを推定する
ための統計量


確率変数ではない（既知）
パラメータ
確率変数
推定値(estimate)：推定量の実現値

確率変数ではない
x1, x2,・・・, xn は X1, X2,・・・, Xn から一定の確率
で実現した
Y=h(X1, X2,・・・, Xn)も確率変数で，確率分布を
もつ＝標本分布 (sampling distribution)
パラメータと統計量の例
統計量： Y=h(X1, X2,・・・, Xn)

実現値（データ）の関数
データを実現させる確率変数を考える

母集団の情報
（未知）




母比率 p
母平均μ
2
母分散 
母標準偏差 
:

推定
パラメータ
母集団における特性値
（本当に知りたい値だが，未知）
確率変数

標本比率 X
標本平均 X
標本分散 S 2
標本標準偏差 S
:
標本の情報
（既知）：確率
変数の実現値
pˆ
x
s2
s
統計量
7
統計学Ⅱ(2016) 10章
比率と平均
1,0データの平均と分散
比率は，1 ‐ 0データの平均
例
 コインの5回投げたら2回表が出た
 表が出る比率（割合）=2/5=0.4
 Xi：表が出たら1，裏が出たら0をとる変数
 5回のうち2回表がでた⇒1,1,0,0,0
 1 – 0データの平均： 1  1  0  0  0
2



（母）比率がpのとき

平均：p

分散：p(1-p)=pq
，
5

5



，
n
⇒標本比率は標本平均 X で表せる X   X i
n i 1
 ただし，P ( X i  1)  p, P ( X i  0)  1  p  q



Xiの平均=p
Xiの分散=pq
標本比率の標本分布の平均と分散
～標本平均の場合とほとんど同じ


0.36
0.36
0.16
0.16
0.16
1.2
0.24
p
pq
ex. p=0.8の場合，
分散=pq=0.8×(1-0.8)=0.8×0.2=0.16
標本番号
標本比率＝標本平均
1
Xi ・・・ 1か0をとる確率変数 X i  
0
1
( x i  p) 2
0.6
0.6
-0.4
-0.4
-0.4
0
分散
pがわかれば分散もわかる（パラメータは１つ）
(3) 標本比率の標本分布
標本比率の標本分布

xi  p
1
1
0
0
0
2
0.4
教科書 150ページ参照
したがって標本分布も比率と平均ではほとんど
同じ

xi
1
2
3
4
5
合計
平均
 0.4  比率
比率と平均は同じもの

（ただし，q=1-p）
i
平均＝母平均=母比率 p
分散＝母分散(pq)÷n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
d
d
d
d
d
e
e
e
e
e
標本
データ
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
合計
平均
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
標本比率
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
10.0
0.4
例：教科書練習問題4，263ページ
母集団 N=5 (1,1,0,0,0)
母比率（平均） p=0.4
母分散 pq=0.4×0.6=0.24
ただし，q=1-p
標本
母集団
※標本平均の
場合と同様
a
b
c
p  0 .4 d
e
標本比率 X の標本分布
・
・
○
○
×
×
×
14
平均=0.4 ＝母比率p
12
10
8
分散＝0.12 母分散pq
6
4
2
0
0
標準偏差=0.34…

0.5
1
pq 0.6  0.4


n
n
2
2
教科書 250-255ページ
５中心極限定理
(4) 標本比率の標本分布の平均と分散
標本比率 X の標本分布の
平均＝p（母比率）
分散＝
pq
n
標準偏差＝
(1) 母集団分布が正規分布の場合

データ： iid データであること
(q  1  p)
pq
n
母集団分布
X の標本分布
平均


分散
2
2
分布の形
正規分布
n
正規分布
8
統計学Ⅱ(2016) 10章
(2) 中心極限定理

標本平均
母集団分布が一般の場合



データ： iid データ
nが大きい

分散
分布の形
X の標本分布の平均=μ，分散
n
正規分布
？
n
n
Z
X 
～N (0,1)
 n
条件：
X1,X2,・・・,Xn:iid
n：大きい
標本平均 X の標本分布
標本n
．．．
．．．
．．．
母集団N
x
x
z
 n
x
x
z
 n
x
z
標本n
．．．
．．．
．．．
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
標本n
．．．
．．．
．．．
標本n
．．．
．．．
．．．
X
・
・
・
x
n

データが独立に同一の分布から抽出され（iidデータ）
標本の大きさnが十分大きいとき
母集団分布がどのような形の分布でも，
X 
Z
 n


は標準正規分布N(0,1)で近似できる
x
z
 n
x
・
・
・
の標本分布～ N (  ,
2
n
Z～N (0,1)
)
n が大きければ，X は
正規分布
• 標本比率 X の標本分布
の
平均＝p（母比率）
N ( p,
pq
) で近似
n
できる
X を基準化
Z
Xp
～N (0,1)
pq n
教科書 253ページ
中心極限定理
標本平均 X の標本分布
N ( ,
母集団分布
2
n
Zの分布
)
N (0,1)

0
(3) 中心極限定理の応用
標本比率に関する中心極限定理
pq
分散＝
n
pq
標準偏差＝
n
 2 標準偏差 
→Zの平均は0，分散は1（標準偏差は1）
また，X は正規分布にしたがうので，Zも正規分
布にしたがう＝中心極限定理
2
2
母集団分布
中心極限定理の
イメージ


平均
の基準化
X 
→基準化する Z 
 n
X の標本分布
母集団分布
X

p.254 例題10.2
母集団
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
  0.5%
2 4
  2%
標本
n=25
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
P ( X  0)
 P(
X 

 P( Z 
n

0

0  0 .5
2
25
n
)
)
 P( Z  1.25)
 0.8944
9
統計学Ⅱ(2016) 10章
教科書 255-261ページ
６ t 分布
(1) t 統計量と t 分布

イメージ
母集団N
Xi～N(μ,σ2) のとき
iid
X 
～N (0,1)
Z
 n
⇒ ただし，μとσは一般に未知
t 統計量の
S2 
1 n
 ( X i  X )2
n i 1
．．．．
．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．
．．．．．．．
．．．．．．
．．．
⇒ σを計算可能な値で置き換える
S  S2
標本標準偏差S
⇒ 置き換えた値を T とする
μを推定するため
(nもn-1で置き換える）
（11章で利用）
X 
T
S n 1
標本n
．．．
．．．
．．．
X の標本分布
x
基準化
z 
標本n
．．．
．．．
．．．
z 
x
x
n

標本n
．．．
．．．
．．．
x
z 
標本n
．．．
．．．
．．．
・
・
・
T : t 統計量
σをsで置き換え
x

n
x
z 
・
・
・
N ( ,
2
n
)
x
n

t
x 
s n 1
t
x 
s n1
t
x 
s n1
x   t  x 
s n 1

n
・
・
・
・
・
・
Z～N (0,1)
T ～自由度
n-1のt分布
t 分布の形状
t 統計量と t 分布

X 
t 分布は，自由度（データ数）によって形が変わる
t 統計量 T  S n  1 は，標準正規分布(0,1)
ではなく，自由度m=n‐1の t 分布に従う


t 分布では，標準正規分布より，0から離れた値
をとる確率が高い（スソの厚い分布）

左右対称の分布で，平均は0
Tm 
X 
S n 1
と書くこともある
自由度＝n-1
E Tm   0
m
m2
2
 1
m2
Var Tm  
自由度が大きくなると，t 分布は標準正規分布に近づく
• t 分布：データが少ないとき（小標本）に利用される
• データ数が多ければ，標準正規分布 N(0,1) を用いて
構わない（ t 分布と標準正規分布で結果に大差ない）
(2) ｔ分布表 (435ページ)
各自由度に対して，
P(Tm< c)=0.95
などに対するcの値を与える

0.95
自由度によって分布の
形が変わるから
この数字が t 分布
表に入っている
例
自由度10の場合
P(T<1.812)=0.95
P(T<2.764)=0.99
P(T<2.228)=0.975
a
P(-2.228 <T<2.228)=0.95
10
統計学Ⅱ(2016) 10章
10 章標本抽出と標本分布練習問題
１．234 ページの表 10-1 の乱数表を用いて，シンプル・ランダムサンプリングにより 5000
人の中から 4 人の標本を抽出せよ．ただし，スタートする場所は，当日の月を列番号，
日の下一桁を行番号として用いよ．
また，Excel の乱数の関数を利用して，同様の抽出を行え．
２．教科書の練習問題１（262 ページ）
３．教科書の練習問題２（262 ページ）
．さらに「視聴率調査」
，「家計調査」についても同
様の問いに答えよ．
４．母集団が 15,23,47,87 という４つの数字からなるとき，次の問いに答えよ．
(1) 母集団の平均，分散，標準偏差を求めよ．
i
xi
1
2
3
4
合計
平均
x i －μ
2
(x i －μ )
1

N
15
23
47
87
2 
分散 
標準偏差
N
x
i
i 1
N
1
N
( x   )
i
2
i 1
(2) この母集団から重複を許す大きさ 2 (n=2) の標本を抽出することを考える．このとき，
すべての可能な標本を書き出し，それぞれの標本平均を求めよ．(2)の標本平均を度数分
布にまとめよ（階級は，0-20,20-40,40-60,60-80,80-100）．
(3) (2)の標本平均を度数分布にまとめよ（階級は，0-20,20-40,40-60,60-80,80-100）．
(4) (2)で求めた標本平均の標本分布の平均，分散，標準偏差を求めよ．
(2)
(3)
標本番号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
標本
標本平均
標本平均
0 以上 - 20 未満
20 - 40
40 - 60
60 - 80
80 - 100
合計
度数
11
統計学Ⅱ(2016) 10章
５．母集団が 8,12,24,44 という４つの数字からなるとき，次の問いに答えよ．
(1) 母集団の平均，分散，標準偏差を求めよ．
(2) この母集団から重複を許す大きさ 2 (n=2) の標本を抽出することを考える．このとき，
すべての可能な標本を書き出し，それぞれの標本平均を求めよ．
(3) (2)の標本平均を度数分布にまとめよ（階級は，0-10,10-20,20-30,30-40,40-50）．
(4) (2)で求めた標本平均の標本分布の平均，分散，標準偏差を求めよ．
i
1
2
3
4
合計
平均
xi
x i －μ
2
(x i －μ )
8
12
24
44
分散 
標準偏差
(3)
標本平均
0 以上 - 10 未満
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
合計
度数
(2)
標本番号
標本
標本平均
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
６．母集団が 30,50,60,70,90 という 5 つの数字からなるとき，問５と同様の問いに答えよ
（階級は，0-20,20-40,40-60,60-80,80-100）．
７．母集団の大きさを N=4，標本の大きさを n=2 とし，母比率を 0.25 とする（たとえば，
視聴率調査を考え，4 人を a～d とすると，a がある番組をみた，b,c,d がみていないとする）．
みた場合に 1，みていない場合に 0 という数値を与えるものとする．
(1) 1,0 で表された母集団の平均と分散を求めよ．
(2) この母集団から重複を許す大きさ 2 (n=2) の標本を抽出することを考える．このとき，
すべての可能な標本を書き出し，それぞれの標本比率を求めよ（次ページ）．
(3) 標本比率を度数分布にまとめよ．
(4) 求めた標本比率の標本分布の平均，分散，標準偏差を求めよ．
12
統計学Ⅱ(2016) 10章
標本番号
標本
標本比率
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
標本比率
0.0
0.5
1.0
合計
度数
８．母集団の大きさを N=5，標本の大きさを n=2 とし，母比率を 0.6 とする．この母集団
から重複を許す大きさ 2 (n=2) の標本を抽出するとき，問７と同様の問いに答えよ．
９．問４について，この母集団から重複を許さない大きさ 2 (n=2) の標本を抽出することを
考える．このとき，問４(2)～(4)と同様の問いに答えよ．
10. 問７で重複を許さない大きさ 2 (n=2) の標本を抽出するとき，問７の(1)～(4)と同様の
問に答えよ．
11. 教科書の練習問題６（263 ページ）
12. 教科書の練習問題７（263 ページ）
13. 教科書の練習問題８（264 ページ）
14. 教科書の練習問題９（264 ページ）
15. 次の値を満たす a を求めよ．ただし，T は自由度 8 の t 分布に従うとする．
(1) P (T  a )  0.95
(3) P (T  a )  0.99
( 2) P (  a  T  a )  0.95
(4) P ( a  T  a )  0.99
16. T が自由度 5 の t 分布に従う場合，16 と同じ問いに答えよ．
17. 教科書の練習問題 10（264 ページ）
18. 次の確率を求めよ．ただし，T は自由度 12 の t 分布に従うとする．
(1) P (T  1.782)
( 4) P ( 2.179  T  2.179)
(2) P (1.782  T  1.782)
(5) P (T  3.055)
(3) P (T  2.179)
(6) P (3.055  T  3.055)
13
統計学Ⅱ(2016) 10章
19．次の（
）に最もよくあてはまる記号（または数式），語句，数値を答えよ．ただし，
無限母集団から大きさ n の標本（データの個数が n ，ただし n  2 ）を互いに独立に無作為
に抽出することを考え，母平均を  ，母分散を  2 ，母比率を
p ，q  1  p ，標本平均を X ，
2
標本分散を S とする．
(1)
ある番組の視聴率調査を５人に対して行い，その番組を見ていたら 1，見ていなか
ったら 0 という数値を与えるものとする．その結果，0,0,0,1,0 というデータが得ら
a ）％である．また，5 個のデータの平均は（
れた．このとき視聴率は（
分散は（
(2)
b ），
c ）である．
標本平均 X の標本分布の平均は（
d
），分散は（
e
），標準偏差は（
f
）
である．
(3)
標本平均 X を基準化した Z 
標準偏差は（
(4)
X 
の分布の平均は（ g ），分散は（ h ），
 n
i ）である．
n が十分大きければ，
(3)の Z は（
j ）分布で近似することができる．これは（
k ）
定理と呼ばれる．
(5)
標本比率 X の標本分布の平均は（
l ），分散は（
m ），標準偏差は（
n ）
である．
(6)
標本比率 X を基準化した Z 
準偏差は（
(7)
X  (l )
の分布の平均は（
(n)
），分散は（
p
），標
q ）である．
母集団分布を正規分布とするとき，
従う．また（
o
X 
は自由度（ r ）の（ s ）分布に
S n 1
s ）分布は，自由度が大きい場合，
（
t ）分布で近似することが
できる．
(8)
（
u ）とは，すべての標本が等しい確率で抽出されるような標本抽出法である．
(9)
（
v ）とは，母集団を地域，都市階級，従業員規模，年齢などでグループ分けし，
それぞれのグループで（
(10) （
w
u ）によって標本を抽出する方法である．
）とは，母集団に割り振られた番号を等間隔で選び，標本を抽出する方法
である．
14

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