有限平坦群スキームの分類とガロア表現の枠付き変形 I 服部 新 北海道大学理学研究院 [email protected] 平成 20 年 2 月 28 日 ※ M. Kisin: Moduli of finite flat group schemes, and modularity, preprint, の前半 (Section 1, 2) の紹介 1 Introduction 1.1 背景 F を総実代数体, GF をその絶対 Galois 群, p ¥ 3 を素数とする. E を Qp の有限次拡大, OE と F をその整数環と剰余体とし, GF の p 進表現 ρ : GF Ñ GL2 pE q を考える. ρ が modular である Ñ GL2 pQ̄p q Ñ GL2 pFq が modular であるとは, ρ̄ とは, F 上の Hilbert cusp eigenform f が存在して, f に伴う GF の p 進表現 ρf : GF が ρ と同型になることだった. また, ρ の mod p 表現 ρ̄ : GF Ñ GL2 pF̄p q と同型になることを言う (このとき ρ は F Q に対し, GQ の p 進表現 ρ が与えられたとき, その がある f に伴う GF の mod p 表現 ρ̄f : GF residually modular であると言われる). modularity を示すための Taylor-Wiles ([23]) によるアイデアは, modular な mod p 表現の「性質 の良い」持ち上げが必ず modular になることを示す, と言うものだった (この種の主張は modular lifting と呼ばれる). 彼らはこれを, modular な ρ̄ の変形を統制する（ある）普遍変形環 R と, 保型 形式を統制する（ある）Hecke 環 T との同型を示す, と言う形—R T 定理と呼ばれる—に定式 化して証明した. 一方で residual modularity を示すことは「比較的やさしい」問題であった (ただ し「やさしい」とは言え, 証明には保型表現の base change や R T 型定理が必要になる). Taylor-Wiles が扱った持ち上げの「性質の良さ」の中でも, 最も繊細な扱いを要するものが, 「p で Barsotti-Tate」と言う条件だった. 一般に局所体 K に対し p 進 GK 表現 V が Barsotti-Tate とは, OK 上の p-divisible 群 Γ が存在して, Γ の Tate 加群 Vp pΓq が GK 表現として V と同型となる ことである. 彼らの結果を受けて, Conrad-Diamond-Taylor ([9]) が F Q かつ ρ|G Qp が分岐指数 p 1 未満の拡大で Barsotti-Tate になる場合に, Breuil-Conrad-Diamond-Taylor ([7]) が F Q, p 3 かつ ρ|GQ3 が wild かもしれないが少なくとも導手の小さい拡大で Barsotti-Tate になる場合 に, R T 定理をそれぞれ一般化している. F が一般の総実代数体の場合には藤原 ([14]) が同様の modular lifting を証明している. ただし, 彼らの結果には F や, ρ が Barsotti-Tate になる拡大体について, これらの p における絶 対分岐指数に関する制限が課せられていた. これは絶対分岐する局所体上での整 p 進 Hodge 理論 が未整備なためであった. 以下ではこの点について説明する. 1 p を割る F の素点を p で表す. p で Barsotti-Tate な ρ に対して modular lifting を適用する場合, 考えなければいけない変形条件は「p での flatness」である. つまり, Artin 環 A への ρ̄|GFp の変 形 VA で, 次の条件を満たすものを考える: • 整数環 OFp 上の有限平坦群スキーム G が存在して, G の generic fiber として得られる GFp p q 表現 G F̄p が VA と同型になる. このような GFp 表現は flat であると呼ばれ, それと同型な GFp 表現を与えるような OFp 上の有限 平坦群スキームをこの GFp 表現の有限平坦モデルと言う. 一般に, K を Qp の有限次拡大とするとき, OK 上の有限平坦群スキームはある種の線形代数的 なデータ (具体的には, ある係数環上のフィルター付き加群＋付加構造）で分類できる. この事実 p q p q p 1 の場合は Conrad ([8]), 一 は K の絶対分岐指数 e K が 1 のときは Fontaine ([10]), e K 般の場合は Breuil ([5]) が, それぞれ別の係数環と付加構造を考案することによって証明した. ま p q p 1 なら, OK 上の有限平坦群ス た, Raynaud の定理 ([19, Corollaire 3.3.6]) によると, e K キームに対してその generic fiber として得られる GK の flat 表現を与える関手は忠実充満である. p q p 1 なら, flat 表現の変形環を線形代数的なデータを使って調べることができる. 一方, epK q が大きい場合はこの忠実充満性が崩れ, flat 表現の圏と OK 上の有限平坦群スキーム 従って, e K の圏の間には「ずれ」が生じる. もしもこの「ずれ」 (つまり OK 上の有限平坦群スキーム G に対 p q p q しその generic fiber G K̄ を対応させる関手) も線形代数で記述することができれば, e K が大き くても flat 変形環の構造を線形代数を使って調べることが可能になるはずだった. ところが, Breuil p q による分類理論では, 係数環が大きすぎて G と G K̄ の関係をうまく線形代数側に抽出することが できなかった. 本稿で紹介する論文 [15] の最大のポイントは, OK 上の有限平坦群スキームの新しい分類理論 (これは Breuil によるアイデアを Kisin が整備したものである) を用いてこの問題点を克服したと ころにある. W pkq と表す. K の素元 π と, π の p 巾乗根の逆 系 tπn u を固定し, K8 K pπn q と置く. この新しい理論によると, OK 上の有限平坦群スキーム は一変数巾級数環 W rruss 上の有限加群 (＋付加構造) で分類される. 一方, Fontaine の理論によっ て, 有限 GK8 加群は W ppuqq 上の有限加群 (＋付加構造) で分類されることが知られている. G を OK 上の有限平坦群スキームとし, 対応する W rruss 加群を M と置く. このとき, この新しい理論 によれば, 有限 GK8 加群 G pK̄ q|G 8 に対応する W ppuqq 加群は Mr1{us である. 従って, ある flat 表現を与えるような OK 上の有限平坦群スキームを分類することと, その表現に対応する W ppuqq 加群の W rruss-lattice を分類することが同値になる. こうして上に述べた「ずれ」も線形代数で扱 K の剰余体を k と書き, その Witt 環を W K えることになった. この際重要なのは, GK の flat 表現を GK8 に制限する関手は忠実充満と言う Breuil の定理であ る. つまり, 状況を線形代数に持ち込むためには flat 表現を GK8 に制限する必要があったが, この 制限を経ても表現の圏論的な情報は失われず, 従って線形代数側から GK 表現にいつでも戻ること ができる. 以上を踏まえて論文 [15] の主定理 (のひとつ) を述べる. これまでの R T 定理と異なり, F や, ρ が Barsotti-Tate になる拡大体について, これらの p における分岐の条件が外れていることに注 意しておく. 定理 1.1 ([15], Theorem (3.5.5)). p ¥ 3 を素数, F を総実代数体とする. S を F の素点の有限集合 で p を割る素点全体と無限素点全体を含むものとし, GF,S で S の外不分岐な F の最大 Galois 拡 2 大の Galois 群を表す. E を Qp の有限次拡大とし, ρ : GF,S Ñ GL2 pE q を連続表現で, その determinant が円分指標と有限指標の積であり, 以下の条件を満たすものと する. • p を割る全ての素点 p に対し, ρ|GFp は potentially Barsotti-Tate. さらに, ρ|GFp が potentially ordinary でない p については, p の剰余体は Fp . • ρ̄ ρ̄f となる parallel weight 2 の F 上の Hilbert 保型形式 f が存在. さらにこの f は次の 2 条件を満たす: – f に対応する GL2 pAF q の保型表現は, p を割る全ての素点で non-special. – p を割る任意の素点 p について, ρf |GFp が potentially ordinary ordinary. ô ρ|G Fp が potentially Ñ GL2 pFq は, F pζp q の絶対 Galois 群に制限すると絶対既約. さらに p 5 かつ ρ̄ の projective image が P GL2 pF5 q と一致するときは, rF pζ5 q : F s 4 も仮定する. • 剰余表現 ρ̄ : GF,S このとき, ρ は modular である. 1.2 有限平坦モデルのモジュライ ここでは主定理を示すために必要なことの概略を述べる. 方針は Taylor-Wiles (の極小 lift の場 合) と同様で, 変形条件を緩めた変形環と level を増やした Hecke 環を考え, それらを「貼り合わせ T を証明する. ただし, 示したいのは p 進表現の modularity なので, R T より 弱く R{pp-torsionq T を示せばよい ([15, Proposition (3.3.1)]). 条件から ρ̄ を与える Hilbert 保型形式 f が存在する. F の素点 q での ρ̄|G の (適当な変形条件 に関する) 普遍変形環を Rq と置く. Rq の generic fiber Rq r1{ps の各閉点は, GF の p 進表現で ρ̄|G の変形 (で与えられた変形条件を満たすもの) の極限として書けるものに対応している. その ような GF の p 進表現に関する条件 C を考える. C を満たす Rq r1{ps の閉点全体は SpecpRq r1{psq る」ことで R Fq q Fq q の部分集合を定める. ρ や, f に伴う Galois 表現は, ρ̄ の変形になっているので, (もしこれらが与えられた変形条件を 満たせば) ρ と f から図式 OE Ð Rq Ñ T が得られる (ここで T はある Hecke 環). このとき, [15, Proposition (3.3.1)] による Taylor-Wiles 系の貼り合わせを行うためには次の 2 条件が必要になる: 1. Rq は整域. 2. Rq r1{ps は E 上 formally smooth で, Rq は適切な Krull 次元を持っている. r{s 後で述べるように, Rq 1 p の formal smoothness を示すのは比較的容易である. ところが一般に Rq r1{ps は連結ではないので, 次のようなことを考える. 変形条件に加えて, 上で述べたような p 進 表現に関する条件 C を課す. 条件 C を満たす閉点全体が SpecpRq r1{psq のひとつの連結成分と一 3 p q p q 致すると仮定する. この連結成分の Spec Rq におけるスキーム論的閉包を Spec RqC と書く. こ のとき, もしも ρ と f に伴う Galois 表現がともに条件 C を満たすように f や C を選べれば, 図式 OE Ð RqC Ñ T が得られ, しかも RqC は整域かつ generic fiber が formally smooth なので, あとは RqC の Krull 次 元が適切な値であることが分かれば, [15, Proposition (3.3.1)] を適用でき, modularity を証明でき る. この論文の中心課題は, そのような良い条件 C を見つけるために, 変形環 Rq の generic fiber の解析を行うことである. 簡単のため以下本稿では q が p を割る場合だけを考える (そこで以下 q の代わりに p と書く). こ の場合, この論文で考えている変形条件は p での flatness であり, 従って flat 表現の変形環 Rpfl の generic fiber Rpfl r1{ps を調べることになる. この generic fiber の E 値点は, E 係数の 2 次元 GFp 表 現 V で p 進表現として Barsotti-Tate なものに対応している. このような表現 V に対する条件 C は例えば次のようなものである: • V は ordinary (resp. non-ordinary) であり, V に対応する Fp 上の p-divisible 群 ΓFp の接空 間 LiepΓFp q は rank 1 の自由 E bQp Fp 加群. さらに, ordinary の場合において, ρ̄|GFp が異 なる不分岐指標の直和であるときには, ρ̄|GFp の 1 次元部分表現 L̄ を固定した上で次の条件 も付け加える: – 惰性群が p 進円分指標で作用するような V の 1 次元部分表現は L̄ の lift になっている. 注 1.2. 変形条件を flat に制限した理由は, この論文が書かれた段階では整 p 進 Hodge 理論の中で 比較的理論が整備されていたのが flat 表現や Barsotti-Tate 表現だけだったため. しかしすぐ後に Kisin 自身がこの論文で使われたテクニックをより一般の p 進表現に対して拡張し ([16]), 同様の 解析をより広いクラスの変形環についても行っている ([17]). 上に挙げた 2 つの条件のうち, formal smoothness と Krull 次元の条件は local な性質であり, 比較 的容易に考察できる. 実際, Rpfl の generic fiber の各閉点での完備局所環が, 対応する Barsotti-Tate p 進表現の (標数 0 の Artin 環の圏で考えた) 変形環と同型で, しかもこの変形環が formally smooth であることから, Rpfl の generic fiber の formal smoothness を示すことができる. 一方, 連結性の条件は global な性質である. 今述べたように p 進 Hodge 理論ではその完備局所環 しか分からないことに注意する. ここでもし, RpC の特異性がそれほど悪くなく, 例えば OE 上 flat で, かつ closed fiber RpC bO E OE {mE が reduced であれば, generic fiber の連結性は closed fiber の連結性から従う. ゆえに, RpC の特異性が十分良ければ話がうまく行くと思われる. ところが, 一 般に K の分岐指数が大きい場合, flat 表現の普遍変形環 Rpfl は特異性の良い局所環になるとは限ら ない. そこで, Rpfl やその剰余環 RpC の特異性を解析するかわりに次のような道筋を辿る. 特異性の良 いスキーム X C と, スキームの射 X C Ñ SpecpRpC q で generic fiber に同型を引き起こすものとを 構成し, X C の closed fiber の連結成分の解析を行うことで X C の generic fiber の, 従って RpC の generic fiber の連結性を調べる. このような X C の構成は以下のようにして行う. K pq Fp とし, flat な GK 表現 ρ̄|G K の表現空間 を VF と書く. Artin 局所 W F 代数で剰余体が F であるもの A に対し GK 表現 VF の A への flat な変形 VA とその有限平坦モデルの組全体の集合を対応させる関手を考えて, これが representable Ñ A と, この射による普遍変形 VRpfl の引き戻し VRpfl bRpfl A の有限平坦モデルの組を与えることと同じである. さらに, 上述した有限平坦群スキーム であることを示したい. これは, 局所環の射 Rpfl 4 pp qq 加群の W rruss-lattice の言葉で書き 換えることができる. 実際, VR |G 8 に対応する W ppuqqbZ Rpfl 加群を MR と置くと, VR bR A の有限平坦モデルを与えることは, W ppuqq bZ A 加群 MR bR A の pW rruss bZ Aq-lattice（＋ の分類理論と Breuil の忠実充満性定理を使うと, これを W u fl p fl p p K fl p p fl p fl p fl p p 付加構造）を与えることと同値になる. このような lattice 全体は Affine Grassmann 多様体（の 閉部分集合）で classify される. さらに条件 C に対応する閉部分スキームを取ることで, 求める スキーム X C が得られる. C を適切に選べば, X C は志村多様体の local model と結びつくことが 示せるので, local model に関して得られている結果から X C の特異性がよい（特に normal かつ CM で closed fiber が reduced である）ことが分かる. X C Ñ SpecpRpC q の generic fiber は, OK 上 の p-divisible 群にその Tate 加群を対応させる射なので, Tate の定理より全単射と分かり, 両辺の generic fiber の特異性がよいことは既に示したので, この全単射から同型が従う. φ 加群, 有限平坦群スキーム, p 進 Hodge 理論 2 2.1 GK8 表現の分類 p ¥ 3 を素数とする. K を Qp の有限次拡大とし, k を K の剰余体とする. W W pk q の Frobenius 写像を σ で表す. K の素元 π と, その p 巾乗根の系 tπn |π0 π, πnp 1 πn u を固定し, Kn K pπn q, K8 Kn と置く. 拡大 K8 {K は強 APF 拡大なので ([4]), Fontaine-Wintenberger の Norm 体 の理論が適用できる. つまり, 自然な同型 GalpK8 {K q Galpk ppuqqsep {k ppuqqq が存在する. 後者 の Galois 群は標数 p の体の絶対 Galois 群であり, このような体に関する有限 Galois 加群はある種 の線形代数で分類できることが知られている. 従って, 有限 GK8 表現の分類理論が得られたこと になる. 正確な主張を述べるために記号を用意する. S 化) , E W rruss, OE Sr1{us^ (ただし ^ は p 進完備 FracpOE q と置く. また, p 乗写像のなす環の逆系を使って R lim ÐÝpOK̄ {pOK̄ Ð OK̄ {pOK̄ Ð q と定義する. R は標数 p の完備付値環である. π P R を π pπn mod pqnPZ¥ 0 で定める. Witt 環 W pRq を u ÞÑ rπ s によって W rus 代数と思うと, この射は環の p 進連続な埋め込み S Ñ W pRq と E Ñ W pFracpRqqr1{ps を引き起こす. 後者の埋め込みにおける E の最大不分岐拡大を E nr , その nr で表す. これは E nr の p 進付値による完備化と同一視できる. φ W pFracpRqqr1{ps での閉包を Ex で, これらの環において u ÞÑ up が定める σ-semilinear な連続準同型を表す. には Galois 群 GK8 が OE -linear に作用している. y また, 定義から OE nr OE 上の etale φ 加群とは, 有限 OE 加群 M と, φ-semilinear な準同型 φ : M Ñ M の組で, OE bφ,OE M と置くとき, 1 b φ : φ M Ñ M が同型であるもののことを言う. これら全体 のなす自然な Abel 圏 (射は OE -linear で φ と可換なもの) を ΦMOE と表す. また, 有限 Zp 加群へ φ M p q の連続 GK8 表現全体のなす圏を RepZp GK8 で表す. 定理 2.1 ([12]). 次の完全関手 T は Abel 圏の同値を与える: Ñ RepZ pGK8 q M ÞÑ pOEy bO M qφ1 . T : ΦMOE p nr 5 E T の quasi-inverse は次で与えられる: D : RepZp pGK8 q Ñ ΦMOE V 2.2 ÞÑ pOEy bZ V qG nr 8. K p 有限平坦群スキームの分類 W pkq 上の Eisenstein 多項式を E puq P W rus 記号は前小節の通りとする. K の素元 π の W と置く. また, S 定義 2.2. nr OEy X W pRq と表す. nr • S 加群 M と, φ-semilinear な加群の準同型 φ : M Ñ M の組を, S 上の φ 加群と 呼ぶ. さらに, 1 E-height b φ : φ M S bφ,S M Ñ M の余核が E puq で消えるとき, この φ 加群は ¤ 1 であると言う. • 圏 BTφ{S を次のように定義する: object は, E-height ¤ 1 であるような S 上の φ 加群で, S 加群として有限生成自由なもの全体. 射は φ と両立する S-linear map 全体. • 圏 pMod{Sq を次のように定義する: object は, E-height ¤ 1 であるような S 上の φ 加群で, S 加群として射影次元 1 かつ p 巾 torsion なもの全体. 射は φ と両立する S-linear map 全体. p { q さらに, OK 上の p-divisible 群全体のなす圏を p-div OK , OK 上の p 巾で消える有限平坦群ス p { q キーム全体のなす圏を p-Gr OK で表す. 定理 2.3 ([16]). 1. 圏の exact な反同値 Ñ pp-div{OK q M ÞÑ Γ が存在して, 自然同値 Tp pΓq|G 8 HomS,φ pM, Snr q を満たす. BTφ{S K p q ただし Tp Γ は p-divisible 群 Γ の Tate 加群. 2. 圏の exact な反同値 pMod{Sq Ñ pp-Gr{OK q M ÞÑ GrpMq が存在する. この関手 Gr は次のようにして定まるもの: M1 , M2 を BTφ{S の元とし, これら に対応する OK 上の p-divisible 群を Γ1 , Γ2 とする. このとき 0 Ñ M1 が完全系列であれば, 射 M1 GrpMq KerpΓ2 Ñ Γ1 q. Ñ Ñ M2 Ñ M Ñ 0 M2 に対応する p-divisible 群の isogeny Γ2 ここから直ちに分かる性質をいくつか述べる. P pMod{Sq と, 前小節の関手 T に対し, 有限 GK8 加群の自然な同型 T pOE bS Mqp1q Ñ GrpMq_ pOK̄ q|G 8 が存在. ここで p1q は Tate twist で, _ は Cartier 双対を表す. 性質 2.4. M K 6 Ñ Γ1 に対し 性質 2.5. GrpMq_ が # etale multiplicative + ô 1 b φpφ Mq # # E puqM M + . + これは定理 2.3 の関手の構成と, crystalline Dieudonné 加群と古典的な Dieudonné 加群の両立性 etale から従う. また, 性質の右辺の条件を, M が と言う. multiplicative 性質 2.6 ([6], Theorem 3.4.3). flat な torsion GK 加群の圏から torsion GK8 加群の圏への自然な 制限関手は忠実充満. 証明. キーポイントは, M1 , M2 P pMod{Sq と, GK8 -linear な同型 f : GrpM1 qpOK̄ q Ñ GrpM2 qpOK̄ q が与えられているとき, f が自動的に GK -linear となること. これは次のようにして分かる. GK8 p qp 8 は定理 2.1 の圏同値の双対で OE bS Mi に対応する. Dpf q の双対でこ のふたつの φ 加群を同一視し, OE bS M1 OE bS M2 M M1 M2 を考える. このと き M P pMod{Sq であり, M1 M M2 によって得られる OK 上の有限平坦群スキームの射 GrpM1 q Ð GrpMq Ñ GrpM2 q が, その generic fiber に恒等射 加群 Gr Mi OK̄ q|G K GrpM1 qpOK̄ q GrpMqpOK̄ q GrpM2 qpOK̄ q を引き起こすので, 確かに f は GK -linear に延びている. 注 2.7. flat な p-torsion GK 加群の圏に限れば, 分類理論を使わなくても性質 2.6 が証明できることは 注意に値する ([1], Proposition 8.5.1 の証明). 実際, GjK で GK の第 j 上付き分岐群 (normalization j¡0 GjK が野生分岐群になる) を表すと, flat な p-torsion GK 加 群 V̄ には j ¡ ep1 1{pp 1qq 1 なる GjK が自明に作用する ([11]). j0 ep1 1{pp 1qq と置 くと, 有限次拡大 K1 {K の上付き分岐の最大の jump は j0 である. 従って K8 X K̄ G K であ り, ゆえに GK GK8 GjK である. このことから忠実充満性が従う. は [21] に従う. つまり, G0K j0 K 0 2.3 係数付きの場合 変形理論を考える上で, これらの分類理論や p 進 Hodge 理論を係数付きで考える必要が生じる. この小節では, 係数付きの S 加群やフィルター付き加群についての定義をまとめておく. Zp 代数 A に対し, pModFI{SqA で次のような圏を表す: object は, S 上有限な φ 加群 M で Eheight ¤ 1 であるものと, Zp -代数の準同型 ι : A Ñ EndS,φ pMq の組 pM, ιq で, M が SA S bZp A 加群として有限生成射影であるもの全体. 射は φ, ι と両立する S-linear map 全体. さらに, A が有限環であると仮定する. このとき, 有限 A 加群への連続 GK8 表現全体のなす 圏を Rep1A GK8 で表す. また, ModFI S A と同様に, A 作用付きの OE 上の φ 加群全体の なす圏を ΦMOE ,A で表す. このとき, 定理 2.1 の圏同値 T : ΦMOE RepZp GK8 は圏同値 p q p { q Ñ p q TA : ΦMOE ,A Ñ Rep1A pGK8 q を引き起こす. この圏同値 TA は有限射 A Ñ A1 による係数拡大と 両立する. つまり, 自然な同型 TA pM q bA A1 Ñ TA1 pM bA A1 q が存在. 同様に, 係数付きのフィルター付き加群を定義する. A を今度は有限局所 Qp 代数とする. Crys- talline な p 進 GK 表現全体のなす圏を Repcrys で表す. また, 有限生成自由 A 加群への p 進連 続 GK 表現で, p 進表現として crystalline なもの全体のなす圏を Repcrys で表す. さらに, weakly A admissible なフィルター付き φ 加群と, φ やフィルター付けと両立する A 作用との組全体のなす圏 7 p { qA で表す. を Mod K0 また, その充満部分圏で, M p P pMod{K0 qA で gr MK が射影 A 加群であ { qA-fr と置く. このとき, 圏同値 るようなもの全体のなす圏を Mod K0 Dcrys : Repcrys V Ñ pMod{K0 qQ ÞÑ pBcrys bQ V qG p K p と, その quasi-inverse Vcrys : pMod{K0 qQp Ñ Repcrys M ÞÑ Fil0 pBcrys bK 0 Mqφ1 は, 互いに quasi-inverse であるような圏同値 Ñ pMod{K0 qA-fr Vcrys,A : pMod{K0 qA-fr Ñ Repcrys A Dcrys,A : Repcrys A を引き起こす. これらの関手は有限局所 Qp 代数の有限射 A Ñ A1 による係数拡大と両立する. groupoı̈d と変形環 3 3.1 groupoı̈d の復習 pq Ñ E と T P ObpE q に対し, F pT q object は θpη q T なる η P ObpF q 全体で, 射は F の射 α で θpαq idT 圏 E に対し, その対象全体を Ob E で表す. また, 圏の射 θ : F で次のような圏を表す: となるもの全体. Ñ E が E 上の groupoı̈d であるとは次の 2 条件が成立することだった: 1. F の射 α : η Ñ ξ, α1 : η Ñ ξ 1 で, θ によって E の同じ射 T Ñ S にうつるものを考える. この とき, F の射 τ : ξ Ñ ξ 1 で, α1 τ α なるものがただひとつ存在. 2. E の射 f : T Ñ S と, θpη q T なる η P ObpF q を考える. このとき, F の射 α : η Ñ ξ で θpαq f なるものが存在. θ : F Ñ E, θ1 : F 1 Ñ E, θ2 : F 2 Ñ E をそれぞれ E 上の groupoı̈d とし, Φ1 : F 1 Ñ F, Φ2 : F 2 Ñ F を E 上の射とする. このとき, F 1 と F 2 の F 上の 2-ファイバー積 F 1 F F 2 は次のよ うに定義される E 上の groupoı̈d である: object は, ξ 1 P ObpF 1 q と ξ 2 P ObpF 2 q, そして F におけ る射 α : Φ1 pξ 1 q Ñ Φ2 pξ 2 q で θpαq id となるもの, の 3 つ組 pξ 1 , ξ 2 , αq 全体. このような 3 つ組の間 の射 pξ 1 , ξ 2 , αq Ñ pη 1 , η 2 , β q は, 射 γ 1 : ξ 1 Ñ η 1 , γ 2 : ξ 2 Ñ η 2 の組 pγ, γ 1 q で, β Φ1 pγ 1 q Φ2 pγ 2 q α 圏の射 θ : F を満たすもの全体. E 上の groupoı̈d θ : F Ñ E と η うに定義する: object は F の射 η P ObpF q に対し, E 上の groupoı̈d η (同じ記号で表す) を次のよ Ñ ξ 全体. 射 pα : η Ñ ξq Ñ pα1 : η Ñ ξ1 q は, F の射 β : ξ Ñ ξ1 で β α α1 なるもの全体. このとき pη Ñ ξ q ÞÑ ξ は E 上の groupoı̈d の射 η Ñ F を定める. E 上の groupoı̈d θ : F Ñ E が representable であるとは, η P ObpE q が存在して, 自然な射 η Ñ F が E 上の圏同値となること. このとき普遍対象 η は標準的な同型を除いて一意に決まる. 従って θpη q もそうなので, 「θpη q が F を represent する」とも言う. 8 P ObpE q に対して F pT q が集合であるとする. このとき, 関手 |F | : E Ñ pSetq を, T P ObpE q に対して F pT q の同型類全体の集合を対応させることで定める. θ : F Ñ E が T P ObpE q で representable のとき, 自然同値 |F | Ñ HomE pT, q が存在する. E 上の groupoı̈d の射 Φ : F 1 Ñ F が relatively representable であるとは, 任意の η P ObpF q に対し 2-ファイバー積 Fη : η F F 1 Ñ E が representable であること. また, Φ が formally smooth であるとは, |F 1 | Ñ |F | が formally smooth, つまり, E における任意の射 T Ñ S に対し, |F 1 |pT q Ñ |F 1 |pS q |F |pSq |F |pT q が全射であること. これは任意の η P ObpF q に対し |Fη | Ñ |η| 各T が formally smooth であることと同値. F を体, O を剰余体が F であるような完備局所環, mO をその極大イデアルとする. 局所 Artin 有 限 O 代数 (resp. 完備 Noether 局所 O 代数) で剰余体が F であるようなもの全体の圏を ARO (resp. yRO ) で表す. ARO 上の groupoı̈d F Ñ ARO は, limit を取ることで自然に AyRO 上の groupoı̈d A に延長される. これも同じ記号 F で表す. F Ñ ARO が pro-representable (resp. relatively pro- representable) であるとは, この延長 F であること. Ñ AyRO が representable (resp. relatively representable) さらに, AugO で次のような圏を表す: object は, O 代数 A と, A の巾零イデアル I で mO A I を満たすものの組 pA, I q 全体. 射 pA, I q Ñ pA1 , I 1 q は O 代数の射 A Ñ A1 で I を I 1 の中に移すも p の全体. 定義から, A, I q P AugO ならある非負整数 i に対して miO A 0 となることに注意する (つまりこの圏は, ARO から O 有限局所性を外した感じのもの). 3.2 変形と枠付き変形 F と O を前小節のとおりとする. d 次元 F ベクトル空間への連続 GK 表現 VF を固定する. これ に対し, ARO 上の groupoı̈d DVF Ñ ARO を次のように定義する: • A P ARO とするとき, A 上の object は, 有限生成自由 A 加群への連続 GK 表現 VA と, FrGK s 加群の同型 ψ : VA bA F Ñ VF の組 pVA , ψq 全体. • ARO の射 A Ñ A1 に対し, この射の上にある DVF の射 pVA , ψ q Ñ pVA1 , ψ 1 q は, A1 rGK s 加群 の同型で ψ, ψ 1 と両立するもの α : VA bA A1 Ñ VA1 の pA1 q 同値類 rαs 全体. 定義から, DVF は普通の変形関手になる. ここで, 射を A1 | p q で割っているのは, |DV | の関手とし | F ての representability と, DVF の ARO 上の groupoı̈d としての representability を同値にするため. さらに, VF の ordered basis βF を固定する. これに対し, 枠付き変形の groupoı̈d DVlF Ñ ARO を 次のように定義する: • A P ARO とするとき, A 上の object は, 有限生成自由 A 加群への連続 GK 表現 VA と, VA の ordered A-basis βA , そして FrGK s 加群の同型 ψ : VA bA F Ñ VF で βA ÞÑ βF となるもの の組 pVA , βA , ψ q 全体. • ARO の射 A Ñ A1 に対し, この射の上にある DVlF の射 pVA , βA , ψ q Ñ pVA1 , βA1 , ψ 1 q は, A1 rGK s 加群の同型 α : VA bA A1 Ñ VA1 で βA , βA1 , ψ, ψ 1 と両立するもの全体. VF と ordered basis βF は準同型 ρF : GK Ñ GLd pFq を定める. すると定義から, |DVl |pAq t ρA : GK Ñ GLd pAq | ρF の lift u. F 9 このことから, 関手 DVlF (従って groupoı̈d DVlF ) は完備 Noether 局所環 RVlF で pro-represent さ | | れることが分かる. また, ordered basis を忘れる射 DVlF Ñ DV F が formally smooth かつ relatively pro-representable であることも分かる (P GLd の formal completion で pro-represent される). 注 3.1. DVlF と違って, DVF は一般には pro-representable にならない. 例えば EndFrGK s VF p qF が成立すれば完備局所環 RVF で pro-representable になる (この条件は VF が絶対既約なら満たされ る) が, 局所体の torsion Galois 表現は絶対既約にならない場合が多い. 枠付き変形を導入したの はそのような場合でも変形環の存在を保証するためである. 4 有限平坦モデルのモジュライの構成 F を Fp の有限次拡大とし, VF を d 次元 F ベクトル空間への連続 GK 表現で, flat であるものとす る (つまり, OK 上の有限平坦群スキーム G と GK 加群の同型 VF G pK̄ q の存在を仮定する). こ の節では, 小節 1.2 に述べたような, VF の flat な変形とその有限平坦モデルの組のモジュライの構 成について説明する. そのためにまず, flat 表現と GK8 表現のそれぞれに対して変形関手を定義す |GK8 を与える OE 上の φ 加群 MF を変形させることと同じである. flat 表現の変形. VF の Artin 局所 W pFq 代数への変形全体のなす groupoı̈d DVF Ñ ARW pFq を考 る. 後者は, VF Ñ ARW pFq を, pVA , ψq P DV pAq で VA が flat 表現であるもの全 体として定める. flat 表現の部分表現や商表現が flat 表現であることから DVfl Ñ DV が relatively representable であると分かる. 従って, 例えば EndFrG s pVF q F なら, groupoı̈d DVfl は RV のあ える. この full subgroupoı̈d DVflF F F F F K F る剰余環 RVflF で pro-represent される. これらの ARW pFq 上の groupoı̈d を以下のように AugW pFq 上の groupoı̈d に拡張して考える: AugW pFq に対し, ARW pFq の object A1 と, W pFq 代数の単射 A1 の中に移すものの組全体のなす自然な圏を ARA,I W pFq と表す. このとき, pA, I q P DVF pA, I q : A1 P lim ÝÑ pq Ñ A で radpA1 q を I DVF pA1 q ARA,I W F と定める. DVflF も同様に AugW pFq 上の groupoı̈d に拡張する. 注 4.1. この拡張をすることで, 以下で構成する射影スキーム G R VF ,ξ に S bZp OG RVF ,ξ 上の普遍 φ 加群を付与できるようになる. GK8 表現の変形. MF P ΦMOE ,F を, 小節 2.3 の圏同値 TF に対し TF pMF qp1q VF を満たすもの として定義する. これに対し, groupoı̈d DMF Ñ ARW pFq を次のように定める: • A P ARW pFq の上にある object は, MA P ΦMOE ,A で MA が OE bZp A 加群として有限生成 自由であるものと, ΦMOE ,F の同型 ψ : MA bA F Ñ MF の組 pMA , ψ q 全体. • A Ñ A1 を ARW pFq の射とする. この射の上にある DMF の射 pMA , ψ q Ñ pMA1 , ψ 1 q は, ψ, ψ 1 と両立する ΦMOE ,A1 の同型 α : MA bA A1 Ñ MA1 の pA1 q 同値類全体. 有限生成自由性の条件は, A 上有限生成自由な Galois 表現への変形しか考えていないことに対応 している. この groupoı̈d も, さっきと同様に AugW pFq 上の groupoı̈d に拡張して考える. すると, ARW pFq 上の射 Ñ DM VA ÞÑ pOEy bZ DVF F nr p 10 VA p1qqGK8 は, AugW pFq 上の射 DVF Ñ DM F を引き起こす. Ñ AugW pFq を次のように定義する: pA, I q P AugW pFq の上にある object は, MA P pModFI{SqA と, pOE bZ A{I q-linear で φ と 両立する同型 ψ : OE bS MA bZ A{I Ñ MF bF A{I の組 pMA , ψ q 全体. AugW pFq の射 pA, I q Ñ pA1 , I 1 q の上にある DS,M の射 pMA , ψ q Ñ pMA1 , ψ 1 q は, OE に係数 拡大したときに ψ, ψ 1 と両立するような pModFI{SqA1 の同型 α : MA bA A1 Ñ MA1 の pA1 q GK8 表現の変形と S-lattice. 最後に, groupoı̈d DS,MF • p p • F 同値類全体. A が有限環の場合は, pModFI{SqA の元は pMod{Sq にも含まれ, 後者の圏は OK 上の p 巾で消え る有限平坦群スキームの圏と同値なので, この groupoı̈d は VF |GK8 の変形とその有限平坦モデル の組をだいたい分類していることになる. Ñ DVfl を構成する. 簡単のために ARW pFq 上だけで考える. A P ARW pFq とし, pMA , ψ q P DS,M pA, mA q を取る. このとき VA TA pOE bS MA qp1q は有限 次に, AugW pFq 上の射 ΘVF : DS,MF F F 生成自由 A 加群への GK8 表現を与える. 性質 2.4 から, VA は flat GK 表現に延びていることが分 かる. さらに, Breuil の忠実充満性定理 (性質 2.6) から次のことが従う: このような flat GK 表現 への延長は一意的で, この GK 作用と A 作用は可換であり, さらに, ψ から定まる GK8 加群の同 型 ψ : VA bA F Ñ VF は GK 作用と両立する. p q pVA , ψq P DVfl pA, mA q と定 そこで ΘVF MA , ψ : F める. この議論を AugW pFq 上に拡張することにより, 次の定理が示される: 定理 4.2 ([15], Proposition (2.1.4)). AugW pFq 上の射 ΘVF : DS,MF DVflF Ñ DVfl F で, 図式 / DM F O cFF FF FF FF DS,MF を 2-可換にするものがただひとつ存在する. ここで, 上向きの射は MA す自然な射であり, 横向きの射は上で定義した射 DVF Ñ DM F の DVflF ÞÑ OE bS MA が引き起こ への制限 (Breuil の忠実充満 性定理より, これが忠実充満になることに注意する). さて, A P ARW pFq と ξ pVA , ψA q P DVfl pAq とを固定し, MA pOEy bZ nr F p VA p1qqGK8 と置 く. ARW pFq 上の groupoı̈d ξ も前のように AugW pFq に拡張しておくと, AugW pFq 上の射 ξ を得る. これらに対し, ARW pFq 上の groupoı̈d の 2-ファイバー積 DS,MF ,ξ : える. 定理 4.3 ([15], Proposition (2.1.7)). A 上の射影スキーム G R VF ,ξ ξ D fl VF Ñ DVfl F DS,MF を考 Ñ SpecpAq が存在して次の representability を満たす: 任意の pB, I q P AugA に対し functorial な全単射 |DS,M ,ξ |pB, I q Ñ HomSpecpAq pSpecpB q, G R V ,ξ q F F が存在. p q P AugA に対して, MB MA bA B と置く. すると定義と忠実充満性定理から, 同一視 # + M の有限生成射影 S 部分加群で, M M r1{us であり, B B B B |DS,M ,ξ |pB, I q MB MB φ-stable かつ E-height ¤ 1 であるもの 証明. B, I F 11 を得る. さらに, SB の u 進完備化を ŜB , M̂B MB bS B ŜB とすると, Beauville-Laszlo の descent lemma ([2]) から全単射 # + M の rank d の有限生成射影部分 S 加群で B B MB MB MB r1{us MB なるもの # M̂ の rank d の有限生成射影部分Ŝ 加群で B Ñ M̂B M̂B B M̂B r1{us M̂B なるもの が存在する. ここで ŜB pB bZ p W pk qqrruss であり, MA が有限生成自由 OE + bZ p A 加群なので, M̂B も有限生成自由 pB bZp W pk qqppuqq 加群である. 一般に, R0 を環, R を R0 代数とするとき, Rppuqqd の有限生成射影 Rrruss 部分加群 L で Rppuqq 上 Rppuqqd を生成するものを Rppuqqd の Rrruss-lattice と言う. これは次の条件と同値 ([3, Section 2]): • L は Rppuqqd の Rrruss 部分加群であり, ある非負整数 i が存在して, ui Rrrussd ui Rrrussd かつ商加群 ui Rrrussd {L が R 上射影になる. L ui R0 rrussd {ui R0 rrussd と置き, L の Fi bR R ui Rrrussd {ui Rrrussd への像を L̄ と書くと, Rrruss-lattice L を与えることは R 部分加群 L̄ Fi bR R で商加群 Fi bR R{L̄ が R 上 射影なものを与えることと同じ. 従って各 i P Z¥0 に対し, R0 上の関手 ( R ÞÑ L Rppuqqd | ui Rrrussd L ui Rrrussd なる Rrruss-lattice ²2id GrasspF , tq で represent される. ゆえに, R 上の関手 は Grassmann 多様体の直和 そこで, Fi 0 0 i t 0 R ÞÑ L Rppuqqd | Rrruss-lattice も R0 上の ind-projective スキームで represent される. これをさっきの状況に適用すると, φ-stable と E-height 0 0 ( ¤ 1 の条件は閉条件なので, |DS,M ,ξ | pq F は A 上の ind-projective スキーム G R VF ,ξ (上のような, 各 i に応じた W F 上の Grassmann 多様 体の直和を Zp に Weil restriction し, さらに A に係数拡大したものを考え, その中でこの閉条件が 定める閉部分スキームを取る. これは A 上の射影スキームであるが, その i を動かした順極限) で represent されると分かる. これが実際は A 上の射影スキームであることを示すためには, 条件を 満たす全ての MB がある B によらない非負整数 i に対する射影スキームに入ることを言えばよい. MA で MA NA r1{us なるものを固定し, NB NA bA B と書く. このとき, ある i が存在して, 任意の pB, I q P AugA と MB P DS,M ,ξ pB, I q に 対し ui NB MB ui NB となることを示せばよい. r を ur NB p1 b φqφ NB ur NB なる 最小の整数として, NB ui MB となる最小の整数 i を評価することを考える. p1 b φqφ pNB q uj p1 b φqφ pMB q となる最小の整数は j ip である. ところが, rank d の有限生成射影 SA 部分加群 NA F p1 b φqφ pNB q ur NB uri MB E puq1 uri E puqMB E puq1 uri p1 b φqφ pMB q であり, k を pk A E puq1 0 なる最小の整数, E puq ue pF puq とするとき p1 pF puq{ue q1 ue ue p1 pF puq{ue 12 p2 pF puq{ue q2 pk1 pF puq{ue qk1 q p b φqφ pNB q urike p1 b φqφ pMB q となるので, r i ke ¥ j ip から i ¤ pr keq{pp 1q を得る. r0 を ur NA p1 b φqφ NA ur NA なる最小の整数とすると 1 r ¤ r0 なので, i は B と MB によらない定数で抑えられる. MB ui NB となる最小の整数 i1 も だから結局 1 0 0 同じようにして一様に評価できるので, 主張が従う. P ARW pFq なので, G R V ,ξ の affine 開集合 SpecpB q の affine 環 B は自然に AugA の元 とみなせる. このことから, 各開埋め込み SpecpB q Ñ G R V ,ξ に対応する SB 上の φ 加群 MB が を与えることが分かる. 張り合わさって, S b OG R 上の普遍 φ 加群 Muniv ξ yRW pFq なる R 上にも以下のように拡張される. ξ P DVfl pRq を この射影スキームの構成は R P A 固定する. 定義からこれは ξi pVR{m , ψi q P DVfl pR{miR q の逆系で, 従って Galois 表現の変形 VR lim ÐÝ VR{m が定まる. この ξ について, groupoı̈d DS,M ,ξ Ñ AugR を各 pB, I q P AugR に対し DS,M ,ξ pB, I q lim ÐÝ DS,M ,ξ pB, I q 注 4.4. A F F VF ,ξ F i R F i R F F ¥ F i i i0 で定める. ただし i0 は miR0 B 0 となる最小の整数. Ñ SpecpRq が存在して次の representability を満たす: 任意の pB, I q P AugR に対し functorial な全単射 定理 4.5 ([15], Proposition (2.1.10)). R 上の射影スキーム G R VF ,ξ |DS,M ,ξ |pB, I q Ñ HomSpecpRq pSpecpB q, G R V ,ξ q F F が存在. { t 証明. 定理 4.3 より, R miR 上の射影スキームの i に関する順系 G R VF ,ξi y Ñ SpecpR{miR qui が存在 する. この順系は R 上の形式スキーム G R VF ,ξ を定めるが, Grassmann 多様体の定義から各 G R VF ,ξi y 上には順系と両立する very ample な line bundle があるので, formal GAGA 原理より G R VF ,ξ は R 上の射影スキーム G R VF ,ξ で代数化される. この G R VF ,ξ が条件を満たす. 変形環の generic fiber と p 進 Hodge 理論 5 Groupoı̈d DVlF の flat 表現からなる full subgroupoı̈d を DVfl,Fl で表す. DVflF Ñ DVF が relatively pro-representable だったから DVfl,Fl Ñ DVlF もそうである. DVlF は常に pro-representable だったの で, DVfl,Fl もある完備局所 W pFq 代数 RVfl,Fl で pro-represent される. また, DVflF を represent する完 pq 備 Noether 局所環を (もし存在すれば) RVflF で表す. この節の目的は, これらの W F 代数の generic l r1{ps の局所構造を p 進 Hodge 理論を使って調べることである. fiber r1{ps, これは具体的 fl には, Barsotti-Tate な p 進表現の標数 0 の Artin 環の圏における変形関手と DVF とを結びつける RVflF RVfl,F ことでなされる. 5.1 generic fiber への移行 E を Qp の有限次拡大で剰余体 kE が F を含むものとする. この E に対し, 局所有限 W pFqr1{ps 代数で剰余体が E のもの全体のなす圏を ARE で表す. 等標数の完備局所環は係数体を持つから, B P ARE は標準的な E 代数の構造を持つ. そこで B P ARE に対し, B の有限 OE 部分代数で E 上 B を生成するもの全体のなす圏を IntB で表す. A P IntB なら A は局所環であり, その剰余体は kE に含まれる. 13 O を W pFq 上有限な完備離散付値環で, OE が O の完全分岐拡大であるようなものとする. これ yRO,pOE q を次のように定める: object は ARO の射 A Ñ OE 全体, 射 pα : A Ñ OE q Ñ に対し圏 A pα1 : A1 Ñ OE q は AyRO の射 τ : A Ñ A1 で α α1 τ となるもの全体. A P IntB なら, A のコン yRO,pO q とみなせる. パクト性から合成 A Ñ B Ñ E は OE を通るので, A P A yRO,pO q を 一般に, groupoı̈d D Ñ ARO と ξ P DpOE q に対し, groupoı̈d Dpξq Ñ A E E Dpξq pAq t A Ñ OE の上にある D の射η Ñξ u Ñ ARE に自然に拡張する. つ で定義する. さらに, IntB を使ってこれを ARE 上の groupoı̈d Dpξq まり, B P ARE に対し, Dpξq pB q lim ÝÑ Dpξq pAq P A IntB とする. この構成は以下のような性質を持つ. 補題 5.1 ([15], Lemma (2.3.2)). D と D1 を ARO 上の groupoı̈d とし, D で relatively pro-representable かつ formally smooth なものとする. 像を ξ 1 P D1 pOE q と書く. このとき, 自然な射 Dpξq Ñ D1 を ARO 上の射 ξ P DpOE q のこの射による Ñ Dp1 ξ1 q も ARE 上の groupoı̈d の relatively pro-representable な formally smooth 射. 補題 5.2 ([15], Lemma (2.3.3)). D を ARO 上の groupoı̈d で, 完備局所 O 代数 R で pro-representable r{s R̂ξ で pro-represent される. ここで R̂ξ は, ξ が引き起こす射 R bO E Ñ E の核 Iξ による R bO E なものとし, ξ P DpOE q を固定する. このとき, ARE 上の groupoı̈d Dpξq も完備局所 O 1 p 代数 の完備化. つまり, D から Dpξq を作る操作は, D を pro-represent する変形環 R から R の generic fiber の 完備局所環を作る操作に対応している. Barsotti-Tate p 進表現の変形 前小節の結果を Dfl や Dfl,l に適用する. ξ˜ pV 5.2 VF VF q P DVfl,l pOE q を固定し, その DVfl pOE q VO bO E と置く. 変形環 RVfl , RVfl,l に対し, ξ や ξ˜ が引き起こす fl,l bW pFq E Ñ E, RV bW pFq E Ñ E の核による左辺の完備化をそれぞれ R̂ξfl , R̂ξ̃fl,l で表す. への像を ξ と書く. また, Vξ 射 RVflF OE , βOE E F F E F F F これらが E 上 formally smooth であることを示したい. そのためには, 必要ならば F を有限次拡大 して, OE が O W pFq 上完全分岐としてよい. さて flat 表現の逆極限として得られる p 進表現は Barsotti-Tate である (Raynaud の定理, [19, Proposition 2.3.1]) ので, VOE は OK 上のある p-divisible 群の Tate 加群であり, Vξ は Barsotti-Tate な p 進表現である. GK 表現 Vξ の ARE における変形と枠付き変形を分類する ARE 上の groupoı̈d DVξ と DVlξ をそれぞれ考える. このとき, 自然な射 DVF ,pξq rVA sAPInt B Ñ DV ÞÑ VA bO ξ E E は ARE 上の圏同値である. 同様に ARE 上の圏同値 DVl ,pξ̃q p さらに, VB , ψ q P DV F Ñ DVl ξ を得る. であって, VB が E 係数の GK 表現として crystalline なもの全体のなす l も同様に定義する. V は E 係数の G 表現と DVξ の full subgroupoı̈d を DVcrys で表す. DVcrys, B K ξ ξ ξ 14 しては Vξ の successive extension だから, 従って Barsotti-Tate な p 進表現であることに注意する. Raynaud の定理より, 上の圏同値は圏同値 DVflF ,pξq Ñ DVcrys , ξ DVfl,l ,pξ̃ q F Ñ DVcrys,l ξ を引き起こす ([15, Proposition (2.3.8)]). 従って, 変形環 RVflF , RVfl,Fl の generic fiber の局所構造を l を調べることに帰着された. これ 調べることは, 標数 0 の変形を分類する groupoı̈d DVcrys , DVcrys, ξ ξ らの groupoı̈d に関しては, 係数付きのフィルター付き φ 加群の変形を具体的に構成することによ り, 次の補題を示せる: | | 補題 5.3 ([15], Lemma (2.3.9)). 関手 DVcrys は formally smooth. ξ Ordered basis を忘れる射 DVfl,Fl Ñ DVflF は relatively pro-representable かつ formally smooth だったから, 前小節の一般論と補題 5.3 により結局, 完備局所 E 代数 R̂ξfl , R̂ξ̃fl,l が E 上 formally smooth であることが分かった. 5.3 p 進 Hodge 型と generic fiber の Krull 次元 実際に Taylor-Wiles 系の貼り合わせを行うためには, これらの完備局所 E 代数 R̂ξfl , R̂ξ̃fl,l の Krull 次元を知っておく必要がある. この次元を記述するために以下のような言葉の定義をする. Qp 上の体の埋め込み ψ : K Ñ K̄0 に対し vψ P t0, 1, . . . , du を固定し, v pvψ qψ と置く. また, ψ0 ψ |K0 と表す. 各 σ P GalpK0 {Qp q に対し, その GalpK̄0 {Qp q への lift σ̃ を選んでおく. このと き, 集合 t ψ : K Ñ K̄0 | ψ0 σ u を index set として持つ整数の e-tuple vσ を vσ pvσ̃ψ qψ で定 義する. v や vσ の ψ 成分を vψ や vσ,ψ で表す. Qp の有限次拡大 F で, 各 σ に対する vσ の reflex field tgPGalpK̄0 {K0 q|vσ,ψ vσ,gψ u K̄0 を含んでいるものを固定する. さらに, 以下 F として F の剰余体を取る. P DVfl pOE q とするとき, ξ に対応する E 係数の GK 表現 Vξ が p 進 Hodge 型 v であるとは, 任意の a P K に対し条件 ¹ v detE pa|D pV q {Fil D pV q q ψ paq 定義 5.4. E を F の有限次拡大, ξ F crys ξ K 0 ψ crys ξ K ψ が成立することを言う. この条件の正確な意味は, x を K の Qp 生成元, n rK : Qp s, X0 , . . . , Xn1 を不定元とするとき, xX xn1 Xn1 |D pV q {Fil D ¹ 1 pX0 ψpxqX1 ψpxn1 qXn1 qv detE pX0 crys ξ K 0 crys pVξ qK q ψ ψ が成立すること. ξ˜ P DVfl,l pOE q に対しても同様に定義する. F 注 5.5. この条件が成立するかどうかは K の Qp 生成元の取り方によらない. また, この条件はさ Ñ K̄0 をひとつ固定し , これにより E を ² s pK, K̄0 q の GE 軌道分解を I i1 Ii と書く. 各 Ii に対し, らに次のように言い換えられる. Qp 上の体の埋め込み E K̄0 の部分体だと思う. I HomQ p 15 P Ii を適当に選び, Ei E pψi pxqq と置く. 従って ±si1 ψi : E bQ K Ñ ±si1 Ei は同型であ る. この直積分解に応じて E bQ K 加群 gr1 Dcrys pVξ qK も Ei ベクトル空間 Di の積に分解され る. このとき, Vξ が p 進 Hodge 型 v であるための条件は, ψ P Ii ならば dimE Di vψ であるこ と. とくに E が K {Qp の Galois 閉包を含む場合は, #Ii 1 なので, この条件は gr1 Dcrys pVξ qK の E 部分空間で x P K が ψ pxq P E で作用するものの次元が vψ であることと同値. ψi p p i E 上の formal smoothness は既に分かっているので, 接空間の次元を計算することで次の命題が 示せる. ° 命題 5.6 ([15], Corollary (2.3.11)). ψ vψ pd vψ q. 1. ξ˜ が p 進 Hodge 型 v だとすると, dim R̂ξ̃fl,l 2. さらに EndFrGK s pVF q F が成り立つときは, dim R̂ξfl | d2 1 °ψ vψ pd vψ q. |p r sq は 証明. 接空間 DVcrys E ε ξ Hf1 pGK , adVξ q KerpH 1 pGK , adVξ q Ñ H 1 pGK , Bcrys bQp adVξ qq と同型だが, 完全系列 0 Ñ Qp φ,canq Ñ Bcrys p1Ñ Bcrys ` BdR {Fil0 BdR Ñ 0 から等式 dimE gr1 Dcrys padVξ qK dimE Hf1 pGK , adVξ q dimE H 0 pGK , adVξ q を得る. adVξ Vξ bE Vξ_ だから, gr1 Dcrys padVξ q gr1 Dcrys pVξ qK である. 従って, この空間の E 上の次元は ° ψ bEb Qp K pFil0 Dcrys pVξ qK q_ vψ pd vψ q となる. 主張はここから従う. G R VF ,ξ の局所構造と変形環の generic fiber の連結成分 6 この節では, 変形環 RVflF , RVfl,Fl 上の射影スキーム G R VF ,ξ の特異性の解析を行い, その帰結とし て, 変形環の generic fiber の連結性を有限平坦モデルのモジュライの closed fiber の連結性に帰着 させる. 6.1 ある図式 記号を小節 5.3 の通りとする. この小節の目標は, AROF 上の groupoı̈d の formally smooth 射 v の図式 D̄M F v v Ñ DM Ð D̃M F F v を G R VF ,ξ の完備局所環 を構成することである. 後の小節で, DM F v を志村多様体の local model ([18]) の完備局所環とそれぞれ結びつける. これによって, と, D̄M F G R VF ,ξ の特異性の解析を志村多様体の local model の特異性の解析 ([18] でなされている) に帰着 させることができる. MF P pModFI{SqF で, 任意の a P OK に対し条件 detF pa|1bφpφ MF q{ue MF q ¹ ψ 16 ψ paqvψ を満たすものを固定する. この条件の意味は以下の通り. u ÞÑ π により W rruss{pE puqq OK と 同一視すると, SF 加群 1 b φpφ MF q{ue MF は有限 OK {pOK bFp F 加群とみなせる. OK の生成元 x を取る. n の多項式としての等式 rK : Qp s とし, X0 , . . . , Xn1 を不定元とする. 有限 Zp 代数 このとき条件は, F 上 xX xn1 Xn1 |1bφpφ M q{u M q ¹ 1 pX0 ψpxqX1 ψpxn1 qXn1 qv detF pX0 e F F ψ ψ が成立すること. また, rank d の有限生成自由 OK 加群 Λ と, OK bZ p F 加群の同型 ι : MF {ue Mb F Ñ Λ bZp F を固定する. v v v , DM , D̃M を構成する. それぞれ A P AROF 上 まず, これらに対し AROF 上の groupoı̈d D̄M F F F の object は以下の通り: v pAq: OK bZp A 加群 LA と, OK D̄M F の条件を満たすもの全体: p A 加群の単射 εA : LA Λ bZ A は A 加群として直和因子. ± 任意の a P OK に対し, 条件 detA pa|L q ψ ψ paqv • LA • bZ Ñ Λ bZ p A の組 pLA , εA q で次 p ψ A が成立 (この条件の意味は上と同様). Ñb Λ bZ F ι MF {ue MF の像が 1 b φpφ MF q{ue MF と一致. v DM pAq: MA P pModFI{SqA と, SF 上の φ 加群の同型 ψA : MA bA F Ñ MF の組 pMA , ψA q で, 条件 ¹ v detA pa|1bφpφ M q{u M q ψ paq • LA bA F εA 1 p F e A ψ A ψ を満たすもの全体 (A が有限局所 Zp 代数で MA P pModFI{SqA なら, 1 b φpφ MA q{ue MA は A 上有限生成自由であることが示せる ([15, Lemma (1.2.2)])). v v D̃M pAq: pMA , ψA q P DM pAq と, OK bZp A 加群の同型 ιA : MA {E puqMA F F Ñ Λ bZ p A で, 図式 MA {E puqMA bA F QQQ QQQιA b1 QQQ ψA QQQ ( / Λ bZp F MF {ue MF ι p q を可換にするものの組 MA , ψA , ιA 全体. それぞれ射も自然に定義する. このとき次の命題を示すことができる: 命題 6.1 ([15], Proposition (2.2.11)). AROF 上の groupoı̈d の射 v Ñ DM v Ñ D̄M v D̃M F F v D̃M F F : pMA , ψA , ιA q ÞÑ pMA , ψA q : pMA , ψA , ιA q ÞÑ p1 b φpφ MA q{ue MA , ιA q は formally smooth で, 第一の射は relatively pro-representable. 証明. relative pro-representability は次のようにして分かる: η る. A1 P AROF に対し p v D̃M F D v MF ξ qpA1 q は, A1 上の object が v pAq を固定す pMA , ψA q P DM F HomOK bZp A1 ppMA {E puqMA q bA A1 , Λ bZp A1 q Ñ HomOK bZp F pMF {ue MF , Λ bZp Fq 17 による ι の逆像であるような discrete な groupoı̈d と圏同値であり, これは Hom スキームの閉部分 スキームの完備化で pro-represent される. さらにこの形式スキームは A1 ÞÑ KerpAutO K bZp A1 pΛ bZp A1 q Ñ AutOK bZp F pΛ bZp Fqq で定まる smooth 形式群の torsor だから, formally smooth と分かる. 第二の射の formal smoothness は具体的に変形を構成することで示せる. 6.2 local model r s まず, 18 の内容を簡単にまとめておく. 一般に, K0 上の体の埋め込み ϕ : K rϕ P t0, 1, . . . , du を選んでおき, r prϕ qϕ と置く. Ñ K̄0 に対し Fr を r の reflex field とし, Fr を Fr の剰余体 p q とする. OFr 上の関手 Mr を, OFr 上のスキーム T に対し Mr T を次のように定めることで定義 する: • 部分 OK bOK0 OT 加群 LT に対して条件 Λ bO K0 OT で, T 上 local には直和因子であり, 任意の a P OK detOT pa|LT q ¹ ϕpaqrϕ ϕ を満たすもの全体. ここで, 条件の意味は前と同様だが, OK の OK0 生成元について考える. このとき, 関手 Mr は OFr 上の射影スキーム Mr で represent される. さらに, Mrloc で開埋め込み Mr OFr Fr Ñ Mr のスキーム論的閉包を表し, M̄rloc Mrloc O 定理 6.2 ([18], Theorem B). Fr Fr とする. 1. Mrloc は normal かつ CM. 2. M̄rloc は reduced かつ normal で, rational singularity しか持たない. 3. trϕ uϕ の任意のふたつの元が高々1 しか違わないとする. このとき, すべての rϕ が 0 または 1 か, もしくは e ¤ 2 なら Mr Mrloc . さて次に Mr の Qp 上の variant を考える. OF 上の関手 Mv を, OF 上のスキーム T に対し Mv pT q を次のように定めることで定義する: • 部分 OK bZp OT 加群 LT Λ bZ 対して条件 p OT で, T 上 local には直和因子であり, 任意の a P OK に detOT pa|LT q ¹ ψ paqvψ ψ を満たすもの全体 (こっちの条件は, 前と同じで OK の Zp 生成元に関するもの). すると定義から関手 Mv は OF 上の射影スキーム Mv O Mvσ̃σ で represent される. ここで はすべての σ P GalpK0 {Qp q をわたる OF 上のファイバー積で, Mvσ̃σ は Mvσ OFvσ OF の F による引き戻しを意味する. そこで, Mvloc で開埋め込み Mv OF F Ñ Mv のスキーム論的 F 閉包を表し, M̄vloc Mvloc OF F と置く. すると, 定理 6.2 から次のことが分かる. O σ̃ |O 定理 6.3 ([15], Corollary (2.2.8)). F 1. Mvloc は normal かつ CM. 2. M̄vloc は reduced かつ normal で, rational singularity しか持たない. 18 3. tvψ uψ の任意のふたつの元が高々1 しか違わないとする. このとき, すべての vψ が 0 または 1 か, もしくは e ¤ 2 なら Mv Mvloc . Ñ ARO v さらに定義から, D̄M F F p b φpφ MF q{ue MF MF {ue MF Λ bZ Fq P は Mv の閉点 1 p v Mv pFq における完備局所環 R̄M で pro-represent されることも分かる. F 変形環の v 成分 6.3 TF pMF qp1q を pVξ , ψq P DVfl pRq を固定する. このと き, F の有限次拡大 E に対し, 完備局所 OF 代数の射 y : R Ñ OE が p 進 Hodge 型 v であるとは, Vξ bR,y OE が p 進 Hodge 型 v であることと定義する. すると Sen の定理 ([20]) から, SpecpRr1{psq 記号をいままでの通りとする. VF は F 係数の flat GK 表現であり, MF は VF 満たす ΦMOE ,F の元であった. さらに, R P AyRO F とξ F の連結成分の合併 C v で次の性質を持つものが存在することが分かる: y : R Ñ OE が p 進 Hodge 型 v ô y : SpecpE q Ñ SpecpRr1{psq が C v を通る. C v の SpecpRq におけるスキーム論的閉包を SpecpRv q と書く. 以下では SpecpRv r1{psq の連結性 を調べるために, 射影スキーム G R VF ,ξ Ñ SpecpRq の Rv 上の対応物を構成する. Ñ AugW pFq の AugO AugW pFq への制限 DS,M |O に対し, その full subgroupoı̈d Ñ AugO を, pB, I q P AugO 上の object を次のように定めることで定義する: pMB , ψB : OE bS MB bB B {I Ñ MF bF B {I q P DS,M pB, I q で, 任意の a P OK に対し条件 ¹ v detB pa|1bφpφ M q{E puqM q ψ paq DS,MF v DS,MF • F F F F F F ψ B B ψ を満たすもの全体. v ξ D | DS,M と置く. すると, 上の条件が閉条件であることから, 閉部 v 分スキーム G R V ,ξ G R V ,ξ で, 任意の pB, I q P AugO に対し functorial な全単射 v さらに, DS,M F ,ξ fl VF AugOF F F F F v v |DS,M ,ξ |pB, I q Ñ HomSpecpRq pSpecpB q, G R V ,ξ q F F が存在するようなものが構成できる ([15, Lemma (2.4.3)]). 以下では ξ P DVfl pRq を, 次の仮定が満たされるように選ぶことにする: yRO 上の射ξ Ñ DVfl が formally smooth. A F F F RVfl bW pFq OF , RVfl,l bW pFq OF とその普遍対象 ξ はこの仮定を満たす. v v この仮定のもとで, G R v,loc V ,ξ を開埋め込み G R V ,ξ O F Ñ G R V ,ξ のスキーム論的閉包とし, v v,loc G R V ,ξ G R vV ,ξ O F, G R V ,ξ G R v,loc V ,ξ O F と置く. 例えば, R F F F F F F F F 定理 6.4 ([15], Proposition (2.4.6)). F F F F 1. G R v,loc VF ,ξ は normal かつ CM. v,loc 2. G R VF ,ξ は reduced かつ normal で, rational singularity しか持たない. 3. tvψ uψ の任意のふたつの元が高々1 しか違わないとする. このとき, すべての vψ が 0 または 1 か, もしくは e ¤ 2 なら G R v,loc VF ,ξ G R vV ,ξ . F 19 証明. どの主張も各閉点での完備局所環で判定できるので, (必要なら F を有限次拡大と取り替え て) y P G R vV ,ξ pFq での完備局所環を考える. 上の全単射から y に対応する SF 上の φ 加群 MF が F 取れる. AROF 上の groupoı̈d の射 v DM F v Ñ DS,M F : pMB , ψB q ÞÑ pMB , 1 b ψB q を考えると, 次のような AROF 上の groupoı̈d の可換図式を得る: v / D̄M v D̃M F ,ξ / D̃v MF v DM F ,ξ v / DM F G R vVF ,ξ v / DS,M F ξ / Dfl . VF F ここで, 四角は全て cartesian であり, 横向きの射は全て formally smooth, 一番上の段の下向きの v 射はどちらも formally smooth かつ relatively pro-representable である. また, 定義から DM は F ,ξ y P G R vV ,ξ の完備局所環 RVv ,y ÔG R F F v VF ,ξ ,y v で pro-represent されることが示せる. 従って, D̃M F ,ξ RVv ,y {pp-torsionq, R̃Vv,loc ,y v,loc v v v v R̃V ,y {pp-torsionq と置くと, 完備局所環の射 RV ,y Ñ R̃V ,y は平坦なので, R̃V ,y R̃V ,y bR v,loc v,loc RVv,loc ,y であり, 従って完備局所環の射 RV ,y Ñ R̃V ,y も formally smooth である. 一方, # y P G R v,loc if y P G R v,loc v,loc V ,ξ における完備局所環 V ,ξ RV ,y もある完備局所環 R̃VvF ,y で pro-represent される. さらに, RVv,loc F ,y F F F F F F F F F 0 otherwise p1 b φpφ MF q{ue MF MF {ue MF Λ bZ Fq P Mv pFq を考えると, # loc loc {pp-torsionq ȳ P Mv における完備局所環 if ȳ P Mv である. 同様に, y に対し ȳ v,loc R̄M F v R̄M F v VF ,y F F F F p 0 v,loc である. さっきと同様に完備局所環の射 R̄M F otherwise Ñ R̃Vv,loc ,y も formally smooth だから結局, 完備局所 F 環の formally smooth 射の図式 R̃VvF ,y o O o R̃Vv,loc F ,y O v R̄M F RVvF ,y v,loc R̄M F RVv,loc F ,y を得る. 右上の完備局所環の性質 (normal, reduced, rational singularity, loc との一致 ) は下側 の完備局所環に伝播するから, 主張は定理 6.3 から従う. 射影な構造射 ΘVF ,ξ : G R VF ,ξ ΘvVF ,ξ : G R v,loc VF ,ξ Ñ SpecpRq を考える. 両辺の v 部分の定義より, この射は射影射 Ñ SpecpR q を引き起こす. の generic fiber への制限 v ΘvV ,ξ O F : G R v,loc V ,ξ O F Ñ SpecpR r1{psq v F ΘvVF ,ξ F F F 20 を考える. F の有限次拡大 E を取る. この射が E 値点に引き起こす射は, OK 上の p-divisible 群 全体から GK の Barsotti-Tate p 進表現全体への, Tate 加群を対応させる射が引き起こすものだか ら, Tate の定理 ([22, Theorem 4]) により全単射である. ところが G R v,loc VF ,ξ O F は normal かつ CM であり, R r1{ps も (ξ の formal smoothness の仮定と, 補題 5.3 より) regular である. これら F v のことから ΘvVF ,ξ O F F が同型であると分かる. つまり: 定理 6.5 ([15], Proposition (2.4.8)). 射 ΘVF : DS,MF ΘvVF ,ξ : G R v,loc VF ,ξ を引き起こす. この射は さらに, G R v,loc VF ,0 O F F は OF 上のスキームの射影射 Ñ SpecpRv q F すると同型. G R v,loc V ,ξ R F v Rv {mRv と置く. するとこの定理と定理 6.4 から次の系が従う: p 系 6.6. 連結成分の集合の全単射 π0 G R v,loc VF ,0 6.4 Ñ DVfl q Ñ π0 pSpecpRv r1{psqq が存在する. etale 商と multiplicative 部分 p r { sq は連結成分の合併だったが, ここから連結成分そのものを取り出すこと 定義から Spec Rv 1 p を考える. p 定理 6.7 ([15], Proposition (2.4.14)). B, I MB には, 最大 multiplicative 部分 φ 加群 q P AugW pFq , MB P DS,M pB, I q とする. Mm B と最大 etale 商 φ 加群 F このとき Met B が存在して係数拡大と両 立する. 証明. B P ARW pFq の場合だけ考える. φ φ MB b 1Ñ bφ φ M 1Ñ bφ M Ñ B B 1 φ を最右辺の部分加群と同一視して, Mm B 8 £ pφ qi MB , Met B ppMB qm q i1 と置けばよい. ここで MB は HomSB pMB , SB q に自然な φ 加群の構造を入れたもの. v,loc , Mv,loc,et を定義できる. に対しても Mv,loc,m この定理により, G R v,loc 0 0 VF ,0 上の普遍 φ 加群 M0 tdm , det u に対し連結成分の合併 G R v,loc,d G R v,loc V ,0 V ,0 # v,loc,m + が rank dm 0,x x P G R v,loc,d ô Mv,loc,et V ,0 これらの φ 加群を使って, 非負整数の組 d を F F M0,x F が rank det で定義する ([15, Proposition (2.4.14)] の証明で, これらの rank が局所定数関数であることを示し p r { sq の連結成分の合併が得られるが, その SpecpRv q におけるスキーム論的閉包を SpecpRv,d q と置く. 定義から Rv,d は次のような性質を持つ: E を F の有限次拡大とし, x : Rv Ñ OE を OF 上の射とする. VE Vξ bR ,x E と書くとき, x が Rv,d を ている). 系 6.6 によって対応する Spec Rv 1 p v 通るための必要十分条件は, VE p1q の最大不分岐部分表現の次元が dm VE の最大不分岐商表現の次元が det 21 であること. さて本稿の目的のうちで残っているのは, 変形環の generic fiber の中でひとつの連結成分を定め るような条件 C を求めることだったが, これに関して Kisin は次の予想を述べている: は連結 (従って SpecpRv,d r1{psq も連結). p q F ならば, 各 G R v,loc,d V ,0 予想 6.8. EndFrGK s VF F d 2 の場合 7 2 かつ任意の vψ 1, と言う特別な場合に G R v,loc,d の連結性を議論する. V ,0 v,loc v の場合, 定理 6.4 から G R V ,ξ G R V ,ξ である. この節では, d F F こ F 注 7.1. VE を E 上 rank 2 の GK の Barsotti-Tate 表現とする. このとき, VE が p 進 Hodge 型 p1, 1, . . . , 1q と言うのは, detE pVE q が p 進円分指標と不分岐指標の積であることと同値. 実際, pV q とおくと, 前者の条件は Fil1 pDK q が rank 1 の自由 E bQ K 加群であることと D Dcrys p 同値だが, さらにこれが次の条件と同値であることも確かめられる: Fil 全体, Fil 0 を満たす. 0 1 Fil 2 E bQp K DK の filtration が, この条件は後者の条件と同値. 総実代数体上の, parallel weight 2 で level が p と素な Hilbert 保型形式 f に伴う E 係数 2 次元 Galois 表現 ρf はこの条件を 満たす. またこのことから, d 2 かつ全ての vψ 1 のとき, 取り得る d tdm , det u の値が t0, 0u と t1, 1u しかないことも分かる. 一般に, F1 を有限体とするとき, MF1 P pModFI{SqF1 が ordinary であるとは, SF1 上 rank 1 の multiplicative φ 加群による SF1 上 rank 1 の etale φ 加群の extension であることを言う. これは GrpMF1 q_ が ordinary な有限平坦 F1 ベクトル空間スキームであることと同じ. このような MF1 は, v,loc,d G R VF ,ξ 7.1 t1,1u の F1 値点に対応する. ordinary でない場合 この小節でだけ K0 Qp と仮定する. F1 を F の有限次拡大とし, x1 , x2 P G R vV ,0 pF1 q を考える. これらに対応する SF 上の φ 加群を MF1 ,1 , MF1 ,2 とする. F 命題 7.2 ([15], Proposition (2.5.6)). MF1 ,1 , MF1 ,2 が両方とも non-ordinary なら, x1 , x2 は G R vVF ,0 の同じ連結成分に入る. 証明. MF1 rT s P G R vV ,0 pF1 rT sq は, G R vV ,0 の中の連結な曲線を定める. F F 具体的に MF1 rT s を構成す ることで, このような曲線をいくつか結ぶことによって x1 , x2 を繋げられることが示せるので, 主 張が従う. VF が ordinary ならば, 条件 EndFrGK s pVF q F は成立しないことに注意する. 従ってこの命題 は, d 2, 全ての vψ 1, かつ K0 Qp の仮定のもとで予想 6.8 が正しいことを意味している. ordinary な場合 v,loc,dt1,1u G R v,ord G R と置く. 7.2 VF ,0 VF ,0 命題 7.3 ([15], Proposition (2.5.15)). G R v,ord VF ,0 H とすると, 22 χ1 • GK の不分岐指標 χ1 , χ2 : GK Ñ F が存在して, VF 0 0 χ2 となる ような場合を除いて, G R v,ord VF ,0 は 1 点からなる. 上の場合は以下の通り: 1. χ1 χ2 のとき. G R v,ord VF ,0 は 2 点からなる. 一般に, χ : GK Ñ F が定める OK 上の有限 etale 群スキームを Gχ で表すと, この 2 点は VF の 2 つの有限平坦モデル Gχ_1 ω ` Gχ2 , 1 に対応している. ここで ω : GK 2. χ1 Gχ_1 ω ` Gχ1 2 Ñ F は mod p 円分指標. _ 1 χ2 のとき. G R v,ord V ,0 PF であり, VF の有限平坦モデルは全て Gχ ω ` Gχ 1 F 1 1 と同型. G R v,ord VF ,0 pAq は, VA の有限平坦モデル GA で, A 作 et m が完全系列 用を持ち, その最大 multiplicative 部分 GA と最大 etale 商 GA 証明. A P ARF に対し VA VF bF A と置く. m 0 Ñ GA p q Ñ GA Ñ GAet Ñ 0 p q m et を満たし, かつ GA K̄ と GA K̄ が rank 1 の自由 A 加群であるようなものの同型類全体と同一視 ÞÑ GAm pK̄ q により次の集合と同一視できる: VA の部分 GK 表現 LA で, A 上 rank 1 の自由加群であり, 商 VA {LA も A 上 rank 1 の自由 される. この集合はさらに, 対応 GA • A 加群になり, かつその商に GK が不分岐に作用するようなもの全体. この主張を確かめるには, flat 表現 VA の ordinary な有限平坦モデルで A 作用を持つもの GA の同 型類が条件 p q VA は GAm pK̄ q を LA の上に移す」 「同型 GA K̄ で一意的に決まることを示せばよい. この条件を満たす GA には sup がある. 実際, GA,1 , GA,2 を条 件を満たす有限平坦モデルとすると, VA Ñ VA ` VA の GA,1 ` GA,2 におけるスキーム論的閉包が sup を定める. Cartier 双対を取ることで inf の存在も分かる. 従って, あとは条件を満たす有限平 m m 坦モデルの間の任意の射 GA,1 Ñ GA,2 が同型になることを確かめればよい. この射は GA,1 Ñ GA,2 et と GA,1 et Ñ GA,2 をそれぞれ引き起こすが, 仮定よりこの 2 つの射の generic fiber は同型である. OK 上の有限 etale 群スキームの間の射は generic fiber に同型を引き起こせば OK 上も同型である. Cartier 双対を取って, OK 上の有限 multiplicative 群スキームについても同じことが言えるので, これらの 2 つの射は同型であり, GA,1 Ñ GA,2 も同型となる. 条件を満たす LA VA 全体は定理の 主張にあるようなスキームで represent されるので, 定理も示される. 7.3 結論 これまでに得られた結果をまとめると次のようになる. RVfl,l bW pFq OF とし, d 2, 全ての vψ 1 とする. 完備局所環 Rv は Zp 上 flat, 相対次元 4 rK : Qp s であり, Rv r1{ps は F 上 formally smooth. E を F の有限次拡大, x1 , x2 P pSpecpRv qqpE q とし, xi に対応する E 上の GK 表現を Vx と 書く. このとき, もし x1 , x2 が SpecpRv r1{psq の同じ連結成分に入っているとすると, Vx , Vx 系 7.4 ([15], Corollary (2.5.16)). R 1. 2. F i 1 は両方 ordinary か, 両方 non-ordinary かのどちらか. 23 2 3. 次の各場合には 2 の逆も成立する: (a) Vx1 , Vx2 は両方 non-ordinary で, K0 Qp . (b) Vx1 , Vx2 は両方 ordinary で, Lxi Vxi を 1 次元部分表現で惰性群 IK が p 進円分指標 で作用するものとする (条件よりこのような Lxi は一意的) と, Lxi への GK 作用が定 が χ1 χ2 mod mE を満たす. める指標 χi : GK Ñ OE p q F なら R RVfl bW pFq OF に関しても同じ主張が成り立つが, 1 の相対次 さらに, EndFrGK s VF F rK : Qp s に変わる. つまり, SpecpRv r1{psq は 元は 1 SpecpRv r1{psq SpecpRv,dt0,0u r1{psq と直和分解され, K0 º SpecpRv,dt1,1u r1{psq Qp のとき, t0, 0u 部分は連結. さらに, SpecpRv,dt1,1u r1{psqが連結 ô 条件「不分岐指標 χ1 χ2 に対し VF χ1 0 0 」が成立しない. χ2 この条件が成立するときは, Spec Rv,dt1,1u 1 p p y : Rv r { sq の連結成分は C1 , C2 の 2 つあり, それぞれ Ñ E が Ci を通る ô V は ordinary で, Vy VR bR,y E の 1 次元不分岐商への GK の作用が χi の lift になっている と言う条件で特徴付けられる. 従って, 当初の目的であった「変形環の generic fiber の中で formally smooth な連結成分を定めるような条件 C の構成」が達成されたことになる. 参考文献 [1] V. Abrashkin: Group schemes of period p ¡ 2, preprint [2] A. Beauville and Y. Laszlo: Un lemme de descente, C. R. Acad. Sci. Paris 320 (1995), 335–340 [3] A. Beauville and Y. Laszlo: Conformal blocks and generalized theta functions, Commun. Math. Phys. 164 (1994), 385–419 [4] C. 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