国際バカロレアの数学の考察 －－－評価問題の検討を中心に－－ 宮 はじめに ２ 国際バカロレア（ＩＢ）のディプロマ・プログ 澤 健 二 数学の学習内容 (1) ＨＬの概要 ラム（ＤＰ）の各科目には、学習指導要領及び解 ＨＬの枠組みは下表のとおりである。各トピッ 説に相当するガイドが定められている。ＤＰのグ クスとも、すべての小項目を学習しなければなら ループ５に属する数学も他の科目と同様、Higher ない。選択の中で、現行の学習指導要領に最も近 Level(ＨＬ）は240時間で、Standard Level(ＳＬ） いのは、トピック９である。 は150時間で学習するものとされている。ＤＰの トピックス 一部を日本語で実施できるようになったが、数学 は日本語による実施は認められなかった。 本稿では、数学ＨＬの概要とその評価について、 必 日本の現状を踏まえて検討することにする。 修 １ 数学の目標 ガイドによれば、数学においては、生徒が次の 10項目ができることを目指すとされている。 すべての数学コースの目的は、生徒が次の 選 択 ことをできるようにすることである。 １ 数学を楽しみ、数学の優雅さと力に対 する評価を高める。 ２ 数学の原理と性質の理解を深める。 ３ 様々な状況で明確に確信的に伝える。 ４ 論理的、批判的、創造的な思考や問題 学習時間 １ 代数 30 ２ 関数と方程式 22 ３ 円関数と三角比 22 ４ ベクトル 24 ５ 統計と確率 36 ６ 微積分 48 ７ 統計と確率 ８ 集合、関係、群 ９ 微積分 10 離散数学 数学的探究 48 10 総時間数 240 (2) ガイドの内容 ＩＢの示すガイドの一部を資料１として掲載し 解決における忍耐と粘り強さを高める。 ５ 抽象化、一般化する能力を高める。 た。各トピックス間の学習内容の関連を示すとと ６ 別の状況や他の分野に技能を応用し転 もに、理科などの他教科やＴＯＫなどの他領域と 移させる。 ７ 技術の発展と数学がどのように互いに 影響を与えたかを正しく理解する。 ８ 数学者の成果と数学の応用から生じる、 の関連も付記されている。また、イスラム圏や中 国の数学も含めた国際的な視点や、前記の目標８ 「道徳的、社会的、倫理的な意味の理解」につい ても意識したものとなっている。 ＴＯＫにおける重要なテーマとして、「数学は 道徳的、社会的、倫理的な意味を正しく 理解する。 数学の応用 ９ 10 発明か発見か」があるが、随所でこのことを意識 させている。 数学の普遍性の認識とその多文化的、 必修部分に、ei π+ 1＝0、ブルバキ派、マンデル 歴史的視点を通して、数学の国際的な側 ブロー、ベクトルの外積などが見られ、内容には 面を理解する。 深さがある。また、他の分野への応用については 他の学問への数学の貢献を正しく理解 非常に幅広く言及し、例えば、指数・対数関数の する。またＴＯＫにおける特異な「知識 応用として、地理的スキル（地理）、放射性崩壊 の領域」として正しく理解する。 （物理）、活性化エネルギー（化学）、為替レート （経済）が列挙されている。 12 13 （30時間） 内 容 詳細紹介 関連事項 1.4 数学的帰納法による証明 次は、必須ではない。 同じものを含む順列 円順列 二項定理の証明 例えば、複素数、級数の和、割り切れるか等、様々 【TOK】（数学と科学の性質）数学と科学における帰納法の異なった意味は なトピックに関連付ける。 何か？ 【TOK】（数学における知識の主張）証明は完全に確かなことか？ 【国際】パスカルの三角形の性質は、パスカル以前に多くの異なる文化にお いて知られていた。（例えば中国の数学者ヤンホイ）。 【目標８】異なる宝くじは何種類あるか？これは大きな数の意味を理解して いない人に対する宝くじ販売の倫理について何を教えるか？ 5.6二項分布と関連付ける。 二項定理： （a + b)n の展開 n∈ N と n P r を使える 【TOK】（数学の性質）パスカルの三角形、数え方、二項係数の間にある予 期せぬ関係の基本となる真実を見つけることができるか？ 能力が期待される。5.4と関連付ける。 r 公式と計算機の両方を用いて、 n 数え上げの原理 （順列と組合せを含む） 【応用】化学18.1、18.2（pH の計算と緩衝液）。 【TOK】（数学と科学の性質）対数は発明か発見か？（トピックは、教師と 生徒が「数学の性質」を振り返る機会である。） 1.3 指数と対数は、2.4でさらに発展させる。 数列は、再帰関数を含め、いくつかの方法で生成さ 【国際】チェス伝説（シッサ・イブン・ダヒール）。 れ表示できる。 【国際】アリヤバータは「代数学の父」と呼ばれることがある。アル・フワ リズミと比較すること。 6.1収束する無限等比級数と関連付ける。 【国際】数学的な表記におけるアルファベットの使用（例えば、等差数列の 初項と公差）。 【TOK】（数学と学習者）どの程度まで、数学的な知識は直観と両立するか？ 【TOK】（数学と世界）いくつかの定数（π、e、φ、フィボナッチ数）は、 自然の中で一貫して現れる。これは、数学的知識について何を教えるか？ 例としては、複利計算と人口増加を含むこと。 【TOK】（数学と学習者）数学的直観は正式な証明のための基礎としてどの ように使用されるか？（1から100までの整数に関するガウスの加算法。） 【目標８】高金利の短期貸付。数学の知識は恐喝に利用されたり保護された りして、どのように個人に帰するか？ 【応用】物理7.2、13.2（放射性崩壊と核物理学）。 指数と対数 指数の法則、対数の法則 底の変換 応用 Σ表記 等差数列と級数 等差級数の有限和 等比数列と級数 等比級数の有限和と無限和 資料１ 1.2 1.1 このトピックの目的は、いくつかの基本的な代数的な概念と応用を生徒に紹介することである。 【数学ガイド】＜部分＞ トピック１－コア：代数 ３ 評価問題の検討 慮し、各回とも２種類作成される。） 学習内容の水準や重点は、評価問題を見ると理 試験は問題用紙１（グラフ電卓使用不可）と２ 解しやすいので、年２回（５月と11月）行われる （グラフ電卓必須）に分けて実施され、各２時間 統一試験のＨＬ問題を資料２－１、２－２として で解答する。さらに、各問題用紙は２つのセクシ 示す。（実際は、全世界で実施する際の時差を考 ョン（短答式と記述式）に分かれている。 数学ＨＬ 2008年5月7日(水) 午後 問題用紙１ 資料２－１ ２時間 セクションＡ １ （６点） 確率変数 X の確率分布は、P(X= x)＝ cx(5 - x）， c の値を求めよ。（３点） (a) ２ によって定義される。 E(X) を求めよ。（３点） （６点） 多項式 P(x)＝ x 3 + ax 2 + b x + 2 ３ (b) x= 1,2,3,4 は、x + 1 と x -2 で割り切れる。実数 a, b の値を求めよ。 （６点） 図で、AD と BC は垂直で、CD = 4, BD = 2 ， AD = 3，∠ CAD = α，∠ BAD = β ある。 cos(α-β) の正確な値を求めよ。 ４ （６点） 4 f(x)＝ x+ 2 ，x ≠-2，g(x)＝ x - 1 (a) h(x) ５ とし、h ＝ g ○ f (b) h －1(x) （２点） とするとき、次を求めよ。 ここで、h －1(x) は h(x) の逆関数である。 （４点） （６点） 方程式 x 2 + x y + y 2 ＝ 3 で表される曲線を考える。 (a) 点(-1,k) における接線の傾きを求めよ。 （５点） (b) この点で、x 軸に平行な接線をもつときの k の値を求めよ。 ６ （６点） π ６ ∫ ０ ７ （１点） x sin2x dx ＝ √3 8 － π 24 であることを示せ。 （６点） 事象 A，B で P(A)＝0.6 ，P(A ∪ B)＝0.8 ，PA(B)＝0.6 であるとき、P(B) を求めよ。 ８ （６点） y ＝ arctan(x - 1) （ x ＞0 ）の法線の方程式が、y ＝ -2x + c ，c ∈ Ｒ のとき、c の値を求めよ。 ９ （６点） 図は、水路の断面の境界を表す。 この境界の表す方程式が、y ＝16sec πx - 32 36 ここで、x，y の単位は cm である。 水路の上端は地面であり、幅は24cm 、最深部は16 cm である。 水深が10cm のときの水面の幅を求めよ。答えは、a arccosb の形で求めよ。 14 10 （６点） 2 零ベクトルでない任意のベクトル a，b に対して ｜a× b ｜2＝｜a｜2｜b｜2 －（a・b） を示せ。 セクションＢ 11 （20点） 点 A (1,-1,4)，B (2,-2,5)，O (0,0,0) とする。 (a) OA，AB のなす角の余弦を求めよ。（５点） (b) ２点 A，B を通る直線 L 1のベクトル方程式を求めよ。（２点） 直線 L2 の方程式は、r ＝ 2 i+ 4 j + 7k + t(2 i+ j + 3 k ) （ t ∈ R ） で表される。 (c) 直線 L 1，L 2 は交わることを示し、交点の座標を求めよ。（７点） (d) 直線 L 2 と点 A とを含む平面の直交座標による方程式を求めよ。（６点） 12 （10点） (a) 無限等比級数 27，-9，3，-1，････ n (b) a+ ar+ ar 2 + ･ ･･ ･ + ar -1＝ 13 a( 1 -r ) 1 -r の和を求めなさい。 （３点） n を数学的帰納法で証明せよ。 （７点） （18点） アンドレは海上の点 A から、真っ直ぐ広がった海岸上に位置す る点 Y に到達したい。点 P は点 A に最も近い海岸の点で、AP ＝ 2 km 、PY ＝2 km である。点 Q へは真っ直ぐ泳ぎ、海岸上の点 Y に走る。 アンドレが、1 km を 5 √5 分で泳ぎ、1 km を５分で走るとき、 (a) PQ ＝ x km （0≦ x ≦2）のとき、アンドレが点 Y に至るま でにかかる時間 T 分を表す式を求めよ。 (b) dT ＝ 5 √5 x - 5 を示せ。 dx √x 2 + 4 (c)( i) dT ＝0 を解け。 dx （４点） （３点） (ii) (c)(i)で求めた x の値を用いて、アンドレが点 Y に至るのに要する時間 T 分を求めよ。 2 (iii) d T2 ＝ 20 √5 を示し、(c)(ii)で求めた時間が最小値であることを示せ。 dx （11点） ( x 2+ 4 ) 3 2 14 （12点） w ＝ cos 2π + i sin 2π とする。 5 5 (a) w が方程式 z 5 - 1＝0 の解であることを示せ。 （３点） (b) (w-1)(w4+ w3+ w2+ w+ 1)＝ w5-1 を示し、w4+ w3+ w2+ w+ 1＝0 を導け。 (c) ※ ※ cos 2π + cos 4π ＝- 12 を示せ。 5 5 （３点） （６点） 数値の答えは、「特に指示がなければ、正確に又は有効数字３桁で答える」と冒頭部分に注意書き がある。 公式集が配付されていて、試験に持ち込むことができる。 15 (1) グラフ電卓の利用 力を求めるのでなく、考え方を深め、問題解決力 問題用紙１は逆三角関数やベクトルの外積など を高めることが主眼であることを反映している。 日本で扱わない項目が含まれているが、大学入試 問５の場合、日本の類題では手計算で解けるよ と似通っている。しかし、問題用紙２はグラフ電 う特定の角度に限られてしまい、相似比で解ける 卓の使用が前提であるため、独特の問題になって 問題になっている。そのため、極端に言えば、三 いる。一部を紹介し、その教育的意義を検討する。 角比を学ぶ意義を疑わせる結果になっている。 問３は、① y= e- x -x + 1のグラフの概形をとらえ、 グラフ電卓の利用により、本質の理解に充てる ② e -x + 1＝0 を解き、③定積分の値を求めると 時間と活用の機会とが増加し、数学を学ぶ意義が いう段階に分解されるが、どの段階もグラフ電卓 高まることが期待される。ただ、一人一台配備の を利用すれば簡単な「操作の問題」となる。計算 費用と習熟に要する時間とは課題として残る。 -x 数学ＨＬ 問題用紙２（全12問から抜粋） 2008年5月8日(木) 午前 ２時間 資料２－２ セクションＡ ３ （５点） 曲線 y ＝ e- - x + 1 は、x 軸と点 P で交わる。 x (a) 点 P の x 座標を求めよ。 （２点） (b) 曲線と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 ４ （３点） （６点） 連続確率変数 X の確率密度関数は、 f(x)＝ 12x 2( 1 - x ) 0 （ 0≦ t ≦1 ） （ t ＜0，1＜ t ） X が平均と最頻値の間にある確率を求めよ。 ５ （７点） 三角形 ABC で、∠ BAC ＝37.8°、AB ＝8.75 10 、BC ＝6 のとき、AC を求めよ。 （６点） ｜0.1x 2 - 2x + 3｜＜ log10 x の解集合を求めよ。 セクションＢ 11 （21点） ガウス大学の学生の通学距離は、平均 6 km 、標準偏差 1.5 km の正規分布に従う。 (a)(i) ガウス大学の学生から無作為に抽出したとき、通学距離が 4.8km と7.5km の間にある 確率を求めよ。 (ii) 学生の15％が大学への通学距離が d km より小さい。d の値を求めよ。 （７点） オイラー大学では、学生の通学距離は、平均μ km 、標準偏差σ km の正規分布に従う。 (b) 10％の学生が 8 km より大きく、5％が 2 km より小さいとき、μとσの値を求めよ。（６点） オイラー大学が受けた毎分の電話の回数 T は、平均が 3.5のポワソン分布に従う。 (c)( i) 連続する２分間の１分ごとに、少なくとも３回ずつ電話を受ける確率を求めよ。 (ii) 無作為に抽出した５分間に15回電話を受ける確率を求めよ。 16 （８点） (2) 確率・統計の扱い (3) ポートフォリオ課題について 問４や問11から分かるように、確率や統計に関 数学ＨＬの評価は、統一試験とポートフォリオ する要求水準は高い。統計的な原理を実社会の多 課題（ある数学領域に関する個人探究）とによっ 様な文脈に適用するために、数表を内蔵したグラ てなされる。数学的探究である「タイプⅠ」と数 フ電卓の活用を強く求めていることが窺われる。 学的モデル化である「タイプⅡ」とが２題ずつ用 日本においては、「大学入試にあまり出ない」 意され、生徒は各タイプから１題ずつ選択して探 及び「教えられる教師が少ない」という本質的で 究レポートを作成しなければならない。2012～13 ない理由により、自然現象や社会現象の数学的理 年用のポートフォリオ課題の一部を資料３として 解に必要な「道具」を生徒に与えていない。この 提示し、日本の数学教育が参考にすべき点につい ことは、大いに反省すべきことである。 て検討する。 数学ＨＬ ポートフォリオ課題（2012－2013年） シャドー関数 資料３ タイプⅠ 多項式関数の実ゼロ点は簡単に多項式のグラフから読み取ることができるが、同じことは 複素ゼロ点には当てはまらない。この課題では、シャドー関数とその生成方法を探究する。 それは、x 軸上の重要な点から複素ゼロ点の実部、虚部を特定するのに役立つ。 パートＡ（２次多項式） ２ ２次関数 y １=（x －a） ＋ b ２ （ a,b ∈Ｒ ）を考えてみましょう。 ●頂点の座標を書きなさい。 ● y １はゼロ点 a ±ib をもつ。 （ただし、 i= √ -1 ） y １ のシャドー関数は、同じ頂点をもつ別の２次関数 y ２ で、凹 凸が反対である。そのゼロ点は a ±b である。 ● a,b の値をいろいろに変え、関数 y １,y ２をつくりなさい。 ● y ２を y １，y m によって表しなさい。ここで、y m は「シャドー 生成関数」と呼ぶことにする。 ●図において、y ２ のゼロ点は、どのように複素ゼロ点の実部、 虚部の決定に関わるか説明しなさい。 パートＢ（３次多項式） ３次関数 y １＝( x + 2 )(x - (3 + 2i))(x- (3- 2 i)) を考えましょう。 この場合は、シャドー関数 y ２ は y １と２点を共有し、凹凸が反対であり、ゼロ点が下図に示 したように －2 と 3±2 である。この場合、シャドー生成関数は２つの共有点を通る。 ● y ２ の式を書きなさい。そして、y １と y ２の交点を 求めなさい。 ●この場合、シャドー生成関数 y m の方程式を決定 しなさい。 ● y ２を y １，y m によって表しなさい。電子機器を 用いて近似の３次関数を求めなさい。 ●図において、y ２ のゼロ点がどのように複素ゼロ 点の実部、虚部の決定に関わるか説明しなさい。 ●２次、３次に関する発見はどのように４次に応用されるか。 17 ガソリンタンクを満たす タイプⅡ この課題では、ドライバーが以下の２つのオプションのうち、どちらがより経済的かを判断す るのに役立つ数学モデルを開発する。 オプション１：相対的に高い価格で通常の経路上のガソリンスタンドからガソリンを購入する。 オプション２：安いガソリンを買うためにそれらの通常の経路を離れて余分な距離を走行する。 ２人のドライバー、アーワとバオは、同じ経路を走行するが、大きさの異なる乗用車を所有し ている状況で考えよう。アーワは通常の経路上のガソリンスタンドで、 p１（＄／ℓ）のガソリンで 燃料タンクを満たす。一方、バオは通常の経路より d km 余分に走行し、p２（＄／ℓ）のガソリン で燃料タンクを満たす。ただし、p２＜ p１ とする。 ●アーワとバオの乗用車に適当な助変数を選び、選んだ理由を説明しなさい。 ● p１＝1.00（＄／ℓ）、p２＝0.98（＄／ℓ）、d ＝10 km と仮定しなさい。どちらのドライバーが 割安か。すべての計算を示し、自分の予想を説明しなさい。 ●スプレッド・シート上で、p１，p２，d を数組選び、さらに調べなさい。 ●上の状況で適切である変数の組を定義しなさい。 「有効リッター数」は、上記の２つの選択肢の下での燃料費用を比較する一つの方法である。 与えられた乗用車に対する「有効リッター数」は、通常経路を走行するときの使用量である。 ●自分で設定した変数と助変数を用い、選択肢１、２のそれぞれの「有効リッター数」当たり の費用 E１ , E２を表す式をかきなさい。 ●それぞれのドライバーが、より経済的な選択肢を決定するのに役立つモデルをかきなさい。 この課題の残りとして、アーワとバオのために選んだ乗用車について検討する必要がある。 ●あなたのモデルを用い、バオが 2％節約するために走行すべき最遠の距離を求めなさい。 ● E ２ が一定（例えば、0.90＄、1.00＄など）であるとき、d と p２ の関係を調べなさい。 アーワの乗用車の曲線群を描くには電子機器を利用しなさい。バオにも同様にしなさい。 ● E ２＝0.90＄ のとき、「有効リッター数」当たり同価格を生む３つの異なる情報をアーワに 用意しなさい。そのような情報が、アーワにとってどのように有用であるかを論じなさい。 ● E ２＝1.00＄，p２＝0.80＄のとき、それぞれのドライバーが運転し、なお節約する最大距離 を比較しなさい。 アーワは忙しい人で、金銭的な節約か、特別な走行で失う時間に価値があるか迷っている。 ●通常の道を離れてガソリンスタンドに行くのにかかる時間を計算するモデルに修正しなさい。 あなたの設定した仮定を明確に説明しなさい。 ※タイプⅠの他の１題は複素数平面に関するもの、タイプⅡの他の１題はサイコロに関するものである。 18 ア タイプⅠの課題内容について ４ 日本の数学教育とＤＰ数学 タイプⅠの数学的探究の課題は、教科書で扱う 欧米の大学が、ＩＢＤＰ資格取得者を国際標準 内容ではないが、既習事項をきちんと理解してい の「品質保証済」として、追加データを要求せず れば解答できる。一見すると、教育課程外の複素 に入学させる事実には敬意を払うべきである。文 関数を扱うかに見えるが、複素ゼロ点という用語 化の違いはあるが、日本の数学教育より優れた点 が理解できれば既知の手法で解決できる。数学的 も多々認められ、改善の参考とすべきである。 な理解力や思考力を問うための良問であり、発展 (1) 数学の文化的側面の指導 的教材として課題学習等で扱うのに適している。 数学史をトピックとして取り上げることは日本 整関数を統合的に捉えたり複素関数を紹介したり でもあるが、近代数学の系譜か自国の数学として する機会になるであろう。 の和算への言及がほとんどであろう。 イ タイプⅡの課題内容について 一方、ＤＰ数学ガイドの関連事項を見ると、近 タイプⅡの数学的モデル化の課題は、燃料代の 代数学の系譜に直結せずとも、諸地域で隆盛した 算出式を見いだし、表計算ソフト等を駆使して損 数学を国際的な視点から取り上げ、数学の文化性 益の分岐点を探る問題である。題意が誰にも分か を強く意識させるようにしている。このことは、 りやすく興味がわく問題である。日本においても、 数学の学ぶ意義をより深く理解させるのに有効で 問題の設定や条件を調整することにより、課題学 あり、このような視点を取り入れた指導を検討す 習や授業における数学的活動として利用できる。 べきであると考える。 日本では、このような教材の開発が遅れている (2) 記述答案の採点技量を高めるシステム が、それは日本の数学教育が手計算を前提として 教員は日常的に記述答案を採点しているが、同 いることと関係がある。問題の設定を現実的にす 一の答案に対して何点を与えるかについて意見交 ると、原理は簡単でも生徒が計算できる範囲を超 換するとかなりの開きが現れる。また、観点別の えてしまうからである。数学の有用性を体感させ 目標準拠評価が強調されて久しいが、客観性や妥 るには、電子機器や表計算ソフトを駆使できる物 当性を裏打ちする評価技量の問題もあり、高校で 理的・教育的環境を整えることが重要である。 は普及する気配が乏しいという現実もある。 (4) 評価方法について 記述答案を採点する際の共通認識を得ること 評価問題と採点基準は、多くの上級試験官等に は、指導目標や指導内容を客観的にする意味合い より２年間かけて組織的に準備される。これは日 があり、ＤＰにモデレーションという採点技量を 本の大学入試センター試験に匹敵する。 高めるシステムが存在する意義は非常に深い。 統一試験は試験官が、ポートフォリオ課題は学 (3) グラフ電卓再考 校の教員が採点・評価するが、評価規準や採点基 子供時代から電子機器を利用する日本である 準が定められているため大きな混乱はない。また が、グラフ電卓は特殊な存在である。高度な数学 評価の確定前に、抽出データを経験豊富な上級試 的機能が搭載され、プロジェクターにも接続でき 験官が採点し、教員の採点との相関係数が 0.9未 るが、日本の教育の情報化がパソコン重視である 満の場合は、上級試験官が採点をやり直す。この ため、見たこともない者がほとんどである。ＩＢ ように、ＩＢＯは学校間で有利・不利が生じない がこれを必須とする理由は、機能がパッケージ化 よう、組織的にモデレーションを実施している。 されているため、操作に習熟すればパソコンより 小中学校では、テストだけに依存しない評価と 手軽なことに加え、統一試験で平等な持ち込み条 して、観点別の目標準拠評価が実施されているが、 件が確保できる個人所有の道具だからであろう。 その客観性については議論が多い。資格認定とい う重要な利益に関わる場面で活用できる状況では ない。また、ポートフォリオによる評価を行う場 追記 本稿では言及できなかったが、選択科目として、 合の素朴な懸念として、不正行為の問題もあろう。 大学の教養程度の内容を多く含む「発展数学」 日本の評価の在り方に生かすため、ＤＰの評価 の仕組みは詳細に調査ずる価値がある。 (Further M athem atics）や基本的な「数学的学習」 (M athm aticalStudies）もあることを付記しておく。 19
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