応用数学 II 演習 No.01
∑
[n/2]
[1]Hn (x) の多項式による表現 Hn (x) =
r=0
(−1)r
n!
(2x)n−2r を導け.
r!(n − 2r)!
[2]Hn (x) は n の偶奇にしたがって偶関数または奇関数であること, つまり, Hn (−x) =
(−1)n Hn (x) を示せ.
2
[3] ロドリグの公式 Hn (x) = (−1)n ex
dn −x2
e
を示せ.
dxn
[4] 漸化式
(
Hn+1 (x)
= 2xHn (x) − 2nHn−1 (x)
)
d
− 2x Hn (x) = −Hn+1 (x)
dx
d
Hn (x)
= 2nHn−1 (x)
dx
を示せ. さらに, これを用いて Hn (x) はエルミートの微分方程式
Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0
を満たすことを示せ.
∫
∞
[5] 直交性
−∞
Hm (x)Hn (x)e−x dx =
2
√
π 2n n! δmn を示せ.
応用数学 II 演習 No.02
∑
[n/2]
[1]Pn (x) の多項式による表現 Pn (x) =
r=0
(−1)r (2n − 2r)!
xn−2r を導け.
n
2 r!(n − r)!(n − 2r)!
[2]Pn (x) は n の偶奇にしたがって偶関数または奇関数であること, つまり, Pn (−x) =
(−1)n Pn (x) を示せ. また, Pn (1) = 1 を示せ.
[3] ロドリグの公式 Pn (x) =
1 dn 2
(x − 1)n を示せ.
2n n! dxn
[4] 漸化式
(2n + 1)xPn (x) = (n + 1)Pn+1 (x) + nPn−1 (x)
[
]
2 d
(1 − x )
− (n + 1)x Pn (x) = −(n + 1)Pn+1 (x)
dx
[
]
2 d
(1 − x )
+ nx Pn (x) = nPn−1 (x)
dx
を示せ. さらに, これを用いて Pn (x) はルジャンドルの微分方程式
(1 − x2 )Pn00 (x) − 2xPn0 (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0
を満たすことを示せ.
∫
1
[5] 直交性
−1
Pm (x)Pn (x) dx =
2
δmn を示せ.
2n + 1
応用数学 II 演習 No.03
[1]Plm (−x) = (−1)l+m Plm (x) を示せ. また, Pl0 (x) = Pl (x) を示せ.
[2] Plm (x) = (1 − x2 )m/2
[3] Pl−m (x) = (−1)m
dm
Pl (x) を示せ. ただし, m = 0 とする.
dxm
(l − m)! m
P (x) を示せ.
(l + m)! l
[4] 漸化式
[
]
√
2 d
(1 − x )
+ mx Plm (x) = 1 − x2 Plm+1 (x)
dx
[
]
√
2 d
(1 − x )
− mx Plm (x) = −(l + m)(l − m + 1) 1 − x2 Plm−1 (x)
dx
を示せ. さらに, これを用いて Plm (x) はルジャンドル陪微分方程式
]
[
2
d
m2
2 d
+ l(l + 1) −
Plm (x) = 0
(1 − x ) 2 − 2x
2
dx
dx
1−x
を満たすことを示せ.
∫
1
[5] 直交性
−1
Plm (x)Plm
0 (x) dx =
2 (l + m)!
δll0 を示せ.
2l + 1 (l − m)!
応用数学 II 演習 No.04
[1]Yl−m (θ, φ) = (−1)m Ylm (θ, φ)∗ を示せ. また, Ylm (π − θ, φ + π) = (−1)l Ylm (θ, φ)
を示せ.
[2] 漸化式
)
√
∂
∂
Ylm (θ, φ) = (l − m)(l + m + 1)Ylm+1 (θ, φ)
e
+ i cot θ
∂θ
∂φ
)
(
√
∂
∂
−iφ
e
Ylm (θ, φ) = (l + m)(l − m + 1)Ylm−1 (θ, φ)
− + i cot θ
∂θ
∂φ
(
iφ
を示せ. また, Ylm (θ, φ) は微分方程式
[
(
)
]
1 ∂
∂
1 ∂2
sin θ
+
+ l(l + 1) Ylm (θ, φ) = 0
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
を満たすことを示せ.
∫
[3] 正規直交性
∫
π
2π
sin θ dθ
0
dφ Ylm (θ, φ)∗ Yl0 m0 (θ, φ) = δll0 δmm0 を示せ.
0
√
[4] Ylm (θ, φ) = (−1)(m+|m|)/2
2l + 1 (l − |m|)! |m|
P (cos θ)eimφ を示せ.
4π (l + |m|)! l
[5] ラプラシアン ∇2 の球座標 (r, θ, φ) における表式は
(
)
(
)
∂
1 ∂
1
∂f
1
∂2f
2
2 ∂f
∇f= 2
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
で与えられることを示せ.
応用数学 II 演習 No.05
[1]Ylm は
1
1 のとき Ylm = √ [(−1)m Ylm + Yl−m ]
2
1
m 5 −1 のとき Ylm = − √ [Ylm − (−1)m Yl−m ]
2i
m=
と表されることを示せ.
[2]Ylm は
√
m=
1 のとき Ylm =
√
m 5 −1 のとき Ylm =
2l + 1 (l − m )! m
P cos mφ
2π (l + m )! l
2l + 1 (l − |m|)! |m|
P sin |m|φ
2π (l + |m|)! l
と表されることを示せ.
∫
∫
π
[3] 正規直交性
0
2π
dφ Ylm Yl0 m0 = δll0 δmm0 を示せ.
sin θ dθ
0
[4]l = 1 (p 軌道) のとき
√
Y11 =
3 x
4π r
√
Y1−1 =
3 y
4π r
√
Y10 =
3 z
4π r
を示せ. また, 3 行 3 列の行列 P を具体的に求めて (Y11 Y1−1 Y10 ) = (Y11 Y1−1 Y10 )P
と表すと, P はユニタリ行列であることを確かめよ.
[5]l = 2 (d 軌道) のとき
√
√
15 x2 − y 2
15 xy
Y22 =
Y2−2 =
2
16π r
4π r2
√
√
√
15 zx
15 yz
5 3z 2 − r2
Y21 =
Y
=
Y
=
2−1
20
4π r2
4π r2
16π
r2
を示せ. また, 5 行 5 列の行列 P を具体的に求めて (Y22 Y2−2 Y21 Y2−1 Y20 ) =
(Y22 Y2−2 Y21 Y2−1 Y20 )P と表すと, P はユニタリ行列であることを確かめよ.
応用数学 II 演習 No.06
[1]Ln (x) の多項式による表現 Ln (x) =
n
∑
r=0
(−1)r
(n!)2
xr を導け.
2
(r!) (n − r)!
[2]Ln (0) = n! を示せ.
[3] ロドリグの公式 Ln (x) = ex
dn ( n −x )
x e
を示せ.
dxn
[4] 漸化式
Ln+1 (x) = (2n + 1 − x)Ln (x) − n2 Ln−1 (x)
(
)
d
x
+ n + 1 − x Ln (x) = Ln+1 (x)
dx
(
)
d
x
− n Ln (x) = −n2 Ln−1 (x)
dx
を示せ. さらに, これを用いて Ln (x) はラゲールの微分方程式
xL00n (x) + (1 − x)L0n (x) + nLn (x) = 0
を満たすことを示せ.
∫
[5] 直交性
0
∞
Lm (x)Ln (x)e−x dx = (n!)2 δmn を示せ.
応用数学 II 演習 No.07
(
) ∑
∞
k
xt
(−1)
tn−k
k
k
−
[1]Ln (x) は母関数を用いて
exp
=
L
(x)
と与えられ
n
(1 − t)k+1
1−t
n!
n=k
ることを示せ.
[2]Lkn (x) の多項式による表現 Lkn (x) =
n−k
∑
r=0
[3] ロドリグの公式 Lkn (x) = (−1)k
(−1)r+k
(n!)2
xr を導け.
(r + k)!(n − r − k)!r!
)
n!
dn−k (
x−k ex n−k xn e−x を示せ.
(n − k)!
dx
[4] 漸化式
(
)
k
Lkn+1 (x) + (x + k − 2n − 1)Lkn (x) + n2 Lkn−1 (x) = 0
1−
n+1
)
(
)
(
k
d
k
− x + n + 1 Ln (x) = 1 −
Lkn+1 (x)
x
dx
n+1
(
)
d
x
− n + k Lkn (x) = −n2 Lkn−1 (x)
dx
を示せ. さらに, これを用いて Lkn (x) はラゲール陪微分方程式
k0
k
xLk00
n (x) + (k + 1 − x)Ln (x) + (n − k)Ln (x) = 0
を満たすことを示せ.
∫
[5] 直交性
0
∞
Lkm (x)Lkn (x)xk e−x dx =
(n!)3
δmn を示せ.
(n − k)!
応用数学 II 演習 No.08
[1]Re z > 0 のとき, Γ(z) は漸化式 Γ(z + 1) = zΓ(z) を満たすことを示せ.
[2]Γ(1) = 1 を示し, さらに, Γ(n + 1) = n! を示せ.
∫
[3]
0
∞
√
−x2
e
dx =
π
を示せ.
2
( )
(
)
√
1
1
(2n − 1)!! √
[4]Γ
= π を示し, さらに, Γ n +
=
π を示せ.
2
2
2n
[5]Γ(z + 1) = zΓ(z) および Γ(1) = 1 から, Γ(z) の z = −m (m = 0, 1, 2, · · · ) にお
(−1)m
であることを示せ.
ける留数が
m!
応用数学 II 演習 No.09
∫
[1]Re z > 0 のとき,
0
n
(
t
1−
n
)n
tz−1 dt =
n! nz
を示せ.
z(z + 1) · · · (z + n)
[2] ガウスの無限乗積表示からワイヤシュトラスの無限乗積表示
∞ [(
∏
1
z ) −z]
γz
= ze
e m
1+
Γ(z)
m
m=1
を導け.
[3] 相反公式 Γ(z)Γ(1 − z) =
π
を示せ.
sin πz
√
2n+1 n!n 2
[4] ガウスの無限乗積表示から, ウォリスの公式 lim
= π を導け.
n→∞ (2n + 1)!!
1
[5] 倍数公式
√
(
2z−1
πΓ(2z) = 2
1
Γ(z)Γ z +
2
)
を示せ.
応用数学 II 演習 No.10
[1]f (t) = t − xLog t を t = x のまわりでテイラー展開することにより f (t) ∼
(t − x)2
x − xLog x +
と近似できることを示せ. さらに, これを用いてスターリン
2x √
グの公式 Γ(x + 1) ∼ 2πxxx e−x を導け.
∫
π
2
[2]Re p > 0, Re q > 0 のとき B(p, q) = 2
cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ を示せ.
0
{ ∫
[3]Γ(p)Γ(q) = 2
∞
e
−u2 2p−1
u
}{ ∫
du
2
0
}
∞
e
−v 2 2p−1
v
dv
を変数変換 u = r cos θ,
0
v = r sin θ を行って計算し, これが Γ(p + q)B(p, q) に等しいことを示せ.
[4] 漸化式 ψ(z + 1) =
1
+ ψ(z) を導け.
z
)
∞ (
∑
1
1
1
[5]ψ(z) = − − γ −
−
を導け. また, ψ(1) = −γ を示し, さらに,
z
z
+
m
m
m=1
1
1
1
+ · · · + + 1 − γ を示せ.
ψ(n + 1) = +
n n−1
2
応用数学 II 演習 No.11
z
2
1
[1] 母関数 e (t− t ) を t のベキ級数として
∞
∑
Jn (z)tn と表すと,
n=−∞
Jn (z) =
∞
∑
s=0
(−1)s ( z )n+2s
s!(s + n)! 2
であることを示せ. また, この表式から J−n (z) = (−1)n Jn (z) および Jn (−z) =
(−1)n Jn (z) を示せ.
[2]J0 (z) + 2
∞
∑
J2m (z) = 1 を示せ.
m=1
[3] ベッセルの積分表示
1
Jn (z) =
2π
∫
π
e
iz sin θ−inθ
−π
1
dθ =
π
∫
π
cos(z sin θ − nθ)dθ
0
を導け.
[4]Jν (z) の定義から, 漸化式
(
)
ν
d
−
Jν (z) = −Jν+1 (z)
dz z
(
)
d
ν
+
Jν (z) = Jν−1 (z)
dz z
を示せ.
[5]Jν (z) はベッセルの微分方程式
(
)
ν2
1 0
y + y + 1− 2 y =0
z
z
00
を満たすことを示せ.
応用数学 II 演習 No.12
[1]Nν (z) の定義と Jν (z) の漸化式から, 漸化式
(
)
d
ν
−
Nν (z) = −Nν+1 (z)
dz z
(
)
d
ν
Nν (z) = Nν−1 (z)
+
dz z
を示せ.
[2]Jν (z) cos πν −Nν (z) sin πν = J−ν (z) および Jν (z) sin πν +Nν (z) cos πν = N−ν (z)
を示し, 特に, ν = n(整数) のとき (−1)n Jn (z) = J−n (z) および (−1)n Nn (z) =
N−n (z) を示せ.
[3]Hν(1) (z) =
−e−iπν Jν (z) + J−ν (z)
eiπν Jν (z) − J−ν (z)
および Hν(2) (z) =
を示せ.
i sin πν
i sin πν
[4]H−ν (z) = eiπν Hν(1) (z) および H−ν (z) = e−iπν Hν(2) (z) を示せ.
(1)
(2)
(
)n
}
{ −ν
}
1 d
d { −ν
−ν
n ν+n
[5]
z Jν (z) = −z Jν+1 (z) から Jν+n (z) = (−1) z
z Jν (z)
dz
z dz
を示すことにより,
(
)n
1 d
n n
Jn (z) = (−1) z
J0 (z)
z dz
(
)n {
}
1 d
n n+ 12
− 21
Jn+ 1 (z) = (−1) z
z J 1 (z)
2
2
z dz
を導け.
応用数学 II 演習 No.13
(
d
ν
−
dz z
)
[1]Iν (z) の定義と Jν (z) の漸化式から, 漸化式
Iν (z) = Iν+1 (z) および
(
)
d
ν
+
Iν (z) = Iν−1 (z) を示せ. さらに, これらから Iν (z) は微分方程式 y 00 +
dz (z
)
1 0
ν2
y − 1 + 2 y = 0 を満たすことを示せ.
z
z
(
ν
d
−
dz z
)
[2]Kν (z) の定義と Iν (z) の漸化式から, 漸化式
Kν (z) = −Kν+1 (z) およ
(
)
d
ν
び
Kν (z) = −Kν−1 (z) を示せ. さらに, これらから Kν (z) は微分方程式
+
dz z(
)
1 0
ν2
00
y + y − 1 + 2 y = 0 を満たすことを示せ.
z
z
(
d
n
−
dz
z
)
jn (z) = −jn+1 (z) およ
[3]jn (z) の定義と Jn+ 1 (z) の漸化式から, 漸化式
2
(
)
d
n+1
び
+
jn (z) = jn−1 (z) を示せ. さらに, これらから jn (z) は微分方程式
dz
z
(
)
2 0
n(n + 1)
00
y + y + 1−
y = 0 を満たすことを示せ.
z
z2
(
n n
[4]jn (z) = (−1) z
1 d
z dz
)n
j0 (z) を導け.
[5] 球座標 (r, θ, φ) によって表したヘルムホルツ方程式の解として変数分離形 u(r, θ, φ) =
f (r)g(θ)h(φ) を仮定して, f (r), g(θ), h(φ) を求めよ.
応用数学 II 演習 No.14
[1] 水平方向 (x 軸方向とする) に一定の間隔 ∆x で並んだ質量 m(= ρ∆x) の N 個
の質点からなる系を考える. ここで, 各質点はばね定数 k(= T /∆x) のばね (自然長
は無視できるとする) で隣合うものと結合し, また, 鉛直方向 (y 軸方向とする) に
は自由に動けるとする. この質点系の両端を x 軸上の点 P = (−l, 0), Q = (l, 0) に
固定して一様な重力の下におくとき, ポテンシャルエネルギー I[y] が最小となる形
状 y0 (x) を求めよ. さらに, 形状 y0 (x) の下でのポテンシャルエネルギー I[y0 ] の具
体的表式を求めよ. ただし, ρ と T を一定に保ったまま N → ∞, ∆x → 0 の極限を
とって答えること.
[2] ハミルトンの原理は解析力学の基本法則であり, 「座標 x1 , x2 で記述される力
学系のラグランジアンを L(t, x1 , ẋ1 , x2 , ẋ2 ) とするとき, 系の運動は作用
∫ t2
S[x1 , x2 ] =
L(t, x1 , ẋ1 , x2 , ẋ2 ) dt
t1
が停留値をとるようなものである.」と述べられる. ここで, ラグランジアン L は,
運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー V の差 L = T − V として定義され,
また, xi (t1 ), xi (t2 ) (i = 1, 2) は与えられた値に固定して考える
. ハミルトンの原理
(
)
d ∂L
∂L
からラグランジュの運動方程式
−
= 0 (i = 1, 2) を導け.
dt ∂ ẋi
∂xi
[3][1] で考えた質点系は, 張力 T で引っぱられている長さ 2l, 線密度 ρ の弦とみなす
ことができる. ここでは, 重力が無視できるとして, この弦に生じる振動を考えよ
う. 位置 x, 時刻 t における弦の変位を y(x, t) とすると, この系のラグランジアンは
( )2 ]
∫ l [ ( )2
T ∂y
ρ ∂y
L=
−
dx
2 ∂t
2 ∂x
−l
∫
t2
で与えられる. 作用 S[y] =
L dt に対してハミルトンの原理 δS[y] = 0 を適用
t1
2
して, 波動方程式
∂ 2y
T ∂ y
=
を導け.
∂t2
ρ ∂x2
[4] 長さ l = 2 sinh 1(∼
= 2.35) の一様な鎖の両端を点 P = (−1, 0), Q = (1,∫ 0) に固定
Q
してぶら下げた. このとき, 鎖全体のポテンシャルエネルギーは I[y] =
y ds に
P
比例する. I[y] を最小にする鎖の形状 y0 (x) を求めよ.
πx
2l
と選んでみよう. ここで, a は変分パラメタである. このとき, ポテンシャルエネル
ギー I[ya ] を a の関数 I(a) として表せ. さらに, I(a) を最小とする a を a∗ とすると
き, a∗ および I(a∗ ) を求めよ. また, I(a∗ ) が [1] で求めたポテンシャルエネルギー
の最小値よりも大きいことを確かめよ.
[5][1] で考えた質点系に対して, その形状を表す試行関数として ya (x) = a cos
応用数学 II 演習 No.15
1
α
1 − x22
√
および
δ(x)
=
lim
e α について
α→0 π x2 + α2
α→0
πα
∫
[1] デルタ関数の表現 δ(x) = lim
∞
そのグラフの概形を描き, さらに,
δ(x)dx = 1 を示せ.
−∞
1
[2]c を正の定数とするとき, δ(cx) = δ(x) を示せ.
c
∫ b
[3]
f (x0 )δ 0 (x0 − x)dx0 = −f 0 (x) を示せ.
a
∫
ξ
[4]δ(x) とヘヴィサイドの階段関数 H(x) は H(ξ − x) =
δ(x − x0 )dx0 の関係にあ
a
ることを示せ.
[5] 区間 [0, 1] において, x の関数としての DN (x) = 2
N
∑
n=1
sin nπx sin nπx0 のグラフ
を N = 1, 10, 100 についてグラフを描け (x0 の値は 0 < x0 < 1 の範囲で一つに固
定せよ).
応用数学 II 演習 No.16
∫
∫
b
[1]|f i =
0
0
f (x)|xidx, hx|x i = δ(x − x ) ならば hf |gi =
a
∫
∫
n
a
a
[3]hx|x̂ = x hx| を示し, さらに A(x̂) =
n
b
xn |xihx|dx を示せ.
x |xihx|dx を示し, さらに x̂ =
2
[2]x̂ =
f (x)∗ g(x)dx を示せ.
a
b
2
b
n
∞
∑
an x̂n に対し, hx|A(x̂) = A(x)hx| を
n=0
示せ.
∫
L/2
(
d
[4]k̂ =
|xi −i
dx
−L/2
示せ.
2
(
d
−i
dx
)2
∫
)n
[5]hx|k̂ =
hx| を示し, さらに A(k̂) =
)
(
d
hx| を示せ.
A −i
dx
n
L/2
(
d
hx|dx を示し, さらに k̂ =
|xi −i
dx
−L/2
n
∞
∑
n=0
)n
hx|dx を
an k̂ n に対し, hx|A(k̂) =
応用数学 II 演習 No.17
1
[1]δ(k − k ) =
2π
0
∫
∞
−i(k−k0 )x
e
−∞
1
dx および δ(x − x ) =
2π
0
∫
[2] 演算子 Ûa = exp(ik̂a) は Ûa =
∞
−∞
∫
∞
0
eik(x−x ) dk を示せ.
−∞
|xihx + a| dx とも表されることを示せ. また,
Ûa は関数を x 軸の負の向きに a だけ平行移動する演算子であることを確かめよ.
∫ ∞
∫ ∞
1
1
ikx
(m)
[3]δ(x) =
e dk より, δ (x) =
(ik)m eikx dk を示せ. ここで,
2π −∞
2π −∞
δ (m) (x) は δ(x) の m 階の導関数を表す.
∫
∞
(
d
[4]x̂ =
|ki i
dk
−∞
)
hk| dk を示し, さらに, hk|x̂ = i
d
hk| を示せ.
dk
[5] 任意の x について xn f (x) = 0 が成り立つとき, f (x) = c0 δ(x)+· · ·+cn−1 δ (n−1) (x)
を示せ. ここで, cm (m = 0, · · · , n − 1) は任意定数である.
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