Presentation

複素積分 vs トロピカル積分
岩尾慎介
日本学術振興会・特別研究員（ＰＤ）
東京大学大学院数理科学研究科
2010 年 9 月 22 日
本研究は科研費 (課題番号:21-7090) の助成を受けたものである。
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
1 / 43
Introduction
はじめに
トロピカル幾何とは？
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
2 / 43
Introduction
はじめに
トロピカル幾何とは？ → ‘T := R ∪ {+∞} 上の代数幾何．’
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
2 / 43
Introduction
トロピカル semifield とは
トロピカル semifield T := R ∪ {+∞} の加法・乗法を，以下で定
義する:
加法… min [X, Y],
乗法… X + Y.
（T の加法を ⊕，乗法を ⊗ と書くことにして，
X ⊕ Y := min [X, Y],
X ⊗ Y := X + Y,
等と記すことも多い．
）
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
3 / 43
Introduction
T = R ∪ {+∞}, 加法…min，乗法…+.
加法と乗法は可換である．
加法の単位元は +∞ ∈ T である．
（min [X, +∞] = min [+∞, X] = X for all X ∈ T）．
乗法の単位元は 0 ∈ T である．
（X + 0 = 0 + X = 0 for all X ∈ T）．
分配法則が成立する．
（X + min [Y, Z] = min [X + Y, X + Z]）.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
4 / 43
Introduction
T = R ∪ {+∞}, 加法…min，乗法…+.
加法の単位元…+∞，乗法の単位元…0．
X ∈ T \ {+∞} の，乗法に関する逆元は −X ∈ T である．
（X + (−X) = (−X) + X = 0）．
加法に関する逆元は，必ずしも存在しない！なぜか？？
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
4 / 43
Introduction
T = R ∪ {+∞}, 加法…min，乗法…+.
加法の単位元…+∞，乗法の単位元…0．
X ∈ T \ {+∞} なる X に対して，
min [X, Y] = +∞
を満たすような Y ∈ T は存在しないから．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
4 / 43
Introduction
トロピカル多項式（2 変数）
以下のような F(X, Y) を，文字 X, Y に関する，トロピカル多項式
という:
F(X, Y) :=
min
w=(w1 ,w2 )∈S
[Aw + w1 X + w2 Y],
Aw ∈ Q.
ここで，S ⊂ Z2 は，有限部分集合とする．
特に，F(X, Y) = A + w1 X + w2 Y， ((w1 , w2 ) ∈ Z2 ) と書けると
き，F をトロピカル単項式という．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
5 / 43
Introduction
トロピカル曲線
F(X, Y) = minw∈S [Aw + w1 X + w2 Y] の定めるトロピカル曲線
を，以下で定まる R2 の部分集合とする：
{
}
関数 F(X, Y) は，
2
(X0 , Y0 ) ∈ R ;
.
点 (X, Y) = (X0 , Y0 ) で微分できない
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
6 / 43
Introduction
例
{(X0 , Y0 ) ; F(X, Y) は点 (X, Y) = (X0 , Y0 ) で微分できない } .
F(X, Y) = min [3X, 3Y, X + Y − 1, 0] としよう．このとき，F
から定まるトロピカル曲線は，下図で与えられる：
Y
6
0
1
@
@
1
O @
3Y
3X
X
-
X+Y−1
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
7 / 43
Introduction
例
{(X0 , Y0 ) ; F(X, Y) は点 (X, Y) = (X0 , Y0 ) で微分できない } .
G = min [2Y, Y + 3X, Y + 2X + 1, Y + X + 1, Y + 5, 10] とす
る．対応するトロピカル曲線は，
10
J Y
10J6
J Y + 2X + 2
J
Y + X + 1
J
7
H
H Y + 3X
HH
5
3
2Y
1
3
O
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
X
2010 年 9 月 22 日
8 / 43
Patchworking
1/d
e := ∪
K
)): 文字 t に関する C 上ピュイズー級数体．
d≥0 C((t
e 収束ピュイズー級数体．
K ⊂ K:
K ∋ cn tn/d + cn+1 t(n+1)/d + cn+2 t(n+2)/d + · · · ,
cj ∈ C, cn ̸= 0.
ここで，付値関数 val : K → Q ∪ {+∞} を以下で定める．
val (cn tn/d + cn+1 t(n+1)/d + · · · ) = nd ，val (0) = +∞.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
9 / 43
Patchworking
Viro のパッチワーキング
トロピカル曲線 —— K 上の代数曲線 —— 複素曲線（Riemann 面）
@
@
@
@
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
'
$
&
%
2010 年 9 月 22 日
10 / 43
Patchworking
K 上の平面曲線→トロピカル平面曲線
x, y, x−1 , y−1 に関する K 上多項式 f(x, y) ∈ K[x±1 , y±1 ] をとる：
∑
f(x, y) =
aw · xw1 yw2 , (aw ∈ K \ {0}).
w=(w1 ,w2 )∈S
この f に対し，以下の３つのものを定義する：
代数曲線 V(f) := {(x, y) ∈ (K \ {0})2 | f(x, y) = 0}．
トロピカル多項式
Tropf (X, Y) := minw∈S [val (aw ) + w1 X + w2 Y].
TV(f) := (Tropf (X, Y) の定めるトロピカル曲線)．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
11 / 43
Patchworking
例
f(x, y) = x3 + y3 + t−1 xy + 1 に対し,
Tropf (X, Y) = min [3X, 3Y, X + Y − 1, 0]．
g = y2 + y(x3 + tx2 + t2 x + t5 ) + t10 に対し，
Tropg (X, Y) =
min [2Y, Y + 3X, Y + 2X + 1, Y + X + 1, Y + 5, 10]．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
12 / 43
Patchworking
トロピカル曲線 —— K 上の代数曲線 —— 複素曲線（Riemann 面）
@
@
@
@
TV(f)
S. Iwao (東大数理)
——
'
$
&
%
V(f)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
13 / 43
Patchworking
K 上の平面曲線→複素曲線
文字 t に，小さい数 t > 0 を代入すれば良い．
f(x, y) = x3 + y3 + t−1 xy + 1 ： K 上多項式．
f(x, y) = x3 + y3 + t−1 xy + 1 ： C 上多項式
（厳密には各 t1/d 7→ t1/d の分岐を一つ一つ定めなければならない
が，常に t1/d ∈ R>0 としておく．
）
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
14 / 43
Patchworking
以下では，代数曲線 C が K 上のものであることを強調したいと
きは
「C/K」
と書くことにし，代入 t 7→ t によって得られる複素曲線を表した
い時は
「Ct /C」
と書くことにする．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
15 / 43
Patchworking
トロピカル曲線 —— K 上の代数曲線 —— 複素曲線（Riemann 面）
@
@
@
@
TV(f)
S. Iwao (東大数理)
——
V(f)/K
——
複素積分 vs トロピカル積分
'
$
&
%
V(f)t /C
2010 年 9 月 22 日
16 / 43
Patchworking
複素曲線 vsTropical 曲線（パッチワーク）
f = x3 + y3 + t−1 xy + 1.
Tropf (X, Y) = min [3X, 3Y, X + Y − 1, 0].
代数曲線 C/K = V(f)/K，トロピカル曲線 Trop C := TV(f)．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
17 / 43
Patchworking
Trop C 上に 2 点 P1 : (X, Y) = (1, 0)，P2 : (X, Y) = (0, 2) を
とる．
P2 •6Y
1
0
@
@
1 -X
O @
•
P1
3Y
3X
X+Y−1
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
18 / 43
Patchworking
P2 •6Y
0
1
@
@
1 -X
O @
•
P1
3Y
3X
X+Y−1
各 Pi に対して，パッチ多項式 f Pi を以下で定める：
f P1 = y3 + t−1 xy + 1,
f P2 = x3 + 1.
f = x3 + y3 + t−1 xy + 1.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
19 / 43
Patchworking
各 f Pi に対して，代数曲線 V(f Pi ) を CPi と書こう．この CPi を，点
Pi ∈ Trop C に対応するパッチという．
パッチも K 上の代数曲線であることを強調するときは「CPi /K」，
小さい t を代入して得られる Riemann 面を表す時は「CPt i /C」と記
すことにする．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
20 / 43
Patchworking
V(f P1 ) = V(y3 + t−1 xy + 1),
V(f P2 ) = V(x3 + 1) = V(x + 1) ⊔ V(x + ζ) ⊔ V(x + ζ 2 ).
（ζ は 1 の原始 3 乗根）．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
21 / 43
Patchworking
十分小さい t > 0 に対して，Riemann 面 CPt i /C の絵を描く：
(x, y) = (∞, 0)
(0, −1), (0, −ζ), (0, −ζ 2 )
V(f P1 ) =
y=0
6
(∞, ∞)
x=∞
x
-= 0
y=∞
V(f P1 ) = V(y3 + t−1 xy + 1).
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
22 / 43
Patchworking
十分小さい t > 0 に対して，Riemann 面 CPt i /C の絵を描く：
y=0
V(f P2 ) =
y=0
x = −1
y=∞
y=0
x = −ζ
⊔
y=∞
x = −ζ 2
⊔
y=∞
V(f P2 ) = V(x + 1) ⊔ VK (x + ζ) ⊔ VK (x + ζ 2 ).
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
23 / 43
Patchworking
P2 •6Y
@
@
O @•
P1 X
各 P ∈ Trop C に，パッチを当てはめていく．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
24 / 43
Patchworking
以下の図が完成する．
Y
6
@
@
O @
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
-
X
2010 年 9 月 22 日
25 / 43
Patchworking
Theorem
(i) C/K が既約かつ非特異，(ii) 全ての点 P ∈ Trop C に対して
CP /K が被約（可約でもよい）かつ非特異であるとき，ある
δ > 0 が存在して，
0<t<δ ⇒
パッチワーキングで得られた図が，Ct /C と同相.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
26 / 43
Patchworking
Riemann 面の実部
各パッチに，直接実部 (x 座標・y 座標ともに実数の部分) を書き込
んでみよう：
(x, y) = (∞, 0)
(0, −1), (0, −ζ), (0, −ζ 2 )
V(f P1 ) =
(∞, ∞)
V(f P1 ) = V(y3 + t−1 xy + 1).
y3 + t−1 xy + 1 = 0 より x = t(y3 + 1)/y.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
27 / 43
Patchworking
y=0
V(f P2 ) =
y=0
x = −1
y=∞
S. Iwao (東大数理)
y=0
x = −ζ
⊔
y=∞
x = −ζ 2
⊔
複素積分 vs トロピカル積分
y=∞
2010 年 9 月 22 日
28 / 43
Patchworking
(x, y) = (−1, 0)
(0, −1)
(∞, ∞)
f = x3 + y3 + t−1 xy + 1.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
29 / 43
Integration
トロピカル曲線上の積分理論
以下，Γ := TV(f) ⊂ R2 をトロピカル平面曲線とする．
（Γ の各線
分の傾きは必ず有理数となる．
）
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
30 / 43
Integration
γ を，Γ 上のある線分とし，その方向ベクトルを (p, q) とする．p
と q は互いに素の整数として良い．このとき，γ の「格子長」
||γ|| を，
{γ のユークリッド長 }
√
||γ|| :=
p2 + q 2
と定義する．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
31 / 43
Integration
J Y
10J6
J
7
5
J
J
HH2
H
2
3
H
2
1
3
O
X
-
Γ 上の向き付きの道全体の集合を path(Γ) と書くことにしよう．
また，path(Γ) の元の形式和 γ1 + · · · + γk の全体の集合を P(Γ)
と書く．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
32 / 43
Integration
トロピカル双線形形式
⟨·, ·⟩
:
P(Γ) × P(Γ) → R
を，以下の手順で定義する:
(i) γ1 と γ2 がともに自己交差を持たず，さらに共通部分 γ1 ∩ γ2 が
線分であるとき，⟨γ1 , γ2 ⟩ := sgn(γ1 , γ2 ) × ||γ1 ∩ γ2 || と定める．
ただし，sgn(γ1 , γ2 ) は，γ1 と γ2 の向きが γ1 ∩ γ2 上において同
じ向きであるときは +1，そうでないときは −1 とする．
(ii) 一般の場合，
γ1 と
∑
∑γ2 を細かく分解し，(i) に帰着させる:
γ1 = i γ1,i∑
，γ2 = j γ2,j と分解して，
⟨γ1 , γ2 ⟩ := i,j ⟨γ1,i , γ2,j ⟩ と定める.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
33 / 43
Integration
例
⟨β1 , β1 ⟩ = l1 + l2 + l6 + l7 ，⟨β2 , β2 ⟩ = l3 + l4 + l5 + l7 ，
⟨β1 , β2 ⟩ = ⟨β2 , β1 ⟩ = −l7 である．
@
@P
l3 PPl2
PPP
l1
β1
l7
β2
l4
PPP
PP
l6
l5 P@
@
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
34 / 43
Integration
H1 (Γ, Z)：Γ 上の閉路のみから生成される P(Γ) の部分群．
（g := dimZ H1 (Γ, Z) と書く．
）
トロピカル双線形形式を H1 (Γ, Z) に制限したものも，引き続き
⟨·, ·⟩
:
H1 (Γ, Z) × H1 (Γ, Z) → R
と書く．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
35 / 43
Integration
β1 , . . . , βg ：H1 (Γ, Z) の基底．
このとき，トロピカル曲線 Γ の周期行列 BΓ を，
BΓ := (⟨βi , βj ⟩)gi,j=1 .
で定義する．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
36 / 43
Integration
例
Y
6
1
@
@
1
O @
X
-
B = 5.
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
37 / 43
Integration
@
@P
l3 PPl2
PPP
l1
β1
l7
β2
l4
PPP
PP
l6
l5 P@
@
(
BΓ =
(
=
S. Iwao (東大数理)
⟨β1 , β1 ⟩, ⟨β2 , β1 ⟩
⟨β1 , β2 ⟩, ⟨β2 , β2 ⟩
)
l1 + l2 + l6 + l7 ,
−l7
−l7
, l3 + l4 + l5 + l7
複素積分 vs トロピカル積分
)
.
2010 年 9 月 22 日
38 / 43
Integration
Riemann 面上の積分理論
C を種数 g のコンパクト Riemann 面とする．
α1 , . . . , αg ; β1 , . . . , βg ：H1 (C, Z) の標準基底（αi と αj ，βi と βj
の交差数は 0，αi と βj の交差数は δi,j ）．
ω1 , . . . , ωg ：C 上正則 1-形式で，
S. Iwao (東大数理)
∫
αi
ωj = δi,j を満たすもの．
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
39 / 43
Integration
C の周期行列とは，以下で定まる g × g 行列のことである:
(∫
)g
BC :=
ωj
.
βi
S. Iwao (東大数理)
i,j=1
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
40 / 43
Integration
主定理
f ∈ K[x±1 , y±1 ] を多項式とし，C = VK (f), Trop C = TV(f) と
する．C は，Theorem1 の条件を満たしていると仮定する．
Theorem1 によって描かれる Ct /C の概形をもとに，H1 (Ct /C ; Z)
の元 β1 , . . . , βg の位置と，H1 (Trop C ; Z) の元 β1 , . . . , βg の位
置が一致するように H1 たちの基底を定義しておく．このとき，
Theorem ([4])
BCt ∼
log t
2πi
· BTrop C
(t → 0+ )
が成立する．
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
41 / 43
Integration
M. Baker and S. Norine, “Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory
on a finite graph”, Advances in Mathematics, 205 (2007)
766–788
L. Caporaso and F. Viviani, “Torelli theorem for graphs and
tropical curves”, Duke Math. J 153 (2010) 129–171
A. Gathmann and M. Kerber, “A Riemann-Roch theorem in
tropical geometry”, Mathematische Zeitschrift, 259 (2007)
217–230
S. Iwao, “Integration over Tropical Plane Curves and
Ultradiscretization”, International Mathematics Research Notices
2010 (2009) 112-148,
G. Mikhalkin and I. Zharkov, “Tropical curves, their Jacobians
and Theta-functions”, arXiv/math-AG/0612267v2
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
42 / 43
Integration
D. Mumford, C. Musili, M. Nori, E. Previato and M. Stillman,
“Tata Lectures on Theta I,II (Progress in mathematics; v.28)”,
ed. Bass H, Oesterlé J and Weinstein A (Berlin: Birkhäuser)
O. Viro, “Gluing algebraic hypersurfaces and constructions of
curves (Russian)”, Tezisy Leningradskoj Mezhdunarodnoj
Topologicheskoj Konferencii 1982, Nauka (1983) 149-197.
O. Viro, “Dequantization of Real Algebraic Geometry on
Logarithmic Paper”, text for students on web
(http://www.pdmi.ras.ru/ olegviro/dequant/index.html)
S. Iwao (東大数理)
複素積分 vs トロピカル積分
2010 年 9 月 22 日
43 / 43

Download Report