テーマ B18：微分の意味放物線の式のように従属変数 y が独立変数 x

埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享）
テーマ B18：
微分の意味－1/5
微分の意味
放物線の式 y  x 2 のように従属変数 y が独立変数 x の関数であることを示す場合，一般
に y  f  x  のように表記します．f は「関数」を意味する英語の「function」の頭文字から来
ていますが，複数の関数を定義するときには g や h なども使われます．
関数 y  f  x  の座標 x における接線を y  ax  b と表したとき，接線の傾き（勾配）a は x
の値によって変わることから，x の関数として a  g  x  と表すことができます．微分すると
いうことは，接線の傾きを x の関数で表わすこと，言い換えれば， g  x  を求めることに他
なりません．すなわち，微分はある関数の任意の x における接線の傾きを表す式を求める
ことなのです．このとき，グラフの横軸を示す独立変数が x なので，「y を x で微分する」
と表現します．
y
a
関数
関数
接線
x
x
x
x
微分の表記には以下のようなものがあります．
dy
：ライプニッツの表記（Leibniz’s notation）です．日本語では「x による y の微分」や，
dx
「y を x で微分」と読みますが，分数の表記と同じなため，便宜的には英語式に「dy
by dx（ディーワイバイディーエックス）」，もしくは「dx 分の dy（ディーエック
ス分のディーワイ）」と読まれこともあります．ただし，分数とは意味が異なります
ので注意が必要です．また，単に「dy dx（ディーワイディーエックス）」読まれる
こともあります．
f  x  ：ラグランジュの表記（Lagrange’s notation）です．
「関数 f  x  を x で微分する」の意
味で，
「エフダッシュエックス」と読みます．関数 f  x  として具体的な関数を示す

場合には，例えば， x 2  と表記します．
y  ：ラグランジュの表記（Lagrange’s notation）において， f  x  を y に置き換えたものです．
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微分の意味－2/5
「y の微分」の意味で，
「ワイダッシュ」と読みます．ただし，この表記では y を何の
変数で微分したのかは明らかではありません．
y ：ニュートンの表記（Newton’s notation）です．物理などで「y を時間 t で微分する」と
いう特定の意味で用いられます．「ワイドット」と読みます．
f  x  は関数 y  f  x  を x で微分することによって導かれた関数であるため，f  x  は f  x 
の導関数であると言います．また， x  a における微分値 f a  は微分係数と呼ばれ， x  a
における接線の傾きとなります．
放物線の式 y  x 2 を具体的に微分してみましょう．
y
関数
B
A
x
接線
Δy
Δx
x+Δx
x
グラフ上の A 点とそこからΔx 離れた B 点に線分を引いたとき，線分 AB の傾きは底辺分
の高さ，すなわち
y
となり，
x
y
f  x  x   f  x 

x
x
と表わせます．Δx を 0 に近づけた極限値は，A 点での接線の傾きを表すことになります．
y
x
f  x  x   f  x 
 lim
x  0
x
a  lim
x  0
 lim
 x  x 2  x 2
x
x  2 x x   x 2  x 2
 lim
x  0
x
 lim 2 x  x   2 x
x  0
2
x  0
したがって
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微分の意味－3/5
x   2 x
2
となります．このようにして，全ての関数を微分することができるのです．
次の基本公式を覚えよう．
x   nx
n
e   e
x
n 1
x
log x   1
x
sin x 
 cos x
cos x    sin x
次に，特定の x 座標に対する接線の傾きを求めるには，導関数に x の値を代入することに
なります．たとえば，放物線の式 y  x 2 の x=1 における接線の傾きを求めてみると，
 dy 
   2 x  x 1  2  1  2
 dx  x 1
となります．
練習問題：
(1) 3 次曲線 y  x 3 の x=1 における接線の傾きを求めなさい．
(2) 対数曲線 y  log x の x=1 における接線の傾きを求めなさい．
関数は何回でも微分することができる場合があります．そこで n 回続けて微分すること
を n 階微分と言います．例えば， n  1 なら 1 階微分， n  2 なら 2 階微分となります．一般
に 2 回以上微分することを高階微分と言います．高階微分は次のように表記します．
2 階微分のとき：
d2y
：日本語では「x による y の 2 階微分」や「y を x で 2 回微分」と読みます．便宜的に
dx 2
は英語式に「second dy by second dx（セカンドディーワイバイセカンドディーエ
ックス）」や，日本式に「ディー 2 乗ワイバイディーエックス 2 乗」や「ディー
エックス 2 乗分のディー 2 乗ワイ」と読む場合もありますが，2 乗としての意味は
持っていないので注意が必要です．また，2 階微分を表すために用いる 2 の位置にも
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微分の意味－4/5
注意が必要です．
f  x  ：
「エフツーダッシュエックス」と読みます．
「ワイツーダッシュ」と読みます．
y  ：
y ：
「ワイツードット」と読みます．
n 階微分のとき：
dny
：正確には「x による y の n 階微分」や「y を x で n 回微分」と読みます．便宜的には
dx n
英語式に「the nth dy by the nth dx（ザエヌスディーワイバイザエヌスディーエ
ックス）」と読みます．日本式に「ディーエックス n 乗分のディー n 乗ワイ」と読
む場合もありますが，n 乗としての意味は持っていないので注意が必要です．
「エフエックスの n 階微分」と読みます．n 乗と区別するため，n は必ず括弧でく
f ( n) x ：
くります．
「ワイの n 階微分」と読みます．n 乗と区別するため，n は必ず括弧でくくります．
y (n ) ：
従属変数が物理的な意味を持つ場合，高階微分も物理的な意味を持つことになります．
例えば，距離 y を時間で微分すると，速度 v になり，さらにもう一度微分すると加速度 a
になるといった具合です．このとき，次のような関係になります．
距離：y
速度（y の 1 階微分）： v 
dy
，もしくは
dt
加速度（y の 2 階微分）： a 
d2y
，もしくは
dt 2
また，
加速度（v の 1 階微分）： a 
v  y
dv
dt
練習問題：
(3) 3 次曲線 y  x 3 を 2 階微分しなさい．
a  y
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微分の意味－5/5
(4) 対数曲線 y  log x を 2 階微分しなさい．
練習問題解答：


3
dx

(1) 

 dx  x 1
 
 3x 2
d log x 
(2) 


(3)
(4)
 x 1
dx
d 2 x3
dx
2

d 2 log x
dx
2
x 1
 3 1  3
1
1
 
 1
x
  x 1 1
 
 
d
dx
d 3 d
x 
3x 2  6 x

dx
dx



d
dx
d
 d 1
2
   x
 log x  
dx
dx
x


 
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