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テーマ B18: 微分の意味 放物線の式 のように従属変数 y が独立変数 x

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埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー(小西克享)
テーマ B18:
微分の意味-1/5
微分の意味
放物線の式 y  x 2 のように従属変数 y が独立変数 x の関数であることを示す場合,一般
に y  f  x  のように表記します.f は「関数」を意味する英語の「function」の頭文字から来
ていますが,複数の関数を定義するときには g や h なども使われます.
関数 y  f  x  の座標 x における接線を y  ax  b と表したとき,接線の傾き(勾配)a は x
の値によって変わることから,x の関数として a  g  x  と表すことができます.微分すると
いうことは,接線の傾きを x の関数で表わすこと,言い換えれば, g  x  を求めることに他
なりません.すなわち,微分はある関数の任意の x における接線の傾きを表す式を求める
ことなのです.このとき,グラフの横軸を示す独立変数が x なので,「y を x で微分する」
と表現します.
y
a
関数
関数
接線
x
x
x
x
微分の表記には以下のようなものがあります.
dy
:ライプニッツの表記(Leibniz’s notation)です.日本語では「x による y の微分」や,
dx
「y を x で微分」と読みますが,分数の表記と同じなため,便宜的には英語式に「dy
by dx(ディー ワイ バイ ディー エックス)」,もしくは「dx 分の dy(ディー エック
ス分のディー ワイ)」と読まれこともあります.ただし,分数とは意味が異なります
ので注意が必要です.また,単に「dy dx(ディー ワイ ディー エックス)」読まれる
こともあります.
f  x  :ラグランジュの表記(Lagrange’s notation)です.
「関数 f  x  を x で微分する」の意
味で,
「エフ ダッシュ エックス」と読みます.関数 f  x  として具体的な関数を示す

場合には,例えば, x 2  と表記します.
y  :ラグランジュの表記(Lagrange’s notation)において, f  x  を y に置き換えたものです.
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微分の意味-2/5
「y の微分」の意味で,
「ワイ ダッシュ」と読みます.ただし,この表記では y を何の
変数で微分したのかは明らかではありません.
y :ニュートンの表記(Newton’s notation)です.物理などで「y を時間 t で微分する」と
いう特定の意味で用いられます.「ワイ ドット」と読みます.
f  x  は関数 y  f  x  を x で微分することによって導かれた関数であるため,f  x  は f  x 
の導関数であると言います.また, x  a における微分値 f a  は微分係数と呼ばれ, x  a
における接線の傾きとなります.
放物線の式 y  x 2 を具体的に微分してみましょう.
y
関数
B
A
x
接線
Δy
Δx
x+Δx
x
グラフ上の A 点とそこからΔx 離れた B 点に線分を引いたとき,線分 AB の傾きは底辺分
の高さ,すなわち
y
となり,
x
y
f  x  x   f  x 

x
x
と表わせます.Δx を 0 に近づけた極限値は,A 点での接線の傾きを表すことになります.
y
x
f  x  x   f  x 
 lim
x  0
x
a  lim
x  0
 lim
 x  x 2  x 2
x
x  2 x x   x 2  x 2
 lim
x  0
x
 lim 2 x  x   2 x
x  0
2
x  0
したがって
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微分の意味-3/5
x   2 x
2
となります.このようにして,全ての関数を微分することができるのです.
次の基本公式を覚えよう.
x   nx
n
e   e
x
n 1
x
log x   1
x
sin x 
 cos x
cos x    sin x
次に,特定の x 座標に対する接線の傾きを求めるには,導関数に x の値を代入することに
なります.たとえば,放物線の式 y  x 2 の x=1 における接線の傾きを求めてみると,
 dy 
   2 x  x 1  2  1  2
 dx  x 1
となります.
練習問題:
(1) 3 次曲線 y  x 3 の x=1 における接線の傾きを求めなさい.
(2) 対数曲線 y  log x の x=1 における接線の傾きを求めなさい.
関数は何回でも微分することができる場合があります.そこで n 回続けて微分すること
を n 階微分と言います.例えば, n  1 なら 1 階微分, n  2 なら 2 階微分となります.一般
に 2 回以上微分することを高階微分と言います.高階微分は次のように表記します.
2 階微分のとき:
d2y
:日本語では「x による y の 2 階微分」や「y を x で 2 回微分」と読みます.便宜的に
dx 2
は英語式に「second dy by second dx(セカンド ディー ワイ バイ セカンド ディー エ
ックス)」や,日本式に「ディー 2 乗 ワイ バイ ディー エックス 2 乗」や「ディー
エックス 2 乗分のディー 2 乗 ワイ」と読む場合もありますが,2 乗としての意味は
持っていないので注意が必要です.また,2 階微分を表すために用いる 2 の位置にも
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微分の意味-4/5
注意が必要です.
f  x  :
「エフ ツー ダッシュ エックス」と読みます.
「ワイ ツー ダッシュ」と読みます.
y  :
y :
「ワイ ツー ドット」と読みます.
n 階微分のとき:
dny
:正確には「x による y の n 階微分」や「y を x で n 回微分」と読みます.便宜的には
dx n
英語式に「the nth dy by the nth dx(ザ エヌス ディー ワイ バイ ザ エヌス ディー エ
ックス)」と読みます.日本式に「ディー エックス n 乗分のディー n 乗 ワイ」と読
む場合もありますが,n 乗としての意味は持っていないので注意が必要です.
「エフ エックスの n 階微分」と読みます.n 乗と区別するため,n は必ず括弧でく
f ( n) x :
くります.
「ワイの n 階微分」と読みます.n 乗と区別するため,n は必ず括弧でくくります.
y (n ) :
従属変数が物理的な意味を持つ場合,高階微分も物理的な意味を持つことになります.
例えば,距離 y を時間で微分すると,速度 v になり,さらにもう一度微分すると加速度 a
になるといった具合です.このとき,次のような関係になります.
距離:y
速度(y の 1 階微分): v 
dy
,もしくは
dt
加速度(y の 2 階微分): a 
d2y
,もしくは
dt 2
また,
加速度(v の 1 階微分): a 
v  y
dv
dt
練習問題:
(3) 3 次曲線 y  x 3 を 2 階微分しなさい.
a  y
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微分の意味-5/5
(4) 対数曲線 y  log x を 2 階微分しなさい.
練習問題解答:


3
dx

(1) 

 dx  x 1
 
 3x 2
d log x 
(2) 


(3)
(4)
 x 1
dx
d 2 x3
dx
2

d 2 log x
dx
2
x 1
 3 1  3
1
1
 
 1
x
  x 1 1
 
 
d
dx
d 3 d
x 
3x 2  6 x

dx
dx



d
dx
d
 d 1
2
   x
 log x  
dx
dx
x


 
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Differential.pdf
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