組織と情報の経済学 2000 1 2000 年度第 3 学期 筑波大学社会工学類 組織と情報の経済学 担当者： 梶井 厚志 研究室：3F1106（ 電話：53-5369 ） 電子メール : [email protected] ホームページ : http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~akajii/ オフィスアワー：火曜，金曜 午後 4 時 30 分ー 5 時 30 分 ティーチング・アシスタント：箕輪雄一 研究室：3F1022（ 電話：53-5702 ） 電子メール : [email protected] オフィスアワー：月曜日 午後 4 時-5 時 講義概要：ゲーム理論の基礎から始め，交渉，戦略的投票の理論，オークション，組織とモラルハザー ド の問題を取り扱う．各トピックごとに宿題を提出してもらい，その解説と学生発表を通じて理解を深 める． 教科書: 梶井厚志・松井彰彦 共著 「ミクロ経済学・戦略的アプローチ」日本評論社 2000 年． 参考書: アビナッシュ・ディキシット , バリー・ネイルバフ著 ; 菅野隆, 嶋津祐一訳 「戦略的思考とは何 か : エール大学式「ゲーム理論」の発想法」 対象学生：経済学原論（ またはミクロ経済学、それに準ずるもの ）をすでに受講し 、ご く基本的な微積 分の知識をもっている 2 年次以上の学生．この条件を満たしていないものは，かならず相談に来ること． ゲーム理論をすでに受講しているのが望ましいが 、ゲーム理論の知識は前提としない． 試験:中間試験は 2000 年 1 月 29 日を予定している．期末試験は行わない． 宿題：各トピックごとに宿題を提出してもらう．授業中に指名された学生に解答例を示してもらい，そ れを前もって指名された討論者に議論してもらう． （ 宿題の返却は３ F ７３７実験室． ） 成績:宿題と中間試験の成績，授業中の発表を評価の対象とする．授業中またはオフィスアワーでの積極 的な発言も高く評価する．成績不良者の救済措置は一切行わない． 備考 卒業予定者で，この講義の単位を必要としているものは，第 2 回の講義終了時までに必ず申し出る こと． 2 月 1 日（ 木）は社会工学類卒業研究発表のため，通常の講義は行わない． 組織と情報の経済学 2000 2 宿題 1 戦略形表現ゲームの分析 問題 参照：教科書 1，2 章 目的 { 戦略形表現ゲームとは何かを学ぶ { 支配戦略，ナッシュ均衡の考え方を理解する { 応用例：外部性と訴訟費用負担問題 1.1 以下のそれぞれのゲームのナッシュ均衡および強支配戦略、強支配される戦略、弱支配戦略、 弱支配される戦略を求めよ．存在しない場合はそのように述べよ． （プレーヤー 1 が上下を選び，プレー ヤー 2 が左右を選ぶ） L R L R U 5,5 0,6 U 5,5 0,4 D 6,0 1,1 D 4,0 1,1 ゲーム 2 ゲーム１ U D L R 5,5 0,4 U 6,0 1,1 D ゲーム 3 問題 1.2 L R 5,5 0,0 0,0 1,1 ゲーム 4 以下のそれぞれのゲームの強支配戦略、強支配される戦略、弱支配戦略、弱支配される戦略を 求めよ．支配される戦略の繰り返し削除を行うとど うなるか．またナッシュ均衡戦略の組は何か．存在 しない場合はそのように述べよ． （プレーヤー 1 が上下を選び，プレーヤー 2 が左右を選ぶ ） x y z x y z a 4,0 0,1 0,2 a 3,3 0,4 1,2 b 2,4 1,1 0,0 b 4,0 2,2 0,1 c 3,1 2,0 1,2 c 2,1 1,0 1,1 ゲーム 5 問題 1.3 ゲーム 6 教科書 1 章のパン屋の価格競争で，仮に 1 日の販売量の上限が 120 個であるとしよう．つま り，まちのパン屋がいくら値段を下げても，高々120 個までしか売れない．価格は 10 円単位でつけなけ ればならないとすると，パンの値段はいくらになるだろうか． 問題 1.4 クールノー競争 同一の財を販売する 2 つの企業 A と B を考える．企業 A と B の販売する量を それぞれ qA と qB と書く．各企業は相手の販売量を観察する事はできないが 、財への需要は p = 1 q で与 えられていることを知っている．ここで、p は財の価格、q は財の総販売量である．各企業は、一度販売量を 決めたらその後変更する事はできない．したがって、たとえば企業 A の利益は p qA = (1 (qA + qB ))qA と書ける．各企業はどれだけ販売するのが適切だろうか． a. 販売量の単位を 0:1 とする．すなわち，qA と qB は 0:1 の倍数である．この前提の下で 組織と情報の経済学 2000 3 (1) 企業 A と企業 B の販売量の組あわせと，企業 A の利潤の関係を表にまとめよ．同様に，企業 B の利潤の表もつくれ． (2) 企業 A にとって，支配戦略は存在しないことを説明せよ． (3) 企業 A にとって，被支配戦略になる販売量はいくらか求めよ．企業 B の方はど うか． (4) 企業 B の被支配戦略を取り除いたとき，企業 A にとって（ 企業 B の残りの戦略に関して ）被支 配戦略になる販売量はいくらか求めよ． (5) 被支配戦略の繰り返し削除を行い，その結果どのような販売量が適切か考えよ． (6) ナッシュ均衡戦略はど うなるか． b. 次に，販売量は 0 以上 1 以下のど の実数でも良いとしよう．このとき， (1) 企業 B の販売量 qB を所与として，企業 A にとって，最適な販売量を求めよ． (2) 企業 A にとって，支配戦略は存在しないことを説明せよ． (3) 企業 A にとって，qA > 12 となる戦略 qA は，戦略 qA = 12 に支配されることを示せ． (4) 企業 A と企業 B の 12 を超える戦略を取り除いたとき，企業 A には支配される戦略はあるか． (5) 被支配戦略の繰り返し削除を行い，その結果どのような販売量が適切か考えよ． (6) ナッシュ均衡戦略はど うなるか． 2 展開形表現ゲームの分析 問題 参照：教科書 3 章，４章 目的 { 展開形表現ゲームとは何かを学ぶ { バックワード ・インダ クションによる解法を理解する { 応用例：交渉，銀行とりつけ 2.1 図 1 のゲームに関して，以下の問いに答えよ．ただし，利得は左側が参入企業，右側が既存企 業のものとする． (-100,-100) A AA 攻撃 A 既存企業 (250, 250) 融和 AAt @ 参入 (0, 1200) @@ @ @ 参入せず @tg 参入企業 図 1: 参入阻止ゲーム 組織と情報の経済学 2000 4 a. 各プレ イヤーの戦略をすべて書き出せ． b. バックワード ・インダ クションの解を求めよ． c. このゲームを戦略形で表現し直し ，ナッシュ均衡を求めよ． 問題 2.2 図 2 のゲームに関して，以下の問いに答えよ．ただし，利得は左側が参入企業，右側が既存企 業のものとする． (0, 700) (-100,-100) A AA 退出 A 対抗 AAt 参入企業 AA A 融和 攻撃 A AAt 既存企業 @ @@ 参入 @ (250, 250) (0, 1200) @@tg 参入せず 参入企業 図 2: 参入阻止ゲーム：退出オプション付き a. 各プレ イヤーの戦略をすべて書き出せ． b. バックワード ・インダ クションの解を求めよ． c. 回収不能な費用があるため，参入−攻撃−退出と選択された場合の参入企業の利得が０ではなく， 400 であったとする．他の構造や利得は図 2 と同じとして，このときのバックワード ・インダ ク ションの解を求めよ． d. A 社が独占的に供給している財の市場に，B 社が新規に参入を考えている．B 社内部では，生産の ための施設を自前で調達するのではなく，できる限りレンタルで済ませ，仮に参入が失敗に終わっ たときにも費用をできるだけ回収できるようにした方が安全でよいという意見が大勢を占めている． 君なら，どのようにアド バイスをするか． 問題 2.3 ケーキ分割問題．いま，2 人のプレーヤーがケーキを分けて食べようとしている．第 1 プレー ヤーがケーキを 2 つに分割し ，次に第 2 プレーヤーが好きなほうをとる．したがって，第 1 プレーヤー の戦略は，自分のシェア x と相手のシェア 1 x を決定することになる．この問題を展開形ゲームで表 現し ，第 1 プレーヤーはどのようにケーキを切るべきかを論ぜよ． 問題 2.4 教科書 4 章で扱われている交渉ゲームを考える．Ａ，Ｂ２人のプレーヤーが協力すると，100 万円手に入る．時間選好率を 0.8 とする．この 100 万円を 2 段階交渉ゲームで分けるとする．プレーヤー 組織と情報の経済学 2000 5 Ｂが最初にオファーするとすると，各プレーヤーの取り分はど うなるか．バックワード ・インダ クショ ンを用いて答えよ． 3 戦略的投票 問題 参照：Dixit and Nalebuf 「戦略的思考とは何か」 目的 { バックワード ・インダ クションを利用した戦略的投票の理論を学ぶ { 戦略的に自分の好みを顕示することで状況を有利にできる可能性があることを理解する 3.1 ある大学では，学生の厚生を高めるために，予算がある．今年度は，共同実験室にケーブルテ レビを置く，学生用ロッカーを買う，学生のプレゼンテーション用にプロジェクターを買う，コンピュー ター室にプレイステーション２を導入する，の 4 つが案としてあげられている．どの案でも，予算はきっ ちりと消化できるため，どれか一つだけが実現するのだが，どれを選ぶかは学生の要望による．学生は 大きく分けて 5 つのタイプがいて，それぞれのタイプでこれらの案に対する評価が違う．以下の表で， 上にあるものほど 評価が高い．各タイプに属する学生数は等しく ，以下では同じタイプの学生は，全く 同じ投票行動をするものとする．また，学生たちは，それぞれのタイプがどのような好みを持っている かを表す以下の表を完全に知っているものとしよう． 表 1: タイプ A タイプ B タイプ C タイプ D タイプ E プレステ ロッカー ロッカー ケーブル プレステ ケーブル プロジェクター プロジェクター プロジェクター ケーブル プロジェクター ケーブル プレステ ロッカー プロジェクター ロッカー プレステ ケーブル プレステ ロッカー a. 仮に以下のように投票をすることを考える．まず，プレステとロッカーのど ちらが良いかを多数決 で決める．次にケーブルとプロジェクタのど ちらが良いか多数決で決める．最後に，それぞれの多 数決の勝者のど ちらが良いかを多数決で決める．このとき， (1) 仮に，一回戦の勝者がプレステとケーブルだったとすると，最後にど ちらが選ばれるか． (2) 君はタイプ D だとしよう．プレステとロッカーの勝者はプレステだったとして，君はケーブルと プロジェクタのど ちらに投票するか． (3) プレステとロッカーの勝者はプレステだったとすると，ケーブルとプロジェクタのど ちらが勝つ か．に投票するか． (4) プレステとロッカーの投票では，ど ちらが選ばれるか． b. 仮に以下のように投票をすることを考える．このとき，４つの案のうち選ばれるのはどれか． １回戦 ロッカー対プロジェクター 準決勝 1 回戦の勝者対ケーブル 決勝 プレステ対準決勝の勝者 組織と情報の経済学 2000 c. 君は，タイプ 6 A であるとし よう．君にもっとも有利なトーナ メントはど のような形式であるか調 べよ． 問題 3.2 某大学某所で密かに行われるカップリング・パーティーは，参加者すべてがカップルになれる というお手軽さが受けて人気がある．参加者にとって，そのパーティーでカップルになれないのは最悪 である．かつてそこでは，男女同数（ n 人ずつ）の参加者に対し ，次のようなルールでカップルを決め ていた． 各個人は，異性に自分の好みの順序をつけた（ 同点は許されない）リストを提出．このとき，お互 いに順序のリストを見せ合わない． それぞれの男性のリストで一番になっている女性を，その男性の仮の相手として指名する． それぞれの女性について， { もし ，ただ 1 人の男性から指名された場合はその人とカップルになる（拒否は許されない！） { もし ，複数の男性から指名された場合，その中でもっとも好ましい男性とカップルになる． これで，全員カップルになっていれば終わり．さもなければ，カップルになってしまった人をリス トから削除し ，上の手続きを繰り返す． この方法では，たしかに一人残らずカップルになる．しかし，このルールは女性に評判が悪かった．な ぜなら，彼女にとって最悪な男性に指名された場合も，受け入れざ るをえないからである． （ それでも一 人で帰るよりはましなので，カップルはちゃんと出来上がっていたのだが ）そこで，最近では以下の修 正ルールにしたがっているらしい． 各個人は，異性に自分の好みの順序をつけた（ 同点は許されない）リストを提出．このとき，お互 いに順序のリストを見せ合わない． それぞれの男性のリストで一番になっている女性を，その男性の仮の相手として指名する． それぞれの女性について，指名した男性の中でもっとも好ましい相手を仮の相手とする．そして， その仮の相手よりも好まし くない男性は彼女のリストから削除し ，それらの男性のリストからも 彼女の名前を削除する． 削除の終わったリストを元に，上の手続きを繰り返す． この方法では，仮に自分の気に入らない最悪の男性に指名された場合，その人が仮の相手となるが， その女性のリストは元のままなので，次の段階でよりよい男性から指名される可能性がある．さて，次 の問題を考えよう． a. 女性にとっては，自分の本当の好みのとおりに順序をつけたリストを作るのが（ 弱い支配戦略の 意味で ）最適であることを示せ． b. 男性にとっては，自分の本当の好みにしたがってリストを作るのは，必ずしも最適ではない．次の 例を用いて説明せよ． 男 女 A B C X Y Z 1位 Z Y Y A A B 2位 Y Z Z B B A 3位 X X X C C C 組織と情報の経済学 2000 7 4 オークション 参照：教科書６章 目的：オークションの仕組みと経済学的意義を学ぶ 戦略的環境の中で，情報をいかに利用するか 発展：知識の問題（ 教科書 15 章） 問題 4.1 2 人の買い手が，1 つの商品を競り落とすセカンド ・プライスルールの競争入札を考える．各 プレーヤーの評価額は 1 万円，8 千円，6 千円，４千円のいずれかであることが分かっている．以降，金 額は千円単位で，入札の最低金額は 4 千円，最高は 1 万円とする． a. 買い手 1 の入札金額が 8 千円で，買い手 2 の入札金額が 5 千円のとき，ど ちらがいくらで商品を手 に入れることができるか． b. 買い手１にとっての商品の価値は 8 千円で，買い手 1 は買い手 2 にとっての価値は知らない．この 時の買い手 1 にとっての利得と入札金額（ 自分のと相手のものと ）の関係をあらわす表をつくれ． そして買い手 1 は入札金額をいくらにすべきか，説明せよ．商品の価値が 6 千円のときはど うか． 問題 4.2 V 円の商品券 1 枚を，申し込みをした人の中から抽選で選ばれた人へ無料で与えるする．何枚 応募しても良い．このことを知っている人の数を n 人で（ n > 1 ），申し込み 1 口につきの料金が c 円で あるとする．したがって，自分以外の応募総数が 得は y 枚であるときに，自分が x 枚応募すると，自分の利 x V x+y cx である．また，商品券は売り手にとっては価値がないものとする．よって，売り手の収入は c 円 （ 応 募総数）となる． a. 対称的なナッシュ均衡，すなわち均衡で n 人が同数の応募をしている状態では，各人何枚応募する か． （ 厳密には申し込み枚数は整数値であるが，ここでは正の実数として扱って良い） b. そのときの売り手の収入を競売方式のオークションで売る場合と比較し ，抽選とオークションの結 果の違いを考察せよ． c. また，もし 仮に抽選の対象になる商品の価値額が人によって違っていたとすると，オークションに 比べ抽選にはどのような問題が生じるだろうか． 問題 4.3 江戸時代にできた蔵から発見された絵巻物を，2 人の古書店の店主 i = 1; 2 が競り落とす競売 を考える．絵巻物は転売できるが，いくらで売れるかは確実でない．絵巻物は X1 + X2 円で売れるとい うことをお互いに知っているが，店主 1 は X1 の値は知っているが X2 の値は知らないし ，店主 2 は X2 の値は知っているが X1 の値は知らない．それぞれの Xi は独立の確率変数で，区間 [0; 1] 上に一様に分 布しているものとする． X1 の値は知っている第 1 番目の店主にとって，期待される絵巻物の価値はいくらか． b. 次のような戦略を考える． 「 価格が 2Xi まであがるまでは競りつづけ，2Xi になったらおりる． 」お a. 互いにこの戦略を採っているのはナッシュ均衡であることを示せ． c. 競売でなく，競争入札ならば入札額をいくらにするだろうか． （ ヒント：入札のルールを き，利潤最大化の 1 階の条件を調べよ） bi (Xi ) とお 組織と情報の経済学 2000 5 8 組織とモラルハザード 問題 参照：教科書１４章 目的: { モラルハザード の問題とその経済学的意義を理解する． { 応用例：住専問題と日本の金融危機 { 応用例：定年制と年功序列賃金 5.1 教科書で議論されているようなプリンシパル・エージェント問題を考える．被雇用者の期待効 用関数が pu (xA ) + (1 p) u (xN ) C (e) の形で表されるものとする．ここで，p は売上が上昇する確率，xA はその場合の給与水準，xN はそう でなかった場合の給与水準，e はエージェントの努力の水準で 1 以下の非負の数であり，C (e) はその努 力水準を達成するための (効用で測った ) 費用を表すもので，C 0 (e) > 0，ただし ある．努力によって売り上げが高くなる確率は上昇する．具体的には C 0 (0) = 0，C 00 > 0 で p = e であると考えよう．現在の 売り上げは 10 で，売り上げが上昇すれば 20 になるとしよう．エージェントが他の仕事についた場合に えられる期待効用は 0 である．売り上げが上昇した場合の給与を H ，そうでない場合の給与を L と書く ことにする．給与は必ず非負であるものとする． a. 給与体系 H ，L が決められた後，エージェントはどのような行動をとるのか．エージェントの解く べき効用最大化問題をかけ． b. 上の問題の一階の条件をかけ．成果報酬（ すなわち H > L ）が用いられないと，エージェントは努 力しないことを示せ． c. プ リンシパルが解くべき問題をかけ． x2 ，C (e) = e2 とせよ．また，努力の水準は e = 0; 21 のいずれかであるとする． (1) エージェントは他の仕事につくことはないものと仮定しよう．給与 L を固定したとき，プ リンシ d. 以降，u (x) = 10x パルにとってもっとも有利になる H はいくらか． (2) 次に，エージェントが他の仕事につく可能性を考慮に入れ，プ リンシパルにとって最適な給与体 系を求めよ． 問題 5.2 疾病保険契約市場におけるモラルハザード の問題を以下の例を使って考えよう．たくさんの被 保険者がいて，各被保険者の期待効用は u (xA ) + (1 ) u (xN ) C (e) の形で表されるものとする．ここで， は病気になる確率，xA は病気になった場合の所得水準，xN は 病気にならなかった場合の所得水準，e はその人が病気の予防のために費やす努力の水準，C (e) はその 努力水準を達成するための (効用で測った) 費用を表す．各個人は危険回避的であり，u0 > 0, u00 < 0 を満たす．また，C 0 (e) > 0， C 00 (e) > 0 であるとする．病気にならないときの所得水準を y とし ，病 気にかかった場合は治療費がかさむため保険がない場合の（ 純）所得は 0 であるとする．病気の際に所 得 1 単位を受け取るための保険料を p で表す．したがって，保険を z 単位購入した場合，病気にならな かった場合の所得は y pz であり，病気になった場合の所得は z pz となる． （ 保険料支払い pz は健康 にかかわらずされることに注意せよ． ）そのとき保険会社にとっての一人あたり保険料収入は pz で，保 険金の一人あたり平均支払いは z である．被保険者の数は十分大きく，また病気にかかる確率はほぼ独 立と仮定すれば，大数の法則より保険金の一人あたり支払いが z であると仮定できる．よって，保険会 社の一人あたり利潤は pz z である． 組織と情報の経済学 2000 9 また，病気になる確率は努力水準が上昇すれば減少するものとしよう．病気になる確率 は努力水準 の関数として (e) とかけ， 0 (e) < 0，であるとする． a. 保険の契約で努力水準 e は固定できるものとしよう．すなわち，保険に加入する条件として健康の ため e だけの努力をすることが義務づけられていて，被保険者はそれを履行しなくてはならない． 被保険者は自分の行動が保険料に与える影響は考慮しない．すなわち，彼らは保険料 p を与えられ たものとして行動する． (1) このとき，被保険者が購入する保険の量 z を決める効用最大化問題を記せ．また，その問題の 1 階の条件を記せ． (2) 競争が激しいために，保険会社の利潤はゼロであるとする．このとき，被保険者は病気のときも 健康なときも同じ所得水準になるように保険を購入することを示せ． b. 今度は，契約にある努力水準 e を実際に履行しているかど うか保険会社にわからないために，被保 険者が保険の契約後（ すなわち価格 p と契約量 z が決定されたあと ）に e を自由に選ぶとする． (1) いま，保険契約が被保険者が努力水準 e を選ぶという前提のもとになされたものとする．保険会 社の利潤はゼロであるとして，そのときどれだけの保険が購入されるか． (2) 被保険者は努力水準 e を選ぶだろうか． c. 社会的には，ある程度被保険者が健康に気を使う努力をして，病気になる確率をへらすほうが望ま しい．上の問題で見たように，これは放置していると市場では解決されない．その望ましい努力の 水準が e であったとして，それを実現するために健康増進の努力をした人には報奨金を支出するこ とが考えられる． (1) この問題ではどのような仕組みで報奨金を出したらよいか． (2) 現実にそのような例があるだろうか． 法律などによって，病気になったときに完全に所得保証をすることを禁じたらど うなるか．たとえば ， a. ある比率 ，0 < < 1，を設定し，被保険者は xA xN となるように保険の契約はされなければ ならないとしたらど うなるか． b. そのようなルールを現実の保険は用いているだろうか． 問題 5.3 競争的市場で疾病保険契約にモラルハザード の問題があるとすると，独占的に供給された方 が好ましいのだろうか．以下の例を使って考えよう．被保険者の期待効用は (e) u (xA ) + (1 (e)) u (xN ) C (e) の形で表されるものとする．ここで， は病気になる確率，xA は病気になった場合の所得水準，xN は 病気にならなかった場合の所得水準，e は病気の予防のために費やす努力の水準，C (e) はその努力水準 を達成するための (効用で測った) 費用を表す．議論を具体的にするために，u (x) = 10x frac12x2 と し ，C (e) = e とし，努力の水準は e = 0; 1 のいずれかであるものとする．病気になる確率は努力水準が 上昇すれば減少するものとしよう．議論を具体的にするために， (0) = 14 ， (1) = 81 とする．病気にな らないときの所得水準を 4 とし ，病気にかかった場合は治療費がかさむため保険がない場合の（ 純）所 得は 0 であるとする．病気の際に所得 1 単位を受け取るための保険料を p で表す．したがって，保険を z 単位購入した場合，病気にならなかった場合の所得は y pz であり，病気になった場合の所得は z pz となる． （ 保険料支払い pz は健康にかかわらずされることに注意せよ． ）そのとき保険会社の保険料収入 は pz で，保険金の平均支払いは z である．保険会社は利潤の期待値を最大にしようとするものとする． 以下，保険の契約で努力水準 e を固定できるものとしよう．すなわち，保険に加入する条件として健康 のため e だけの努力をすることが義務づけられていて，被保険者はそれを履行しなくてはならない．被 保険者は自分の行動が保険料に与える影響は考慮しない．すなわち，彼らは保険料 p を与えられたもの として行動する． 組織と情報の経済学 2000 a. 保険会社が保険料を 10 p に設定したとき，被保険者が購入する保険の量 z を決める効用最大化問題を 記せ．その問題の 1 階の条件を記せ．そこから，保険の需要 z を求めよ b. 上の結果を前提として，保険会社が設定する保険料 p を求めよ．また，保険会社の利潤はいくらに なるか． c. 保険会社にとって，被保険者が健康を維持する努力をするほうが望ましいか． 問題 5.4 ある島国「ぱらだいす」では，仕事がある人には所得に対して割合 t の所得税がかかる．一方 失業者には所得税はかからない．以下の分析を簡単にするため，仕事がある人の所得は等しく 1 で，失 業者の所得は 0 であるとする．したがって，就業者の税引き後の所得は (1 いる住民の全住民に対する割合は であったとしよう． t) となる．そして失業して 「ぱらだいす」の住民は多く，税務署は全人口の だけが失業者であることは認識していても，誰に 所得があったのかは把握してはいない．一方， 「ぱらだいす」の住民は正直ではないので，所得があって も失業していると申告することに道義的罪悪感はまったく感じない．そこで，税務署では所得が 0 だと 申告した住民から任意に何人かを選び，本当に仕事がなかったのかを調べることにした．もし ，虚偽の 申告をしている人が調べられると，嘘はたちどころにわかり，その人の所得はすべて没収される． 「ぱら だいす」の住民は期待所得を最大にするよう行動する． a. 所得がないと申告した人が税務署に調査される確率を とする．このとき， 「ぱらだいす」の住民が 正直に申告するためには税率 t はいくらでなければならないか． もし所得がないと申告する人が多ければ ，税務署としては調査する確率を確率を高く維持するのは 困難である．実際のところ，税務署が調べれられる人数は，全人口の r だけ（ < r < 1 ）であると しよう．所得がないと申告する人の割合を x とおくと，所得のある個人の立場で見ると，虚偽の申 告をしたときに調べられる確率は r 「ぱらだいす」の住民は多いため，各個人は自分の申告 x である． がこの確率に影響を与えるとは考えないものとする． b. 「失業」と申告する人の割合を x とおいたとき，各個人の行動と，税率 t と調査される確率を と の関係を調べよ． c. 「失業」と申告する人の割合 x が自己充足的（ 均衡）であるとは，各個人が x = x と予想して上 記の行動をとった結果，ちょうど x だけの人が「失業」と申告することである．自己充足的な x にはどのようなものがあるか，分析せよ．
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