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波束変換を用いた熱方程式の解のモジュレーションノルム評価1

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波束変換を用いた熱方程式の解のモジュレーションノルム評価 1
栗田 萌美
(東京理科大学理学研究科数学専攻 修士2年)
本研究では,次の熱方程式の初期値問題について考える.
{
∂t u − 12 ∆u + V u = 0, (t, x) ∈ (0, ∞) × Rn ,
(1)
u(0, x) = u0 (x),
x ∈ Rn .
∑n ∂ 2
ここで,∆ = j=1 ∂x
2 とする.この初期値問題 (1) において,V を具体的に与えたとき,以下で定義されるモ
j
ジュレーションノルムで (1) の解を評価した.
定義 1. φ ∈ S(Rn ) \ {0} とする.このとき f ∈ S ′ (Rn ) に対し,関数 φ から定まる f の波束変換 Wφ f を次のよ
うに定義する.
∫
Wφ f (x, ξ) =
φ(y − x)f (y)e−iyξ dy.
s
を次のよ
定義 2. φ ∈ S(Rn ) \ {0} とする.このとき 1 ≤ p, q ≤ ∞, s ∈ R に対して,モジュレーション空間 Mp,q
うに定義する.
{
s
= f ∈ S ′ (Rn )f M s
Mp,q
p,q ,φ
s
2
}
:= ⟨ξ⟩s ∥Wφ f (x, ξ)∥Lpx Lq < ∞ .
ξ
s
2
s ,φ をモジュレーションノルムという.また,モジュレーション空間
ここで,⟨ξ⟩ = (1 + |ξ| ) である.∥ · ∥Mp,q
は φ に依らないことが知られている.
以下では,φ0 (x) = e−
|x|2
2
とする.
[2] では,V = 0 の場合に,
n
∆
s ,φ ≤ C(1 + t) 2
∥e 2 t u0 ∥Mp,q
0
1
(p
− p1′ )
(1 + t
s
n 1
1
− s−˜
2 + 2 ( q′ − q )
)∥u0 ∥M s˜′
p ,q ′
,φ0
(∀ t > 0)
が示されている.また,[3] では,[1] での方法を用いて [2] の別証明を与えている.
定理 1. V (x) = A · x (A = (a1 , · · · , an ) ∈ Rn ) のとき,1 ≤ p, q ≤ ∞, s ∈ R を定数,1 ≤ p′ , q ′ ≤ ∞, s˜ ∈ R を
p′ ≤ p, q ′ ≥ q, s˜ ≤ s をみたすものとする.このとき,ある定数 C > 0 が存在して,任意の u0 ∈ Mps′ ,q′ に対して
n
3
s ,φ ,exp ≤ C exp[|A| t ](1 + t) 2
∥e( 2 −A·x)t u0 ∥Mp,q
0
∆
2
1
(p
− p1′ )
(1 + t
s
1
n 1
− s−˜
2 + 2 ( q′ − q )
)∥u0 ∥M s˜′
p ,q ′
,φ0
(∀ t > 0)
が成り立つ.ここでは
∥f ∥
s ,φ,exp
Mp,q
[ |x + 1 At2 |2 ]
s
2
= ⟨ξ⟩ exp −
Wφ f (x, ξ) p q
2(t + 1)
Lx Lξ
という重み付きノルムを用いる.
2
また,V (x) = 12 |x| の場合と V = A · ∇ + B (A ∈ Rn , B ∈ R) に換えた場合についても,波束変換を用いて,
定理1と類似のモジュレーションノルムでの評価を得ることができた.
参考文献
[1] K. Kato, M. Kobayashi, S. Ito, “Remark on wave front sets of solutions to Schr¨
odinger equation of a free
particle and a harmonic oscillator”, SUT Journal of Mathematics Vol. 47, No. 2 (2011), 175–183.
[2] T. Iwabuchi, “Well-posedness of solutions for nonlinear heat equations and Navier-Stokes equations in modulation spaces”, preprint.
s
[3] 中嶋克臣, “熱方程式の解に対する Mp,q
ノルム評価”, 東京理科大学理学研究科数学専攻修士論文 (2013).
1 本講演は加藤圭一氏との共同研究に基づく
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