波束変換を用いた熱方程式の解のモジュレーションノルム評価 1 栗田萌美 (東京理科大学理学研究科数学専攻修士２年) 本研究では，次の熱方程式の初期値問題について考える． { ∂t u − 12 ∆u + V u = 0, (t, x) ∈ (0, ∞) × Rn , (1) u(0, x) = u0 (x), x ∈ Rn . ∑n ∂ 2 ここで，∆ = j=1 ∂x 2 とする．この初期値問題 (1) において，V を具体的に与えたとき，以下で定義されるモ j ジュレーションノルムで (1) の解を評価した．定義 1. φ ∈ S(Rn ) \ {0} とする．このとき f ∈ S ′ (Rn ) に対し，関数 φ から定まる f の波束変換 Wφ f を次のように定義する． ∫ Wφ f (x, ξ) = φ(y − x)f (y)e−iyξ dy. s を次のよ定義 2. φ ∈ S(Rn ) \ {0} とする．このとき 1 ≤ p, q ≤ ∞, s ∈ R に対して，モジュレーション空間 Mp,q うに定義する． { s = f ∈ S ′ (Rn )f M s Mp,q p,q ,φ s 2 } := ⟨ξ⟩s ∥Wφ f (x, ξ)∥Lpx Lq < ∞ . ξ s 2 s ,φ をモジュレーションノルムという．また，モジュレーション空間ここで，⟨ξ⟩ = (1 + |ξ| ) である．∥ · ∥Mp,q は φ に依らないことが知られている．以下では，φ0 (x) = e− |x|2 2 とする． [2] では，V = 0 の場合に， n ∆ s ,φ ≤ C(1 + t) 2 ∥e 2 t u0 ∥Mp,q 0 1 (p − p1′ ) (1 + t s n 1 1 − s−˜ 2 + 2 ( q′ − q ) )∥u0 ∥M s˜′ p ,q ′ ,φ0 (∀ t > 0) が示されている．また，[3] では，[1] での方法を用いて [2] の別証明を与えている．定理 1. V (x) = A · x (A = (a1 , · · · , an ) ∈ Rn ) のとき，1 ≤ p, q ≤ ∞, s ∈ R を定数，1 ≤ p′ , q ′ ≤ ∞, s˜ ∈ R を p′ ≤ p, q ′ ≥ q, s˜ ≤ s をみたすものとする．このとき，ある定数 C > 0 が存在して，任意の u0 ∈ Mps′ ,q′ に対して n 3 s ,φ ,exp ≤ C exp[|A| t ](1 + t) 2 ∥e( 2 −A·x)t u0 ∥Mp,q 0 ∆ 2 1 (p − p1′ ) (1 + t s 1 n 1 − s−˜ 2 + 2 ( q′ − q ) )∥u0 ∥M s˜′ p ,q ′ ,φ0 (∀ t > 0) が成り立つ．ここでは ∥f ∥ s ,φ,exp Mp,q [ |x + 1 At2 |2 ] s 2 = ⟨ξ⟩ exp − Wφ f (x, ξ) p q 2(t + 1) Lx Lξ という重み付きノルムを用いる． 2 また，V (x) = 12 |x| の場合と V = A · ∇ + B (A ∈ Rn , B ∈ R) に換えた場合についても，波束変換を用いて，定理１と類似のモジュレーションノルムでの評価を得ることができた．参考文献 [1] K. Kato, M. Kobayashi, S. Ito, “Remark on wave front sets of solutions to Schr¨ odinger equation of a free particle and a harmonic oscillator”, SUT Journal of Mathematics Vol. 47, No. 2 (2011), 175–183. [2] T. Iwabuchi, “Well-posedness of solutions for nonlinear heat equations and Navier-Stokes equations in modulation spaces”, preprint. s [3] 中嶋克臣, “熱方程式の解に対する Mp,q ノルム評価”, 東京理科大学理学研究科数学専攻修士論文 (2013). 1 本講演は加藤圭一氏との共同研究に基づく