第6回 - 埼玉大学

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地理情報システム特論
第 6 回：近接図形の検索
大沢裕
埼玉大学
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Ohsawa (Saitama Univ.)
GIS-6
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GIS-6
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. .1 k-NN 検索
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. .2 深さ優先探索
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. .3 最適優先探索
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. .4 ANN 検索
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. .5 RNN
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Ohsawa (Saitama Univ.)
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k-NN 検索
k-NN 検索
ある点 p に最も距離が近いものからオ
ブジェクトを k 個 (任意個) 検索する．
k-NN 検索が用いられる分野
p
コンピュータビジョン
空間データベース
データマイニング
計算機科学，等々
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k-NN 検索
定義とアルゴリズム
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定義 1 (k-NN 検索)
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NN(q, k, S) = {o1 , o2 , . . . , ok },
ここで d(q, oi ) ≤ d(q, o ′ ) ∀i, 1 ≤ i ≤ k, oi ∈ S かつ
′
∀o
. ∈ S − {o1 , o2 , . . . , ok }.
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k-NN 検索アルゴリズムの分類 (Rui et al.)
分割ベース (partition based) アルゴリズム
k-d 木や R 木などを利用 (後述)
グラフベースアルゴリズム
ボロノイ分割などを利用
範囲ベース (range based) アルゴリズム
ネットワーク経由での検索に適する．指定した範囲のデータをサー
バーから得て，クライアントで k-NN 検索を実行する．
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k-NN 検索
分割ベースによる k-NN 検索
深さ優先探索 (depth first search): Rousspoulos et al.
深さ優先探索により，１つの最近接図形候補を求める
その図形候補が最近接であることを確認する
最適探索 (best first search)
R 木のノード展開の際に，MBR への距離に基づき PQ にノードを投
入する
PQ から MBR への距離が近い順に取り出し，そのノードを展開する．
展開結果は再び PQ に投入する
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k-NN 検索
インクリメンタル検索
道路網距離での kNN 検索では，ユークリッド距離で候補を絞り込
み，それを道路網距離で検証する枠組み (IER: incremental Euclidean
restriction) が用いられる．
インクリメンタル検索とは，最初に最適なもの（例えば NN 検索で
は最近接）を求め，2 回目以降では次に最適なものを順次求める検
索である．
この検索は深さ優先探索では実現が困難である．
そのため，インクリメンタル検索には最適優先探索が用いられる．
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深さ優先探索
深さ優先探索の基本
Step1: 最近接オブジェクトが存在する可能性があるノードを根から
葉に向かってたどり，最近接オブジェクトの候補 q を得る．
Step2: 木を根に戻りつつ，q が最近接であることを検証する．その
途中で，より近いオブジェクトが求まったときには，q を更新する．
4
4
D
C
H
4
4
Step2 でどの程度の範囲を探索
したら，最近接図形を正しく検
索できるか
Ohsawa (Saitama Univ.)
4
G
複数の子ノードの内，Step1 で
どれを選択して下降するか
.
4
4
問題
I
4
4
E
M
4
4
K
C
D
E F
G H
I
J K L
J
F
L
4
D4VTGGߩᧁ⴫⃻
C4VTGGߩ㗔ၞಽഀ
GIS-6
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深さ優先探索
MINDIST
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定義 2
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点 Q とある MBR R との最小距離 MINDIST(Q,R) は次式で与えられる．
MINDIST (Q, R) =
n
∑
|qi − ri |2
(1)
i=1
ri =

 si
t
 i
qi
.
..
近接するオブジェクトの下限距離
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Ohsawa (Saitama Univ.)
if qi < si
if qi > ti
otherwise
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GIS-6
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ここで，
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深さ優先探索
MBR と図形の関係
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性質 1
..
R 木における MBR の全ての辺は，必ずその MBR に含まれるオブジェク
トに接している．
.
..
.
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Proof.
.
..
もし，MBR のある辺が，その中に
含まれるオブジェクトのいずれにも
接していないとすれば，よりタイト
な MBR が存在するはずであり，
MBR の定義に反する．従って，R 木
中の全ての MBR の各辺は，必ずそ
の MBR の内部の少なくとも１つの Figure: MBR とその内部オブジェクト
オブジェクトに接している．
の関係
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..
.
࡟ࡌ࡞ - ߩࡁ࡯࠼ߦ߅ߌࠆ
/$4
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࡟ࡌ࡞ - ߩࡁ࡯࠼ߦ߅ߌࠆ /$4
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深さ優先探索
MINMAXDIST
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定義 3
..
点 Q と，ある MBR R = (S, T ) との MINMAXDIST(Q,R) は次式で定義
される．
∑
MINMAXDIST (Q, R) = min (|qk − rmk |2 +
|qi − rMi |2 ) (2)
1≤k≤n
1≤i≤n,i̸=k
{
rMi =
.
..
.
si
ti
if qi ≥ (si + ti )/2
otherwise
(3)
(4)
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ここで，rmk 及び rMi は次の様に定義される．
{
sk if qk ≤ (sk + tk )/2
rmk =
tk otherwise
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深さ優先探索
MINMAXDIST (Cont.)
m in
m inm ax
MINDIST: NN の可能性があるオブジェクトへの下限距離
MINMAXDIST: NN の可能性があるオブジェクトへの上限距離
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深さ優先探索
枝刈り
...
ある MBR M に注目するとき，他の MBR M ′ の
MINMAXDIST(Q,M’) より大きな MINDIST(Q,M) を持つ場合は，M
の子ノードは枝刈できる．(下方向枝刈)
...
点 Q の近接オブジェクト候補 O が探索により得られているとき，
MINMAXDIST(Q,M) が距離 QO より小さい場合，オブジェクト O
は最近接オブジェクトの候補から除くことができる．何故なら
MBRM 中には O より近い別のオブジェクトが含まれているためで
ある．
（下方向枝刈）
...
あるオブジェクト O との距離 |QO| より大きな MINDIST(Q,M) を有
する MBR M は枝刈できる．
（上方向枝刈）
1
2
3
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最適優先探索
最適優先探索
Rousspoulos(1995) のアルゴリズムは深さ優先探索
予め指定された数の NN を探せる
インクリメンタル検索には不向き．(eg. 次の NN)
Hjaltason & Samet(1995) は，MINDIST を PQ で管理し，最も
MINDIST が小さいノードを選択してたどるアルゴリズムを提案
Berchtold ら (1997) は，同様に MINDIST を用いた最適優先探索法を
提案
最適優先探索では，インクリメンタル検索が可能
アルゴリズムも単純
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ANN 検索
ANN 検索
GNN(group nearest neighbor) という名で Papadias らが提案 (2004)
ANN(aggregate nearest neighbour) という名に変更 (2005)
MBM(minimum bounding method) が性能的に優れる
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ANN 検索
R 木を用いた ANN 検索
T
S
5
S
< 6, R1 >
S
< 11, R2 >
< 10, p1 >
T
< 15, p2 >
S
5
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RNN
Reverse Nearest Neighbor 検索とは
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定義 1
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ある POI の集合 P と検索点 q が与えられたとき，RkNN 検索とは q を
kNN とする P 中のすべての要素を列挙する検索である．即ち，
.
.ここで，pk (p) は p の kNN である．
..
.
.
RkNN(q) = {p ∈ P|(d(p, q) ≤ d(p, pk (p))
E
q の R1NN は a と b である．
F
c の NN は d, d の NN は c であ
るので，これらは a の R1NN で
はない．
T
D
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G
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RNN
Bichromatic RNN (1)
2 つのデータ集合 P と O がある．p ∈ P が与えられたとき，BRNN はあ
る点 o ∈ O に対して P 中の NN が p であるすべての点を答える．
R
R
R
S
S
R
R
R
R
この図において，BRNN(p1, P)={o1, o2, o3},
BRNN(p2, P)={o4, o5, o6, o7, }
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RNN
Bichromatic RNN (2)
P をコンビニとし，新しいコンビニの立地を計画する．
左図の場合，BRNN(p3, P)={01, 03}
右図の場合，BRNN(p3, P)={o2, o3, o4, o5}
多くの客に近いという観点からは，右図の p3 位置が好ましい
R
R
S
.
R
S
S
S
R
R
R
R
R
S
R
S
R
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R
R
GIS-6
R
R
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RNN
KM アルゴリズム
Korn and Muthukrishnan (2000): vicinity circle
&
T
'
T %
)
(
$
*
vicinity circle: その円内には他のオブジェクトが存在しない
q1 の RNN は A と B
q2 の RNN は存在しない
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RNN
データ点の追加と削除
データ点の追加
データ点の削除
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RNN
RkNN
RkNN(q) = {r ∈ S|∀p ∈ S : d(r , q) ≤ d(r , pk )}
(5)
kNN までの距離を半径とする Vicinity Circle を定義しておけば，RkNN
検索を行える．しかし，予め k 値を定める必要がある．
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RNN
SAA と SFT
SFT アルゴリズム
SAA アルゴリズム
Satoni et al. (2000): RkNN 検索に
適用可能
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Ohsawa (Saitama Univ.)
Singh et al. (2003): RkNN 検索に適
用可能
GIS-6
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RNN
TPL
Tao et al. (2004): 高次元データの RkNN に適用可能
.
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