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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － １ ( 22 0 52 4 )
み
ち
す
知愛 塾
年
月
日
氏名
う
１ ．求めた い数＝ 未知数
…ｘと する
方 程 式 の た て か た (作 り 方 )
例
兄 は 10 0 0円 、 妹 は 3 0 0円 持 っ て い る 。 兄 か ら 妹 へ い く ら 渡 す と 、 ２ 人 の 所 持 金 は
等し くなる か。
①未知 数を決 める
(兄 か ら 妹 に 渡 す お 金
② 未 知 数 を Xと す る こ と わ り 書 き
(｢ｘ 円 渡 す と す る ｣
③等し くする ものは何 かを決 める
(や り と り し た 後 の ２ 人 の お 金
左辺 ＝右辺
となる ように 式をた てる
簡 単に 書 い て よい
(
④でき た方程 式を解く
２ ．いろい ろな数 の表現 方法
(1 ) あ る 数 を a で 割 る と 商 が 1 2 に (X ＝ 1 2 a－ 5
な り 5余 る 。 あ る 数 を 表 す 。
X ÷ a ＝ 1 2 … 5 (あ る 数 をXと す る )
( X － 5 )÷ a＝ 12
X－ 5＝ 12× a
X＝ 1 2 a－ 5
(2 ) 連 続 す る 整 数 。
(X 、 X ＋ 1 、 X ＋ 2 … １ つ ず つ 増え る
(3 ) 連 続 ３ 整 数 。
(X － 1 、 X 、 X ＋ １
真 ん 中 の 整数 を Xと する
た す と 3Xと な り 、 計算 が ら くに な る
(4 ) 連 続 す る ３ つ の 偶 数 。
(X － 2 、 X 、 X ＋ 2
真 ん 中 の 偶数 を Xと する
連 続 し た 偶数 は 2づ つ増 え る
(5 ) 連 続 す る ３ つ の 奇 数 。
(X － 2 、 X 、 X ＋ 2
真 ん 中 の 奇数 を Xと する
連 続 し た 奇数 は 2づ つ増 え る
(8 ) ２ け た の 整 数
(1 0 a＋ b
10の 位 の 数を a 、 1の 位 の数 を b とす る
63＝ 6× 10＋ 3
(9 ) ３ け た の 整 数 。
(1 0 0a ＋ 1 0 b＋ c
583＝ 5× 100＋ 8× 10＋ 3
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ２ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
３ ，応用－ １
①方程式
□－ X
X＋ 4
＝
2
3
の 解 は X＝
4
5
であ る。□を 求める 。
こと わ り 書 き＝ ｢□ を ａと す る ｣
ａ－X
X＋ 4
＝
2
3
① 分 数 の 式を 整 数 の 式に 直 し 同 類項 計 算
② X＝
4
を 代入 す る ③ aに つ いて 解 く
5
②
こと わ り 書 き＝ ｢あ る 数を ｘ と する ｣
()の 使 い 方 をま ち が わな い よ う に
左 辺 ； ある 数 に 9を加 え て 5倍
右 辺 ； －4か ら あ る数 の 2倍 をひ く
③ 連 続 す る 4 つ の 整 数 が あ っ て , そ の 和 は 3 22 で あ る 。 4 つ の う ち 最 小 の 数 を 求 め よ 。
最 小 の数 を xと す る… (こ と わり 書 き )
④
真 ん 中 の偶 数 を ｘと す る
真 ん 中 の 偶数 を xと する 理 由
＝
⑤
⑥ 連 続 す る 3 つ の 整 数 の 和 を 4で わ っ た と こ ろ ,商 は 14 で 余 り は 1 と な っ た 。こ の 3 つ の 整 数 を
求めよ 。
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ３ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
⑦
十の 位 の 数 をXと す る
一 の 位 の 数＝ x＋ 4
２ け た の 整数 ＝ 10X＋X＋ 4
入 れ か え た数
十 の 位 の数 → 一 の位 の 数 × 10
一 の 位 の数 → 十 の位 の 数
入 れ か え た数 ＝ も との 数 × 3－38
⑧ 24 0 mの テ ー プ か ら 、 3. 8m と 5 . 6m の テ ー プ を 全 部 で 5 0 本 切 り と ろ う と し た と こ ろ 、
7. 6 m不 足 し た 。 3 .8 m と 5. 6 mの テ ー プ を そ れ ぞ れ 何 本 切 り と ろ う と し た か 。
3.8mの テ ー プを ｘ 本 切り 取 る と する
→ 5.6mのテ ー プ は 50－ ｘ (本 )
5.6mの テ ー プを ｘ 本 切り 取 る と する
→ 3.8mのテ ー プ は 50－ ｘ (本 )
どち ら で も よい
7.6m不 足
→ 240＋ 7.6(m)な らち ょ う ど 切り と れ る
⑨ あ る 学 校 の 入 学 試 験 の 受 験 者 は 全 部 で 4 00 人 で 、 そ の 平 均 点 は 64 点 だ っ た 。 そ の う ち 、
合 格 者 の 平 均 点 は 6 7 点 で 、 不 合 格 者 の 平 均 点 は 5 7点 だ っ た 。 合 格 者 の 人 数 は 何 人 だ っ
たか。
公式
平 均 ＝合 計 ÷ 個数
合 計 ＝平 均 × 個数
わ り 算 よ りか け 算 の 方が 計 算 しや す い
[平均の 問題では合計を 使って式を立て る]
⑩ あ る パ ー テ ィ ー を す る の に , 1 人 3 00 円 の 会 費 と す る と 2 5 00 円 不 足 し , 1 人 40 0 円 の 会 費 す る
と 2 10 0 円 余 る 。 パ ー テ ィ ー の 参 加 者 数 と 総 費 用 を 求 め よ 。
参加 者 数 を x人 と す る
不足 → ＋ 2500＝ 総 費 用
余る → － 2100＝ 総 費 用
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ４ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
⑪ い ま 、 父 の 年 齢 は 4 4 才 で ３ 人 の 子 供 の 年 齢 は 1 5才 、 17 才 、 18 才 で あ る 。 ３ 人 の 子 供 の
年齢の 和が、 父の年 齢に等し くなる のは、 父が何才 の時か 。
X年 後 と す ると
父 の 年 齢 →44＋ X(才 )
子 の 年 齢 →3人ともそ れぞれX才づつ増え る
⑫去年、 あるク ラスの 男子は女 子より も１人 多かった が、今 年女子 が２人減 ったの で、
男 子 と 女 子 の 人 数 の 比 は 7: 6 に な っ た 。 こ の ク ラ ス の 今 年 の 人 数 を 求 め よ 。
去年 の 女 子 をX人 と す る
(解 を 求 め た後 で 今 年 の人 数 に なお す )
比の 式 の 解 き方
外項
外 側 の 項を 外 項 とい う
X：12＝ 8： 3
内向
内 側 の 項を 内 項 とい う
外 項の 積 ＝ 内 向の 積 (内 向 の 積 ＝外 項 の 積 )
3X＝ 12× 8
４ ，応用－ ２
速度の公 式
単 位 の変 換
速度＝
距離
時間
1.3km＝ (
距離 ＝速度 ×時間
)m
2.5時 間 ＝ (
50m＝ (
)分
時間＝
距離
速度
)km(分 数 で)
1時 間 25分＝ (
)時 間 (分 数で )
まい
時 速 と分 速
時速 の 単 位＝ km/時
(読 み 方 ＝ km 毎 時
分速 の 単 位＝ m/分
(読 み 方 ＝ m毎 分
45km/時 ＝ (
)m/時 ＝ (
120m/分 ＝ (
)km/分 ＝ (
a時 間 ｂ 分 ＝(
ｅ分 ｆ 秒 ＝(
意 味 ＝ 1時 間 に 何 km進 む か )
意 味＝ 1分 間 に何 m進 む か)
)m/分 (分 数で )
)km/時
)分 ＝ (
)時 間
)時 間
時速 ａ km＝分 速 (
)m/分
分速 ｂ m＝ 時速 (
)km/時
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ５ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
① A, B 両 地 の 間 を 自 転 車 に 乗 っ て 毎 時 1 2k m の 速 さ で 走 る と ,毎 時 4 km の 速 さ で 歩 い て 行 く よ り
1時 間 2 0分 早 く 着 く 。 A ,B 両 地 間 の 道 の り を 求 め よ 。
こ とわ り 書 き
(
4km/時 で の 時 間－ 12km/時で の 時 間＝ 1時 間 20分
1時間 20分 ＝ [
]時間 (分数 で )
② 家 か ら 4k m 離 れ た 友 達 の 家 に 行 く の に , は じ め は 毎 分 70 m の 速 さ で 歩 い た が , 途 中 か ら 毎 分
90 m の 速 さ に 変 え た ら 全 部 で 5 0分 か か っ た 。家 か ら 速 さ を 変 え た 地 点 ま で の 道 の り を 求 め
よ。
複雑な速度 の問題は数直線 で表すとわかり やすい
4km
xkm
家
70m/分
90m/分
友達
50分
kmと mが ま ざっ て い る→ kmを mに なお す
1000xmに かか っ た 時 間＋ (4000m－x)mに
か か っ た 時間 ＝ 50分
③ Aは 学 校 を 出 発 し て 毎 分 8 0 mの 速 さ で 歩 い た 。 A が 出 発 し て か ら 6分 後 に , Bが 自 転 車 で A を
追 い か け た 。 Bの 速 さ を 毎 分 2 00 m と す る と , Bは 出 発 し て か ら 何 分 後 に Aに 追 い つ く か 。
(
A
(
(
)分
)分
)m/分
B
(
＝ 同 じ 時刻
)m/分
(
)分
追 いつ く → Aが[
]分 で歩 い た 距離
＝Bが [
]分 で 歩 いた 距 離
④ Ａ 君 は 家 か ら 学 校 ま で 行 く の に 、 最 初 毎 時 ６ k mで 停 留 所 ま で 歩 き 、 １ ０ 分 待 っ て 、
毎 時 ３ ６ k mの バ ス で 学 校 ま で 行 っ た と こ ろ 、 全 部 で １ 時 間 １ ５ 分 で 学 校 に 着 い た 。
家 か ら 学 校 ま で の 距 離 を ３ ０ km と し て 、 停 留 所 か ら 学 校 ま で の 距 離 を 求 め よ 。
(
家
)km
xk m
(
)km/時
( )km/時
( )分
1時 間 15分
学校
２ 種類 の 方 法
(1)停 留 所 か ら学 校 ま で の距 離 を xkmと す る
(2)停 留 所 か ら学 校 ま で かか る 時 間を x分 と す る
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ６ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
⑤ あ る 人 が 車 で 目 的 地 に 向 か い 、 時 速 ５ ０ kmで 走 れ ば 予 定 の 時 間 に 着 く は ず だ っ た が 、
出 発 が ２ ０ 分 遅 れ た の で 、 時 速 ６ ０ km で 走 っ た 。 し か し 、 目 的 地 に は 予 定 の 時 間 を
４分過 ぎてい た。目 的地まで の距離 を求め よ。
X時間
50km/時
60km/時
予 定 の時 間
20分 遅 れ
4分 過 ぎ
か ん ち が
｢遅 れ ｣｢過 ぎ ｣は 、勘 違 い し やす い の で 注意
た とえ ば 出 発 が9時 で 予 定の 時 間 が12時 の と き
20分 遅 れ → 9時20分 ； 4分過 ぎ → 12時 4分
実際 に か か った 時 間 ＝ 予定 の 時 間－ 20分 ＋ 4分
出 発点 か ら 目 的地 ま で の距 離 の 方 程式 を つ く る
⑥ 周 囲 が 2. 7 km あ る 池 の ま わ り を , 兄 と 弟 が 同 じ 地 点 か ら 反 対 方 向 に 向 か っ て 同 時 に 歩 き だ
し た 。 兄 は 分 速 9 0m , 弟 は 分 速 60 m で 歩 く と 2 人 が は じ め て 出 会 う の は 歩 き だ し て か ら 何 分
後か。
兄
弟
90m/分
60m/分
２人 が 出 会 った と き
兄の 進 ん だ 距離 ＋ 弟 の 進ん だ 距 離 ＝[
]m
⑦ 一 定 の 速 さ で 進 む 電 車 が あ る 。 こ の 電 車 は 長 さ が 7 2 0m の 鉄 橋 を 渡 り 始 め て か ら 渡 り 終 わ
る ま で に 3 5秒 か か り ,電 柱 の 前 を 通 過 す る の に 7秒 か か っ た 。 こ の 電 車 の 長 さ を 求 め よ 。
こ と わり 書 き
xm
(
720m
電 車が 鉄 橋 を 渡り 終 え る まで に
走 った 距 離 ＝ [
]
電 柱 のは ば は
無 視 する
電車 が 電 柱 の前 を 通 過す る ま で に
走 った 距 離 ＝ [
]
電 車の
速度は
同じ
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ７ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
⑧７時と ８時の 間で時 計の長針 と短針 が反対 向きに一 直線に なる時 刻を求め よ。
図 を 書 い て考 え る
12
長針 が １ 分 に回 る 角 度 ＝
X分
9
3
短針 が １ 分 に回 る 角 度 ＝
180ﾟ
8
360ﾟ
60分
30ﾟ
60分
＝ 6ﾟ
＝
1
2
ﾟ
(短 針 は1時 間 に 30ﾟ回 転 )
X分
7
長針 と 短 針 が反 対 向 き に１ 直 線 →長 針 と 短 針の 間 の 角 が180ﾟ
6
一 直 線 にな る ま で に長 針 が 回転 し た 角 度＝ 6Xﾟ
短 針 が 12時 の と こ ろに あ っ たと し て 一 直線 に な る まで に 回 転 した 角 度
1
＝ 30× 7＋
X ﾟ
(12時 ～ 7時 まで は 30ﾟが7つ あ る )
2
一 直 線 にな る → 短 針の 回 転 した 角 度 － 長針 の 回 転 した 角 度 ＝ 180ﾟ
※ 答 は整 数 で は 出な い の で分 数 で 答 える
⑨７時と ８時の 間で長 針と短針 が同じ 向きに 一直線に なる時 刻を求 めよ。ま た、
長針と 短針が 最初に 直角にな る時刻 を求め よ
式 の た て方 は す べて 同 じ 考 え方
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ８ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
５ ，応用－ ３
割合 の公式
も と に し て 考 え る 量 ＝ 「 基 準 量 」 ( 基 準 量 の割 合 は １(100%)と する )
比べ られる量 ＝「比 較量」
比較 量は基準 量のど れだけ に当た るか＝「 割合」
割 合＝比較 量÷基 準量
比 較量＝基 準量× 割合
詳 し くは ｢文 字 式解 説 ｣の ｢割合 ｣を 参 照
① あ る 品 物 を 定 価 の 1 2 %引 き で 買 っ て 1 32 0 円 払 っ た 。 こ の 品 物 の 定 価 は 何 円 か 。
基準 量 ＝ ｢定価 ｣
比 較 量 ＝ ｢1320円 ｣
割合 の 問 題 は｢数 直 線 ｣を 書 く と わか り や す い
(基準 量 の 割合 )
1
( 比 較 量の 割 合 )
12
12
1－ 100
100
値引き
1320円
(比 較量 )
定 価 x円
(基 準 量 )
比 較 量＝ 基 準 量 ×比 較 量 の 割合
12
x＝ 1320
1－
100
比 較量 を 求 める 式 を つ くる
慣 れた ら 数 直線 に ｢～ 量 ｣は 書 か な くて 良 い
② ある 品 に原 価 の20 %の 利益 をみ こ んで 、24 000 円の 定価 を つけ た。 この 品 の原 価 はい くら か。
原価 ＝ お 店 が仕 入 れ てき た 値 段 、
基 準 量 ＝原 価
利 益 ＝ お店 の も う け、
定 価＝ 原 価 ＋ 利益
(比 較 量は 原 価 よ り多 く な る )
(比 較量 の 割 合 )
20
1＋
100
20
1
100
原 価 x円
(
)量
定 価 2400円
(
)量
慣 れ た ら 数直 線 に ｢～量 ｣は 書 かな く て 良 い
③ 定 価 5 0 00 円 の 品 を 値 引 き し て 45 0 0円 で 売 っ た 。 定 価 の 何 % 値 引 き し た か 。
数直線
x％ で はな く x を使 う
100
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － ９ ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
④ あ る 品 に 原 価 の 1 5% の 利 益 を み こ ん で 定 価 を つ け た が 、 売 れ な い の で 定 価 の 1 0 %引 き の
12 4 20 円 で 売 っ た 。 こ の 品 の 原 価 は い く ら か 。
①定 価 の 式
②売 値 の 式 ＝[定 価 の 式]× [値 引 きの 式 ]
( ＋
定 価 の式
売 値 の式
)
(
)(基 準 量)
(
)円
(
)
書 き 換え
15
)x
100
15
(1＋
)x× (1－ 10 )
100
100
[定 価の 式 ]× [値引 き の 式]
(1＋
(1－
15
10
)(1－
)x
100
100
定価
定 価 を新 し い 基 準量 と 考 える
1(基 準量 )
)
(
(
)
売値
⑤ 原 価 が 12 0 0円 の 商 品 に 定 価 を つ け て ,そ の 定 価 の 20 % 引 き で 売 っ て も , ま だ 原 価 の 1 5% の
利益が あるよ うにし たい。定 価をい くらに すればよ いか。
①売 値 の 式 (原価 の 式 は考 え な い )
②原 価 に 利 益を 加 え た 式
(
(
定価 の 20％引 き の 値 段(売 り 値 )
＝ 原 価 に15％ の 利 益を 加 え た 金額
)(基 準量 )
－
(
)
)
値引き
売り値
x円 (定 価)
1(基 準 量 )
(
)
(
)円
(原 価)
利益
⑥ あ る 品 に 原 価 の 3 5% の 利 益 を み こ ん で 定 価 を つ け た 。 こ の 品 を 値 引 き し て も 、 な お 原 価
の 8 %の 利 益 が あ る よ う に す る た め に は 、 定 価 の 何 % を 値 引 き で き る か 。
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － 10 ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
６ ，応用－ ４
濃 度 ( こ さ )の 公 式
濃 度 ( %) ＝
(濃 度 は ％ で 表 す )
溶 け て い る 物 質 の 重 さ (g )
全 体 の 重 さ ( 溶 け て い る 物 質 の 重 さ ＋ 水 の 重 さ )( g )
× 100
溶 け て い る 物 質 の 重 さ ( g )＝ 全 体 の 重 さ ( g )× 濃 度 ( 小 数 )
濃 度 の 問 題は ， 溶 けて い る も のの 重 さ で 式を つ く ると や り や すい (で き ない 場 合 も ある )
例 ； 水 200gに 食 塩 50g溶 か し た とき の 濃 度
(
50(g)
)＋ (
)(g)
× 100＝
20％ の食 塩 水 300gに 溶 け てい る 食 塩 の
重 さ と水 の 重 さ
(
)× (
)＝
300－(
)＝
… 食塩
…水
30％ の食 塩 水 200gに 水 100gを 加 え た
と き の濃 度
30％ の食 塩 水 200gに 含 ま れる 食 塩
(
)× (
)＝
全 体 の重 さ ＝ (
)＋ (
)
濃度＝
15％ の食 塩 水 400gに 食 塩 40gを 加 え た
と き の濃 度
15％ の食 塩 水 400gに 含 ま れる 食 塩
(
)× (
)＝
加 え た後 の 食 塩 全体 の 重 さ
(
)＋ (
)＝
濃度＝
20％ の食 塩 水 200gと 30％ の食 塩 水
300gを混 ぜ た と きの 濃 度
濃度＝
① 15 % の 食 塩 水 が 8 0 gあ る 。 こ れ に 何 g の 食 塩 を 加 え る と 2 0 %の 食 塩 水 に な る か 。
② 5% の 食 塩 水 4 0 0g に 8 % の 食 塩 水 を 混 ぜ て 7 %の 食 塩 水 を 作 り た い 。8% の 食 塩 水 を 何 g混 ぜ れ ば
よいか 。
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方 程 式 応 用 テ キ ス ト 解 説 － 11 ( 22 0 52 4 )
知 愛塾
年
月
日
氏名
③ 15 % の 食 塩 水 と 7 % の 食 塩 水 を 混 ぜ て 1 0% の 食 塩 水 を 8 0 0g 作 り た い 。1 5% と 7 %の 食 塩 水 を そ れ
ぞ れ 何 g混 ぜ れ ば よ い か 。
④ Ａ の 容 器 に は 10 % の 食 塩 水 が 4 00 g、Ｂ の 容 器 に は 5 %の 食 塩 水 が 60 0 gは い っ て い る 。い ま 、
Ａ、Ｂ ２つの 容器か ら 同 時に同 量の食 塩水を くみだし て、Ａ の分を Ｂに、Ｂ の分を Ａ
に移し 、よく かき混 ぜたとこ ろ、Ａ ，Ｂの 濃度が等 しくな った。
(1 ) 何 g ず つ く み だ し た か 。
(2 ) 等 し い 濃 度 を 求 め よ 。
食塩 の 増 減
10
－ 100 X
5
＋ 100 X
5
－ 100 X
10
＋ 100 X
最初 の 食 塩 の量
(
×
)g
(
×
)g
濃度 の 式 を たて る (A,Bの重 さ は 変わ ら な い )
７ ，応用－ ６
① 右 の 図 の 三 角 形 A BC で 、 角 Bは 直 角 , A B= 6 cm , BC = 12 cm で あ る 。
点 P は 辺 B C 上 を 頂 点 B か ら C ま で 毎 秒 2 cm の 速 さ で 動 く 。
次の問 いに答 えよ。
(l ) PC の 長 さ が 8 c mと な る の は 、 P が B を 出 発 し て か ら 何 秒 後 か 。
(2 ) 三 角 形 AP C の 面 積 が 24 c m 2 と な る の は 、 P が B を 出 発 し て か ら
何 秒後か 。
(1)
距離
PC＝BC－ BP
速度
(2)こと わ り 書 き(
ｘ秒 後 の PCの長 さ (
時間 ＝
底辺 ＝ PC
高さ ＝ AB
)

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