量子力学II（2008年度後期）レポート問題10 12月12日出題問題解答

量子力学 II（2008 年度後期）レポート問題 10
12 月 12 日出題
問題
1. (a) 関数
f (r0 ) =
e2
9~2
−
2
8r0 M
4π²0 r0
の最小値と、最小値を与える r0 の値を求めよ。
(b) 上の結果を使って、水素原子の基底状態のエネルギーと半径を単位入りで求めよ。
（エネルギーの単位は eV(電子ボルト)、長さの単位Å(オングストローム) で）
2.
2
{
M̂ = −
1 ∂
sin θ ∂θ
(
∂
sin θ
∂θ
)
1 ∂2
+
sin2 θ ∂φ2
}
となることを示せ。
解答
1. (a)
f 0 (r0 ) = −
e2
9~2
+
4r03 M
4π²0 r02
だから、f 0 (r0 ) = 0 とおくと、
r0 =
9~2 π²0
.
M e2
この値を関数 f に代入すると、
(
)2
9~2
M e2
e2 M e2
=
−
4M 9~2 π²0
4π²0 9~2 π²0
4
4
Me
Me
−
=
2
2
2
72π ~ ²0
36π 2 ~2 ²20
M e4
= −
.
72π 2 ~2 ²20
f (r0 )
4
よって、最小値は − 72πM2e~2 ²2 で、この時 r0 =
0
9~2 π²0
M e2 。
h
(b) ディラック定数 ~ = 2π
' 1.05 × 10−34 J · s、真空の誘電率 ²0 = 8.85 × 10−12 C ·
−1
−1
V · m 、単位電荷 e = 1.60 × 10−19 C、電子の質量 M = 9.11 × 10−31 Kg を代
入すると、
9~2 π²0
M e2
M e4
72π 2 ~2 ²20
=
1.19 × 10−10 m = 1.19Å,
=
9.69 × 10−19 J = 6.05eV.
1
ここで、1J = 6.24 × 1018 eV, 10−10 m = 1Å を使った。よって、基底エネルギーは
−6.05eV、半径は 1.19Å。
2. 演算を受ける関数を f とする。
2
M̂ = M̂− M̂+ + M̂z + M̂z2
と、
(
)
∂
∂
∂
+ i cot θ
M̂± = e±iφ ±
, M̂z = −i
∂θ
∂φ
∂φ
を使うと、
2
M̂ f
)
(
)
(
∂
∂f
∂f
∂f
∂2f
∂
+ i cot θ
eiφ
+ i cot θ
−i
−
= e−iφ −
∂θ
∂φ
∂θ
∂φ
∂φ ∂φ2
{
(
)
∂2f
∂2f
∂f
∂f
1 ∂f
= e−iφ −eiφ 2 + ieiφ 2
− ieiφ cot θ
− cot θeiφ
+ i cot θ
∂θ
∂θ∂φ
∂θ
∂φ
sin θ ∂φ
( 2
)}
2
2
∂ f
∂ f
∂f
∂ f
+i cot θeiφ
+ i cot θ 2
−i
−
∂φ∂θ
∂φ
∂φ ∂φ2
∂2f
i ∂f
∂f
∂f
∂2f
∂f
∂2f
= − 2 +
− cot θ
− i cot2 θ
− cot2 θ 2 − i
−
2
∂θ
∂θ
∂φ
∂φ
∂φ ∂φ2
sin θ ∂φ
2
2
∂ f
∂f
1 ∂ f
= − 2 − cot θ
−
.
∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
∂
ここで、 ∂θ
cot θ = − sin12 θ ,
1
sin2 θ
= 1 + cot2 θ 等の関係を用いた。よって、
( 2
)
2
∂
∂
1 ∂2
M̂ = −
+
cot
θ
+
.
∂θ2
∂θ sin2 θ ∂φ2
また、
1 ∂
sin θ ∂θ
(
)
∂
sin θ
∂θ
だから、
2
M̂ = −
{
1 ∂
sin θ ∂θ
(
)
∂
∂2
=
cos θ
+ sin θ 2
∂θ
∂θ
∂
∂2
= cot θ
+
∂θ ∂θ2
1
sin θ
(
)
}
∂
1 ∂2
sin θ
+
.
∂θ
sin2 θ ∂φ2
コメント
• 問題 1 は、不確定性原理に基づいて水素原子の基底エネルギーを見積もる問題。シュレー
ディンガー方程式を厳密に解くと、水素原子の基底エネルギーは
−
M e4
' −13.6eV,
32π 2 ~2 ²20
基底状態の半径は、
4~2 π²0
' 0.53Å
M e2
2
で、これはボーア半径と呼ばれている。（ただし、原子中の電子は確率的に分布してい
るので、半径は定義の仕方によって多少変わる。）不確定性関係を使った見積りは、そ
れほど厳密な答から外れていないことが分かる。
• 原子の世界では、エネルギーは大体 eV(電子ボルト) 程度、長さは 10−10 m = 1Å(オング
ストローム) 程度であることを憶えておこう。
• 授業中にも言ったが、単位の入った計算をするには Google を使うのが便利である。例
4
M e4
えば、水素原子の基底エネルギー 32πM2e~2 ²2 = 8h
「電子質
2 ²2 を単位 eV で求めるには、
0
0
量*単位電荷**4/（8*プランク定数**2*真空の誘電率**2）を eV で」と入力すればよい。
（ディラック定数 ~ は登録されていないようなので、プランク定数 h を使って計算した。）
• 通常の MKSA 単位系で計算すると、エネルギーの単位は J(ジュール)=Kg · m2 · s−2 に
なる。これを eV(電子ボルト) に変換するには、1J = 6.24 × 1018 eV の関係を使う。単
位の変換がちゃんとできていない人が結構多かった。
2
2
• 問題 2 の M̂ の計算は、M̂ = M̂x2 + M̂y2 + M̂z2 を使って計算してもよいが、解答にあ
るように M̂+ , M̂− を使うと少し計算が楽になる。
• 問題２の計算で、なぜか
M̂− M̂+
(
)
(
)
∂
∂
∂
∂
= e−iφ −
+ i cot θ
eiφ
+ i cot θ
∂θ
∂φ
∂θ
∂φ
(
)(
)
∂
∂
∂
∂
=
−
+ i cot θ
+ i cot θ
∂θ
∂φ
∂θ
∂φ
としている人が多かったが、この 1 行目から 2 行目への変形はもちろん間違いである。
積と微分の順序は勝手に入れ替えられないので、eiφ を前に出すことはできない。
3

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