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複素関数論演習問題解答

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複素関数論 演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 6 月 13 日出題
問題 1. 次の問いに答えよ.
(i) 複素定数 a ∈ C に対し, 複素関数 f (z) = eaz の 0 でのテイラー展開を求めよ.
(ii) 定義式を用いて, 複素三角関数 cos z および sin z の 0 でのテイラー展開を求めよ.
解答 (i) f (z) の微分は
f 0 (z) = aeaz ,
f 00 (z) = a2 eaz ,
f 000 (z) = a3 eaz ,
...
f (n) (z) = an eaz
となるので, 0 でのテイラー展開の係数 cn は n = 0, 1, 2, . . . に対して
cn =
an e0
an
f (0) (z)
=
=
.
n!
n!
n!
よって,
∞
∑
∞
∑
an z n
f (z) =
cn z =
n!
n=0
n=0
n
1
1
1
= 1 + az + a2 z 2 + a3 z 3 + · · · + an z n + · · ·
2
6
n!
となる.
(ii) 複素三角関数は
cos z =
eiz + e−iz
,
2
sin z =
eiz − e−iz
2i
で定義される. (i) において, a = ±i とすると
eiz =
e−iz =
∗
∞ n n
∑
i z
,
n!
n=0
∞
∑
(−i)n z n
n!
n=0
東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
1
より,
)
∞ n n
∞
∞
∑
∑
i z
1 ∑ (in + (−i)n )z n
(−i)n z n
+
=
,
n!
n!
2 n=0
n!
n=0
n=0
(∞
)
∞
∞
1 iz
1 ∑ (in − (−i)n )z n
1 ∑ in z n ∑ (−i)n z n
−iz
sin z = (e − e ) =
−
=
.
2i
2i n=0 n!
n!
2i n=0
n!
n=0
1
1
cos z = (eiz + e−iz ) =
2
2
(
ここで,


−2 (i = 2, 6, 10, . . . )
n
n
i + (−i) = 0
(i = 1, 3, 5, . . . ) ,


2
(i = 0, 4, 8, . . . )


(i = 1, 5, 9, . . . )
2i
n
n
i − (−i) = 0
(i = 0, 2, 4, . . . )


−2i (i = 3, 7, 11, . . . )
となるので, 0 でのテイラー展開は
cos z =
1
2
(
2 − z2 +
1 4
2(−1)k 2k
z − ··· +
z + ···
12
(2k)!
)
z2
z4
(−1)k 2k
=1−
+
− ··· +
z + ··· ,
2
24
(2k)!
(
)
1
i 3
i 5
2i(−1)k 2k+1
sin z =
iz − z + z − · · · +
z
+ ···
2i
3
60
(2k + 1)!
=z−
z5
(−1)k 2k+1
z3
+
− ··· +
z
+ ···
6
120
(2k + 1)!
となる.
2
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