予定 （川口担当分） （１）４月１３日 （２）４月２０日 （３）４月２７日 （４）５月１１日 （５）５月１８日 （６）５月２５日 （７）６月１日 量子力学・固体の性質の復習 自由電子モデル 結晶中の電子 半導体・輸送現象 金属絶縁体転移 磁性の基礎 物性におけるトポロジー 今日（４/２０）の内容 • 自由電子モデル • 量子統計 • 状態密度 • フェルミ面・フェルミ分布 • 自由電子ガスの基本的性質 化学ポテンシャル、比熱、スピン帯磁率、 電気伝導度、熱伝導度、ホール係数 • （結晶中の電子）クローニッヒ・ペニーモデル 金属の自由電子モデル 正イオンの規則的な配列によってできる 周期的ポテンシャル ポテンシャルをならして平坦化 • 箱の中の電子 • 電子間のクーロン相互作用も無視 → 自由電子モデル 波動関数とエネルギー固有値 シュレディンガー方程式 周期境界条件 → 波動関数（平面波） エネルギー固有値 より正確には？ 固定境界条件 → 波動関数（平面波） エネルギー固有値 電子の総状態数は境界条件の 取り方によらない 量子統計 • 2つの状態に2つの粒子（スピンなし）を入れる 異種粒子 粒子の区別ができる 量子統計 • 2つの状態に2つの粒子（スピンなし）を入れる 同種のボース粒子 粒子の区別ができない 同じ状態に入れる 量子統計 • 2つの状態に2つの粒子（スピンなし）を入れる 同種のフェルミ粒子 粒子の区別ができない 同じ状態に入れない 統計性による引力・斥力 2つの粒子が同じ状態に入る確率 同種粒子 異種粒子 ボース粒子 1/2 2/3 引力 フェルミ粒子 0 斥力 電子がとりうる状態 • 電子:フェルミ粒子 • 各状態 に電子１個 • ひとつの に対しては電子２個 • ひとつの に対しては？ 家泰弘『物性物理』（産業図書） 状態密度 エネルギー から の範囲内にある 単位体積あたりの電子状態の数 状態密度 運動量空間で体積 につきひとつの 状態密度 ３次元 状態密度 ２次元 状態密度 １次元 まとめると フェルミ球・フェルミ面 • 典型的な金属の電子密度 • エネルギーの低い状態から順に粒子を詰めていく フェルミ面 運動量空間で 半径 の球 || フェルミ球 フェルミ波数と電子密度の関係 （３Ｄ） ：フェルミエネルギー 特に、 自由電子の全エネルギー（Ｔ＝０） • 単位体積あたりのエネルギー • 一電子あたり 熱力学 • 熱力学第一法則 電子密度を表すパラメータ あ • 平均電子間距離 ： → ：小 → 電子密度大 ボーア半径 0.53Å 水素1s軌道の平均半径 • フェルミ波数 • 一電子あたりのエネルギー 水素1s軌道のエネルギー 1[Ry] = 13.6 [eV] フェルミ分布関数 有限温度では を満たすよう、化学ポテンシャル が決まる このときの全エネルギー（単位体積）は フェルミ分布関数の性質 積分計算に便利な手法 任意関数 =0 フェルミ分布関数の性質 より正確には、 と展開して 化学ポテンシャル Ｔ＝０では なので、辺々引いて 電子比熱 • 電子のエネルギー • 比熱 古典ガス フェルミ縮退のために フェルミ面付近の電子しか 熱励起されない スピン帯磁率（パウリ常磁性） • 電子スピン: • 磁気モーメント： （ボーア磁子） • 分散関係： ゼーマンエネルギー スピン帯磁率（パウリ常磁性） スピン帯磁率（パウリ常磁性） • 磁化： • 磁化率： 温度によらない一定値 フェルミ面付近のみ寄与 高温では すべての電子が寄与 （キュリー則） 電気伝導度 電子密度 ドリフト速度 電場をかけると電子は加速 → 散乱 等加速度運動 電気伝導度 平均すると 等加速度運動 ：平均散乱時間 Ｄｒｕｄｅ則 電気伝導度 具体的に、 銅の電線 断面積 1mm2 電流 100A 電流密度 電子密度 金属中の伝導電子は猛スピードで飛び交っている 熱伝導度 気体分子運動論 熱伝導度 Ｗｉｄｅｍａｎｎ‐Ｆｒａｎｚ則 電流磁気効果 • 磁場が存在すると、電子はローレンツ力をうける → 電流と直角の方向に電荷の分布が生じる +++++++++++++ ------------- 電流磁気効果 誘導電場成分が電子に及ぼす力とローレンツ力の釣り合い ++++++++++++++ -------------- ホール係数 ホール係数の測定により 伝導電子の密度がわかる 結晶中の電子 クローニッヒ・ペニーモデル 一次元周期ポテンシャル中の電子 波動関数 周期 ： （Ｂｌｏｃｈの定理） 境界での連続性 同じ条件 → ４つの式（変数４つ） 解の条件 バンド構造 家泰弘『物性物理』（産業図書） レポート問題１ クローニッヒ・ペニーモデルを解いてみよう。 1. 波動関数の境界条件を具体的に書き下して、 ABCDに対する4つの方程式を求めよ。 2. 1. で得た境界条件から、エネルギーと波数qの 関係を求めよ。 3. この関係から、エネルギーバンドを図示しなさい。 具体的に、パラメータをいろいろと変化させて、 数値計算を行ってグラフを描きなさい。フェルミエ ネルギー（化学ポテンシャル）の位置がどこにあ ると金属になるのかをグラフ中で示しなさい。
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