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部屋 割論法
部屋割論法
0.目次
問題1
2点間の距離
(1)1辺が長さ1の正6角形の土地に、7個の小石を勝手にばらまく。
2つの小石間の距離が1以下のものが必ずあることを示せ。
( 2 ) 辺 の 長 さ が 、 4で あ る 正 方 形 の 土 地 に 、 任 意 に n 本 の 木 を 植 え る 。
木 の 距 離 が d 以 下 に な る よ う な 2本 の 木 が 存 在 す る こ と を 示 せ 。
n=5の と き 、 d=2√ 2。
n=17の と き 、 d=√ 2。
(3)3×4の方眼紙上に、任意に7個の点を書く。
こ の と き 、 点 の 距 離 が √ 5以 下 に な る よ う な 2 個 の 点 が 存 在 す る
ことを示せ。
(4)3×4の方眼紙上に、任意に6個の点を書く。
こ の と き 、 点 の 距 離 が √ 5以 下 に な る よ う な 2 個 の 点 が 存 在 す る
ことを示せ。
問題2
三角形の面積
1 辺 の 長 さ が 2の 正 方 形 の 内 部 に 任 意 に 9個 の 点 を と っ た と き 、
そ の 中 の 3点 を 頂 点 と す る よ う な 三 角 形 で 、 面 積 が 1/2以 下 の も の が
あることを示せ。
問題3
( 1 ) 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 か ら 任 意 に n+1個 の 数 を 選 び だ し た と き 、
そ の 中 に 差 が nと な る 2 つ の 数 の 組 が 、 必 ず あ る こ と を 示 せ 。
( 2 ) 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 か ら 任 意 に n+1個 の 数 を 選 び だ し た と き 、
その中に一方が他方を割り切るような2つの数の組が、
必ずあることを示せ。
- 1 -
部屋 割論法
問題4
四隅同色問題
( 1 ) 2× 5の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。
このとき、どのような塗り方をしても、少なくとも2つの列の
塗り方は同じであることを示せ。
( 2 ) 3× 9の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。
このとき、どのような塗り方をしても、少なくとも2つの列の
塗り方は同じであることを示せ。
( 3 ) 3× 7の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。 こ の と き 、
少なくともひとつの長方形の4つの角のマス目は、同色になって
いることを示せ。
問題5
( 1 ) 10個 の 自 然 数 が あ る 。 こ れ ら の 中 か ら 2 つ の 自 然 数 を 適 当 に 選 べ ば 、
そ の 差 が 9で 割 り 切 れ る よ う な 2 つ の 数 が 必 ず あ る こ と を 示 せ 。
( 2 ) n個 の 自 然 数 を 一 列 に 並 べ た と き 、 こ れ ら の 中 の 連 続 し て 並 ん だ
何 個 か の 数 の 和 の 中 に 、 nの 倍 数 と な る も の が 必 ず あ る こ と を 示 せ 。
問題6
1g以 上 8g以 下 の 8種 類 の 分 銅 の 中 か ら 、 重 複 な く 勝 手 に 5個 選 び 出 す 。
このとき、互いに他の分銅を含まない2組のグループで、各グループに
含まれる分銅の総和が等しいものが存在することを示せ。
問題7
サ ッ カ ー 大 会 に 6チ ー ム が 参 加 し ま し た 。 こ の 6チ ー ム の 中 に は 、
今 ま で に お 互 い に 対 戦 し た 3チ ー ム が あ る か 、 ま た は 今 ま で に お 互 い に
一 度 も 対 戦 し た こ と が な い 3チ ー ム が あ る こ と を 示 せ 。
- 2 -
部屋 割論法
「 n個 の 部 屋 に n+1人 以 上 の 客 を 入 れ よ う と す れ ば 、
相部屋のところが必ずできる」
という事実を用いて証明する方法を部屋割論法という。
一般化された部屋割論法は、
「 n個 の 部 屋 に 、 kn+1(k≧ 1)人 以 上 の 客 を 入 れ よ う と す れ ば 、
k+1人 以 上 の 客 が 入 る 部 屋 が 必 ず で き る 」
となる。
具体的な問題に、この論法を適用する場合、部屋と客に対応するものを明確に
することが大切である。また、この論法は、ある条件を満たす解を具体的に求め
ることなく、その存在を証明するときに有用である。
いくつか例を示す。
[ 例 1 ] 「 9個 以 上 の リ ン ゴ を 8個 の 箱 に 入 れ よ う と す る と 、 少 な く と も 2個 の
リンゴが入っている箱ができる」
[ 例 2 ] 「 13人 の う ち 、 少 な く と も 2人 が 同 じ 月 に 生 ま れ て い る 」
[ 例 3 ] 「 サ イ コ ロ を 7回 投 げ る と 、 少 な く と も 2回 出 る 目 が あ る 」
[ 例 4 ] 「 1 辺 3mの 正 方 形 の 土 地 に 10本 以 上 の 木 を 植 え る と き 、 木 の 間 隔 が √ 2m
以 下 に な る よ う な 2本 の 木 が あ る 」
[ 例 5 ] 「 あ る 山 に 8001本 の 桜 の 木 が 生 え て い る 。 1本 の 木 に 8000枚 以 上 の
葉がある桜の木はないとする。この山には、同じ枚数の葉をもつ桜の
木 が 少 な く と も 2本 あ る 」
- 3 -
部屋 割論法
問題1
2点間の距離
(1)1辺が長さ1の正6角形の土地に、7個の小石を勝手にばらまく。
2つの小石間の距離が1以下のものが必ずあることを示せ。
2つの石の間隔を広げようとしても他の石との間隔が狭くなり、
7個の石のすべての間隔を1より大きくできないことを意味する。
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
正6角形の中心と辺上の点を結び、6個の
正3角形を作る。この中に7個の石をばらま
くと、どれかの正3角形の中に2点存在する。
正3角形中の2個の石の最大距離は1である。
したがって、距離が1以下となる2個の石が
必ずある。
( 2 ) 辺 の 長 さ が 、 4で あ る 正 方 形 の 土 地 に 、 任 意 に n 本 の 木 を 植 え る 。
木 の 距 離 が d 以 下 に な る よ う な 2本 の 木 が 存 在 す る こ と を 示 せ 。
n
5
17
図 の よ う に 4個 の 正 方 形 に 分 け る 。 部 屋 割 論 法
( 4個 の 正 方 形 が 4個 の 部 屋 に 対 応 し 、 5本 の 木 が
5人 の 客 に 対 応 す る ) に よ り 、 木 が 2 本 以 上 存 在
する正方形がある。ところが、正方形のなかの
2本 の 木 の 最 大 距 離 は 対 角 線 の 長 さ 2 2 だ か ら 、
距 離 が 2 2 以 下 に な る よ う な 2本 の 木 が あ る こ と
がわかる。以上より、命題が証明された。
- 4 -
d
2
2
2
部屋 割論法
図 の よ う に 16個 の 正 方 形 に 分 け る 。
部 屋 割 論 法 ( 16個 の 正 方 形 が 16個 の 部 屋 に 対 応 し 、
17本 の 木 が 17人 の 客 に 対 応 す る ) に よ り 、
木が 2 本以上存在する正方形がある。
と こ ろ が 、 正 方 形 の な か の 2本 の 木 の 最 大 距 離 は
2 だから、距離が 2 以下になる
対角線の長さ
よ う な 2本 の 木 が あ る こ と が わ か る 。
以上より、命題が証明された。
(3)3×4の方眼紙上に、任意に7個の点を書く。
このとき、点の距離が 5 以下になるような2個の点が存在することを示せ。
A
D
B
E
C
F
3×4の方眼紙を図のように6個の領域(ABCDEF)に分ける。部屋割論
法(6個の領域が6個の部屋に対応し、7個の点が7人の客に対応する)により、
点が 2 個以上存在する領域がある。ところが、図より、各領域のなかの2個の
点の最大距離は①
だから、距離が②
以下になるような2個の点があるこ
とがわかる。
(4)3×4の方眼紙上に、任意に6個の点を書く。
このとき、点の距離が 5 以下になるような2個の点が存在することを示せ。
A
B
C
D
E
3×4の方眼紙を図のように5個の領域(ABCDE)に分ける。部屋割論法
(5個の領域が5個の部屋に対応し、6個の点が6人の客に対応する)により、
点が2個以上存在する領域がある。ところが、図より、各領域のなかの2個の点
の最大距離は③
だから、距離が④
以下になるような2個の点があること
がわかる。
(注意)領域が同じ図形でないことに注目。大切なのは各領域内の2点間の
最大距離である。
- 5 -
部屋 割論法
問題2
三角形の面積
2 × 2 の 方 眼 紙 内 部 に 任 意 に 9個 の 点 を と っ た と き 、 そ の 中 の 3 点 を 頂 点 と す る
ような三角形で、面積が1/2以下のものがあることを示せ。
3点を頂点とする三角形の面積を大きくしようと、点の間隔を大きくしても他
の点との間隔を狭くし、三角形の面積を小さくしてしまう。
結局、すべての三角形の面積を1/2より大きくすることはできず、
面積が1/2以下のものがあることを意味する。
2
●
●
●
●
●
2
●
●
●
●
2×2の方眼紙を、1辺が1となる単位正方形に4等分する。
部屋割論法(4個の単位正方形が4個の部屋に対応し、9個の点が9人の客に対
応する)により、少なくともひとつの単位正方形に①
点が含まれる。
●
●
●
●
●
●
●
●
●
この単位正方形内の①
点に着目して、単位正方形内の任意の三角形の面積
が②
以下であることを示す。
このことが示されれば、命題が証明されたことになる。
そのために、単位正方形内の三角形の最大面積が②
- 6 -
であることを示す。
部屋 割論法
単位正方形内の3点からなる三角形において、いずれかの点が単位正方形内部
にあるときは、その点を周囲に移動することにより三角形の面積を大きくできる。
したがって、3点のいずれも周囲に存在する三角形を考えればよい。
このような三角形の最大面積は、下図のような場合であり、その値は②
である。
以上より、命題が証明された。
- 7 -
部屋 割論法
問題3
( 1 ) 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 か ら 任 意 に n+1個 の 数 を 選 び だ し た と き 、
そ の 中 に 差 が nと な る 2 つ の 数 の 組 が 、 必 ず あ る こ と を 示 せ 。
● 例 n=5の 場 合
1
4
5
7
8
9
2
3
5
6
7
8
選 ん だ n+1個 の 数 を x 1 <x 2 <・・・<x n+1 と す る 。 各 x i に つ い て 、 nで 割 っ て 得 ら れ る
余 り を r iと す る と 、
x i = n・q i + r i
(q i = 0ま た は 1ま た は 2 , 0 ≦ r i ≦ n-1 )
が成り立つ。
そ こ で 、 部 屋 割 論 法 ( n個 の 余 り 0,1,2,・・・,n-1が n個 の 部 屋 に 対 応 し 、
n+1個 の 余 り r 1 ,r 2 ,・・・,r n+1 が n+1人 の 客 に 対 応 す る ) に よ り 、
r i = r j ( i< j)
となるものがあることがわかる。すなわち、
x i = nq i + r i ,
x j = nq j + r j
xi - xj に 着 目 す る 。
x j - x i = n(q j - q i ) + (r j - r i )
= n(q j - q i )
1 ≦ x j - x i ≦ 2n-1 よ り 、 q j - q i は 、 0、 1 の い ず れ か に な る 。
qj - qi = 0 と す る と 、 xj = xi と な り 矛 盾 。
し た が っ て 、 qj - qi = 1
す な わ ち 、 xj - xi = n
を得る。
が成り立つ。以上より、命題が証明された。
- 8 -
部屋 割論法
( 考 察 ) 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 で 、 い く つ か 選 び 出 し た と き 、 そ の 中 に 差 が nと
なる2つの数の組がない集合を考える。
1か ら nま で の n個 の 要 素 か ら な る 集 合 {1,2,… ,n-1,n}は 必 ず 条 件 を 満 た す 。
また、一般に、
「 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 か ら 任 意 に n+1個 の 数 を 選 び だ し た と き 、
そ の 中 に 差 が nと な る 2 つ の 数 の 組 が 必 ず あ る 」
こ と が 成 り 立 つ 。 し た が っ て 、 条 件 を 満 た す 集 合 の 最 大 要 素 数 は nで あ る こ と が わ
かる。
● 2nの 場 合 、 最 大 要 素 数 が nと な る 。 求 め る 集 合 を 示 す 。
2n=4
1 2
1 4
2 3
3 4
2n=6
1 2 3
1 2 6
1 3 5
1 5 6
2 3 4
2 4 6
3 4 5
4 5 6
2n=8
1 2 3
1 2 3
1 2 4
1 2 7
1 3 4
1 3 6
1 4 6
1 6 7
2 3 4
2 3 5
2 4 5
2 5 7
3 4 5
3 5 6
4 5 6
5 6 7
4
8
7
8
6
8
7
8
5
8
7
8
6
8
7
8
2n=10
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 4
1 2 4
1 2 5
1 2 8
1 3 4
1 3 4
1 3 5
1 3 7
1 4 5
1 4 7
1 5 7
1 7 8
2 3 4
2 3 4
2 3 5
2 3 6
2 4 5
2 4 6
2 5 6
2 6 8
3 4 5
3 4 6
3 5 6
3 6 7
4 5 6
4 6 7
5 6 7
6 7 8
4
4
5
9
5
8
8
9
5
7
7
9
7
8
8
9
5
6
6
9
6
8
8
9
6
7
7
9
7
8
8
9
5
10
9
10
8
10
9
10
7
10
9
10
8
10
9
10
6
10
9
10
8
10
9
10
7
10
9
10
8
10
9
10
- 9 -
部屋 割論法
● 2nの 場 合 、 最 大 要 素 数 が nと な る が 、 条 件 を 満 た す 集 合 の 個 数 を 示 す 。
2n 最 大 要 素 数 集 合 の 個 数
2
1
2
4
2
4
6
3
8
8
4
16
10
5
32
12
6
64
14
7
128
16
8
256
18
9
512
20
10
1024
22
11
2048
24
12
4096
26
13
8192
28
14
16384
30
15
32768
予想:集合の個数=2n
- 10 -
部屋 割論法
( 2 ) 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 か ら 任 意 に n+1個 の 数 を 選 び だ し た と き 、
その中に一方が他方を割り切るような2つの数の組が必ずあることを示せ。
● 例 n=5の 場 合
1
4
5
7
8
9
2
3
5
6
7
8
選 ん だ n+1個 の 数 を x 1 ,x 2 ,・・・,x n+1 と す る 。 各 x i に つ い て 因 数 2を ま と め て 、
xi = 2
ci
yi
と す る 。 た だ し 、 c i は x i に 含 ま れ て い る 2の 個 数 と す る 。
し た が っ て 、 y iは 奇 数 に な る 。 ①
は n+1個 の 奇 数 と な る が 、
2n以 下 の 奇 数 は 、 ②
の n個 し か な い 。 そ こ で 、 部 屋 割 論 法 に よ り 、
y i = y j ( i≠ j)
となるものがあることがわかる。この結果、
xi = 2
ci
yi、 x j = 2
cj
yj
が成り立つが、
c i< cjの と き 、 x iは x jを ③
c i> cjの と き 、 x jは x iを ④
すなわち、命題が証明された。
- 11 -
部屋 割論法
( 考 察 ) 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 で 、 他 の 数 で 割 り 切 れ る 数 を 含 ま な い 集 合 を
考える。
n+1か ら 2nま で の n個 の 要 素 か ら な る 集 合 {n+1,n+2,… ,2n-1,2n}は 必 ず 条 件 を
満たす。また、一般に、
「 1か ら 2nま で の 整 数 の 中 か ら 任 意 に n+1個 の 数 を 選 び だ し た と き 、
その中に一方が他方を割り切るような2つの数の組が必ずある」
が 成 り 立 つ 。 し た が っ て 、 条 件 を 満 た す 集 合 の 最 大 要 素 数 は nで あ る こ と が わ か る 。
● 2nの 場 合 、 最 大 要 素 数 が n、 求 め る 集 合 を 示 す 。
2n=4
2 3
3 4
2n=6
2 3 5
3 4 5
4 5 6
2n=8
2 3 5
3 4 5
3 5 7
4 5 6
5 6 7
7
7
8
7
8
2n=10
4 5 6
4 6 7
5 6 7
6 7 8
7 9
9 10
8 9
9 10
● 2nの 場 合 、 最 大 要 素 数 が nと な る が 、 条 件 を 満 た す 集 合 の 個 数 を 示 す 。
2n 最 大 要 素 数 集 合 の 個 数
2
1
2
4
2
2
6
3
3
8
4
5
10
5
4
12
6
6
14
7
12
16
8
10
18
9
14
20
10
26
22
11
26
24
12
34
26
13
68
28
14
48
30
15
72
32
16
120
34
17
120
36
18
168
38
19
336
40
20
264
42
21
396
44
22
792
46
23
624
48
24
816
50
25
1632
- 12 -
部屋 割論法
問題4
四隅同色問題
( 1 ) 2× 5の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。
このとき、どのような塗り方をしても、少なくとも2つの列の塗り方は
同じであることを示せ。
白 黒 白 黒 黒
黒 黒 白 白 黒
塗り方の例
2× 5の 盤
列 方 向 の 2個 の マ ス 目 の 塗 り 方 と し て 、 つ ぎ の 4種 類 の 塗 り 方 が 考 え ら れ る 。
白
白
白
黒
黒
白
黒
黒
こ こ で 、 部 屋 割 論 法 ( 4種 類 の 塗 り 方 が 、 4個 の 部 屋 に 対 応 し 、 5個 の 列 方 向
の 2個 の マ ス 目 が 、 5人 の 客 に 対 応 す る ) に よ り 、 少 な く と も 2種 類 の 同 じ 塗 り 方
が存在することがわかる。以上より、命題が証明された。
( 2 ) 3× 9の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。
このとき、どのような塗り方をしても、少なくとも2つの列の塗り方は
同じであることを示せ。
白 黒 黒 白 白 白 黒 白 黒
黒 白 白 白 黒 白 黒 白 黒
黒 白 黒 白 白 黒 白 黒 黒
塗り方の例
3× 9の 盤
列 方 向 の 3個 の マ ス 目 の 塗 り 方 と し て 、 つ ぎ の 8種 類 の 塗 り 方 が 考 え ら れ る 。
白
白
白
白
白
黒
白
黒
白
白
黒
黒
黒
白
白
黒
白
黒
黒
黒
白
黒
黒
黒
ここで、部屋割論法(①
が 、 8個 の 部 屋 に 対 応 し 、 ②
が 、 9人 の 客 に 対 応 す る ) に よ り 、 少 な く と も 2種 類 の 同 じ 塗
り方が存在することがわかる。以上より、命題が証明された。
( 考 察 ) n× (2 n +1) (n≧ 2) の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。
このとき、どのような塗り方をしても、少なくとも2つの列の塗り方は
同じである。
- 13 -
部屋 割論法
( 3 ) 3× 7の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。 こ の と き 、
少なくともひとつの長方形の4つの角のマス目は、同色になっている
ことを示せ。
白 黒 黒 白 白 白 黒
黒 白 白 白 黒 白 黒
黒 白 黒 黒 黒 黒 白
塗り方の例(4つの角は白)
3× 7の 盤
列 方 向 の 3個 の マ ス 目 の 塗 り 方 と し て 、
白
白
白
白
白
黒
白
黒
白
白
黒
黒
黒
白
白
黒
白
黒
黒
黒
白
黒
黒
黒
の よ う に 8種 類 の 塗 り 方 が 考 え ら れ る 。 2 つ に 場 合 分 け し て 考 え る 。
(イ)ある列方向が同じ色で塗られている場合。
(ロ)どの列方向も同じ色で塗られていない場合。
(イ)ある列方向が同じ色で塗られている場合。
ある列方向が(白3個)の塗り方と仮定しても一般性を失わない。
残りの列方向3個のマス目に(白2個、黒1個)の塗り方のいずれかが含まれて
いるとき、必ず4つの角で白の長方形ができる。
白
白
白
白
白
黒
白
白
白
白
黒
白
白
白
白
黒
白
白
ま た 、 残 り の 列 方 向 3 個 の マ ス 目 が ( 白 1 個 、 黒 2 個 ) ,( 黒 3 個 ) の 塗 り 方 の い
ずれかの場合は、どれかの塗り方は複数存在することから、4つの角が黒の長方
形ができる。
白
黒
黒
白
黒
黒
黒
白
黒
黒
白
黒
黒
黒
白
黒
黒
白
黒
黒
黒
黒
黒
黒
(ロ)どの列方向も同じ色で塗られていない場合。
( 白 2 個 、 黒 1 個 ) の 塗 り 方 が 3種 類 、 ( 白 1 個 、 黒 2 個 ) の 塗 り 方 が
3 種 類 に 対 し て 、 7個 の 列 方 向 の 置 く 場 所 が あ る の で 、 部 屋 割 論 法 よ り 、 6種 類 の
塗り方のいずれかは、③
存在する。したがって、4つの角が同色の長方形
ができる。以上より、命題が証明された。
( 考 察 ) n× (2 n -1) (n≧ 3) の 盤 が あ る 。 各 マ ス 目 を 白 と 黒 の ど ち ら か で 塗 る 。
このとき、少なくともひとつの長方形の4つの角のマス目は、同色に
なっている。
- 14 -
部屋 割論法
問題5
( 1 ) 10個 の 自 然 数 が あ る 。 こ れ ら の 中 か ら 2 つ の 自 然 数 を 適 当 に 選 べ ば 、
そ の 差 が 9で 割 り 切 れ る よ う な 2 つ の 数 が 必 ず あ る こ と を 示 せ 。
●例
10個 の 自 然 数 24,85,5,38,123,98,45,66,408,15 の 場 合 。
9で 割 っ た 余 り に よ っ て 分 類 す る 。 こ の 表 か ら 、 66と 408、 24と 123、 24と 15、
123と 15が 条 件 に あ う 2 つ の 数 で あ る こ と が わ か る 。
余り
0
45
1
2
3
4
5
6
38
66
85
5
24
408
7
8
98
123
15
ど ん な 自 然 数 で も 9で 割 る と 、 余 り は 0 か ら 8 ま で の ど れ か に な る 。
余 り に つ い て 9 個 の 部 屋 を 用 意 し 、 10個 の 自 然 数 を 9で 割 っ た 余 り に し た が っ て 、
この 9 個の部屋に入れる。
部屋割論法により、どれか2つの自然数は同じ部屋にはいることになる。
と こ ろ で 、 同 じ 部 屋 の 2 個 の 数 の 差 は 9で 割 り 切 れ る の で 、 差 が 9で 割 り 切 れ る よ
うな 2 個の数があることになる。以上より、命題が証明された。
( 考 察 ) n個 の 自 然 数 が あ る 。 こ れ ら の 中 か ら 2 つ の 自 然 数 を 適 当 に 選 べ ば 、
そ の 差 が n-1 で 割 り 切 れ る よ う な 2 つ の 数 が 必 ず あ る 。
- 15 -
部屋 割論法
( 2 ) n個 の 自 然 数 を 一 列 に 並 べ た と き 、 こ れ ら の 中 の 連 続 し て 並 ん だ 何 個 か の
数 の 和 の 中 に 、 nの 倍 数 と な る も の が 必 ず あ る こ と を 示 せ 。
n個 の 自 然 数 を a 1 ,a 2 ,・・・,a n と す る 。 つ ぎ の よ う な n+1個 の 和 b 0 ,b 1 ,・・・,b n を 考
える。
b 0 =0,
b 1 =a 1 ,
b 2 =a 1 +a 2 ,
・・・
b k =a 1 +a 2 +・・・+a k
・・・
b n =a 1 +a 2 +・・・・・・+a n
す な わ ち 、 b k は 、 a 1 か ら a k ま で の 和 と 定 義 す る 。 こ れ ら を nで 割 っ た 余 り は 、
0,1,・・・,n-1の い ず れ か と な る 。
そ う す る と 、 部 屋 割 論 法 ( n個 の 余 り 0,1,・・・,n-1が n個 の 部 屋 に 対 応 し 、 n+1個 の
数 b 0 ,b 1 ,・・・,b n が n+1人 の 客 に 対 応 す る ) に よ り 、
n+1個 の 数 b 0 ,b 1 ,・・・,b n の う ち 、 少 な く と も 2 つ の b i ,b j ( b j > b i ) に お い て 、 nで
割った余りが①
なる。
す な わ ち 、 b j -b i ( =a i + 1 +・・・+a j ) が nで ②
ことになる。これは、
一 列 中 の 連 続 し て 並 ん だ 何 個 か の 数 の 和 が nで 割 り 切 れ る こ と を 意 味 す る 。
以上より、命題が証明された。
●例
n=6,a 1 =11,a 2 =20,a 3 =9,a 4 =41,a 5 =3,a 6 =15の 場 合 。
b 0 =0, b 1 =11, b 2 =31, b 3 =40, b 4 =81, b 5 =84, b 6 =99 と な り 、 b 0 と b 5 、 b 4 と b 6 が
6で 割 っ た 余 り が 等 し い 。 し た が っ て 、 b 5 -b 0 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 と b 6 -b 4 =a 5 +a 6 が 6で
割り切れることになる。
i - j
和
i - j
和
i - j
和
i - j
和
i - j
和
i - j
和
1
1
1
1
1
1
11
31
40
81
84
99
2
2
2
2
2
20
29
70
73
88
3
3
3
3
9
50
53
68
4 - 4
4 - 5
4 - 6
41
44
59
5 - 5
5 - 6
3
18
6 - 6
15
-
1
2
3
4
5
6
-
2
3
4
5
6
-
3
4
5
6
- 16 -
部屋 割論法
問題6
1g以 上 8g以 下 の 8種 類 の 分 銅 の 中 か ら 、 重 複 な く 勝 手 に 5個 選 び 出 す 。
このとき、互いに他の分銅を含まない2組のグループで、各グループに含まれる
分銅の総和が等しいものが存在することを示せ。
5 個 の 選 ば れ た 分 銅 を {1,2,4,5,8}と す る 。 こ の と き 、 {1,4,5}と {2,8}、 {1,8}
と {4,5}、 {1,5}と {2,4}等 で 分 銅 の 総 和 が 等 し い 。
グループ
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
g9
g10
g11
g12
g13
g14
g15
g16
g17
g18
g19
g20
g21
g22
g23
g24
g25
g26
g27
g28
g29
g30
g31
8
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
5
○
○
○
○
○
○
○
○
4
○
○
○
○
2
○
○
1
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
総和
20
19
18
17
16
15
14
13
15
14
13
12
11
10
9
8
12
11
10
9
8
7
6
5
7
6
5
4
3
2
1
- 17 -
{2,5,8}
{1,5,8}
{5,8}
{1,2,4,8}
{2,4,8}
{1,4,8}
{4,8}
{1,2,8}
{2,8}
{1,8}
{8}
{1,2,4,5}
{2,4,5}
{1,4,5}
{4,5}
{1,2,5}
{2,5}
{1,5}
{5}
{1,2,4}
{2,4}
{1,4}
部屋 割論法
グ ル ー プ の 総 数 は 、 3 1 個 。 一 方 、 グ ル ー プ の 総 和 の 最 大 は 、 グ ル ー プ g1で 、
20。したがって、同じ総和をもつグループが出てくる。
たとえば、
・ グ ル ー プ g6 {2,5,8} と g9 {1,2,4,8} は 、 総 和 が 1 5 で 同 じ 。
両 者 か ら 共 通 す る 数 字 を 除 く と 、 {5} {1,4} と な る 。
・ グ ル ー プ g14 {2,8} と g19 {1,4,5} は 、 総 和 が 1 0 で 同 じ 。
両 者 に 共 通 す る 数 字 が な い の で 、 {2,8} {1,4,5} と な る 。
8種類の分銅から5種類の分銅を選ぶすべての組合せ①
同様のことが成り立つ。
通りについて、
さて、5個の要素からなる集合Sの部分集合は、空集合を除くと、31個存在
す る 。 一 方 、 部 分 集 合 の 要 素 の 総 和 の 最 大 値 は 、 S = {4,5,6,7,8}と し た と き に
30となる。すなわち、部分集合の要素の総和で分類すると、部分集合の総数
31個が部分集合の要素の総和の最大値30より大きくなる。
そこで、部屋割論法(30個の総和の値が30個の②
に対応し、31個の
部分集合が31人の③
に対応する)により、相異なる部分集合で、それぞれ
の要素の総和が一致する部分集合X,Yがある。
部 分 集 合 X ,Y が 互 い に 素 な ら ば 、 こ の 部 分 集 合 X ,Y が 題 意 を 満 た す 。
X
Y
部 分 集 合 X ,Y に 共 通 部 分 ( C ) が あ る と き は 、 X ,Y か ら 共 通 部 分 ( C ) を 除
く こ と に よ り 得 ら れ る 部 分 集 合 X -C と 部 分 集 合 ④
が題意を満たす。
C
X
Y
以上より、証明された。
- 18 -
部屋 割論法
( 考 察 ) {1,2,...,n}の 分 銅 が 与 え ら れ た と き 、 重 複 な く 勝 手 に k個 の 分 銅 を
選び出す。このとき、互いに他の分銅を含まない2組のグループで、
各グループに含まれる分銅の総和が等しいものが必ず存在するために
kが 満 た す 条 件 は つ ぎ の よ う に な る 。
nが 1の 場 合 、 問 題 が 成 立 し な い 。
nが 2の 場 合 、 条 件 を 満 た す 解 は な い 。
nが 3の 場 合 、 k=3で 、 {1,2},{3}の み 。
nが 4の 場 合 、 k=3で 、 {1,2},{3}と な る が 、 {1,2,4}を 選 び 出 す と
条件を満たす解はない。
し た が っ て 、 k=4で 、 {1,3},{4} {1,4},(2,3}と な る 。
nが 5以 上 の 場 合 、
n
k
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5
5 ~
8
9 ~ 12
13 ~ 21
22 ~ 35
36 ~ 60
61 ~ 106
107 ~ 191
192 ~ 346
347 ~ 636
637 ~ 1176
1177 ~ 2191
① 部 分 集 合 の 個 数 : 2 k -1
② 総 和 が 最 大 に な る 部 分 集 合 {n-k+1,n-k+2,… ,n-1,n}
部分集合要素の最大値:
n(n+1)
2
-
(n-k)(n-k+1)
2
①>② が成り立つとき、部屋割論法から題意を満たす2つのグループが見つか
る。
2k - 1
k
+
k-1
2
> n
- 19 -
部屋 割論法
問題7
サ ッ カ ー 大 会 に 6チ ー ム が 参 加 し ま し た 。 こ の 6チ ー ム の 中 に は 、 今 ま で に お 互
い に 対 戦 し た 3チ ー ム が あ る か 、 ま た は 今 ま で に お 互 い に 一 度 も 対 戦 し た こ と が な
い 3チ ー ム が あ る こ と を 示 せ 。
6チ ー ム の ひ と つ を Aチ ー ム と す る 。 他 の 5チ ー ム を Aチ ー ム と 対 戦 し た こ と が あ
る か な い か で 2組 に 分 類 す る と 、 部 屋 割 論 法 ( 2組 が 2個 の 部 屋 に 対 応 し 、 5チ ー ム
が 5人 の 客 に 対 応 す る ) に よ り 、 ど ち ら か の 組 は ①
チーム以上になる。
対戦チーム数
0
1
2
3
4
5
未対戦チーム数
5
4
3
2
1
0
ま ず 、 Aチ ー ム と 対 戦 し た チ ー ム が 3チ ー ム 以 上 だ っ た と し 、 こ れ ら の チ ー ム を
B,C,Dと す る 。
B
実線は対戦したことを意味する。
A
C
D
も し B,C,Dの い ず れ も 互 い に 対 戦 し た こ と が な か っ た ら 、 こ の 3チ ー ム が 条 件 に
あ う 3チ ー ム と い う こ と に な る 。
B
点線は未対戦を意味する。
A
C
D
も し B,C,Dの 中 に お 互 い に 対 戦 し た チ ー ム (仮 に B,Dと す る )が あ っ た ら 、
こ の 2チ ー ム と Aチ ー ム が 条 件 に あ う 3チ ー ム と い う こ と に な る 。
B
A
C
D
したがって、いつも条件にあう②
チームがあることになる。
- 20 -
部屋 割論法
つ ぎ に 、 Aチ ー ム と 対 戦 し な か っ た チ ー ム が 3チ ー ム 以 上 だ っ た と し 、 こ れ ら の
チ ー ム を B,C,Dと す る 。
B
A
C
D
も し B,C,Dの い ず れ も 互 い に 対 戦 し て い た ら 、 こ の 3チ ー ム が 条 件 に あ う 3チ ー ム
ということになる。
B
A
C
D
も し B,C,Dの 中 に お 互 い に 対 戦 し て い な い チ ー ム (仮 に B,Dと す る )が あ っ た ら 、
こ の 2チ ー ム と Aチ ー ム が 条 件 に あ う 3チ ー ム と い う こ と に な る 。
B
A
C
D
したがって、いつも条件にあう③
以上より、命題が証明された。
チームがあることになる。
例 と し て 、 6チ ー ム ( A,B,C,D,E,F) の 対 戦 表 か ら 互 い に 対 戦 し た 3チ ー ム と 互 い
に 対 戦 し て い な い 3チ ー ム を 求 め た 。 ○ は 対 戦 し た 場 合 、 対 戦 し な か っ た 場 合 は 空
白とする。実線は対戦した関係、点線は対戦していない関係を示す。
A
B
C
D
E
F
A
A
B
○
○
○
○
F
B
C
○
D
○
○
○
○
E
E
F
○
C
○
○
互 い に 対 戦 し た 3チ ー ム
{C,D,F}
D
互 い に 対 戦 し て い な い 3チ ー ム
{B,C,E},{B,E,F}
- 21 -
部屋 割論法
(考察1)この問題は、つぎのように言い換えることができる。
「 6個 の 点 同 士 を 線 で 結 ん だ 図 形 を 考 え る 。 こ の 図 形 の 辺 ( 点 と 点 を 結 ん だ 線 分 )
を 2色 ( 黒 、 赤 ) の い ず れ か の 色 で 塗 る 。 こ の と き 、 三 辺 と も 同 色 の 三 角 形 が
必ず存在する。」
(考察2)
「 17個 の 点 同 士 を 線 で 結 ん だ 図 形 を 考 え る 。 こ の 図 形 の 辺 ( 点 と 点 を 結 ん だ 線
分 ) を 3色 ( 黒 、 赤 、 青 ) の い ず れ か の 色 で 塗 る 。 こ の と き 、 三 辺 と も 同 色 の 三 角
形が必ず存在する。」
ひ と つ の 点 (A)に 着 目 し 、 そ の 点 か ら 出 て い る 16本 の 辺 を 考 え る 。 各 辺 に は 3色
の い ず れ か が 塗 ら れ る の で 、 少 な く と も 6本 の 同 じ 色 ( 仮 に 黒 と す る ) の 辺 が あ る 。
点 Aと 6本 の 辺 で つ な が る 点 を 、 B,C,D,E,F,Gと す る と 、 辺 AB,AC,AD,AE,AF,AGの 色
は黒となる。
こ こ で 、 6個 の 点 、 B,C,D,E,F,Gに つ い て 、 2 つ の 場 合 を 考 え る 。
場 合 1 : 6個 の 点 間 の 辺 の 少 な く と も ひ と つ が ( た と え ば 、 BC) 黒 の 場 合
こ の 場 合 、 三 角 形 ABCが 黒 の 同 色 三 角 形 と な る 。
場 合 2 : 6個 の 点 間 の 辺 が 、 赤 ま た は 青 の 場 合
考察1より、同色の三角形が必ず存在する。
結局、命題が示せた。
- 22 -
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