NBAの順位表

知能型システム論
前回の復習
【１】知能システムのモデル化
知能＝知識＋推論
プログラム＝データ構造＋アルゴリズム
【】状態空間の探索による問題解決
【２】状態空間の探索による問題解決
状態空間＝節点：問題の状態＋枝：オペレータ
(I)系統的な探索
１．縦型探索
２．横型探索
(II)最適解の探索
１．g(n)を使ったoptimal search
２．h(n)を使ったbest first search
３．f(n)=g(n)+h(n)を使ったA*アルゴリズム
【３】ゲームの木の探索
１．Min-Max探索
探索
２．αβ探索
【４】AND-ORグラフの探索
問題の分割による解法
戦略（ストラテジー）
戦略（ストラテジ
）メタレベルのアルゴリズム
メタレルのアルゴリズム分割統治法
具体的なアルゴリズム
クイックソート
文脈自由型文法 (Context Free Grammar)
S
AND-ORグラフ
文法規則
R1 S
→
R2 SUB →
R3 SUB →
R4 PRED →
R5 NP →
R6 PRON→
R7 V
→
R8 DET →
R9 N
→
R10 N
→
｜…OR
R1
(SUB PRED)
SUB PRED
PRON( 代名詞 )
NP（名詞句）
V NP
DET N
He
saw
a
dog
cat
N → dog | cat
AND
PRED
R4
(VNP)
SUB
R2
PRON
R6
He
NP
R5
(DET N)
V
DET
R7
saw
N
R8
a
R9
dog
AND/ORグラフで表現される問題を解くということは、
AND/ORグラフの中に含まれる解グラフを探す
ということである。
S
R1
AND
が目標として
与えられた時の解グラフ
与えられた時の解グラ
R4
SUB
(V NP)
NP
R2
NP
R5
(DET N)
DET
R8
R6
He
a
同節点
PRED
R3
PRON
AND節点
(SUB PRED)
“He saw a dog”
OR
前ページのスライドの
文法によって定義される
AND/ORグラフ
N
R9
dog
R5
(DET N)
V
R10
cat
R7
saw
DET
R8
a
N
R9
dog
R10
cat
AND-ORグラフの例（連立方程式）
f1 ( x1 , x2 ,,...,, xn ) = 0
f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
L
f m ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
f1 ( x1 , x2 ,,...,, xn ) = 0
f 2 ( x1 , x2 ,,...,, xn ) = 0
f m ( x1 , x2 ,,...,, xn ) = 0
・・・
||
f 21 ( x1 , x2 ,..., xn ) f 22 ( x1 , x2 ,..., xn ) L f 2 k 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
f 21 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
f 2 k 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
||
2 x1 + 1 = 0
・・・
f 22 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0
形式言語理論
• 正規文法（有限状態オートマトン）
正規文法（有限状態オトト）
【右線形文法】
A → xB　（A, Bは非終端記号、xは終端記号）
A → x　（xは終端記号）
（ a n b n ( n ≥ 1)は正規文法では生成できない）
• 文脈自由文法
【Chomsky標準形】
A → BC
（
（A, B, Cは非終端記号）
A → x　（xは終端記号）
（a nb n c n (n > 0)は文脈自由文法では生成できない）
• 文脈依存文法
αAβ → αγβ （Aは非終端記号、
は非終端記号 α , β は非終端、終端記号の
は非終端終端記号の 0個以上の並び、
個以上の並び
γは非終端、終端記号の 1個以上の並び）
【レポト課題】
【レポート課題８】
数式の構造を表す文法（問題の分割法を表す規則）
R1: <算術式>::= <項> | <算術式> <加減演算子> <項>
R2: <変数>::=A | B |・・・| Z
R3: <項>::<因子> | <項> <乗除演算子> <因子>
R4: <加減演算子> ::= ＋ | －
R5: <因子>::= <変数> | （<算術式>）
R6:
6: <乗除演算子>
乗除演算子 ::
::= ＊ | ／
をとする。
・上記の文法によって表される状態空間をAND-ORグラフとして
描きなさい。
描きなさ
・算術式 (A + B/C)*(D-E) を表す解木（木の葉接点を左から右
へ走査したときこの算術式が得られるような解木）を
へ走査したとき、この算術式が得られるような解木）を
depth-first-and-or探索によって求めなさい。
記文法は、
は減算演算子し定義され
る。
・上記の文法では、‘－’は減算演算子として定義されている。
‘～’を負の数を表す記号として導入し、文法を拡張しなさい。
AND/ORグラフの性質と解グラフの性質を整理すると…．
AND/ORグラフの性質と解グラフの性質を整理すると
1.
終端節点は解決されている節点である
2.
ある節点の子節点がAND節点の場合は、そのすべ
てのAND節点が解決されていれば、その節点も解決
されている。
3
3.
ある節点の子節点がOR節点の場合は、そのOR節点
ある節点の子節点がOR節点の場合は
そのOR節点
のいずれか一つでも解決されていれば、その節点も
解決
解決されている。
4.
解グラフは、問題のAND/ORグラフの一部であり、出
発節点を含み、どの節点もOR節点の枝を2本以上
発節点を含み、どの節点もOR節点への枝を2本以上
持たず、すべての節点が解決されているAND/ORグラ
フである。
問題AがBとCに分解しても解かれてもよく、またDを解くこと
によっても解かれることを示している。
(a)
(b)
A
A
(c)
A
E
成形
B
C
D
M
D
B
B
C
D
C
ANDとORが混在する場合は、補助節点を設けることによって、子節点に
AND節点とOR節点が混在しないAND/ORグラフに変換できる。
⇒ (b)の場合：ただし、コストを問題とする場合には、節点AからMへ向
かう枝のコストはAをBとCに分解するコストとしなければならない。
(c)の場合：AND/ORグラフの節点は、ある親節点のAND節点であり、
時に別の親節点のOR節点となることがある。
AND/ORグラフの探索
AND/ORグラフの解グラフは、それ自身グラフである。
AND/ORグラフの解グラフは
それ自身グラフである
探索によって解グラフを求める過程は、解グラフを
しだいに成長させてゆくことに相当する。
未解決グラフ（partial solution graph）
探索の途中では、解グラフの候補の一部しか求められていない。
真に解グラフの部となるかどうか解らないためう呼ぶとにする。
真に解グラフの一部となるかどうか解らないためこう呼ぶことにする。
(a)未解決グラフの評価と展開
1
1.
未解決グラフの節点が解決されているか、解決不可能か、それともいず
未解決グラフの節点が解決されているか
解決不可能かそれともいず
れとも断定できないかを決める。必要があれば節点のコストを求める。
(i)
(ii)
unsolved S
solved
unsolved A
solved
B
A
solved
C
unsolved
Sがunsolvedとなれば解グラフとなりえない
solved
S
B
C
solved
Sがsolvedとなれば解グラフとなる
(b)未解決グラフの評価と展開
1．節点のコストを求める。
未解決グラフの端点のコストを用いてすべての節点のコストをつぎのように
求めていく。
AND節点の親節点のコスト；
すべての子節点のコストから下記の
式によて計算する。
式によって計算する。
f ( n ) = max{ f ( n1 ), f ( n2 ),…., f ( nm )}
;全子供の最も難しいものをとる
f ( n ) = f ( n1) + f ( n2 ) +….+ f ( nm )
;全子供の総和
OR節点の親節点のコスト；
OR節点のコストと枝のコストの和。
n
f (n1 ) n1
n2
f (n)
….
nm f (nm )
(c)未解決グラフの評価と展開
2 未解決グラフを展開して成長させる。
2．
p
p
n
n
n
(ii)
(i)
n1
(i)
p
n2
AND節点の時
nにすべての子節点を加えて新
しい未解決グラフを生成する。
n1
n2
(ii) OR節点の時
nにそれぞれの子節点を1個
だけ加えた未解決グラフを
子節点の数だけ成する。
子節点の数だけ生成する。
AND/ORグラフの縦型探索
procedure depth-first-and-or
出発節点だけからなる未解決グラフを open に入れる。
LOOP: if open = 空 then exit ( fail ) ;
も
もしすべての節点を調べ終わったならば終了し、
節
終
ば終
探索結果は失敗である
p : first
f
( open ) ; open の最初の要素(未解決グラフ)を取り出す
if solved( p ) then exit ( success );
もし p が解グラフであれば探索は成功し、
が解グラフであれば探索は成功し p が解である
remove ( p, open ) ; openから p を取り除く
pを展開し、新しく生成されたすべての未解決グラフを評価し、出発節が
pを展開し
新しく生成されたすべての未解決グラフを評価し出発節が
UNSOLVEDでない未解決グラフをopenの先頭に入れる。
goto LOOP
Openリスト内の未解
決グラフ
繰り返
し回数
部分グラフ
SA、SBという部分グラフ
UNSOLVED SA SB→OPENに入れる
未解決の部分グラフを
OPENからとりだす
S
Failが来るため終了
S
１
２
S
A
３
S
A
C
C
D
t1
t2
D
S
E
G
t3
B
B
t4
H
B
E
t3
B
H
S
Fail
AND/ORグラフの探索、 t1～t４が終端節点
S
B
E
６
F
S
S
４
５
Fail
B
B
A
S
t4
S
B
H
AND/ORグラフの縦型探索の効率的アルゴリズム
先
先に示したprocedure
p
depth-first-and-orでは、
p f
、
未解決グラフ p を展開する場合に、 p の端点 n の子節点がAND節点である場合に、
すべての子節点を p につけ加えている。
未解決グラフ p を展開する場合に、 p の端点 n の子節点を１つpに付け加えて
探索・評価を行い
探索
評価を行い、pがunsolvedになったら１つ上の親接点に戻り、他の子接点を
pがunsolvedになったら１つ上の親接点に戻り他の子接点を
pに付加してその先の探索・評価を行う。こうすればopenに多くの未解決解グラフを
記憶しておく必要がなくなる。
procedure depth-first-and-or-1
出発節点だけからなる未解決グラフ p を作る。n：＝S
p を評価する
LOOP: if unsolved ( p ) then exit ( fail ) ;
もしすべての節点を調べ終わったならば終了し、探索結果は失敗である
if solved ( p ) then exit ( success );
もし n にsolved/unsolvedのマークがつけられていれば
に
クがけられ
れば
goto EVALUATE
nextn:
t = nextchild
t hild ( n )
Nextchild(n) = ni+11 , 0≦ i ＜ m
{ NIL, i = m
p に nextn をつけ加え、p を評価する
n: = nextn
goto LOOP
EVALUATE: p を評価する
もし n がUNSOLVEDならば、 n を p から切り離す。
n : = n の親節点
goto LOOP
S
B
A
C
Fail
F
D
t1
t2
E
G
t3
t4
H
Fail
AND/ORグラフの探索、 t1～t４が終端節点
S→A → C→ F→ C→A →S → B→E → t3 → E→ t4
探索の途中でORの節点がUNSOLVED
→直前の親節点までもどって別の枝を探索;（後戻り）
直前の親節点まもど
別の枝を探索（後戻り）
節点を展開してすべての子節点を生成し、それをOPENにリストに蓄える必要がないので
効率的な処理が実現できる
(c)AND/ORグラフの最適解の探索
AND/ORグラフのOR節点に向かっている枝にコストが定義されてる
場合、全コストを最小とする解グラフを求める問題を考えてみる。
hˆ ( n ) ；節点n のコストの推定値とする
もしこのヒューリスティックな関数 hˆ(n)
が与えられていなければ
→ hˆ(n) ≡ 0 と同じことである。
未解決グラフのコストの推定
かっこの中の数値； h
ĥ
かっこ無しの数値；コストの評価値
S ６
１
すべての枝のコスト定とすれば
hĥ(n) ≡ 0 、すべての枝のコスト一定、とすれば
AND/ORグラフの横型探索となる。
ff̂ (p
( ) ；未解決グラフ
未解決グ
p のコスト推定値とする
ト推定値とする
pの端点のコストの推定値を用いてpを
評価して得られるコスト推定値
B
A ５
C （３）
AND節点のコスト
f ( n ) = f ( n1 ) + f ( n2 ) + …. + f ( nm )
；OR節点に入る枝のコストはすべて１とする。
１
D （２）
hˆ(C ) = 3 hˆ( D) = 2
hˆ( A) = hˆ(C ) + hˆ( D)
hˆ( S ) = hˆ( A) + 1
したがって、 fˆ ( p ) = 6
Aアルゴリズムと同様に、 fˆ ( p) が最小の未解決グラフを展開してゆく。
procedure optimal-and-or
出発節点 S だけからなる未解決グラフ p をopenに入れる。 fˆ ( p ) := hˆ( S )
LOOP: if open = 空 then exit( fail ) ; もしすべての節点を知らべ終わったならば
終了し、探索結果は失敗である
p : first(open) ; openの最初の要素(未解決グラフ)を取り出す
最初要素未解決グ
を取り出す
if solved( p ) then exit( success );
もし p が解グラフであれば探索は成功し、
が解グラフであれば探索は成功し p が解である
remove( p, open ) ; openからpを取り除く
ˆ
pを展開し新しく生成されたすべての未解決グラフ pi を評価し、
pを展開し、新しく生成されたすべての未解決グラフ
を評価し f ( pi )
を求め、 pi がUNSOLVEDでなければ open に入れる。OPEN内の未解決グラフを
fˆ
の小さい順位並べる
goto LOOP
必ずしも最適解を得るとは限らないが、もしすべての節点に対して、
必ずしも最適解を得るとは限らな
がもしすべ
節点に対し hˆ ≤ h が成
立すれば、必ず最適解を得られることが証明される。
枝のコストをすべて0とすれば、将来の探索コストの最小化をはかることになる。
AND/ORグラフの最適解の探索
S
繰り返
し回数
（４）
Openリスト内の未解決グラフ
１
S(4)
p1
２
B （３）
A （３）
p2
S4
A (3)
B(3)
３
C ((３))
F （２）
H （１）
p3
p4
４
I
p5
(1)
５
t1 （０）
S6
D （（２）
）
G （１）
子節点の生成回数を最小にするためには、展
開しようとする未解決グラフの p の節点 n の子
節点がAND節点である場合には、一度にすべ
ての子節点を生成しないで、一個だけ生成して
評価すればよい。
A5
(3)C
S4
B3
(2)D
p6 S 4
B3
D2
G(1)
t2 (0)
p3
S4
６
D(2)
p4
I(1)
p7 S 5
D3
I(1)
B4
F(2)
p4
I(1)
S5
D3
p8
H(1)
B4
G2
p7
I(1)
p4
(d)AND/OR木探索のゲームへの応用
S
MAX
MAX：AND接点
MIN ：OR接点
B
A
MIN
C
D
E
F
５
*枝コストはすべて０である。
２
１
（評価値）；
６（←評価値）
コストと逆で
大きいほどよい
最適な手を決定・・・・
最適な
を決定
子節点がAND節点であれば、子節点の評価値の最小値をその節点の値とする。
子節点がOR節点であれば、子節点の評価値の最大値をその節点の値とする。
青の解木での節点nの値をf（n）とすれば、
f( A ) = 2, f( S ) = 2
もう一つの黒の解木で、その値は１である
→したがってf( A ) = 2が最適解
ゲームの木の探索にもAND/ORグラフの
最適解の探索法を利用できる
終点以外は hˆ = ( fˆ ) が与えられていない。
最適解（最大評価値）を得るためには fˆ (n) ≥ f (n) が成立しなければならない。
【参考】コストを最小とする場合、 hˆ(n) ≤ h(n) であったことに注意しよう。
したがって、端点の値が得られていなければ….
したが
て、端点の値が得られてなければ
未解決木の値の推定値は無限大である。
未解決木の非終端節点を展開する場合…
子節点がAND節点であれば、ひとつずつ展開していくものとする。
節点が
節点あれば
ず
くも
す
n1 ;
節点 n の最初の子節点（AND節点）とし、
f(n1))の値が求まった時点でnはMINなので、
f(
f (n) ≤ f (n1 )となることから、
fˆ (n) = f (n1 )とnの推定値が更新される
推値
新
。
このように、探索の途中で
fˆ を計算して更新してゆくのである。【後に詳述】
探索の原理は optimal-and-orと同様に、常に最大の推定値を持つ未解決木を
探索の原理は…
ti l d と同様に常に最大の推定値を持つ未解決木を
openから取り出して展開していく。
ゲームのAND/OR木の最適解を得る場合には…
解を解木の形で求める代わりに、解木の値を与える終端節点だけを求めてもよい。
（終節点がわかればそれを逆にたどって出発節点に達することができるため）
（終節点がわかれば、それを逆にたどって出発節点に達することができるため）
(n,s,v)
接点nの状態の表現
s;
SOLVEDかLIVEかをあらわす
(n) を表すものとする
v;
s がSOLVEDならf( n ) 、 LIVEなら fˆ (n
SOLVED;
LIVE;
探索している節点 n の値が決まれば n につける
SOLVEDでない節点につける
procedure game-tree-search
game tree search
1
putopen( S, LIVE,∞ ) ; 初期設定
2
LOOP: if open = 空 then
LOOP
th exit(
it( fail
f il ) ;
もしすべての節点を知らべ終わったならば終了し、探索結果は失敗である
3
n : first( open ) ; openの最初の要素(未解決グラフ)を取り出す
4
if ( n=S∧ solved( n ) then exit( success );
5
remove(n open) ; openから n を取り除く
remove(n,open)
6
AND/OR木における n の位置と n の状態に応じて、表4.3に示す処理を行う。
open 内の節点を fˆ の大きい順に並
の大きい順に並べる。
る。 fˆ が同じ場合は、SOLVEDの節
点を優先する
goto LOOP
game - tree - search
parent( n )
type( n )
terminal ( n )
pputopen(
p ( n,, s,, v )
番号
; n の親節点
; n がAND節点(MAX)かOR節点(MIN)かを求める
; n が終端節点であるかどうかを求める
;節点 n を
をopenに入れる
p に入れる
nの条件
子接点
処理手続き
１
s=LIVE
nのすべての子節点
のすての子節点 ni に対して、
type( n )=AND
putopen(ni , LIVE, fˆ (n) )
not terminal( n )
２
nextn:= nextchild( n )
s=LIVE
if nextn = NIL then putopen(n, SOLVED, f( n ))
type( n )=OR
( ))
nott terminal(
t
i l( n ) else
l putopen(nextn,
t
( t LIVE,
LIVE fˆ (n
putopen(n, SOLVED, min( fˆ (n), f (n)) )
s=LIVE
３
親接点
terminal( n )
fˆ (n))
４
s=SOLVED
type(
yp ( n )=AND
)
putopen(parent( n ), LIVE,
５
s=SOLVED
type( n )=OR
m=parent( n ). open内にあるmの子孫節点をすべて取り除く
putopen(m, SOLVED, fˆ (n))
ゲームのAND/OR木の最適解の探索
０
４
６
５
Ｘ
Ｘ
Ｘ
３
２
１
Ｘ
７
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
１０
９
８
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
１１
Ｘ
１２
Ｘ
Ｘ
１３１４１５１６１７１８１９２０２１２２２３２４２５２６２７２８２９３０
４
３
３
２
６
５
４
２
３
４
３
６
３
５
５
４
６
↑ （評価値）
LIVE
SOLVED
：探索を行った枝
探索を行った枝
AND = MAX
：最適解
Ｘ :アルファ・ベータ法で表される終端節点
:アルファ・ベタ法で表される終端節点
OR = MIN
８
ゲームのAND/OR木の最適解を得る順序
順番
適用した処
理の番号
1
open リスト
(出発節点は0, SOLVEはS,
(出発節点は0
SOLVEはS LIVEはLで表
す)
∞)
(1 L ∞ ), (2 L ∞ ), (3 L ∞ )
(4 L ∞ ), (2 L ∞ ), (3 L ∞ )
(13 L ∞ ), (14 L ∞ ), (2 L ∞), (3 L ∞ )
(14 L ∞ ), (2 L ∞ ), (3 L ∞ ), (13 S 4 )
(2 L ∞ ),
) (3 L ∞ ),
) (13 S 4 )), (14 S 3 )
(0 L
2
1
3
2
4
1
5
3
6
3
ゲームのAND/OR木の最適解の探索
•AND-OR木の最適解の探索法はアルファ･ベータ法より効率がよいが…
いくつもの解の候補をopenリストに入れておく必要がある。
いくつもの解の候補をopenリストに入れておく必要がある
•アルファ･ベータ法は、αとβの値だけを知っていればよいため（深さ優先探索）…
計算に必要な記憶容量が少なくて済む。
計算に必要な記憶容量が少なくて済む
ORの順番を入れ替えて探索しても変わらないので、
そのコストを見ながらやると効率がよくなる（optimal search）
【レポート課題９】
プリント図４．１０のゲームの木に対して
１．αβ法
２．ＡＮＤ－ＯＲ最適探索法
でそれぞれ探索を行い、最適解を求めなさい。

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