L_p空間(pdfファイル:7ページ)

Lp 空間
(X, F, µ) を測度空間とする．f を X 上で定義された R = R ∪ {±∞} に値をとる関数，
あるいは複素数値関数とする．
±∞ を含む演算は次のように定める．(複号同順) a ∈ R に対して a + (±∞) = (±∞) +
a = ±∞, a > 0 ならば a × (±∞) = (±∞) × a = ±∞, a < 0 ならば a × (±∞) =
a
(±∞) × a = ∓∞, 0 × (±∞) = (±∞) × 0 = 0, a ∈ R に対して
= 0.
なお，
±∞
(+∞) − (+∞) などは定義されない．
順序に関しては，a ∈ R に対して −∞ < a < +∞ と定める．+∞ を簡単に ∞ と書く
こともある．
√
f が複素数値関数のとき，f の実部 Re f と虚部 Im f を用いると，f = Re f + −1 Im f
と表せる．2 つの実数値関数 Re f と Im f がどちらも F-可測関数のとき，f は F-可測関
数であるという．Re f と Im f がどちらも X 上で µ に関して積分可能なとき，f は X 上
で µ に関して積分可能であるといい，
∫
∫
∫
√
f dµ =
Re f dµ + −1 Im f dµ
X
X
X
として f の X 上の積分を定める．
可測関数 f と g が f = g a.e. であるとき，すなわち N ∈ F で µ(N ) = 0 となるもの (零
集合という) が存在して，すべての x ∈ X − N について f (x) = g(x) であるとき，f ∼µ g
と書く．f = g a.e. ならば f と g の X における積分は一致するので，積分を扱う際には
f = g a.e. のときは f と g を区別しないで，f = g と見なすことにする．
f ∼µ g は同値関係である．
「f = g a.e. のときに f と g を区別しないで f = g と見なす」
ということは，正確には個々の関数 f を考えるのではなく，同値関係 f ∼µ g に関する f
を含む同値類を考えるということになる．しかし，記号が煩雑になるのを避けるため，こ
こでは同値類を表に出さないで議論する．
一般に，x ∈ X に依存する関係式あるいは命題などについて，N ∈ F で µ(N ) = 0 と
なるものが存在して，すべての x ∈ X − N に対して成立するとき，ほとんどいたるとこ
ろ (almost everywhere)，またはほとんどすべての x ∈ X について成立するといい，上記
の f = g a.e. のように a.e. をつけて表す．より詳しく µ-a.e. x ∈ X をつけて表すことも
ある．
以下では，関数はすべて (X, F, µ) 上で定義された値が R の元あるいは複素数の F-可
測関数とする．また，R に値をとる関数を扱うときは K = R とし，複素数値関数を扱う
ときは K = C とする．
p
p>
∫ 0 を実数とする．可測関数 f は，|f | が X 上で µ に関して積分可能のとき，すな
|f |p dµ < ∞ が成り立つとき，p 乗可積分 (p-integrable) であるという．p 乗可積
わち
X
分な可測関数全部の集合を
Lp = Lp (X) = Lp (X, F, µ)
で表す．(Lp を Lp と書くこともある．) p = 1 のときの L1 (X) は，積分可能な関数全部
の集合に他ならない．f ∈ Lp (X) に対して，
(∫
)1/p
∥f ∥p =
|f |p dµ
X
1
とおく．
可測関数 f について，
|f | ≤ a a.e.
を満たす正の実数 a > 0 が存在するとき，f は本質的に有界 (essentially bounded) である
という．本質的に有界な可測関数全部の集合を
L∞ = L∞ (X) = L∞ (X, F, µ)
で表す．f ∈ L∞ (X) に対して，|f | ≤ a a.e. が成り立つような a > 0 全部の集合 {a >
0 | |f | ≤ a a.e.} の下限を，|f | の本質的上限 (essential supremum) といい ∥f ∥∞ で表す．
∥f ∥∞ = inf {a > 0 | |f | ≤ a a.e.}
= inf {a > 0 | µ({x ∈ X | |f (x)| > a}) = 0}
である．∥f ∥∞ は実数で ∥f ∥∞ ≥ 0 である．
このようにして定義される Lp (X) および ∥f ∥p (0 < p ≤ ∞) を考える．便宜上 L0 (X)
で F-可測関数全部の集合を表すことがある．
補題 f ∈ L∞ (X) ならば
|f | ≤ ∥f ∥∞ a.e.
が成り立つ．すなわち，∥f ∥∞ は実数の集合 {a > 0 | |f | ≤ a a.e.} の最小元である．
証明 b = ∥f ∥∞ とおく．n = 1, 2, . . . について，b < b + n1 だから |f | ≤ b + n1 a.e.
である．すなわち，En ∈ F ∪
で µ(En ) = 0 となるものが存在して，x ∈ X − En ならば
1
|f (x)| ≤ b + n となる．N = ∞
n=1 En とおく．N ∈ F で µ(N ) = 0 である．x ∈ X − N を
ひとつとる．X − N ⊂ X − En だから，|f (x)| ≤ b + n1 となる．すべての n = 1, 2, . . . に
ついてこれが成り立つので，|f (x)| ≤ b である．以上により，|f | ≤ b a.e. がわかった．
補題 (1) 1 ≤ p とする．任意の a, b ≥ 0 に対して (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ) が成り立つ．
1 < p ならば，等号が成立するのは a = b のときに限る．
(2) 0 < p < 1 とする．任意の a, b ≥ 0 に対して (a + b)p ≤ ap + bp が成り立つ．等号
が成立するのは a = 0 または b = 0 のときに限る．
証明 (1): p = 1 ならば求める不等式は明らかなので，1 < p とする．a = 0 のときは明
らかなので，a > 0 とする．f (t) = (1 + t)p /(1 + tp ) (t > 0) の導関数から，f (t) は t = 1
で最大値 2p−1 をとることがわかる．t = b/a を代入すると (1) が得られる．
(2): a = 0 または b = 0 のときは明らかなので，a, b > 0 とする．g(t) = 1 + tp − (1 + t)p
(t > 0) の導関数 g ′ (t) = ptp−1 − p(1 + t)p−1 について，p − 1 < 0 により g ′ (t) > 0 なので，
g(t) > 0 である．t = b/a を代入すると (2) が得られる．
注意 0 < p とする．a, b ∈ C に対して |a + b|p ≤ 2p (|a|p + |b|p ) が成り立つ．実際，
|a + b| ≤ |a| + |b| ≤ 2 max{|a|, |b|} からこの不等式がわかる．1 ≤ p のときあるいは
0 < p < 1 のとき，この不等式より上記の補題の (1) あるいは (2) の方が良い評価式である．
補題 0 < p ≤ ∞ に対して，Lp (X) は R あるいは C 上のベクトル空間である．
証明 (i) 0 < p < ∞ のとき:
2
f, g ∈ Lp (X) とすると，|f + g|p ≤ (2 max{|f |, |g|})p ≤ 2p (|f |p + |g|p ) により f + g ∈
Lp (X) がわかる．α ∈ K に対して αf ∈ Lp (X) となることは明らかなので，Lp (X) は K
上のベクトル空間である．
(ii) p = ∞ のとき:
f, g ∈ L∞ (X) とすると |f | ≤ ∥f ∥∞ , |g| ≤ ∥g∥∞ a.e. なので，
|f + g| ≤ |f | + |g| ≤ ∥f ∥∞ + ∥g∥∞ a.e.
が成り立つ．よって，f + g ∈ L∞ (X) である．α ∈ K に対して |αf | ≤ |α| ∥f ∥∞ a.e. だ
から，αf ∈ L∞ (X) となり，L∞ (X) は K 上のベクトル空間である．
実数 p, q > 1 が
1 1
+ =1
p q
を満たすとき，p と q は互いに共役な指数 (conjugate exponents) ということがある．さら
に，1/∞ = 0 という約束のもとに，p = 1, q = ∞ あるいは p = ∞, q = 1 も互いに共役な
指数と見なす．
定理 (ヘルダー (Hölder) の不等式)
p, q > 1 は 1/p + 1/q = 1 を満たすとする．f ∈ Lp (X), g ∈ Lq (X) ならば，f g は積分
可能で
∫
(∫
)1/p ( ∫
)1/q
p
|f g|dµ ≤
|f | dµ
|g|q dµ
X
X
X
が成り立つ．すなわち，
∥f g∥1 ≤ ∥f ∥p ∥g∥q
ここで，等号が成立するのは |f |p = c|g|q を満たす定数 c が存在するときに限る．
証明次のヤング (Young) の不等式を用いる．a, b ≥ 0 に対して
ab ≤
a p bq
+
p
q
ここで，等号が成立するのは ap = bq のときに限る．
∥f ∥p = 0 ならば，f = 0 a.e. だから求める不等式は成り立つ．∥g∥q = 0 のときも同
様である．よって，∥f ∥p > 0, ∥g∥q > 0 と仮定する．
a = |f |/∥f ∥p , b = |g|/∥g∥q としてヤングの不等式を適用すると，
1 |f |p
1 |g|q
|f g|
≤
+
∥f ∥p ∥g∥q
p (∥f ∥p )p q (∥g∥q )q
となる．この両辺の X 上の積分をとると
∫
1
1 1
|f g|dµ ≤ + = 1
∥f ∥p ∥g∥q X
p q
となり，求める不等式が得られる．
定理 (ミンコフスキー (Minkowski) の不等式)
3
p ≥ 1 とする．f, g ∈ Lp (X) ならば
(∫
)1/p ( ∫
)1/p ( ∫
)1/p
p
p
|f + g| dµ
≤
|f | dµ
+
|g|p dµ
X
X
X
が成り立つ．すなわち，
∥f + g∥p ≤ ∥f ∥p + ∥g∥p
証明 |f + g| ≤ |f | + |g| だから，p = 1 のときは求める不等式は明らかに成り立つ．
p > 1 とする．1/p + 1/q = 1 を満たす q > 1 について，q = p/(p − 1) なので，|f | |f + g|p−1
にヘルダーの不等式を適用すると，
∫
(∫
)1/p ( ∫
)(p−1)/p
p−1
p
|f | |f + g| dµ ≤
|f | dµ
|f + g|p dµ
X
X
X
が得られる．f と g を入れ替えると，
∫
(∫
)1/p ( ∫
)(p−1)/p
p−1
p
p
|g| |f + g| dµ ≤
|g| dµ
|f + g| dµ
X
X
X
となる．
|f + g|p = |f + g| |f + g|p−1 ≤ (|f | + |g|)|f + g|p−1
だから，上記の 2 つの不等式の左辺と右辺の和をとると，
∫
{( ∫
)1/p ( ∫
)1/p } ( ∫
)(p−1)/p
p
p
p
p
|f + g| dµ ≤
|f | dµ
+
|g| dµ
|f + g| dµ
X
X
X
X
がわかる．
∫
(∫
)(p−1)/p
p
p
|f + g| dµ ̸= 0 ならば，この不等式の両辺を
|f + g| dµ
で割れば求める
X
X
∫
不等式が得られる． |f + g|p dµ = 0 のときは，明らかに求める不等式は成り立つ．
X
定理 1 ≤ p ≤ ∞ とする．∥ ∥p はベクトル空間 Lp (X) におけるノルムである．
証明 1 ≤ p < ∞ の場合と p = ∞ の場合に分ける．
(i) 1 ≤ p < ∞ のとき:
∥ ∥p の定義より，f ∈ Lp (X) に対して ∥f ∥p ≥ 0 および ∥αf ∥p = |α| ∥f ∥p が成り立つ
ことは明らか．∥f ∥p = 0 ならば積分の性質により f = 0 a.e. であるが，このとき約束に
より f = 0 と見なすので，∥f ∥p = 0 ならば f = 0 である．ミンコフスキーの不等式によ
り，∥ ∥p は三角不等式を満たす．よって，∥ ∥p はノルムの条件を満たす．
(ii) p = ∞ のとき:
∥ ∥∞ の定義より，f ∈ L∞ (X) に対して ∥f ∥∞ ≥ 0 および ∥αf ∥∞ = |α| ∥f ∥∞ が成
り立つことは明らか．f ∈ L∞ (X) ならば |f | ≤ ∥f ∥∞ a.e. なので，∥f ∥∞ = 0 ならば
f = 0 である．f, g ∈ L∞ (X) とすると，|f + g| ≤ |f | + |g| ≤ ∥f ∥∞ + ∥g∥∞ なので，
∥f + g∥∞ ≤ ∥f ∥∞ + ∥g∥∞ が成り立つ．よって，∥ ∥∞ はノルムの条件を満たす．
1 ≤ p ≤ ∞ のとき，∥ ∥p を Lp ノルムという．
4
注意 0 < p < 1 については，∥ ∥p は三角不等式を満たさなが，その p 乗は三角不等式
を満たす．すなわち，f, g ∈ Lp (X) に対して (∥f + g∥p )p ≤ (∥f ∥p )p + (∥g∥p )p が成り立つ．
実際，x ∈ X とすると，a = |f (x)|, b = |g(x)| について不等式 (a + b)p ≤ ap + bp が成
り立つ．この両辺の X 上の積分をとると求める不等式が得られる．
なお，α ∈ K について (∥αf ∥p )p = |α|p (∥f ∥p )p なので，∥ ∥p の p 乗はノルムではない．
定理 (Riesz-Fischer) 1 ≤ p ≤ ∞ とする．Lp (X) はノルム ∥ ∥p に関してバナッハ空
間である．
証明 1 ≤ p < ∞ の場合と p = ∞ の場合に分ける．
(i) 1 ≤ p < ∞ のとき:
fn ∈ Lp (X) (n = 1, 2, . . .) は距離 ρ(f, g) = ∥f − g∥p に関してコーシー列であるとす
る．コーシー列の定義により，∥fm − fn ∥p < 1/2 (m, n ≥ n1 ) が成り立つような自然数 n1
が存在する．同様に，∥fm − fn ∥p < 1/22 (m, n ≥ n2 ) が成り立つような自然数 n2 > n1
が存在する．以下同様にして，自然数の増大列 n1 < n2 < · · · で
∥fnk+1 − fnk ∥p < 1/2k
を満たすものをとることができる．
gN = |fn1 | +
N
∑
|fnk+1 − fnk |
k=1
とおく．gN は非負値可測関数で，gN ≤ gN +1 である．
g = lim gN
N →∞
とおく．g は非負値可測関数である．
ミンコフスキーの不等式により，
∥gN ∥p ≤ ∥fn1 ∥p +
< ∥fn1 ∥p +
N
∑
k=1
N
∑
∥fnk+1 − fnk ∥p
1/2k < ∥fn1 ∥p + 1
k=1
が得られる．gN の p 乗 gN p は非負値可測関数で，gN p ≤ gN +1 p である．g p = lim gN p だ
∫
から．単調収束定理により
が成り立つ．ここで
∫
∫
p
lim
N →∞
N →∞
g p dµ
gN dµ =
X
X
)p (
)p
(
gN p dµ = ∥gN ∥p < ∥fn1 ∥p + 1
X
だから，fn1 ∈ Lp (X) より
∫
(
)p
g p dµ ≤ ∥fn1 ∥p + 1 < ∞
X
5
がわかる．よって g ∈ Lp (X) で，a.e. x ∈ X について g(x) は有限な値である．すなわち，
A = {x ∈ X | g(x) < ∞}
∑∞とおくと µ(X − A) = 0 である．
g(x) = |fn1 (x)| + k=1 |fnk+1 (x) − fnk (x)| だから，x ∈ A ならば級数
fn1 (x) +
∞
∑
(fnk+1 (x) − fnk (x))
k=1
は絶対収束する．特に，x ∈ A について lim
∑∞
k=N
N →∞
|fnk+1 (x) − fnk (x)| = 0 である．X 上
の関数 f を，
{
∑
fn1 (x) + ∞
k=1 (fnk+1 (x) − fnk (x)) (x ∈ A)
f (x) =
0
(x ̸∈ A)
∑N −1
として定義する．fnN = fn1 + k=1 (fnk+1 − fnk ) だから，x ∈ A ならば
f (x) = lim fnN (x)
N →∞
が成り立ち，f は可測関数である．実際，x ∈ A について
|f (x) − fnN (x)| ≤
∞
∑
|fnk+1 (x) − fnk (x)| → 0 ( N → ∞ )
k=N
である．
(
)p (
)p
|f | ≤ |g|, |fnN | ≤ |g| だから，|f − fnN |p ≤ |f | + |fnN | ≤ 2|g| である．g ∈ Lp (X)
なので，|f − fnN |p は X 上で積分可能であることがわかる．ここでルベーグの収束定理を
適用すると，
∫
∫ (
)
p
p
lim
|f − fnN | dµ =
lim |f − fnN | dµ = 0
N →∞
X
X
N →∞
が得られる．よって， lim ∥f − fnN ∥p = 0 である．コーシー列 {fn } の部分列 {fnN } が f
N →∞
に収束するので，{fn } は f に収束する．また，f − fnN ∈ Lp (X) と fnN ∈ Lp (X) より，
f ∈ Lp (X) がわかる．以上により，ノルム ∥ ∥p から定まる距離に関して p (X) が完備であ
ることが示されたので，(Lp (X), ∥ ∥p ) はバナッハ空間である．
(ii) p = ∞ のとき:
fn ∈ L∞ (X) (n = 1, 2, . . .) は距離 ρ(f, g) = ∥f − g∥∞ に関してコーシー列であるとす
る．(i) のときと同様に，自然数の増大列 n1 < n2 < · · · で
∥fnk+1 − fnk ∥∞ < 1/2k
を満たすものをとることができる．このとき，|fnk+1 − fnk | < 1/2k a.e. なので，Ek ∈ F で
µ(Ek ) = 0 となるものが存在して，すべての x ∈ X −Ek に対して |fnk+1 (x)−fnk (x)| < 1/2k
である．fn1 ∈ L∞ (X) だから，E0 ∈ F で µ(E0 ) = 0 となるものが存在して，すべての
x ∈ X −∪
E0 に対して fn1 (x) ≤ ∥fn1 ∥∞ である．
B= ∞
k=0 Ek とおく．B ∈ F で µ(B) = 0 である．A = X − B とおく．A ⊂ X − Ek
(k = 0, 1, . . .) だから，すべての x ∈ A に対して
|fn1 (x)| +
∞
∑
|fnk+1 (x) − fnk (x)| < ∥fn1 ∥∞ + 1
k=1
6
∑∞
となる．よって，x ∈ A ならば級数 fn1 (x) + k=1 (fnk+1 (x) − fnk (x)) は絶対収束する．X
上の関数 f を，
{
∑
fn1 (x) + ∞
k=1 (fnk+1 (x) − fnk (x)) (x ∈ A)
f (x) =
0
(x ̸∈ A)
として定義する．fnN = fn1 +
∑N −1
k=1
(fnk+1 − fnk ) について，x ∈ A ならば
|f (x) − fnN (x)| ≤
∞
∑
|fnk+1 (x) − fnk (x)| < 1/2N −1
k=N
が成り立つ．µ(X − A) = 0 だから，
|f | ≤ |fnN | + |f − fnN | < ∥fnN ∥∞ + 1/2N −1
a.e.
となるので，f ∈ L∞ (X) である．∥f − fnN ∥∞ ≤ 1/2N −1 だから，コーシー列 {fn } は f
に収束する．以上により，(L∞ (X), ∥ ∥∞ ) はバナッハ空間である．
Lp (X) の性質をいくつかまとめておく．
1. 1 ≤ p < p′ ≤ ∞ とする．
(1) L1 (X) ∩ Lp′ (X) ⊂ Lp (X), Lp (X) ∩ L∞ (X) ⊂ Lp′ (X).
(2) µ(X) < ∞ ならば Lp′ (X) ⊂ Lp (X) であるが，Lp′ (X) = Lp (X) とは限らない．
(3) µ(X) = ∞ のとき，Lp′ (X) ⊂ Lp (X) とは限らない．
2. 一般に，p ̸= p′ ならば Lp (X) ̸⊂ Lp′ (X) である．
3. 1 ≤ p < ∞ とする．Lp (X) におけるノルム ∥ ∥p から定まる位相に関して，積分可能な
単関数全部の集合は Lp (X) において稠密である．
4. Rn 上の関数 f について，{x ∈ Rn | f (x) ̸= 0} の Rn における閉包を f の台 (support)
という．(Rn , M(Rn ), µ) を Lebesgue 測度空間とする．Rn 上の連続関数で台がコンパクト
集合であるもの全部の集合を C0 (Rn ) で表す．1 ≤ p < ∞ とする．Lp (Rn ) におけるノル
ム ∥ ∥p から定まる位相に関して，C0 (Rn ) は Lp (Rn ) において稠密である．
5. p = 2 のとき，f, g ∈ L2 (X) に対して
∫
f gdµ
(f, g) =
X
√
と定めると，これは L2 (X) 上の内積で，∥f ∥2 = (f, f ) である．
1 ≤ p < ∞ について，p ̸= 2 ならば Lp (X) におけるノルム
∥ ∥p は中線定理を満たさな
√
い．したがって，Lp (X) 上の内積 ( , ) で ∥f ∥p = (f, f ) (f ∈ Lp (X) ) を満たすものが
存在するのは，p = 2 の場合に限る．
7

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