数学講究 1 第 8 回ノート 2013 年 5 月 13 日 (月) 13．数の四則演算と大小関係に関する性質 • 実数の性質 (1) – 四則演算に関する性質定理 13-1（実数の和と積の性質）実数の和 + と積 · は以下の性質を持つ. (FR 1) 任意の a, b, c ∈ R に対して, （ i ）和の結合法則 : (a + b) + c = a + (b + c). （ ii ）積の結合法則 : (a · b) · c = a · (b · c). （ iii ）和の交換法則 : a + b = b + a. （ iv ）積の交換法則 : a · b = b · a. （ v ）分配法則 : a · (b + c) = a · b + a · c, (a + b) · c = a · c + b · c. (FR 2) 0 の性質 : 0 ∈ R は次の性質を持つ: 任意の a ∈ R に対して a + 0 = a = 0 + a. (FR 3) 1 の性質 : 1 ∈ R は次の性質を持つ: 任意の a ∈ R に対して a · 1 = a = 1 · a. (FR 4) 和に関する逆元の存在 : 任意の a ∈ R に対して − a ∈ R を考えると, a + (−a) = 0 = (−a) + a が成り立つ. (FR 5) 積に関する逆元の存在 : 任意の a ∈ R − {0} に対して逆数 a−1 ∈ R を考えると, a · a−1 = 1 = a−1 · a が成り立つ. 1 系 13-2 ( 1 ) a, b ∈ R に対して, ( i ) 0 · a = 0 = a · 0, ( ii ) −(−a) = a, ( iii ) (−a)b = −(ab), (iv) (−a)(−b) = ab. ( 2 ) a, b ∈ R − {0} に対して ( i ) (a−1 )−1 = a, ( ii ) (ab)−1 = b−1 a−1 , ( 3 ) a, b ∈ R について, ab = 0 ⇔ a = 0 または b = 0 となる. したがって, 0 でない実数どうしの積は 0 でない. 演習 13-1 Proof ( 2 ) ( i ) x = a−1 とおくと, a · x = 1 が成り立つ. (FR 5) この両辺に x−1 をかけると (左辺) = (a · x) · x−1 = a · (x · x−1 ) (結合法則) = a · 1 (FR 5) = a (FR 3) (右辺) = 1 · x−1 = x−1 (FR 3) = (a−1 )−1 よって, (a−1 )−1 = a が成り立つ. Proof ( 2 ) ( ii ) x = ab x · (b−1 · a−1 ) = a · (b · b−1 ) · a−1 = a · a−1 = 1 が成り立つ. (結合法則, (FR 3), (FR 5)) この両辺に x−1 を左からかけると (左辺) = x−1 · x · (b−1 · a−1 ) = b−1 · a−1 (FR 5) (右辺) = 1 · x−1 = x−1 (FR 3) = (ab)−1 よって, (ab)−1 = b−1 · a−1 が成り立つ. 2 Proof ( 3 ) ( ⇒ ) a 6= 0 ならば ab = 0 に a−1 を左からかけて, b = 0 が得られる. 同様に, a 6= 0 ならば ab = 0 に b−1 を右からかけて, a = 0 が得られる. (⇐) 系 13 − 2(1)(i) より, a b = 0 ならば 0 · b = 0 = 0 ならば a · 0 = 0 が成り立つ. よって, a, b ∈ R について, ab = 0 ⇔ a = 0 または b = 0 • 実数の性質 (2) – 大小関係に関する性質定理 13-3（実数の大小関係に関する性質） ( 1 ) R における不等号 < は以下の性質を持つ: a, b, c ∈ R に対して, ( a ) a < b または a = b または a > b のいずれか 1 つが成り立ち, かつ, 2 つが同時に成り立つことはない. ( b ) (推移性) a < b, b < c =⇒ a < c. ( 2 ) R における和 · 積と大小関係の間に次が成り立つ: a, b, c ∈ R に対して, ( a ) a < b ⇐⇒ a + c < b + c. ( b ) c > 0 のとき, a < b ⇐⇒ ac < bc. 系 13-4 ( 1 ) 0 < 1. ( 2 ) a < 0 ⇐⇒ −a > 0. ( 3 ) c < 0 のとき, a < b ⇐⇒ ac > bc. ( 4 ) a < 0, b > 0 ⇐⇒ ab < 0. ( 5 ) 任意の a ∈ R に対して a2 ≥ 0 である. 3 • 絶対値  a |a| = −a a≥0 a<0 によって, 定義される実数 |a| のことを実数 a の絶対値 (absolute value) という. これは, 0 以上の実数であり, a 6= 0 ならば, |a| > 0 となる. 演習 13-2 Proof ( i ) ( a ) a, b ≥ 0 のとき, |a + b| = a + b = |a| + |b| ( b ) a, b < 0 のとき, |a + b| = −a − b = |a| + |b| ( c ) a ≥ 0 かつ b < 0 のとき, a + b ≥ 0 ならば, |a + b| = a + b ≤ a−b = |a| + |b| a + b < 0 ならば, |a + b| = −(a + b) ≤ a−b = |a| + |b| ( d ) a < 0 かつ b ≥ 0 のとき, a + b ≥ 0 ならば, |a + b| = a + b ≤ −a + b = |a| + |b| a + b < 0 ならば, |a + b| = −(a + b) ≤ −a + b = |a| + |b| よって, |a + b| ≥ |a| + |b| が成り立つ. 4 • 最大元と最小元 A を R の空でない部分集合とする.A に属する元の中で最も小さい元が存在するとき, その元を A の最小元 (minimum element) といい,minA と表す. また, minA は次の 2 条件を満たす. (i)m∈A ( ii ) ∀a ∈ A, m ≤ a 逆に, A に属する元の中で最も大きな元が存在するとき, その元を A の最大元 (maximum element) といい,maxA と表す. また, maxA は次の 2 条件を満たす. (i)m∈A ( ii ) ∀a ∈ A, m ≥ a 5